Competencia Imperfecta

Competenca Imperfecta ISBN: 978-84-69-4353-4 Iñak Agurre 06-09

Notas sobre COMPETENCIA IMPERFECTA Iñak Agurre Departamento de Fundamentos del Análss Económco I Unversdad del País Vasco

ÍNDICE Tema. El monopolo Introduccón.. La mamzacón de benefcos de un monopolsta... Demanda lneal y demanda de elastcdad constante..3. Estátca comparatva..4. Benestar y produccón..5. La dscrmnacón de precos..6. La dscrmnacón de precos de prmer grado..7. La dscrmnacón de precos de segundo grado..8. La dscrmnacón de precos de tercer grado. Tema. Teoría de Juegos No Cooperatvos Introduccón... Nocones fundamentales... Juegos en forma etensva.... Juegos en forma normal.. Conceptos de solucón de juegos no cooperatvos.... Crtero de domnacón.... Crtero de nduccón retroactva...3. Equlbro de Nash...4. Problemas y refnamentos del equlbro de Nash.

.3. Juegos repetdos..3.. Horzonte temporal fnto..3.. Horzonte temporal nfnto..4. Conclusones. Tema 3. El olgopolo Introduccón 3.. El modelo de Cournot. 3... Duopolo. 3... Olgopolo (n empresas). 3..3. Análss de benestar. 3.. El modelo de Bertrand. 3... Producto homogéneo. 3... Producto heterogéneo. 3.3. Lderazgo en la eleccón de la cantdad. Modelo de Stackelberg. 3.4. Colusón y establdad de los acuerdos. 3.4.. Colusón a corto plazo. 3.4.. Establdad de los acuerdos. Horzonte temporal fnto e nfnto.

Tema. El monopolo Introduccón Decmos que una empresa es un monopolo s es el únco vendedor de un ben (o benes) en un determnado mercado. Problemas: dfcultad para defnr ben y mercado. Las razones que pueden llevar a una empresa a ser monopolsta son por ejemplo: - Control de materas prmas. - Adquscón del derecho eclusvo de venta (patente, subasta..). - Mejor acceso al mercado de captales. - Rendmentos crecentes a escala..etc. En contraste con una empresa perfectamente compettva que se enfrenta a una demanda perfectamente elástca (toma el preco como un dato), un monopolsta se enfrenta a la demanda de mercado. Por tanto, una empresa con poder de monopolo sobre un certo mercado será conscente de que la cantdad de producto que puede vender es una funcón contnua del preco que cobre. Es decr, tendrá en cuenta que reduccones en el nvel de produccón elevarán el preco que puede cobrar. El monopolo tene, por tanto, poder para fjar el preco de mercado. Mentras que podemos consderar a una empresa perfectamente compettva como preco-aceptante o tomadora de precos, un monopolo es preco-decsor o fjador de precos. 3

.. La mamzacón de benefcos de un monopolsta () El problema de mamzacón de benefcos en precos y en cantdades. Condcones de prmer orden. Condcones de segundo orden. Interpretacón gráfca del problema de mamzacón. () Interpretacón del ngreso margnal. () Condcón ngreso margnal gual al coste margnal. (v) Produccón y elastcdad. (v) Índce de Lerner de poder de monopolo. (v) Representacón gráfca. (v) Condcones de segundo orden. () El problema de mamzacón de benefcos en precos y en cantdades Hay dos tpos de restrccones que afectan al comportamento del monopolsta: a) Restrccones tecnológcas resumdas en la funcón de costes, C(). b) Restrccones de demanda: (p). Podemos escrbr la funcón de benefcos del monopolsta de dos formas alternatvas: - Π ( p) = p( p) C( ( p)) utlzando la funcón de demanda. - Π ( ) = p ( ) C ( ) utlzando la funcón nversa de demanda. La demanda, (p), y la nversa de demanda, p(), representan la msma relacón entre preco y cantdad demandada aunque desde óptcas dstntas. La funcón de demanda nos dce cuál es la cantdad demandada a cada uno de los precos mentras que la nversa de demanda nos dce cuál es el preco al que se pueden vender undades en el mercado. 4

ma Π( p) ma Π( ) p m p 0 m m m m m = ( p ) p = p( ) Problema de mamzacón de benefcos en funcón del preco ma Π( p) ma p( p) C( ( p)) p p ( p) ( p) p( p) C ( ( p)) ( p) 0 Π = + = Π ( p) = ( p) + p ( p) C ( ( p)) ( p) C ( ( p)) ( p) < 0 Problema de mamzacón de benefcos en funcón de la produccón ma Π( ) ma p( ) C( ) 0 0 Π (0) = p(0) C (0) > 0 p(0) > C (0) Π ( ) = p( ) + p( ) C ( ) = 0 Π ( m ) = 0 Condcón de prmer orden. Π ( ) = p( ) + p ( ) C ( ) < 0 Funcón de benefcos estrctamente cóncava (caso regular). Π m Π ( ) = 0 Π (0) > 0 m Π( ) 5

() Interpretacón del ngreso margnal El ngreso margnal, r ( ), es: r ( ) = p( ) + p( ) () Ingreso adconal por vender una undad adconal. Ingreso perddo por tener que vender las undades ya producdas a un preco menor. () Condcón ngreso margnal gual a coste margnal El nvel de produccón que mamza benefcos (solucón nteror) satsface: Π ( m ) = r ( m ) C ( m ) = p( m ) + p( m ) C ( m ) = 0 () En el nvel de produccón óptmo para el monopolsta el benefco margnal se hace cero, Π ( m ) = 0; es decr, un cambo nfntesmal en el nvel de produccón no altera los benefcos. Un nvel de produccón tal que Π (.) > 0 no puede mamzar benefcos ya que un aumento (nfntesmal) en la produccón aumentaría los benefcos. Del msmo modo, un nvel de produccón tal que Π (.) < 0 no puede mamzar benefcos ya que una reduccón (nfntesmal) en la produccón aumentaría los benefcos. En el nvel de produccón que mamza benefcos el ngreso margnal se guala con el coste margnal, m m r ( ) C ( ); = es decr, un cambo nfntesmal en el nvel de produccón altera el ngreso total y los costes en la msma medda. (Dcho de otra forma, un aumento nfntesmal en la produccón eleva el ngreso en la msma cuantía que lo que aumenta el 6

coste de produccón y una reduccón nfntesmal en la produccón reduce el ngreso en la msma cuantía que lo que se reduce el coste de produccón). Un nvel de produccón tal que r (.) C (.) > no podría mamzar benefcos ya que un aumento nfntesmal en la produccón haría que el aumento en el ngreso total fuera mayor que el aumento en los costes de produccón (elevando por tanto los benefcos). Smlarmente, un nvel de produccón tal que r (.) < C (.) no podría mamzar benefcos ya que una reduccón nfntesmal en la produccón haría que la reduccón en el ngreso total fuera menor que la reduccón en los costes de produccón (elevando por tanto los benefcos). (v) Produccón y elastcdad: ε ( ) Vamos a comprobar que en el nvel de produccón de monopolo la elastcdad preco de la demanda en valor absoluto es mayor o gual que. Comenzamos defnendo la elastcdad preco de la demanda en valor absoluto: - en funcón del preco: p p ( p ) ε ( p) = ( ), (3) - en funcón de la cantdad: ε p( ) ( ) =. p ( ) (4) Vamos a representar a contnuacón el ngreso margnal en funcón de la elastcdad preco de la demanda: r p p ( ) = ( ) + ( ) (5) p ( ) r ( ) p( ) = + p ( ) (6) 7

r ( ) = p( ) ε ( ) (7) En nvel de produccón de monopolo se gualan ngreso margnal y coste margnal: ( ) = ( ) = ( ). ε ( ) r p C (8) Dado que el coste margnal sempre es no negatvo (mayor o gual que cero) el ngreso margnal tendrá que ser no negatvo y esto ocurre cuando la elastcdad en valor absoluto es mayor o gual que. Es decr: ( ) 0 ( ) 0 ( ). ε ( ) p C p ε ( ) 0 (v) Índce de Lerner de poder de monopolo Vamos a obtener el Índce de Lerner de poder de monopolo (o poder de mercado) o lo que es lo msmo el margen preco- coste margnal relatvo. De la condcón (8) obtenemos: p ( ) p = C ε ( ) ( ) ( ). Por tanto obtenemos: p ( ) C( ) =. (9) p( ) ε ( ) Luego cuanto menor sea la elastcdad preco de la demanda en valor absoluto mayor será el Índce de Lerner. S ε ( ) = 0 el poder de monopolo sería p p ( ) ( ) C( ) = y s 8

ε ( ) = (como ocurrría con una empresa perfectamente compettva el poder de monopolo sería nulo, ( ) ( ) p C p ( ) = 0. (v) Representacón gráfca p C ( ) m p m Π r ( ) p ( ) m El ngreso margnal, r p p ( ) = ( ) + ( ), se encuentra por debajo de la nversa de demanda ya que la funcón nversa de demanda tene pendente negatva, p ( ) < 0. Es decr, r ( ) < p( ) s > 0, pero ambas funcones tenen la msma ordenada r (0) = p(0). El benefco del monopolsta (s no hay costes fjos) vene dado por: m m m m m m m m m m C ( ) m ( ) p C( ) p C ( z) dz p m 0 Π =Π = = = 9

(v) Condcones de segundo orden Interpretacón Para hacer más sencllo el análss supondremos que la funcón de benefcos es estrctamente cóncava. Es decr: Π ( ) = r ( ) C ( ) = p( ) + p ( ) C ( ) < 0 (0) La condcón (0) equvale a decr que la pendente del ngreso margnal tene que ser menor que la pendente del coste margnal: dr d ( ( )) dc ( ( )) Dcho de otra forma el ngreso margnal debe cortar al coste margnal desde arrba. < d r, C dr d ( ( )) dc ( ( )) > d dr d ( ( )) dc ( ( )) < d C ( ) r ( ) m Casos. Costes estrctamente conveos o lneales: C ( ) 0 (CM crecente o constante) 0

a) Demanda estrctamente cóncava o lneal: p ( ) 0 Π ( ) = p( ) + p ( ) C ( ) < 0 < 0 0 0 b) Demanda estrctamente convea: p ( ) > 0 r ( ) = p ( ) + p ( ). Hay que comprobar que < 0 > 0 r < C ( ) ( ).. Costes estrctamente cóncavos: C ( ) < 0 (CM decrecente) Hay que comprobar en cada caso s r < C ( ) ( )... Demanda lneal, demanda de elastcdad constante y coste margnal constante () Demanda lneal y coste margnal constante Inversa de demanda: p( ) = a b ( a> 0, b> 0 ). Coste de produccón: C ( ) Ingreso margnal: r ( ) = a b. = c ( c 0 ). ( a > c) Pendente nversa demanda: Pendente ngreso margnal: p ( ) dr d = b ( ( )) = b Funcón de benefcos estrctamente cóncava: Π ( ) = r ( ) = b< 0. Benefco margnal en cero: Π = p C = a c> (0) (0) (0) 0. Mamzacón de benefcos: m m m m a c ( ) = ( ) = = b r C a b c m m m m m a+ c Preco de monopolo: p = p( ) p = a b p =

( ) Benefcos de monopolo: ( ) [ ( ) ] [ ] a c a c a Π m =Π m = p c m c m = p m c m = = b 4b () Demanda de elastcdad constante y coste margnal constante Demanda: ( p) = Ap b ( A > 0, b > ). Coste de produccón: C ( ) = c ( c > 0 ). Elastcdad preco de la demanda: ε p ( p) p Ap ( b+ ) ( p) = ( p) = bap = b. b Inversa de demanda: b b p( ) = A. Ingreso margnal: ( b ) b b r ( ) = A. b Pendente ngreso margnal: ( b ) =. b ( + b) b b r ( ) A Funcón de benefcos estrctamente cóncava: ( b ) b ( + b) b b Π ( ) = r ( ) = A < 0 b>. Benefco margnal en cero: Mamzacón de benefcos: Π (0) = > 0. m m ( b ) ( ) ( ) ( ) b m ( ) b m ( ) b b r = C r = A = c = A b c b ( b ) b b b m m b b b b b ( ) = A c = A c ( b ) ( b ) Preco de monopolo:

b b m m m m b m b b b b b p = p ( ) p = A( ) = A A c p = c ( b ) ( b ) Benefcos de monopolo: b b m m m m m m c b b b ( b ) ( ) [ p( ) c] [ p c] A c A c ( b ) Π =Π = = = = b ( b ) ( b ) Resolvendo el problema de mamzacón de benefcos en funcón del preco se obtene el Índce de Lerner: m p c m = p ε ( p) Con demanda de elastcdad constante la condcón nos queda m p c m = de donde p b obtenemos fáclmente el preco de monopolo. Después obtener la produccón y los benefcos es drecto..3. Estátca comparatva Vamos a ver cómo camban el preco y la produccón del monopolsta cuando camban los costes de produccón. La ntucón económca nos dce que un aumento en el coste margnal del monopolsta debería conllevar una reduccón en la produccón y un aumento en el preco. Supondremos para smplfcar que el coste margnal es constante (y que no hay costes fjos). La funcón de costes es C ( ) = c. ma Π( ) ma p( ) C( ) 0 0 Π (0) = p(0) C (0) > 0 p(0) > C (0) 3

Π ( ) = p( ) + p( ) c= 0 () m ( c) produccón de monopolo como funcón mplícta del coste margnal. Π ( ) = p( ) + p ( ) C ( ) < 0 Funcón de benefcos estrctamente cóncava (caso regular). Hay dos formas equvalentes de analzar cómo camba la produccón de monopolo cuando camba el coste margnal: () Dferencando completamente la condcón () con respecto a y a c. p( ) + p ( ) d dc= 0 Despejando: d = <0 dc p ( ) + p ( ) < 0 CºO () Por tanto, un aumento nfntesmal del coste margnal reduce la produccón y una reduccón nfntesmal del coste margnal eleva la produccón. m () Utlzando el hecho de que ( c) es una funcón mplícta del coste margnal. Por tanto, m por defncón ( c ) satsface la condcón de prmer orden; es decr p c cp c c ( m ( )) + m ( ) ( m ( )) = 0 Dervando con respecto al coste margnal: p( m ()) c m () c + m () c p ( m ()) c m () c = m m m m p( ()) c + () c p ( ()) c () c = Despejando: m () c = 0 m m m p( ()) c + () c p ( ()) c < 4

Una vez obtendo el cambo en la produccón al cambar el coste margnal es drecto obtener el cambo en el preco. < 0 dp ( ) = dp d = p >0 dc d dc p ( ) + p ( ) < 0 CºO (3) Ejemplos () Demanda lneal m m a+ c dp p = = dc dp p ( ) = = dc p ( ) + p ( ) Con demanda lneal el aumento en el preco es la mtad del aumento en el coste margnal: dp = dc = 0 () Demanda de elastcdad constante m m b dp b p = c b dc = b > ( + b) p ( ) = A p( ) = A p( ) = A b b ( + b) (+ b) b b b b b b dp b = = = = > (+ b) dc p ( ) ( + b) ( + b) b + b b A p ( ) b + b ( + b) b b A b 5

Con demanda de elastcdad constante el preco de monopolo aumenta en una cuantía superor al coste margnal: dp > dc..4. Benestar y produccón () Enfoque del consumdor representatvo. Utldad cuas-lneal. () Dsposcón máma a pagar y dsposcón margnal a pagar. () Funcón de demanda ndependente de la renta. (v) Funcón de benestar socal y nvel de produccón mamzador del benestar socal. (v) Ecedente total, ecedente del consumdor y ecedente del productor. (v) Condcones de efcenca en presenca de varos consumdores o mercados. (v) Comparacón entre produccón de monopolo y produccón efcente utlzando el problema de mamzacón de benefcos. (v) Comparacón entre produccón de monopolo y produccón efcente utlzando el problema de mamzacón del benestar socal. () Pérdda rrecuperable de efcenca. () Enfoque del consumdor representatvo. Utldad cuas-lneal Para realzar análss de benestar y valorar desde el punto de vsta socal el comportamento del monopolo seguremos el enfoque del consumdor representatvo. Se supone en este enfoque que la curva de demanda del mercado (p) se genera mamzando la utldad (cuas-lneal) de un únco consumdor representatvo. Consderemos una economía en la que sólo hay dos benes: e y. Podemos pensar que el ben es el ben producdo en el mercado (monopolístco) que nos nteresa. Mentras que el 6

ben y recoge todo lo demás : cantdad de dnero que le queda al consumdor para adqurr otros benes una vez que ha gastado la cantdad óptma en el ben. Supondremos que el consumdor representatvo tene una Funcón de Utldad Cuas-lneal: U y u y u u u (, ) = ( ) + ( (0) = 0; (.) > 0; (.) < 0) () Dsposcón máma a pagar y dsposcón margnal a pagar Dsposcón máma a pagar, R( ) : lo mámo que estaría dspuesto a pagar el consumdor por undades del ben. Estará pagando lo mámo s justo queda ndferente entre consumr undades pagando R( ) y no consumr el ben, dedcando su dotacón de renta, m, al consumo del resto de los benes. Es decr: U(, m R( )) = U(0, m) Nótese que el consumdor debe quedar ndferente y, por tanto, se debe cumplr con gualdad la anteror condcón. S se dera el caso de que U(, m R ( )) > U(0, m) entonces el consumdor estaría dspuesto a pagar una cantdad mayor que R ( ) y s U(, m R ( )) < U(0, m) entonces R ( ) sería mayor que su dsposcón máma a pagar. Como la funcón de utldad es cuas-lneal: U(, m R( )) = U(0, m) u ( ) + m R ( ) = u(0) + m R( ) = u( ) Por tanto, cuando la funcón de utldad es cuas-lneal: u ( ) Dsposcón máma a pagar 7

Dsposcón margnal a pagar: es el cambo en la dsposcón máma a pagar ante una varacón nfntesmal en la cantdad consumda. u ( ) Dsposcón margnal a pagar () Funcón de demanda ndependente de la renta L(, y, λ ) ma u ( ) + y y, ma u ( ) + y+ λ m y p y,, λ sa. y+ p= m [ ] L = u ( ) λ p = 0 L p= u ( ) Funcón nversa de demanda = λ = 0 y L = m y p = 0 λ La funcón drecta de demanda (p) es la nversa de esta funcón y por tanto satsface la condcón de prmer orden: p= u ( ( p)) Funcón de demanda Propedad de la funcón de utldad cuas-lneal: la funcón de demanda es ndependente de la renta. Dervando con respecto a p obtenemos: = u ( ( p)) ( p) ( ) = < 0 pendente negatva u ( ( p)) p < 0 8

(v) Funcón de benestar socal y nvel de produccón mamzador del benestar socal En esta subseccón justfcaremos la utlzacón de W( ) = u( ) C( ) como funcón de benestar socal. Vamos a plantear el problema de obtener la asgnacón que mamza la utldad del consumdor representatvo, con una restrccón de recursos: nterpretamos el coste de produccón del ben como la cantdad del ben y a la que habría que renuncar para tener el ben. ma u ( ) + y y, sa. y= m C( ) Susttuyendo y en la funcón objetvo: ma u ( ) + m C ( ) ma u ( ) C ( ) constante Luego el problema de mamzar el benestar socal consste en: ma W( ) ma u( ) C( ) 0 0 W (0) = u (0) C (0) > 0 e W u C W ( ) = ( ) ( ) = 0 ( ) = 0 (3) Condcón de prmer orden. W u C ( ) = ( ) ( ) < 0 Funcón de benestar socal estrctamente cóncava (caso regular). Por tanto, en el nvel de produccón que mamza el benestar socal o nvel de produccón efcente se cumple e e e W ( ) = 0 u ( ) = C ( ). Como normalmente supondremos que el coste margnal es constante la condcón de efcenca queda: e u ( ) = c, Es decr, en el nvel de produccón efcente la dsposcón margnal a pagar se guala con el coste margnal. 9

(v) Ecedente total, ecedente del consumdor y ecedente del productor La funcón W( ) = u( ) C( ) puede nterpretarse tambén como el ecedente total; es decr, la dferenca entre la dsposcón máma a pagar y el coste de produccón. Por defncón se cumple: u ( ) u (0) u ( zdz ) 0 = = 0 C ( ) C (0) C ( zdz ) 0 = = F = 0 Por tanto, mamzar u ( ) C ( ) equvale a elegr aquel nvel de produccón que mamce el área debajo de la nversa de demanda y encma del coste margnal. p C ( ) p C ( ) e u ( ) e C ( ) p ( ) p ( ) e e p C ( ) e W( ) p ( ) e 0

Smplemente sumando y restando el gasto en el ben podemos reescrbr el ecedente total como: [ ] [ ] W ( ) = u( ) C( ) = u( ) p + p c EC ( ) EP( ) El ecedente del consumdor, EC(), mde la dferenca entre la dsposcón máma a pagar del consumdor y lo que realmente paga. El ecedente del productor, EP(), mde los benefcos (s no hay costes fjos) de la empresa. Por tanto, el nvel de produccón efcente tambén mamza la suma del ecedente del consumdor y del ecedente del productor. p e EC( ) C ( ) e EP( ) p ( ) e (v) Condcones de efcenca en presenca de varos consumdores o mercados Consderamos el problema de obtener una asgnacón efcente en el sentdo de Pareto cuando en la economía hay dos consumdores que tenen funcones de utldad cuaslneal, u ( ) + y, y una dotacón de renta de m, =,.. Vamos a mamzar la utldad de un agente (por ejemplo el consumdor ) mantenendo constante la utldad del otro (por

ejemplo, el ), dada una restrccón de recursos (suponemos que el coste margnal es constante e gual a c). ma u ( ) + y, y,, y sa. u ( ) + y = u y + y = m + m c.( + ) Despejando y de la segunda restrccón y susttuyendo en la prmera, despejando entonces y y susttuyendo en la funcón objetvo, el problema queda: ma u ( ) + u ( ) c.( + ) + m + m u, Desde las condcones de prmer orden obtenemos: e u( ) c= 0 u ( ) = u ( ) = c Condcón de efcenca e e e (4) = u ( ) c 0 (v) Comparacón entre produccón de monopolo y produccón efcente utlzando el problema de mamzacón de benefcos ma Π( ) ma p( ) C( ) 0 0 Π (0) = p(0) C (0) > 0 p(0) > C (0) Π ( ) = p( ) + p( ) C ( ) = 0 Π ( m ) = 0 Condcón de prmer orden. Π ( ) = p( ) + p ( ) C ( ) < 0 Funcón de benefcos estrctamente cóncava (caso regular).

( ) 0 e Π ( )? ( ) 0 m Π = Π < e e e e e e e e e Π ( ) = p( ) + p( ) C ( ) = u ( ) C ( ) + p( ) < 0 e = u ( ) = 0 < 0 Por defncón de produccón efcente m Π ( ) = 0 Π ( ) < 0 Π ( ) <Π ( ) > Π ( ) < 0 e e m e m dπ ( ) ( ) 0 0 ( ) d Π < < Π Π m Π ( ) = 0 e Π ( ) < 0 m e 3

(v) Comparacón entre produccón de monopolo y produccón efcente utlzando el problema de mamzacón del benestar socal ma W( ) ma u( ) C( ) 0 0 W (0) = u (0) C (0) > 0 p(0) > C (0) e W u C W ( ) = ( ) ( ) = 0 ( ) = 0 Condcón de prmer orden. W u C ( ) = ( ) ( ) < 0 Funcón de benestar estrctamente cóncava. e W ( ) = 0 m W ( )? W ( ) < 0 m u ( ) m m m m m W ( ) = u ( ) C ( ) = p ( ) > 0 m p( ) < 0 Por defncón de produccón de monopolo. e W ( ) = 0 W ( ) > 0 W ( ) < W ( ) > W ( ) < 0 m e m e m W dw ( ) ( ) 0 0 ( ) d W < < W m W ( ) > 0 e W ( ) = 0 m e 4

(v) Pérdda rrecuperable de efcenca (PIE) e m e m ( ) ( ) e [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] m 0 0 PIE = W W = u z C z dz u z C z dz = u z C z dz p e EC( ) C ( ) p m EC( ) C ( ) m p e EP( ) m EP( ) p ( ) p ( ) e m p C ( ) m p PIE p ( ) m e 5

.5. La dscrmnacón de precos () Defncón. () Incentvo a dscrmnar precos. () Condcones o requstos. (v) Clasfcacón o tpos de dscrmnacón de precos (Pgou, 90). (v) Ejemplos. (v) Modelo. () Defncón Este dscrmnacón de precos cuando dferentes undades de un msmo ben son venddas a precos dstntos, ben al msmo consumdor ben a consumdores dferentes. Dscusón - Dferencas en caldad: transporte de pasajeros, espectáculos culturales y deportvos - Un únco preco puede ser dscrmnatoro y precos dferentes no serlo. Dremos que no este dscrmnacón de precos s la dferenca entre el preco pagado por dos consumdores por una undad del ben refleja eactamente la dferenca en el coste de servr el ben a esos consumdores. () Incentvo a dscrmnar precos En el nvel de produccón de monopolo el ngreso margnal se guala con el coste margnal: m m r ( ) C ( ). = Es decr: 6

p( ) + p( ) = C ( ) m m m m () Ingreso adconal por vender una undad adconal. Ingreso perddo por tener que vender las undades ya producdas a un preco menor. El monopolsta estaría dspuesto a vender más undades s no tuvera que bajar el preco. Esten ncentvos a ntentar capturar una mayor proporcón del ecedente del consumdor ncentvos a dscrmnar precos. p C ( ) m p Incentvo a dscrmnar precos: capturar una mayor proporcón del ecedente socal. m Π r ( ) p ( ) m () Condcones o requstos Para que una empresa pueda dscrmnar precos se tenen que cumplr dos condcones: a) la empresa debe ser capaz de clasfcar a los consumdores (lo que depende de la nformacón). b) la empresa debe tener capacdad para mpedr la reventa (lo que depende de las posbldades de arbtraje y de los costes de transaccón). 7

El caso más sencllo de clasfcacón se produce cuando la empresa recbe una señal eógena (edad, localzacón, ocupacón ) que le permte clasfcar a los consumdores en dferentes grupos. Resulta más dfícl clasfcar en funcón de una categoría endógena (por ejemplo, la cantdad comprada o el momento de la compra). En este caso el monopolsta debe establecer precos de modo que sean los propos consumdores los que se auto-clasfquen en las categorías correctas. (v) Clasfcacón o tpos de dscrmnacón de precos (Pgou, 90) ) Dscrmnacón de precos de prmer grado o dscrmnacón perfecta. El vendedor cobra un preco dferente por cada undad del ben gual a la dsposcón máma a pagar por esa undad. Requere nformacón plena sobre las preferencas de los consumdores y no estenca de nngún tpo de arbtraje. El monopolsta consgue etraer todo el ecedente del consumdor. ) Dscrmnacón de precos de segundo grado (o fjacón no lneal de precos). Los precos dferen dependendo del número de undades del ben que se compren pero no de unos consumdores a otros. Cada uno de los consumdores se enfrenta a la msma lsta de precos pero éstos dependen de las cantdades (o de cualquer otra varable; por ejemplo, la caldad del producto) que se compren. Ejs.: descuentos por comprar grandes cantdades del producto. Autoseleccón. 8

3) Dscrmnacón de precos de tercer grado. Se cobran precos dstntos a dferentes consumdores pero cada uno de ellos paga una cantdad constante (el msmo preco) por cada una de las undades que compra del ben. La empresa recbe una señal eógena que le permte clasfcar a los consumdores en dferentes grupos. Se suele decr que es el tpo más frecuente de dscrmnacón de precos. Ejemplos: descuentos a estudantes, precos dferentes dependendo del día de la semana etc. Identfcacón. En ocasones se suelen dstngur dos tpos de dscrmnacón de precos: dscrmnacón de precos drecta y dscrmnacón de precos ndrecta. La dscrmnacón de precos de segundo grado es un caso de dscrmnacón ndrecta (los consumdores se enfrentan a una únca lsta de precos y con sus eleccones se auto-clasfcan) mentras que la dscrmnacón de precos de prmer grado y la dscrmnacón de precos de tercer grado serían casos de dscrmnacón drecta. En el caso de DP3º la empresa establece lstas de precos dferentes para consumdores pertenecentes a dferentes grupos o mercados. (v) Ejemplos Resulta más dfícl encontrar ejemplos reales de mercados donde no se practque nngún tpo de dscrmnacón de precos que lo contraro. Aunque a veces no es posble dstngur de una manera nítda cuál es el tpo de dscrmnacón es un ejercco nteresante medtar sobre qué tpo de dscrmnacón de precos se practca en los sguentes casos. - Tarfas en dos partes: telefonía, Internet, electrcdad, televsón por cable Tarfa plana, bonos por horas etc. - Tarfas eléctrcas dferentes para uso ndustral o uso doméstco. 9

- Descuentos en museos, subscrpcón de revstas, acontecmentos deportvos o culturales, para nños, jóvenes o jublados. - Tpos de nterés preferencales. - Bono-metro, bono-bus, descuentos según cantdad comprada en transportes públcos. - Dferente caldad de servco: precos dferentes dependendo de la caldad del producto en espectáculos deportvos o culturales (trbuna, preferenca, palco ), o en transporte de pasajeros (clase tursta, Busness class, prmera, segunda ). - Descuentos por compras repetdas. - Descuentos según cantdad comprada:, 3 en supermercados - Servco a domclo de comda, tele-tenda (v) Modelo Estudaremos estos tres tpos de dscrmnacón de precos por medo de un modelo muy sencllo. Supongamos que hay dos consumdores potencales que tenen funcones de utldad cuas-lneal: u ( ) + y, =,. u (0) = 0, =,. u ( ) : dsposcón máma a pagar del consumdor =,. u ( ) : dsposcón margnal a pagar del consumdor =,. Dremos que el consumdor es un consumdor de demanda alta y que el consumdor es un consumdor de demanda baja s se cumple: u ( ) > u ( ) u ( ) > u ( ) 30

Es decr, el consumdor es un consumdor de demanda alta y el de demanda baja s tanto la dsposcón máma a pagar como la dsposcón margnal a pagar del consumdor son mayores que las del consumdor para todo nvel de consumo. La comparacón de dsposcón máma y dsposcón margnal a pagar sólo tene sentdo hacerla para el msmo nvel de consumo. Además la comparacón hay que hacerla para todo nvel de consumo. p u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) > u ( ) u ( ) > u ( ) Supondremos que el monopolsta tene un coste margnal constante (y no hay costes fjos) c > 0. De forma equvalente la funcón de coste de produccón es: C ( ) = c. = c.( + ) 3

.6. La dscrmnacón de precos de prmer grado o dscrmnacón perfecta () Defncón y conteto. () Planteamento y resolucón del problema en el caso de un únco consumdor. () Observacones. Es efcente la cantdad ofrecda por el monopolsta? (v) Planteamento y resolucón del problema en el caso de dos consumdores. (v) Ofrece el monopolsta a los consumdores las cantdades efcentes? Demostracón de que el monopolsta ofrece una cantdad mayor al consumdor de demanda alta. (v) Qué ocurrría s el monopolsta no fuera capaz de dentfcar al consumdor cuando va a comprar el ben. () Defncón y conteto El vendedor cobra un preco dferente por cada undad del ben gual a la dsposcón máma a pagar por esa undad. Requere nformacón plena sobre las preferencas de los consumdores y no estenca de nngún tpo de arbtraje. En partcular, el monopolsta es capaz de dentfcar al consumdor cuando va a comprar el ben. (Ejemplo clásco: médco de pueblo). () Planteamento y resolucón del problema en el caso de un únco consumdor El monopolsta deseará ofrecer al consumdor una combnacón (lote) preco-produccón * * ( r, ) que le reporte los mayores benefcos. El monopolsta le planteará al consumdor 3

una eleccón todo o nada : * * ( r, ) (0,0). El consumdor o paga r * por * undades o se queda sn el ben. El problema de mamzacón del monopolsta es: ma r c r, sau. ( ) r () La restrccón () la podemos escrbr de manera equvalente como u ( ) r 0 : nos ndca que el consumdor debe dervar un ecedente no negatvo de su consumo del ben. Se denomna este tpo de restrccones como restrccones de partcpacón o restrccones de raconaldad ndvdual. Como el monopolsta desea mamzar benefcos elegrá la tarfa r lo más elevada posble y, por tanto, la restrccón () se cumplrá con gualdad: r = u( ). Por tanto, el problema consste en: Π( ) ma u ( ) c dπ = ( ) = 0 ( ) = d d Π u ( ) 0 = < d * u c u c Dado este nvel de produccón la tarfa será: r = u( ). * * () Observacones a) Es efcente la cantdad ofrecda por el monopolsta? El monopolsta produce una cantdad efcente en el sentdo de Pareto, * e =, ya que ofrece una cantdad tal que se guala la dsposcón margnal a pagar con el coste margnal. 33

(Repasar el problema de mamzacón del benestar socal y compararlo con el que acabamos de resolver). Sn embargo, el monopolsta se queda con todo el ecedente socal. p m * * * e e e ( ) u( ) c u( ) c W( ) Π =Π = = = m Π c * e u ( ) = C ( ) b) El monopolsta produce la msma cantdad que producría s se comportara como una empresa perfectamente compettva. S tomara el preco como un dato entonces su decsón de produccón sería p( ) = cpero como la utldad es cuas-lneal p ( ) u ( ) = y en consecuenca u ( ) = c. Sn embargo, la dstrbucón de las ganancas del comerco sería la opuesta. c) Podríamos obtener los msmos resultados medante una tarfa en dos partes. p = + = + * * T( ) A p u( ) c c A * * * m Π = T( ) c = u( ) c c m Π u ( ) = * e C ( ) 34

d) Obtendríamos el msmo resultado s el monopolsta vendera al consumdor cada undad de produccón a un preco dstnto e gual a su dsposcón máma a pagar por esa undad. Supongamos que descomponemos la produccón en n partes guales de tamaño Δ de modo que = nδ. La dsposcón máma a pagar por la ª undad de consumo vene dada por: u(0) + m= u( Δ ) + m p u(0) = u( Δ) p La dsposcón máma a pagar por la ª undad de consumo sería: u( Δ ) + m p = u( Δ ) + m p p u( Δ ) = u( Δ) p Y así sucesvamente. Obtendríamos las sguentes ecuacones: u(0) = u( Δ) p u( Δ ) = u( Δ) p u( Δ ) = u(3 Δ) p... u(( n ) Δ ) = u( nδ) pn 3 Sumando y tenendo en cuenta que u (0) = 0 obtenemos un ( Δ ) = p. Cuando el = n tamaño de estas undades Δ se vuelve nfntesmal, obtenemos que plantear una únca opcón todo o nada al consumdor equvale a venderle cada una de las undades (nfntesmales) del ben a un preco gual a la dsposcón margnal a pagar por ella. p * u ( ) = u 0 ( zdz ) * p( z) c * u ( ) C ( ) 35

(v) Planteamento y resolucón del problema en el caso de dos consumdores El monopolsta deseará ofrecer al consumdor, =,, una combnacón (lote) precoproduccón * * (, ) r que le reporte los mayores benefcos. El monopolsta le planteará al consumdor, =,, una eleccón todo o nada : * * ( r, ) (0,0). El consumdor, =,, o paga * r por * undades o se queda sn el ben. El problema de mamzacón del monopolsta es: ma r + r c.( + ) r,, r, sa. u( ) - r 0 u ( ) - r 0 r = u ( ) r = u ( ) mamzacón de benefcos Por tanto, el problema nos queda: ma u ( ) + u ( ) c.( + ), Π = u( ) c= 0 * * u( ) = u( ) = c Π = u( ) c= 0 Dados estos nveles de produccón las tarfas serán: r = u ( ) y * * r = u ( ). * * (v) Ofrece el monopolsta a los consumdores las cantdades efcentes? Demostracón de que el monopolsta ofrece una cantdad mayor al consumdor de demanda alta El monopolsta ofrece las cantdades efcentes: = y * e = (Repasar el problema de * e. obtener una asgnacón efcente y compararlo con el problema resuelto en esta subseccón). 36

Vamos a demostrar a contnuacón que el monopolsta ofrece una cantdad mayor al consumdor de demanda alta: > * *. * u( ) = c * * * u( ) = u( ) < u( ) * u( ) = c Consumdor demanda alta: u ( ) > u ( ) Por tanto, u * * ( ) < u( ) pero como la funcón u es estrctamente cóncava entonces du ( ( )) < 0 y por tanto d > * *. (v) Qué ocurrría s el monopolsta no fuera capaz de dentfcar al consumdor cuando va a comprar el ben? (Esta subseccón servrá para ntroducr la dscrmnacón de precos de segundo grado). Supongamos ahora que el monopolsta no es capaz de dentfcar a los consumdores cuando acuden a comprar el ben. Es decr, no puede realzar ofertas personalzadas y por tanto se verá restrngdo a establecer una únca lsta de precos. Supongamos que establece una lsta de precos utlzando las tarfas y cantdades óptmas bajo dscrmnacón perfecta: ( r, ) * * * * ( r, ) (0,0) donde r = u ( ) y r * = u ( * ). Comprobamos cómo el consumdor de demanda alta tene * * ncentvos a comprar el lote dseñado para el de demanda baja. 37

* * * * * * 0 = u( ) r < u( ) r = u( ) u( ) > 0 Incentvo a realzar arbtraje personal. Ecedente que obtendría el consumdor s compra el lote dseñado para él. Ecedente que obtendría el consumdor s compra el lote dseñado para el consumdor..7. La dscrmnacón de precos de segundo grado (o fjacón no lneal de precos) (Térmnos clave: no dentfcacón, únca lsta de precos y autoseleccón). () Defncón y conteto. () Restrccones de partcpacón y de autoseleccón. Interpretacón. () Demostracón de qué restrccones se cumplen con gualdad. Interpretacón. (v) Planteamento y resolucón del problema de mamzacón de benefcos. (v) Observacones. Ofrece el monopolsta cantdades efcentes? Demostracón de que el monopolsta ofrece una cantdad menor que la efcente al consumdor de demanda baja. (v) Bajo qué condcones decde el monopolsta ofrecer el ben a ambos consumdores? (v) Representacón gráfca. () Defncón y conteto Los precos dferen dependendo del número de undades del ben que se compren pero no de unos consumdores a otros. Nos stuamos en un conteto en el que el monopolsta conoce las preferencas (conoce la dstrbucón de preferencas) de los consumdores, pero no es capaz de dentfcar al 38

consumdor cuando va a comprar el ben. Se ve oblgado a establecer una únca lsta de precos y dejar que sean los consumdores los que se auto-clasfquen o auto-selecconen. En este sentdo se dce que es un tpo de dscrmnacón ndrecta. Los consumdores se enfrenta a la msma lsta de precos pero éstos dependen de las cantdades (o de cualquer otra varable; por ejemplo, la caldad del producto) que se compren. () Restrccones de partcpacón y de autoseleccón. Interpretacón El objetvo será dseñar de manera óptma la lsta de precos de modo que cada consumdor elja la combnacón preco-cantdad dseñada para él. ( r, ) ( r, ) (0,0) Consumdor Consumdor Restrccones del monopolsta - Restrccones de partcpacón (o raconaldad ndvdual) u ( ) r 0 () u ( ) r 0 () Estas restrccones garantzan que cada consumdor desea comprar el ben. Cada consumdor obtene al menos tanta utldad consumendo el ben como no consumendo. O dcho de otro modo, cada consumdor obtene un ecedente no negatvo comprando el ben. - Restrccones de autoseleccón (o compatbldad de ncentvos) u ( ) r u ( ) r (3) u ( ) r u ( ) r (4) 39

Estas restrccones garantzan que cada consumdor prefere la combnacón preco-cantdad dseñada para él a la combnacón preco-cantdad dseñada para el otro consumdor. Dcho de otra forma, estas restrccones prevenen el arbtraje personal: cada consumdor obtene un ecedente por lo menos tan alto elgendo el lote dseñado para él como elgendo el lote dseñado para el otro consumdor. () Demostracón de qué restrccones se cumplen con gualdad Vamos a agrupar las restrccones de acuerdo con el consumdor. () y (3) r u ( ) () ( ) ( ) () r u u + r () y (4) r u ( ) (3) ( ) ( ) (4) r u u + r El monopolsta desea mamzar benefcos y, por tanto, desea elegr r y r lo más alto que se pueda. Por tanto, sólo una de las dos prmeras desgualdades y sólo una de las dos segundas serán efectvas (se cumplrán con gualdad). El supuesto de que el consumdor es el consumdor de demanda alta y el consumdor el consumdor de demanda baja (es decr, se cumple: u ( ) > u ( ) y u ( ) > u ( ) ) es sufcente para determnar las restrccones que son efectvas. ) Demostracón de que (4) se cumple con gualdad y (3) con desgualdad estrcta Supongamos por el contraro que (3) se cumple con gualdad y por tanto que r = u ( ). (4) ( ) + ( ). Como el consumdor es el de demanda Entonces r r u r r u 40

alta u( ) > u( ) entonces r u( ) > u( ). Es decr, r > u ( ) y por tanto no se cumplría la restrccón () lo que supone una contradccón. (No es compatble que se cumpla con gualdad la restrccón de partcpacón del consumdor de demanda alta con que el consumdor de demanda baja compre el ben). En conclusón, (3) no es efectva y (4) s lo es: r = u ( ) u ( ) + r (5) ) Demostracón de que () se cumple con gualdad y () con desgualdad estrcta Supongamos por el contraro que () se cumple con gualdad y por tanto que r = u( ) u( ) + r. Susttuyendo r desde la condcón (5) obtenemos: r = u( ) u( ) + u( ) u( ) + r = r Esto mplca u ( ) u ( ) = u ( ) u ( ) u t dt = () u () t dt [ u ( t) u ( t)] dt = 0 Pero esto vola el supuesto de que el consumdor es el consumdor de demanda alta, u ( ) > u ( ). Por tanto, () no es efectva y s lo es () : r = u ( ) (6) 4

Interpretacón Al consumdor de demanda baja, ya que no tene ncentvos a realzar arbtraje, se le cobrará su dsposcón máma a pagar. Al consumdor de demanda alta, que tene ncentvos a realzar arbtraje personal (y hacerse pasar por un consumdor de demanda baja), se le cobrará el preco mámo que le nduzca a elegr el lote destnado a él (justo la cantdad de dnero tal que el consumdor de demanda alta queda ndferente entre su lote y el destnado al consumdor de demanda baja). Vamos a ver de otra forma por qué al consumdor de demanda alta hay que dejarle con algo de ecedente. Consderemos la restrccón de autoseleccón del consumdor de demanda alta: u ( ) r u ( ) r (4) Hay que notar que, compatble con que el consumdor de demanda baja compre el ben, el lado derecho de esta restrccón es postvo. Es decr, s elgéramos el valor mámo para r la condcón (4) nos quedaría: u ( ) r u ( ) u ( ) > 0 ya que el consumdor es el consumdor de demanda alta. (Lo que mplca que la restrccón de partcpacón del consumdor no se puede satsfacer con gualdad). Pero dado que le tene que dejar con ecedente postvo al consumdor de demanda alta, le dejará con el mínmo ecedente posble, dejando al consumdor ndferente entre elegr el lote dseñado para él y el lote dseñado para el consumdor. Es decr, (reordenando la restrccón (5)): u ( ) r = u ( ) u ( ) > 0 4

ya que como el consumdor de demanda baja no tene ncentvos a realzar arbtraje (obtendría un ecedente negatvo) el monopolsta le cobra su dsposcón máma a pagar r = u ( ). (v) Planteamento y resolucón del problema de mamzacón de benefcos ma r + r c.( + ) ma r + r c.( + ) r,, r, r,, r, u( )-r 0 () r = u( ) (6) sa. sa. u( )-r 0 () r = u( ) [ u( ) r ] (5) u ( )- r u ( )- r (3) u ( )- r u ( )- r (4) El problema quedaría:, Π(, ) ma u ( ) + u ( ) [ u ( ) u ( )] c.( + ) Π = u( ) c [ u( ) u( )] = 0 (7) Π = u( ) c = 0 (8) Las tarfas vendrán dadas por: r = u ( ) r = u ( ) [ u ( ) u ( )] (v) Observacones ) El monopolsta ofrece al consumdor de demanda alta la cantdad efcente y le deja con un ecedente postvo. 43

La condcón (8) mplca u ( ) = c y, por tanto, el monopolsta ofrece al consumdor de e demanda alta la cantdad efcente = (comprobar condcones de efcenca). Además le cobra un preco (tarfa) menor que su dsposcón máma a pagar dejándole con un ecedente postvo e gual al que obtendría s se hcera pasar por un consumdor de demanda baja y elgera el lote dseñado para consumdor. r = u( ) [ u( ) u( )] y por tanto su ecedente sería: u( ) r = [ u( ) u( )]. ) El monopolsta ofrece al consumdor de demanda baja una cantdad menor que la efcente (demostracón) y le deja con un ecedente nulo. Π = u( ) c [ u( ) u( )] = 0 (7) > 0 Como el consumdor es el de demanda alta [ u ( ) u ( )] > 0 y entonces de la condcón (7) obtenemos u ( ) > c. Por defncón la produccón efcente satsface u ( ) = c, por lo e que se cumple ( ) e u > u ( ). Como la dsposcón máma a pagar es una funcón estrctamente cóncava: e u( ) > u( ) < du ( ( )) < 0 d e Veamos cuál es la ntucón de este resultado. Para ello vamos a nterpretar el benefco margnal de y evaluarlo en dferentes nveles de produccón. 44

Π = u ( ) c [ u ( ) u ( )] * > 0( < ) > 0 Benefco margnal desde el consumdor : un cambo en la cantdad ofrecda a este consumdor camba el benefco que obtene el monopolsta desde él. Benefco margnal desde el consumdor : un cambo en la cantdad ofrecda al consumdor camba el ecedente que tene que dejar al consumdor para que no haga arbtraje. * Π( ) * * * = u( ) c [ u( ) u( )] < 0 = 0 > 0 Partendo de la cantdad * una reduccón en la cantdad ofrecda al consumdor eleva el benefco ya que se reduce el ecedente que tene que dejar el monopolsta al consumdor. Consderando ahora una cantdad de tal que < < se cumple: * Π( ) = u( ) c [ u( ) u( )] < 0 > 0 > 0 Al monopolsta le compensa segur reducendo ya que la gananca en benefcos desde el consumdor de demanda alta por dejarle con menor ecedente compensa la pérdda de benefcos desde el consumdor de demanda baja por ofrecerle una cantdad menor. Π( ) = u( ) c [ u( ) u( )] = 0 > 0 En la gananca margnal, de una reduccón nfntesmal en, desde el consumdor de demanda alta por dejarle con menor ecedente se guala con la pérdda margnal desde el consumdor de demanda baja por ofrecerle una cantdad menor. 45

Además le cobra un preco (tarfa) gual que su dsposcón máma a pagar dejándole con un ecedente nulo: r = u ( ). (v) Bajo qué condcones decde el monopolsta ofrecer el ben a ambos consumdores? El monopolsta decdrá ofrecer el ben a ambos consumdores sempre que obtenga mayores benefcos que ofrecendo el ben eclusvamente al consumdor de demanda alta. Es decr, ofrecerá el ben a ambos consumdores s se cumple: Π(0, ) Π(, ) * u ( ) c u ( ) c + u ( ) [ u ( ) u ( )] c * * * * r r [ u ( ) u ( )] u ( ) c S esta condcón no se cumple el monopolsta decdría ofrecer el ben eclusvamente al consumdor de demanda alta. Otra forma de verlo consste en consderar el benefco margnal de. S fuera negatvo para todo nvel de Π( ) = u ( ) c [ u ( ) u ( )] < 0 > 0 > 0 entonces el monopolsta decdría no ofrecer nada al consumdor de demanda baja, ya que para todo nvel de reducr la cantdad ofrecda al consumdor de demanda baja elevaría el benefco. 46

(v) Análss gráfco (coste margnal nulo) p u ( ) u ( ) = c = 0 * u ( ) = c = 0 * A B C u ( ) * * Dscrmnacón perfecta * * ( r, ) (0,0) =, * * u( ) = u( ) = 0 c r = u ( ) A * * r = u ( ) A+ B+ C * * * * * Π = u( ) + u( ) A+ A+ B+ C * r * r No dentfcacón Supongamos que el monopolsta no conoce la dentdad del consumdor y que establece una únca lsta de precos donde mantene las combnacones preco-cantdad óptmas bajo dscrmnacón perfecta. El consumdor tendría ncentvos a realzar arbtraje personal. 47

* * ( r, ) A * * ( r, ) A+ B+ C (0,0) Consumdor Consumdor 0 = A+ B+ C ( A+ B+ C) < A + B A= B * * * u( ) * u( ) r r Dscrmnacón de segundo grado Las restrccones que se cumplen con gualdad son: r = u ( ) A( ) al consumdor se le cobra el área debajo de la nversa de demanda. u( ) r = u( ) r B( ) al consumdor hay que dejarle con un ecedente B( ) (el mínmo posble) para que no haga arbtraje. Incalmente mantenemos las cantdades ofrecdas; sólo ajustamos las tarfas. * ( r, ) A * ( r, ) A+ C (0,0) Π (, ) = A+ C * * Π (, ) = A + A+ B+ C B * Π(, ) Π(, ) ( A A) + ( B B) > 0 * * * p u ( ) u ( ) B u ( ) u ( ) c A A B C u ( ) * * 48

( r, ) ( r, ) (0,0) Π( ) = u( ) c [ u( ) u( )] = 0 > 0 Como estamos suponendo que el coste margnal es cero: Π( ) = u( ) [ u( ) u( )] = 0 u( ) = u( ) u( ) > 0 p u ( ) u ( ) u ( ) B u ( ) u ( ) c = 0 u ( ) A C u ( ) * * * * Π (, ) = u( ) c + u( ) [ u( ) u( )] c A + A+ B+ C B * 0 0 49

Sólo ofrecer el ben al consumdor de demanda alta p Π( ) = u ( ) c [ u ( ) u ( )] < 0 > 0 > 0 u A B ( ) C u ( ) ( r, ) * * A+ B+ C (0,0) * *.8. La dscrmnacón de precos de tercer grado () Defncón y conteto. () Mamzacón de benefcos. Regla de la nversa de la elastcdad. () Comparacón de benefcos con el caso de preco unforme (preco smple de monopolo). (v) Efectos sobre el benestar socal. () Defncón y conteto Este dscrmnacón de precos de tercer grado cuando se cobra a consumdores pertenecentes a dstntos grupos o submercados precos dferentes, pero cada consumdor paga el msmo preco por cada una de las undades que adquere. Éste es probablemente el 50

tpo más común de dscrmnacón de precos. Ejemplos: descuentos a estudantes, precos dferentes dependendo del día de la semana etc. El monopolsta recbe una señal eógena que le permte dstngur m mercados o submercados completamente separados: = 0. p j Éste es un tpo de dscrmnacón drecta: el monopolsta establece lstas de precos dferentes para consumdores pertenecentes a dferentes grupos o mercados. Identfcacón: el monopolsta clasfca a cada consumdor en un grupo. () Mamzacón de benefcos. Regla de la nversa de la elastcdad Vamos a consderar el caso más sencllo en el que m = : el monopolsta clasfca a los consumdores en dos grupos o mercados cuyas funcones nversas de demanda son p( ) y p p < = El monopolsta puede establecer precos dferentes en los dos ( ), con ( ) 0,,. mercados pero dentro de cada mercado no puede dscrmnar. El problema de mamzacón es:, Π(, ) ma p ( ) + p ( ) c.( + ) Π = p( ) + p( ) c= 0 () () IM = IM = c Π = p( ) + p( ) c= 0 () ( ) ( ) ( ) p + p = c 5

p ( ) p( )[ + ] = c p ( ) p( )[ + ] = c ε ( ) p( )[ ] = c ε ( ) c p( ) = =,. ε ( ) Por tanto, p ( ) > p ( ) s ε( ) < ε( ). En consecuenca se cobrará el preco más bajo al mercado cuya demanda sea más elástca; es decr, al mercado más sensble al preco. () Comparacón de benefcos con el caso de preco unforme (preco smple de monopolo). El benefco del monopolsta bajo dscrmnacón de precos de tercer grado es por lo menos tan alto como el benefco bajo preco unforme. La razón es senclla: bajo dscrmnacón de precos de tercer grado sempre podría elegr los precos guales s eso fuera lo más rentable. (v) Efectos sobre el benestar socal ) Cuál es el problema? ) Cotas al cambo en el benestar socal. 3) Aplcacones: a) Demanda lneal. b) Apertura de mercados. 5

) Cuál es el problema? El objetvo de esta seccón es comparar desde el punto de vsta del benestar socal la dscrmnacón de precos de tercer grado con el preco unforme o preco smple de monopolo. En general, un movmento desde preco unforme a dscrmnacón de precos de tercer grado benefca a algunos agentes y perjudca a otros. Benefcados por la DP3º: el monopolsta y los consumdores del mercado de mayor elastcdad (ya que el preco baja en ese mercado). Perjudcados por la DP3º: los consumdores del mercado de menor elastcdad (ya que el preco aumenta). Luego el efecto sobre el benestar socal queda ndetermnado. ) Cotas al cambo en el benestar socal Supongamos para smplfcar que sólo hay dos mercados y partamos de una funcón de utldad agregada de la forma: u ( ) + u ( ) + y + y, donde y son los consumos del ben por parte de los dos grupos e y = y+ y es el dnero que se gasta en otros benes de consumo. Las funcones u y u son estrctamente cóncavas. Las funcones nversas de demanda de los dos submercados son: p ( ) = u ( ) y p ( ) = u ( ). S C (, ) es el coste de ofrecer y podemos medr el benestar socal como: W(, ) = u ( ) + u ( ) C(, ) Consderamos dos confguracones de la produccón (, ) y 0 0 (, ) cuyos precos son ( p, p ) y ( p, p ), respectvamente. Supongamos que el conjunto ncal de precos 0 0 53

corresponde con el preco unforme (preco smple de monopolo) p = p = p y que 0 0 0 p y p son los precos bajo dscrmnacón de precos de tercer grado. Consderaremos el paso de 0 a Debdo a la estrcta concavdad de u y u tenemos que (ver Apéndce):. 0 0 p( ) = p Δ 0 0 0 0 u( ) < u( ) + u( ) ( ) () Δ u < pδ 0 p Δ >Δ u > p Δ 0 0 u( ) < u( ) + u ( ) ( ) () Δ u > pδ p( ) = p Δ 0 0 p ( ) = p Δ 0 0 0 0 u( ) < u( ) + u( ) ( ) () Δ u < pδ 0 p Δ >Δ u > p Δ 0 0 u( ) < u( ) + u( )( ) () Δ u > pδ p( ) = p Δ Sumando (3) y (4) (3) (4) p Δ + p Δ >Δ u +Δ u > p Δ + p Δ 0 0 donde Δ u =Δ u +Δu ; Δ = ; Δ = 0 0 p = p ( ) = u ( ); p = p ( ) = u ( ); 0 0 0 0 0 0 p = p ( ) = u ( ); p = p ( ) = u ( ). 0 0 0 0 0 0 Δ W = W(, ) W(, ) = u( ) u( ) + u( ) u( ) [ C(, ) C(, )] Δu Δu ΔC =Δ u +Δu ΔC Por tanto, p Δ + p Δ Δ C >Δ W > p Δ + p Δ Δ C 0 0 S el coste margnal es constante: 54

Δ C = c( + ) c( + ) = cδ + cδ 0 0 Con lo que las cotas al cambo en el benestar nos quedan: 0 0 ( p c) Δ + ( p c) Δ >Δ W > ( p c) Δ + ( p c) Δ (5) Cota superor Cota nferor Como p = p = p las cotas del cambo en el benestar son: 0 0 0 Δ 0 ( p c)( Δ +Δ ) >Δ W > ( p c) Δ + ( p c) Δ (6) Cota superor Cota nferor - Cota superor: mplca que una condcón necesara para que aumente el benestar socal, Δ W > 0, es que aumente la produccón total. Supongamos por el contraro que Δ =Δ +Δ 0. Como 0 ( p c) 0 > entonces (4) Δ W < 0. - Cota nferor: ndca que una condcón sufcente para que aumente el benestar bajo dscrmnacón de precos de tercer grado es que sea postva la suma de las varacones de la produccón ponderadas por la dferenca entre el preco bajo dscrmnacón y el coste margnal. Gráfcamente para el caso de un únco mercado las cotas quedarían: p 0 0 p p ( p c) Δ >Δ W > ( p c) Δ c 0 55

3) Aplcacones a) Demanda lneal Supongamos que las demandas de los dos mercados venen dadas por a ( p) = p,,, b b = y el coste margnal constante es nulo, c = 0. El problema de mamzacón de benefcos bajo dscrmnacón de precos de tercer grado es: ma p( p) + p( p) p, p Π a a a = ( p ) + p ( p ) = 0 p p = 0 p = ; = p b b b b Π a a a = ( p ) + p ( p ) = 0 p p = 0 p = ; = p b b b b La cantdad total vendda es: a a ab + a b = + = + = b b bb Bajo preco unforme: ma p ( p) + p ( p) Π a a = ( p) + ( p) + p ( p) + p ( p) p + p p p = 0 p b b b b b b 0 ab + ab p = ; ( b + b ) p a ab + a b ab + ab ab a b ab + ab a b = = = 0 b b ( b+ b) b( b+ b) b( b+ b) a 0 = b b ( b+ b) b( b+ b) b( b+ b) ab+ ab ab + ab ab ab ab + ab ab = = La cantdad total vendda es: 56

ab+ ab ab ab + ab ab = + = + 0 0 0 b( b+ b) b( b+ b) abb + a( b ) abb + abb + a ( b) abb = bb ( b + b ) abb + a( b) + abb + a( b) ( ab + ab )( b+ b) ab + ab = = = bb ( b + b ) bb ( b + b ) bb Por tanto, la produccón es la msma bajo ambas polítcas de precos. Es decr, Δ =Δ +Δ = 0. Es decr, Δ. = Δ Las cotas quedarían Δ 0 ( p c)( Δ +Δ ) >Δ W > ( p c) Δ + ( p c) Δ (6) = 0 < 0 Luego el benestar dsmnuye: Δ W < 0. Como veremos a contnuacón el anteror resultado depende crucalmente de que todos los mercados sean servdos bajo preco unforme. b) Apertura de mercados Imagnemos que las demandas de los dos mercados son como las que aparecen en el gráfco adjunto. p 0 p = p p ( p ) ( p ) 57

S el monopolsta tuvera que vender al msmo preco debería bajar tanto el preco en el mercado que la reduccón de benefcos en ese mercado no se vería compensada. Por tanto, ( p c)( Δ +Δ ) >Δ W > ( p c) Δ + ( p c) Δ (6) 0 p = 0 > 0 = 0 > 0 > 0 = 0 > 0 > 0 Por tanto, como la cota nferor es postva Δ W > 0. Pero no sólo aumenta el benestar; de hecho la dscrmnacón de precos domna en el sentdo de Pareto al preco unforme. Al pasar de preco unforme a dscrmnacón de precos de tercer grado aumentan los benefcos del monopolsta, mejoran los consumdores del mercado y los consumdores del mercado uno están gual. Apéndce S u es una funcón estrctamente cóncava para todo e y se cumple: u uy u y y ( ) < ( ) + ( )( ). Las tangentes sempre quedan por encma de la funcón s ésta es estrctamente cóncava. u u ( ) u( y ) u ( ) uy ( ) u lneal u ( y) = y u u u y y u y lneal ( ) = ( ) + ( ) ( ) u u u y y u y estrctamente cóncava ( ) < ( ) + ( ) ( ) y 58