Apuntes de Mecánca Newtonana: Sstemas de Partículas, Cnemátca y Dnámca del Rígdo. Arel Fernández Danel Marta Insttuto de Físca - Facultad de Ingenería - Unversdad de la Repúblca
Índce general Contendos I Prefaco 1 1. Sstemas de Partículas 3 1.1. Centro de masas de un sstema de partículas............... 3 1.1.1. Centros de masas parcales.................... 4 1.1.2. Sstemas con dstrbucón contnua de masa........... 5 1.1.3. Smetrías.............................. 5 1.2. Momento lneal de un sstema de partículas. Prmera cardnal..... 6 1.3. Momento angular de un sstema de partículas. Segunda cardnal.... 8 1.3.1. Cambo de punto de aplcacón de momentos.......... 9 1.4. Energía de un sstema de partículas................... 10 1.4.1. Energía cnétca.......................... 10 1.4.2. Conservacón de la energía.................... 11 2. Cnemátca del Rígdo 13 2.1. Dstrbucón de velocdades y aceleracones................ 14 2.2. Rodadura sn deslzamento........................ 15 2.3. Movmento Plano............................. 17 2.3.1. Ejemplo: Dsco rodando sn deslzar............... 18 2.3.2. Centro nstantáneo de rotacón.................. 19 2.4. Ejemplos de movmento del rígdo en el espaco............. 20
ÍNDICE GENERAL 2.4.1. Placa cuadrada grando alrededor de un eje........... 20 2.4.2. Esfera rodando sn deslzar.................... 22 2.5. Ángulos de Euler.............................. 23 3. Cnétca del Rígdo 25 3.1. Momento Angular de un Rígdo...................... 25 3.2. Propedades del Tensor de Inerca..................... 29 3.2.1. Cambo de base.......................... 30 3.2.2. Ejes Prncpales.......................... 31 3.2.3. Momentos de nerca de un rígdo plano............. 32 3.2.4. Smetrías.............................. 34 3.2.5. Teorema de Stener......................... 36 3.3. Energía cnétca de un rígdo....................... 38 4. Dnámca del Rígdo 41 4.1. Ecuacones Cardnales........................... 41 4.2. Sstemas de Fuerzas Aplcadas...................... 43 4.2.1. Sstemas Equvalentes....................... 43 4.2.2. Reduccón de un sstema de fuerzas aplcado sobre un rígdo.. 45 4.2.3. Potenca de un sstema de fuerzas sobre un rígdo........ 47 4.3. Sstemas vnculados............................ 47 4.3.1. Ejemplo - Placa apoyada en una recta.............. 48 4.4. Estátca del Rígdo............................. 51 4.4.1. Ejemplo - Barra y placa rectangular............... 51 4.4.2. Ejemplo - Escalera apoyada en una pared............ 53 4.5. Dnámca del Rígdo en el Plano..................... 55 4.5.1. Ejemplo - Placa apoyada en un plano nclnado......... 56 4.5.2. Dsco y aro............................. 59 4.5.3. Barra en el borde de una mesa.................. 61 4.6. Dnámca del Rígdo en el Espaco.................... 63
ÍNDICE GENERAL 4.6.1. Masas coplanares.......................... 63 4.6.2. Placa cuadrada grando alrededor de un eje........... 64 4.6.3. Trompo smétrco pesado..................... 66
v ÍNDICE GENERAL
Prefaco Las presentes notas están basadas en los apuntes de clase del Profesor Danel Marta, de quen muchos segumos aprendendo. La publcacón de las msmas no tene por ntencón susttur nngún buen lbro de Mecánca, tan sólo pretende servr como materal de apoyo para los estudantes. En ese sentdo, nos resultaría tremendamente útl saber la opnón del lector, escuchar las sugerencas y comentaros que ayuden a mejorar las notas. A.F., Montevdeo, 2009 1
2 ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1 Sstemas de Partículas 1.1. Centro de masas de un sstema de partículas. Consderemos un conjunto de partículas que tenen por poscón P, = 1...N, y cuyas masas respectvas son m (ver fgura 1.1(a)). Sea M la masa total del sstema: (1.1) M = N =1 m Defnmos el centro de masas (G) 1 del conjunto así: (1.2) G O = 1 M N m (P O) =1 que es ndependente del orgen de coordenadas (O) que tomemos; para probar la afrmacón anteror, consderemos el centro de masas a partr de otro orgen O : G O = 1 M N m (P O ) =1 S a la ecuacón anteror le sustraemos (1.2) nos queda: G G+(O O ) = 1 M N m (O O ) = (O O ) 1 M =1 N =1 m (1.1) = (O O ) G = G 1 tambén llamado barcentro 3
4 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS 1.1.1. Centros de masas parcales. En muchos casos que veremos a lo largo del curso resultará convenente subdvdr el sstema de partículas orgnal y hallar los centros de masas de cada subsstema, para luego hallar el centro de masas del conjunto. Fgura 1.1: (a) Centro de masas de un sstema de partículas (b) Centros parcales de cada subsstema. El centro de masas (G 1 ) de las partículas que conforman el subsstema S 1 de la fgura 1.1 es: G 1 O = 1 m (P O), M 1 = m M 1 S 1 S 1 y análogamente, el centro de masas del subsstema S 2 es: G 2 O = 1 m (P O), M 2 = m M 2 S 2 S 2 Por otro lado, descomponendo la sumatora en (1.2) tenemos: ( ) G O = 1 N m (P O) = 1 m (P O) + m (P O) M M =1 S 1 S 2 y a partr de las defncones de los centros parcales nos queda: (1.3) G O = 1 M 1 + M 2 [M 1 (G 1 O) + M 2 (G 2 O)] es decr, podemos hallar el centro de masas del sstema total como el centro de masas de dos partículas de masas M 1 y M 2 ubcadas en G 1 y G 2 respectvamente. Consderando como orgen O uno de los centros parcales, (1.3) pasa a ser: G = G 1 + M 2 M 1 + M 2 (G 2 G 1 )
1.1. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. 5 y como 0 < M 2 M 1 +M 2 < 1, el centro de masas del sstema estará sobre el segmento que une G 1 con G 2 (fgura 1.1.(b)). 1.1.2. Sstemas con dstrbucón contnua de masa. Ejemplo.- Barra homogénea Consderemos una barra delgada de longtud l y masa m dstrbuda homogéneamente (fgura 1.2). Sea λ = m la densdad lneal de masa de la barra; l la masa de un dferencal de longtud dx es: dm = λdx. Tomando la expresón (1.2) y consderando el pasaje al contnuo: m dm tenemos: l l G = O + 1 m dm xî = O + 1 m 0 dx λxî = O + λ m 0 dx xî = O + l 2î Fgura 1.2: Centro de masas de una barra homogénea. Ejemplo.- Placa trangular homogénea Para hallar el barcentro de una placa trangular homogénea, consderemos a la msma formada por trllas paralelas a uno de sus lados, por ejemplo el BC de la fgura 1.3. Para cada una de estas trllas, el centro de masas se encuentra en su punto medo. Esto sgnfca que el centro de masas de los centros parcales debe estar sobre la medana AM del trángulo. Como se puede nferr lo msmo para las descomposcones paralelas a los otros dos lados, resulta que el barcentro está sobre la nterseccón de las medanas del trángulo. 1.1.3. Smetrías. En los casos en que el sstema de partículas tenga alguna smetría en su dstrbucón, la ubcacón del centro de masas, o al menos su delmtacón, es senclla:
6 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS Fgura 1.3: Centro de masas de una placa trangular homogénea. Smetría Central. Un sstema se dce que tene smetría central con respecto a un punto O cuando permanece ncambado bajo cualquer reflexón con respecto a este punto (por reflexón entendemos el reemplazo de una partícula de masa m A en un punto A por una partícula de masa m B en un punto B, tal que B O = (A O)). Es nmedato probar que el centro de masas del sstema concde con el punto O. Un ejemplo de sstema con esta smetría es una esfera sólda homogénea o una cuya densdad de masa sea funcón úncamente de la dstanca a su centro. Plano de smetría. Es el caso en que el sstema no camba bajo reflexones con respecto a un plano dado. Se puede ver que el centro de masas en este caso está sobre el plano de smetría. Eje de smetría. En este caso el sstema no camba bajo una rotacón de ángulo arbtraro en torno a un eje. El centro de masas debe entonces caer sobre el eje de smetría. 1.2. Momento lneal de un sstema de partículas. Prmera cardnal. El momento lneal de un sstema de partículas se defne como la suma de los momentos lneales de cada una de éstas: (1.4) p = p = m v Por otro lado, dervando (1.2) tenemos: Ġ Ȯ = 1 M m ( P Ȯ) = 1 M m v Ȯ
1.2. MOMENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. PRIMERA CARDINAL.7 donde v es la dervada del vector poscón P de cada partícula seguda sobre su trayectora, es decr, su velocdad. El centro de masas del sstema tene su trayectora defnda a partr de la aplcacón nstantánea de (1.2) para cada partícula del sstema sobre su trayectora respectva. En esta medda, la velocdad del centro de masas se defne como: v G = Ġ. A partr de la defncón (1.4) nos queda entonces: (1.5) p = M v G y tenemos el momento lneal del sstema en térmnos de la velocdad del centro de masas. Veamos ahora la segunda ley de Newton para el sstema de partículas. Dervando (1.4) con respecto al tempo tenemos: p = p ( p = F ) = F Descompondremos ahora la fuerza sobre cada partícula en térmnos de las nternas -ejercdas por otras partículas del sstema sobre ella- y las fuerzas externas al sstema: (1.6) F = F (ext) + j F j con lo que tenemos: F = F (ext) + F j = R (ext) + j j F j sendo R (ext) la resultante de las fuerzas externas aplcadas al sstema: (1.7) R (ext) F (ext) Como las fuerzas nternas al sstema verfcan el prncpo de accón y reaccón: F j = F j, el segundo térmno del lado derecho de la ecuacón anteror se cancela de a pares, con lo que nos queda la Prmera Cardnal del sstema: (1.8) p = M ag = R (ext) En partcular, s sobre el sstema de partículas la resultante de las fuerzas aplcadas es nula, el momento lneal del sstema se conserva.
8 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS 1.3. Momento angular de un sstema de partículas. Segunda cardnal. Análogamente al caso del momento lneal, el momento angular de un sstema de partículas con respecto a un punto Q es la suma de los momentos de cada una de las partículas respecto a ese punto: (1.9) LQ = (P Q) p La dervada temporal de la expresón anteror es: L Q = ( P Q) p + (P Q) p = ( v Q) p + (P Q) F Usando ahora que: p = m v v p = 0 y la descomposcón (1.6) para la fuerza sobre cada partícula: L Q = Q (1.4) = p Q + p + (P Q) (P Q) F (ext) ( F (ext) + + ) F j j (P Q) F j El segundo térmno del lado derecho de la ecuacón anteror es el momento de las fuerzas externas al sstema con respecto al punto Q: j (1.10) M (ext) Q (P Q) F (ext) Para el tercer térmno consderemos la suma de a pares de las partículas: (P Q) F j + (P j Q) F Fj = F j j = (P P j ) F j S las fuerzas de nteraccón entre las partículas del sstema están en la línea de accón de las msmas (prncpo de accón y reaccón fuerte), el térmno anteror es nulo y tenemos la Segunda Cardnal para un sstema de partículas: (1.11) L Q = p Q + M (ext) Q
1.3. MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. SEGUNDA CARDINAL.9 Observacón: Para los casos en que se cumpla alguna de las sguentes: Q = G Q = 0 Q v G la segunda cardnal toma una forma más senclla: (1.12) L Q = M (ext) Q A pesar de la ventaja de elmnar las fuerzas nternas en su planteo, las cardnales (1.8) y (1.11) no son en general sufcentes para determnar el movmento de un sstema de partículas; son 6 ecuacones (3 por cada dreccón en el espaco) para determnar el movmento de N partículas, lo que mplca hallar 3N ncógntas, asocadas a los 3 grados de lbertad de cada partícula. Sn embargo, en el caso de un sstema rígdo, las dos cardnales son sufcentes ya que como veremos, alcanza con especfcar 6 coordenadas para dar su confguracón espacal. 1.3.1. Cambo de punto de aplcacón de momentos. Tanto en el caso del momento angular (1.9) como en el momento de las fuerzas externas (1.10) necestamos dar un punto de referenca (Q). Consderemos la defncón del momento de las fuerzas externas al sstema (1.10) para un punto Q 1 arbtraro: M (ext) Q 1 = (P Q 1 ) F (ext) Introducmos convenentemente un térmno (nulo) Q 2 Q 2 y operamos: M (ext) Q 1 = (P Q 1 + (Q 2 Q 2 )) F (ext) = (P Q 2 ) F (ext) + (Q 2 Q 1 ) F (ext) (1.10) = M (ext) Q 2 + (Q 2 Q 1 ) F (ext) (1.7) = M (ext) Q 2 + (Q 2 Q 1 ) R (ext)
10 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS Fnalmente, usando la antconmutatvdad del producto vectoral ( A B = B A): (1.13) M (ext) Q 1 Análogamente: = M (ext) Q 2 + R (ext) (Q 1 Q 2 ) (1.14) LQ1 = L Q2 + p (Q 1 Q 2 ) 1.4. Energía de un sstema de partículas. 1.4.1. Energía cnétca. La energía cnétca de un sstema corresponde a la suma de las contrbucones de cada una de las partículas consttuyentes: (1.15) T = 1 2 m v 2 Podemos escrbr la poscón P de cada partícula en térmnos de la poscón relatva al centro de masas del sstema: P = G + ρ sendo ρ la poscón de la partícula relatva a G. Dervando la expresón anteror tenemos: v = v G + ρ y susttuyendo en (1.15) nos queda: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v G + ρ ) 2 1 = 2 m ( v 2 G + ρ 2 + 2 v G ρ ) ( ) = 1 m v 2 G + ( ) 1 2 2 m ρ 2 + v G m ρ (1.1) = 1 2 M v G 2 + ( ) 1 2 m ρ 2 + v G m ρ El últmo térmno de la expresón anteror resulta ser nulo en vrtud de: m ρ = m P m G (1.2) = MG MG = 0 m ρ = 0
1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. 11 (dcho de otra forma, la poscón del centro de masas relatva al centro de masas es el vector nulo). Fnalmente, la energía cnétca del sstema toma esta forma: (1.16) T = 1 2 M v G 2 + 1 2 m ρ 2 conocda tambén como Teorema de Köng que establece que la energía cnétca de un sstema de partículas se puede descomponer en la suma de () la energía cnétca de una partícula fctca movéndose con el centro de masas del sstema y cuya masa es la masa total del sstema y () la energía cnétca del movmento de las partículas relatvo al centro de masas. 1.4.2. Conservacón de la energía. Partendo de la expresón (1.15), la varacón de energía cnétca de un sstema de partículas es: (1.17) dt dt = m a v = F v P donde defnmos la potenca (P) del conjunto de fuerzas que actúan sobre el sstema. En este punto, la dstncón entre fuerzas nternas y externas al sstema no resulta ser la más útl; aún cuando (va el prncpo de accón y reaccón fuerte) podamos asegurar la conservacón del momento lneal y angular de un sstema de partículas, nada podemos decr acerca de la conservacón de la energía del sstema, ya que estas fuerzas pueden realzar trabajo (consdere el caso sencllo de dos partículas undas medante un resorte). Dstnguremos entonces entre () fuerzas conservatvas (aquellas que dervan de un potencal) () fuerzas de potenca nula (fuerzas no conservatvas que no realzan trabajo conjunto) () fuerzas resduales (no conservatvas que realzan trabajo): F = F (cons) + F (P nula) + F (res) La potenca de este conjunto de fuerzas será, de acuerdo con (1.17): P = F (cons) v + F (res) v Usando ahora que las fuerzas conservatvas provenen de una energía potencal U: F (cons) = U
12 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS (donde es el gradente sobre las coordenadas espacales asocadas a P ), la potenca es: P = U v + F (res) v = U dp dt + F (res) v Los térmnos U dp corresponden a las varacones de U en la dreccón de cambo de P : du. La suma de todos ellos es entonces la varacón de energía potencal del sstema 2 (du) y (1.17) queda: (1.18) dt dt = du dt + F (res) v d(t + U) dt = F (res) v P (res) la varacón de la energía E = T + U del sstema se corresponde entonces con la potenca de las fuerzas resduales: (1.19) de dt = P(res) y en la medda en que la potenca de las fuerzas resduales sea nula, la energía del sstema se conservará. 2 asumendo que el potencal U no depende explíctamente del tempo
Capítulo 2 Cnemátca del Rígdo Introduccón. Un cuerpo rígdo es un sstema de partículas (S) cuyas dstancas mutuas se mantenen constantes durante el movmento del sstema: P, Q S d PQ = P Q = cte. A efectos de descrbr la poscón de un sstema rígdo en el espaco, son necesaras tan solo 6 coordenadas. Podemos, por ejemplo, comenzar por especfcar las coordenadas cartesanas (x 1, y 1, z 1 ) de un punto P 1 del rígdo. Cualquer punto P 2 a una dstanca d 12 de P 1 estará sobre la superfce esférca de rado d 12 centrada en (x 1, y 1, z 1 ). Podemos ubcar a P 2 sobre esta esfera utlzando 2 coordenadas, como ser los ángulos de coordenadas esfércas θ 2 y ϕ 2 con respecto a un sstema de coordenadas centrado en (x 1, y 1, z 1 ). Cualquer tercer punto P 3 a dstancas d 13 y d 23 de P 1 y P 2 respectvamente, y que no pertenezca a la recta que pasa por estos puntos, estará sobre la crcunferenca que resulta de ntersectar la superfce esférca con centro en P 1 y rado d 13 con la superfce esférca con centro en P 2 y rado d 23. Para ubcar a P 3 sobre esta crcunferenca se necesta una coordenada. Se necestan entonces 6 coordenadas para especfcar las poscones de 3 puntos del rígdo no colneales. Una vez ubcados, la poscón de cualquer otro punto del rígdo está ben determnada. Los puntos (arbtraros a menos de su no colnealdad) P 1, P 2, P 3 determnan un sstema de referenca soldaro al rígdo, con una base ortonormal que se puede construr así: Uno de los versores (llamémosle î) de la base del sstema corresponde al vector P 2 P 1 normalzado. 13
14 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL RÍGIDO Otro versor (ĵ) se elge ortogonal al subespaco subtenddo por î y el vector P 3 P 1. El versor restante (ˆk) se defne como: ˆk = î ĵ. Las 6 coordenadas que se necestan para especfcar la confguracón del rígdo pueden corresponder entonces a las 3 coordenadas de poscón de un punto (x 1, y 1, z 1 ) del rígdo y las 3 coordenadas necesaras para dar la orentacón del sstema de referenca con respecto a un referencal fjo 1. 2.1. Dstrbucón de velocdades y aceleracones. Al vector velocdad angular del referencal soldaro al rígdo lo llamaremos tambén velocdad angular del rígdo ω y satsface (ver capítulo sobre Cnemátca de la Partícula): dî dt = ω î dĵ dt = ω ĵ (2.1) dˆk dt = ω ˆk Defnda la velocdad angular, consderemos cómo relaconar las velocdades de dos puntos cualesquera del rígdo. Sean P, Q esos dos puntos. La relacón entre la dervada absoluta y relatva al rígdo para un vector A es (ver nuevamente capítulo sobre Cnemátca de la Partícula): d A dt = d A dt + ω A Tomando A = P Q y usando que a partr de la defncón msma de rígdo la dervada relatva de P Q es nula, se obtene la dstrbucón de velocdades de un rígdo: (2.2) v P = v Q + ω (P Q) Dada la velocdad de un punto P del rígdo, la velocdad de otro cualquera del msmo rígdo se puede hallar sguendo la dstrbucón anteror. 1 ver Ángulos de Euler al fnal del capítulo
2.2. RODADURA SIN DESLIZAMIENTO. 15 Dervando nuevamente en el tempo, se obtene la dstrbucón de aceleracones de un rígdo: (2.3) a P = a Q + ω (P Q) + ω ( ω (P Q)) 2.2. Rodadura sn deslzamento. Fgura 2.1: Rodadura sn deslzamento entre dos rígdos que se muestran separados para dstngur con mayor clardad los puntos de contacto referdos en el texto. Consderemos dos rígdos (1 y 2) como los de la fgura 2.1. Dremos que los msmos están rodando sn deslzar uno respecto al otro s la velocdad del punto (P 1 ), del rígdo 1 en contacto con 2, es gual a la velocdad del punto (P 2 ), del rígdo 2 en contacto con (1): (2.4) v P1 = v P2 Esta condcón afecta mplíctamente sólo a la componente tangencal de la velocdad de cada rígdo, ya que aún cuando no estén rodando sn deslzar, la condcón de que estén en contacto es que sus velocdades en la dreccón normal sean guales: ( v P1 v P2 ) ˆn = 0.
16 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL RÍGIDO Observacón: Cabe preguntarse en la defncón (2.4) por qué se dstngue entre P 1 y P 2 cuando geométrcamente estamos hablando del msmo punto de contacto entre los dos rígdos. La respuesta está justamente en que geométrcamente hablando P 1 y P 2 ocupan en el nstante de análss el msmo punto del espaco, pero en cuanto a su velocdad, que se defne a partr de la trayectora seguda por cada punto, P 1 vene movéndose soldaro a un rígdo y P 2 a otro completamente dstnto. Lo que establece la condcón de rodadura sn deslzamento es una relacón entre las velocdades del punto de contacto de cada rígdo con el otro en el nstante de contacto y nada más. Partcularmente, no está hablando de la velocdad del punto de contacto P, que no tene porqué ser soldaro a alguno de los dos rígdos. P 1 y P 2 concden en el nstante consderado con el punto P del espaco cuya velocdad llamaremos P. Nomenclatura: Aún cuando no hayamos hecho dstncón alguna entre las nomenclaturas P y v P para referrnos a la velocdad de un punto, reservaremos de ahora en más v P para referrnos a la velocdad de los puntos pertenecentes a un rígdo y usaremos P en otro caso. 2 El trazo dejado por P en el rígdo 1 es una curva de largo s 1. La velocdad de P segudo desde el rígdo 1 es entonces, consderando la suma de la velocdad relatva V R1 (P) al rígdo y la de transporte V T1 (P): P = V R1 (P) + V T1 (P) = ṡ 1ˆt 1 + v P1 (P) sendo ˆt 1 el versor tangente en el punto de contacto. Igualmente, s segumos a P desde 2 nos queda: P = ṡ 2ˆt 2 + v P2 (P) y como P debe ser gual para las dos expresones anterores, y suponendo que se verfca la condcón de rodadura sn deslzamento (2.4): ˆt 1 = ˆt 2 ṡ 1 = ṡ 2 Consderando que en el comenzo los orígenes (P 1 (0), P 2 (0)) de cada curva concden, las longtudes de cada curva concden: (2.5) s 1 = s 2 2 la aclaracón preva a (1.5) ya apuntaba en este sentdo a dstngur entre la velocdad de un punto con una dentdad materal defnda como es el centro de masas G, que se defne nstantáneamente a partr de las velocdades de las partículas consttuyentes del sstema y para la cual usamos v G, y la velocdad de un punto cualquera de referenca como era el caso de O, para el cual se mantuvo Ȯ como notacón de su velocdad.
2.3. MOVIMIENTO PLANO. 17 Es decr, a medda que pasa el tempo, los puntos de cada rígdo que son sucesvamente de contacto van trazando curvas de gual longtud en cada uno de ellos (ver el ejemplo de rodadura sn deslzamento para un dsco). 2.3. Movmento Plano. Fgura 2.2: (a) Movmento plano de un rígdo (b) Problema bdmensonal equvalente. Consderemos el caso partcular de un rígdo que expermenta un movmento plano (fgura 2.2), es decr, dada la normal ( ˆK) al plano π con respecto al que se mantene paralelo, uno de los versores del sstema soldaro al rígdo (sea ˆk) se mantene sempre paralelo a ˆK de manera que los puntos que pertenecen en un nstante dado a una seccón del rígdo paralela a π, permanecen sobre ella. Cualquer seccón del rígdo a través de un plano paralelo a π es de por sí un rígdo bdmensonal. Estudar el movmento de este rígdo bdmensonal es equvalente a estudar el movmento del rígdo en su totaldad. Además, la velocdad angular del rígdo es perpendcular a la seccón estudada y se puede hallar consderando la varacón de un ángulo en el tempo (ver capítulo sobre Cnemátca de la Partícula). Sea θ el ángulo que forma el versor î del sstema soldaro al rígdo con el versor Î fjo. Las
18 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL RÍGIDO dervadas temporales de los versores del sstema rígdo son: dî dt = θĵ dĵ dt = θî dˆk dt = 0 que comparando con (2.1) nos da ω = θ ˆK. La velocdad angular del rígdo es entonces perpendcular al plano, se halla a partr de la tasa de varacón de un ángulo (θ) y su sentdo respeta la regla de la mano derecha para el gro del rígdo. 2.3.1. Ejemplo: Dsco rodando sn deslzar. Fgura 2.3: Dsco rodando sn deslzar. Consderemos como ejemplo de movmento plano el caso de un dsco de rado a que se mueve en contacto con una línea fja. En un nstante dado, el punto del dsco en contacto con la línea es P (ver fgura 2.3). Como la línea permanece en reposo, el punto de ella que es nstantáneamente de contacto tene velocdad nula, lo que a partr de (2.4) mplca v P = 0. Sea x la abcsa de la poscón del centro del dsco (O). La velocdad del centro es: v O = ẋî A partr de la dstrbucón de velocdades entre puntos del rígdo (2.2) tenemos: 0 = v P = v O + ω (P O) = ẋî + ω ( aĵ)
2.3. MOVIMIENTO PLANO. 19 El ángulo θ defndo en la fgura 2.3 corresponde al cambo de orentacón de los ejes de un sstema de coordenadas soldaro al dsco con respecto a una dreccón fja (en este caso la vertcal), por lo que la velocdad angular del dsco es: y tenemos: que ntegrando resulta: ω = θˆk 0 = ẋî + θˆk aĵ = (ẋ a θ)î ẋ = a θ x = aθ (suponendo x(0) = 0, θ(0) = 0 ). La rodadura sn deslzamento establece entonces un vínculo entre las coordenadas x y θ que es equvalente en este caso a (2.5). A partr de la dstrbucón de aceleracones (2.3) podemos obtener la aceleracón del punto de contacto: a P = a O + ω (P O) + ω ( ω (P O)) = ẍî θˆk ( aĵ) + θˆk ( θˆk ( aĵ)) = ẍî a θî + a θ 2 ĵ = a θ 2 ĵ Por otro lado, la velocdad del punto P que es nstantáneamente de contacto entre el dsco y la línea es: P = ẋî 0 y su aceleracón: P = ẍî a θ 2 ĵ 2.3.2. Centro nstantáneo de rotacón. Así como en el ejemplo anteror exste un punto del rígdo con velocdad nula (el punto de contacto) cabe preguntarse s para cualquer movmento plano se cumplrá lo msmo. Supongamos que I es ese punto; en relacón a un punto genérco P del rígdo se cumple: 0 = v I = v P + ω (I P) v P = ω (I P) Consderemos ahora el producto vectoral de la ecuacón anteror con ω: ω v P = ω ( ω (I P))
20 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL RÍGIDO que usando la gualdad vectoral: (2.6) A ( B C) = ( A C) B ( A B) C nos queda: ω v P = ( ω (I P)) ω + ω 2 (I P) y como la velocdad angular es perpendcular al plano donde se encuentran los puntos: ω v P = ω 2 (I P) s ω 0 (2.7) I = P + 1 ω 2 ω v P El punto I, que podemos hallar a partr de la velocdad de un punto cualquera del rígdo, recbe el nombre de centro nstantáneo de rotacón ya que vsta desde él, la velocdad de cualquer punto del rígdo se corresponde nstantáneamente con la de una rotacón pura con la velocdad angular del rígdo y con centro en I (ver fgura 2.4(a)): v P = ω (P I) A partr de (2.7) se puede ver que I está sobre la perpendcular a v P que pasa por el punto P; supongamos el caso en que conocemos la dreccón de la velocdad de dos puntos (A, B) del rígdo (como en el caso de la barra de la fgura 2.4(b) que se mueve con sus dos extremos en contacto con la pared y el pso); el centro nstantáneo de rotacón es el punto de nterseccón de las perpendculares por A y B defndas anterormente. 3 2.4. Ejemplos de movmento del rígdo en el espaco. 2.4.1. Placa cuadrada grando alrededor de un eje. Consderemos como ejemplo de movmento de un rígdo en el espaco, una placa cuadrada homogénea de lado 3h (ver fgura 2.5(a)) que puede grar lbremente alrededor del eje Ox horzontal, el cual a su vez gra con velocdad angular constante ω alrededor del eje Oy vertcal (examen dcembre 2007). Nos preguntamos ahora cuál es la velocdad angular de la placa. Para especfcar la confguracón espacal de 3 Note que para este caso el punto P no está sobre el cuerpo que llamamos barra sno sobre la extensón rígda de este cuerpo, es decr, el conjunto de puntos que se mueve mantenendo constantes las dstancas a todos los puntos del rígdo defndo.
2.4. EJEMPLOS DE MOVIMIENTO DEL RÍGIDO EN EL ESPACIO. 21 Fgura 2.4: Centro nstantáneo de rotacón para (a) dsco que rueda sn deslzar (b) barra apoyada en pared y pso. Fgura 2.5: (a) Placa cuadrada grando lbremente (b) Vsta lateral.
22 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL RÍGIDO la placa basta con dar, por ejemplo, el ángulo α que forma la msma con respecto a la vertcal (fgura 2.5(b)). La velocdad angular de la placa relatva al sstema {O, ˆx, ŷ} es αˆx. Por otro lado, la velocdad angular de este sstema es ωŷ. Aplcando el Teorema de Adcón de Velocdades Angulares resulta que la velocdad angular de la placa es: ω = αˆx + ωŷ 2.4.2. Esfera rodando sn deslzar. Fgura 2.6: (a) Esfera rodando sn deslzar sobre varllas en movmento (b) Sstema de coordenadas. Consderemos ahora el caso de la fgura 2.6(a) (examen dcembre 2008) donde una esfera de rado R rueda sn deslzar sobre dos varllas separadas una dstanca R. Las varllas están en un plano horzontal y soldadas a un clndro vertcal que gra con velocdad angular Ω constante. Nos preguntamos cómo escrbr la velocdad angular de la esfera en térmnos de la dstanca (x) del centro de la esfera al eje del clndro. Consderemos en prmera nstanca el sstema de coordenadas {O, î, ĵ, ˆk} soldaro al clndro y las varllas donde O es un punto del eje (fgura 2.6(b)). Con respecto a este sstema móvl, los puntos de contacto de la esfera con las varllas (A y B) están quetos. A partr de (2.2) resulta que la velocdad angular de la esfera relatva al sstema móvl debe ser colneal con AB: ω y ĵ. S la velocdad del centro
2.5. ÁNGULOS DE EULER. 23 (G) es ẋî, la condcón de rodadura sn deslzamento equvale entonces a ẋ = Rcos π 6 ω y Apelando ahora al Teorema de Adcón de Velocdades Angulares, la velocdad angular de la esfera se puede escrbr como la suma de la velocdad angular relatva al sstema móvl y la velocdad angular del sstema (Ωˆk): ω = ω y ĵ + Ωˆk lo que resulta en ω = 2ẋ 3R ĵ + Ωˆk 2.5. Ángulos de Euler. En los ejemplos vstos anterormente necestamos especfcar la velocdad angular de un rígdo recurrendo a la adcón de velocdades angulares para sstemas convenentemente elegdos según cada problema. La descrpcón de la orentacón de un rígdo medante los Ángulos de Euler permte dar sstemátcamente la velocdad angular del msmo. En la fgura 2.7 se muestran estos ángulos. Sean {î, ĵ, ˆk} los ejes del sstema soldaro al rígdo y {Î, Ĵ, ˆK} los del sstema fjo. θ es el ángulo entre ˆk y ˆK. Sobre la nterseccón de los planos OÎĴ y Oîĵ está la línea de nodos ˆξ orentada de forma tal que la rotacón alrededor de ella que lleva de ˆK a ˆk sea postva. ϕ es el ángulo entre ˆξ e Î. Fnalmente, ψ es el ángulo entre î y ˆξ. La sucesón de transformacones que lleva del sstema fjo al rígdo son, de acuerdo a las defncones de los ángulos, las sguentes rotacones smples: Rotacón de ángulo ϕ alrededor de ˆK. Rotacón de ángulo θ alrededor de ˆξ. Rotacón de ángulo ψ alrededor de ˆk. Consecuentemente, la velocdad angular del rígdo se puede escrbr como: (2.8) ω = ϕ ˆK + θˆξ + ψˆk
24 CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL RÍGIDO Fgura 2.7: Ángulos de Euler.
Capítulo 3 Cnétca del Rígdo Introduccón. En el capítulo anteror estudamos las propedades de un rígdo en cuanto al movmento de los puntos que lo conforman sn preocuparnos por la masa de los msmos. Estudaremos entonces ahora las propedades de un sstema rígdo en cuanto a su dstrbucón de masa. 3.1. Momento Angular de un Rígdo. De acuerdo con (1.9), el momento angular de un sstema de partículas S con respecto a un punto Q es: L Q = S (P Q) m v Consderemos ahora un rígdo. Sea v Q la velocdad del punto del rígdo que concde nstantáneamente con Q. A partr de la dstrbucón de velocdades para puntos de un rígdo (2.2) tenemos: (3.1) v = v Q + ω (P Q) y el momento angular se puede escrbr: L Q = S (P Q) m ( v Q + ω (P Q)) [ ] = m (P Q) v Q + m (P Q) ( ω (P Q)) S S 25
26 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO Usando ahora la defncón de centro de masas de un sstema (1.2) se puede modfcar el prmer térmno del lado derecho de la ecuacón anteror: (3.2) LQ = M(G Q) v Q + S m [(P Q) ( ω (P Q))] donde M es la masa total del rígdo y G su centro de masas. Recordemos ahora la expresón para el trple producto vectoral (2.6): (3.3) A ( B C) = ( A C) B ( A B) C Con esta relacón podemos desarrollar el segundo térmno del lado derecho de (3.2): L Q = M(G Q) v Q + [ m (P Q) 2 ω ((P Q) ω)(p Q) ] S ( ) (3.4) = M(G Q) v Q + m (P Q) 2 ω m ((P Q) ω)(p Q) S S Operadores lneales y producto Tensoral. El segundo y tercer térmno del lado derecho de (3.4) corresponden a una operacón lneal sobre el vector velocdad angular. Para un operador lneal arbtraro Ì, los elementos T αβ de la matrz T que lo representa en una base dada {ê 1, ê 2, ê 3 } son: ( ) (3.5) T αβ = Ì ê β de manera que la matrz T resulta: (3.6) T {ê 1,ê 2,ê 3 } = α T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 El producto tensoral a b entre dos vectores a, b es un operador lneal no conmutatvo que se defne a partr de la aplcacón del msmo sobre un tercer vector x: [ (3.7) a ] b x ( b x) a S c es la matrz que representa al producto tensoral, sus componentes serán, según (3.5) y (3.7): (3.8) c αβ = a α b β
3.1. MOMENTO ANGULAR DE UN RÍGIDO. 27 Por lo que la representacón matrcal del producto tensoral es: a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 (3.9) c {ê 1,ê 2,ê 3 } = a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 Este conjunto ordenado de 9 elementos es la representacón matrcal de un tensor de rango 2. Veremos más adelante que no cualquer conjunto de 9 elementos defne a un tensor, sno que sus propedades de transformacón bajo cambos de coordenadas lo hacen, lo msmo que sucede para un vector 1. A partr de la defncón dada para el producto tensoral entre vectores, el últmo térmno del lado derecho de (3.4) se puede entonces reescrbr como: [ ] m ((P Q) ω)(p Q) = m (P Q) (P Q) ω S Por lo que el momento angular del rígdo (3.4) resulta: (3.10) LQ = M(G Q) v Q + ÁQ ω donde ÁQ es el tensor de nerca del rígdo con respecto al punto Q: (3.11) ÁQ = S S m [ (P Q) 2 ½ (P Q) (P Q) ] (½ es el operador dentdad). Las componentes αβ de este tensor en una base ortonormal {ê α, α = 1, 2, 3} son: (3.12) (I Q ) αβ = { m (P Q) 2 δ αβ m (P Q) α (P Q) β } donde usamos la delta de Kronecker: 1 s α = β (3.13) δ αβ = 0 s α β Consderemos la aplcacón partcular del tensor de nerca sobre el versor û que dentfca a un eje que pasa por el punto Q. Defnmos el momento de nerca alrededor del eje û que pasa por Q como: (3.14) I Q,û = û ÁQû 1 un vector es un tensor de rango 1, así como un escalar es un tensor de rango 0
28 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO Fgura 3.1: Momento de nerca. y que como veremos a contnuacón es el msmo para todos los puntos del msmo eje. Para demostrar lo anteror susttuyamos la expresón (3.11) para el tensor: { [ û ÁQû = û m (P Q) 2 ½û (P Q) (P Q)û ]} (3.7) = û = S = S S { [ m (P Q) 2 û ((P Q) û)(p Q) ]} S m [ (P Q) 2 û û ((P Q) û)((p Q) û) ] m [ (P Q) 2 ((P Q) û) 2] Se puede ver, de acuerdo a la fgura 3.1, que la expresón entre paréntess rectos de la últma gualdad corresponde a la dstanca de la -ésma partícula del rígdo al eje û: (3.15) I Q,û = S m d 2 El momento de nerca es entonces una cantdad (defnda postva) propa de la dstrbucón de masa alrededor de un eje dado (el punto Q sólo srve para ndcar un punto por donde pasa ese eje). Ejemplo- masas coplanares (parte I). El rígdo de la fgura 3.2 (examen agosto 2008) está formado por dos masas 2m, separadas una dstanca 2l y montadas smétrcamente con respecto al punto
3.2. PROPIEDADES DEL TENSOR DE INERCIA. 29 Fgura 3.2: Rígdo formado por cuatro masas puntuales. medo (C) del eje OO, sujetas a sendas masas m por medo de barras de largo l perpendculares al eje OO. El conjunto de las cuatro masas está en un msmo plano. Tanto las barras que unen masas como el eje OO son de masa desprecable. Sea r n = P n C, donde P n es una de las cuatro masas del sstema. De acuerdo con (3.12), las componentes del tensor de nerca con respecto a C son: (I C ) αβ = 4 ( ) m n r 2 n δ αβ x nα x nβ n=1 donde r 2 n = x2 n1 + x2 n2 + x2 n3, x n α = r n.ê α. Como las masas tenen por coordenadas: el tensor de nerca se representa por: 2m : (l, 0, 0), m : (l, l, 0) 2m : ( l, 0, 0), m : ( l, l, 0) (3.16) I {ê 1,ê 2,ê 3 } C = 2ml 2 1 1 0 1 3 0 0 0 4 3.2. Propedades del Tensor de Inerca. Las componentes del tensor de nerca según una base ortonormal arbtrara (3.12) son nvarantes bajo el ntercambo de índces α, β. Esto quere decr que de las nueve componentes que tene, sólo ses de ellas son ndependentes entre sí: las tres componentes dagonales (que son los momentos de nerca alrededor de los ejes de la base ortonormal) y tres de las componentes no dagonales (conocdas como productos
30 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO de nerca). El tensor de nerca se representa entonces por una matrz smétrca en dmensón 3, tal como resulta en (3.16) del ejemplo anteror. Como cualquer matrz real y smétrca en dmensón fnta se puede llevar a una forma dagonal medante un cambo de base adecuado, comenzaremos entonces por estudar el cambo en la representacón del tensor de nerca bajo un cambo de base. 3.2.1. Cambo de base. Consderemos un punto P del espaco con coordenadas r α con respecto a un sstema {Q, ê α, α = 1, 2, 3}. Bajo un cambo de base que lleve de {ê α } a {ê α }, las coordenadas de P se transforman lnealmente de acuerdo a: (3.17) r α = 3 R αβ r β β=1 sendo R αβ las componentes de la matrz de cambo de base R. Cualquer conjunto de 3 números reales ordenados que transforme bajo un cambo de base de acuerdo a (3.17), es un vector. La norma de este vector en la nueva base es: [ 3 (3.18) r r = r α.r (3.17) 3 3 3 ] 3 α = r β R αβ][ R αγ r γ = r β Rβα T R αγr γ α=1 α=1 β=1 γ=1 α,β,γ=1 sendo Rαβ T las componentes de la traspuesta de la matrz de cambo de base. Como los cambos de base (rotacones) conservan la norma de los vectores: (3.19) r r = r r = 3 β=1 (3.13) r β r β = se debe verfcar (comparando (3.18) con (3.19)): 3 β,γ=1 r β δ βγ r γ (3.20) 3 β,γ=1 R T βα R αγ = δ βγ R T R = RR T = 1 es decr, R debe ser una matrz ortogonal. Veamos ahora qué sucede con el producto tensoral de dos vectores (3.7). Los elementos de matrz (3.8) de c mantenen la msma estructura en la base transformada: c αβ = a α b β, por lo que, de acuerdo a (3.17): c αβ = a α b β = [ 3 γ=1 R αγ a γ ] [ 3 δ=1 b δ R βδ ] = 3 R αγ a γ b δ R βδ = γ,δ=1 3 R αγ c γδ Rδβ T γ,δ=1
3.2. PROPIEDADES DEL TENSOR DE INERCIA. 31 es decr: (3.21) c = RcR T Cualquer conjunto de 9 elementos ordenados que transforme bajo un cambo de base R de acuerdo con (3.21) será la representacón matrcal de un tensor de rango 2. En partcular, para el tensor de nerca (3.11) tenemos que: (3.22) I Q = RI Q R T 3.2.2. Ejes Prncpales. Medante un cambo de base adecuado, la matrz I Q que representa al tensor de nerca se puede llevar a su forma dagonal D: (3.23) D = RI Q R T o nvrtendo la transformacón: (3.24) I Q = R T DR La nueva base donde el tensor toma su forma dagonal está formada por los autovectores de la representacón matrcal del tensor, llamados tambén ejes prncpales {ˆv 1, ˆv 2, ˆv 3 }, mentras que los autovalores asocados a cada uno recben el nombre de momentos de nerca prncpales (I 1, I 2, I 3 ): (3.25) D = I {ˆv 1,ˆv 2,ˆv 3 } Q = I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 Los momentos de nerca prncpales son úncos a menos del orden en que aparezcan en la forma dagonal, así como los ejes prncpales son úncos a menos de su degeneracón. Ejemplo- masas coplanares (parte II). Veamos cuáles son los ejes prncpales para el rígdo de la fgura 3.2. Nos proponemos dagonalzar la matrz (3.16), es decr, resolver el problema de autovalores: I {ê 1,ê 2,ê 3 } C ˆv = Iˆv que mplca hallar las solucones a la ecuacón secular: I {ê 1,ê 2,ê 3 } C I1 = 0
32 es decr: I 0 I I 0 0 I 0 3I 0 I 0 0 0 4I 0 I CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO = 0 con I 0 = 2ml 2. Para este caso, el problema de dagonalzacón se puede restrngr al subespaco subtenddo por {ê 1, ê 2 } ya que ê 3 es eje prncpal (la fla y la columna que llevan el índce 3 en (3.16) tenen ceros salvo para el elemento dagonal) con autovalor I 3 = 4I 0 : ( ) I0 I I 0 = 0 3I 0 I cuya solucón es: I 0 I = (2 ± 2)I 0 Hallemos ahora los autovectores asocados a los autovalores anterores. Supongamos que el autovector ˆv 1 asocado al autovalor I 1 = (2 + 2)I 0 forma un ángulo θ con ê 1 : ˆv 1 = cosθê 1 + senθê 2 La ecuacón que nos permte hallar el autovector es: ( I0 I 1 I 0 I 0 3I 0 I 1 ) ( cosθ senθ ) = 0 que tene por solucón: tgθ = (1 + 2) (el autovector restante será ortogonal a ˆv 1 ya que corresponde a un autovalor dstnto). Fnalmente, la matrz ortogonal que nos permte pasar de la base orgnal a la de ejes prncpales corresponde a una rotacón de ángulo θ alrededor del eje ê 3 : R = cosθ senθ 0 senθ cosθ 0 0 0 1 (se ve fáclmente que Rê 1 = ˆv 1, por ejemplo). 3.2.3. Momentos de nerca de un rígdo plano. Consderemos un rígdo plano tal como el de la fgura 3.2. En (3.16) se puede observar que la suma de los dos prmeros momentos de nerca corresponde al tercero;
3.2. PROPIEDADES DEL TENSOR DE INERCIA. 33 vamos a establecer ahora la generaldad de esta propedad para cualquer rígdo plano. Consderemos los momentos de nerca de acuerdo con (3.12): (I Q ) 11 = { m (P Q) 2 m (P Q) 1 2 } { m (P Q) 2 m (P Q) 2 2 } (I Q ) 22 = (I Q ) 33 = { m (P Q) 2 m (P Q) 3 2 } Sea ê 3 el eje perpendcular al plano del rígdo y consderemos que el punto de referenca Q pertenece a este plano. El vector (P Q) no tene entonces componente según el eje ê 3 : (P Q) 3 = 0, por lo que (P Q) 2 = (P Q) 2 1 + (P Q) 2 2 y los momentos de nerca resultan: (I Q ) 11 = m (P Q) 2 2 (I Q ) 22 = (I Q ) 33 = m (P Q) 2 1 { } m (P Q) 2 1 + (P Q) 2 2 de donde se ve claramente que: (3.26) (I Q ) 33 = (I Q ) 11 + (I Q ) 22 Ejemplo - dsco homogéneo (parte I). Fgura 3.3: Dsco homogéneo de rado R.
34 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO Consderemos el caso de un dsco plano y homogéneo, de masa M y rado R y los momentos de nerca del msmo con respecto a los ejes de la base especfcada en la fgura 3.3 pasando centro de masa G. El momento de nerca alrededor del eje ê 3 se puede obtener a partr del pasaje al contnuo de (3.12), donde consderamos la susttucón: m dm, r = P Q, (P Q) 1,2,3 = x, y, z: I 3 = dm( r 2 z 2 ) = dm(x 2 + y 2 ) El elemento de masa dm es dm = σda, sendo σ = M la densdad superfcal de πr 2 masa y da el elemento de área. Consderando la ntegracón en coordenadas polares planas: da = rdrdθ, donde r 2 = x 2 + y 2, el momento I 3 es: I 3 = 2π 0 dθ R 0 σdrr.r 2 = 2πσ R4 4 = MR2 2 Los restantes momentos de nerca se pueden hallar sabendo que son guales entre sí: I 1 = I 2 (pues el papel de ê 1 y ê 2 es ntercambable) y que su suma, de acuerdo con (3.26) debe dar I 3 : I 3 = I 1 + I 2, por lo que: I 1 = I 2 = I 3 2. Pasaje al contnuo. Generalzando el caso tratado en el ejemplo anteror, para cualquer rígdo con dstrbucón contnua de masa la representacón matrcal de su tensor de nerca toma la forma: dv ρ(y 2 + z 2 ) dv ρxy dv ρxz (3.27) I {ˆx,ŷ,ẑ} Q = dv ρyx dv ρzx dv ρ(x 2 + z 2 ) dv ρzy dv ρyz dv ρ(x 2 + y 2 ) sendo r = xˆx + yŷ + zẑ la poscón de los puntos materales del rígdo vsta desde Q y ρ(x, y, z) la densdad (volumétrca) de masa para el punto (x, y, z) consderado. 3.2.4. Smetrías. Consderemos ahora operacones de cobertura sobre un rígdo, es decr, operacones que no alteren la dstrbucón de masa del msmo como conjunto, cambando sí la poscón de las partículas ndvduales. En partcular veamos () rotacones alrededor de un eje () reflexones en un plano. Plano de smetría El eje (ê 3 ) perpendcular al plano de smetría de un rígdo (fgura 3.4(b)) es eje prncpal para el msmo. En partcular, cualquer eje perpendcular a un rígdo plano es prncpal para el msmo.
3.2. PROPIEDADES DEL TENSOR DE INERCIA. 35 Fgura 3.4: (a) Rígdo de revolucón (b) Rígdo con smetría axal. dem. Consderemos ẑ como eje y tomemos (x, y) como el plano de smetría del rígdo: ρ(x, y, z) = ρ(x, y, z) Se puede ver que las ntegrales en (3.27) correspondentes a los productos de nerca I xz, I yz se anulan, por lo que ẑ es prncpal. Rígdos de revolucón Para aquellos rígdos que son nvarantes bajo rotacones de cualquer ángulo en torno a un eje (fgura 3.4(a)), este eje (sea ê 3 ) es prncpal y cualquer otro eje perpendcular a él por un punto del msmo tambén es prncpal con degeneracón doble. 2 dem. Tomemos ẑ nuevamente como eje; en coordenadas clíndrcas, la densdad de masa verfca: ρ(r, ϕ, z) = ρ(r, z) (r es la dstanca al eje ẑ) y se puede ver que todos los productos de nerca son nulos, además de que los momentos de nerca según ˆx e ŷ deben ser guales. Centro de smetría Para un rígdo con un centro de smetría para las operacones de cobertura (es decr con smetría esférca), cualquer eje que pase por este centro es prncpal con degeneracón trple. 2 es decr, el momento de nerca alrededor de cualquera de estos ejes es el msmo y los posbles vectores subtenden un subespaco de dmensón 2.
36 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO dem. En coordenadas clíndrcas, la densdad de masa verfca: ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r) y todos los momentos de nerca son guales entre sí, así como los productos son nulos. Ejemplo - dsco homogéneo (parte II). El dsco de la fgura 3.3 es un rígdo plano y de revolucón, por lo que ê 3 es eje prncpal. Por ser un rígdo de revolucón, ê 1, ê 2 son tambén ejes prncpales. El tensor de nerca tene entonces por representacón: I 32 MR 0 0 2 I {ê 1,ê 2,ê 3 } Q = 3.2.5. Teorema de Stener. 0 I 32 0 = 0 0 I 3 4 0 0 MR 0 2 0 4 0 0 MR 2 2 Veamos cómo camba el tensor de nerca cuando consderamos un cambo en el punto de referenca para el msmo. En partcular, veremos la relacón entre los tensores para el centro de masas del rígdo y para un punto arbtraro Q. El tensor de nerca referdo a este punto arbtraro es, de acuerdo con (3.11): ÁQ = [ m (P Q) 2 ½ (P Q) (P Q) ] Introduzcamos ahora convenentemente un térmno nulo G G de manera que: (P Q) = (P G) + (G Q) (P Q) 2 = (P G) 2 + (G Q) 2 + 2(P G) (G Q) (P Q) (P Q) = (P G) (P G) + (P G) (G Q) + (G Q) (P G) + (G Q) (G Q) El prmer térmno del tensor de nerca es entonces: m (P Q) 2 ½ = [ m (P G) 2 + (G Q) 2 + 2(P G) (G Q) ] ½ = m (P G) 2 ½ + (G Q) [ ] 2 m ½ + 2 m (P G) (G Q)½ (1.2) = m (P G) 2 ½ + M(G Q) 2 ½
3.2. PROPIEDADES DEL TENSOR DE INERCIA. 37 (donde la últma gualdad provene de consderar el centro de masas desde el centro de masas msmo). De gual forma, el segundo térmno del tensor es: m (P Q) (P Q) = [ ] m (P G) (P G) + m (P G) (G Q) [ ] + (G Q) m (P G) + m (G Q) (G Q) (1.2) = m (P G) (P G) + M(G Q) (G Q) Agrupando los dos térmnos, el tensor de nerca resulta: ÁQ = m (P G) 2 ½ m (P G) (P G)+M(G Q) 2 ½ M(G Q) (G Q) Los dos prmeros térmnos del lado derecho de la gualdad anteror corresponden según (3.11) al tensor referdo al centro de masas y tenemos entonces el Teorema de Stener: (3.28) ÁQ = ÁG + Â M,G Q donde: (3.29) Â M,G Q = M [ (G Q) 2 ½ (G Q) (G Q) ] o en térmnos de sus componentes: ( ) (3.30) = M(G Q) 2 δ αβ M(G Q) α (G Q) β Â M,G Q αβ Teorema de Stener para momentos de nerca. Consderemos en partcular cómo vncular los momentos de nerca correspondentes a dos ejes paralelos en la dreccón û que pasan por G y y un punto O respectvamente. Sean I G,û e I O,û esos momentos: A partr de (3.29) tenemos que: I G,û = û ÁGû I O,û = û ÁOû û ÁOû = û ÁGû + M(G O) 2 û ½û Mû [(G O) (G O)]û
38 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO A partr de (3.7) tenemos que: û [(G O) (G O)]û = û [((G O) û)(g O)] = ((G O) û) 2 y por lo tanto: û ÁOû = û ÁGû + M [ (G O) 2 ((G O) û) 2] que se smplfca usando que la dstanca entre los ejes verfca: d 2 = (G O) 2 ((G O) û) 2 (3.31) I O,û = I G,û + Md 2 3.3. Energía cnétca de un rígdo. Sguendo el planteo general (ver (1.15)) vsto para un sstema de partículas cualquera, la energía cnétca de un rígdo es: que a partr de (3.1) resulta en: T = = T = 1 2 m [ v Q + ω (P Q)] 2 = 1 2 M v Q 2 + 1 2 m v 2 1 2 m v 2 Q + 1 2 m [ ω (P Q)] 2 + 1 2 m 2 v Q [ ω (P Q)] { [ ]} 1 2 m [ ω (P Q)] 2 + v Q ω m (P Q) (1.2) = 1 2 M v Q 2 + 1 2 m [ ω (P Q)] 2 + M v Q [ ω (G Q)] El segundo térmno del lado derecho de la últma gualdad se puede desarrollar usando que el producto mxto es cíclco: (3.32) A ( B C) = B ( C A) y tomando A = ω (P Q), B = ω, C = (P Q): [ ω (P Q)] 2 = [ ω (P Q)] [ ω (P Q)] = ω [(P Q) ( ω (P Q))]
3.3. ENERGÍA CINÉTICA DE UN RÍGIDO. 39 Por lo que la energía cnétca se puede escrbr como: { } T = 1 2 M v Q 2 + 1 2 ω m (P Q) [ ω (P Q)] + M v Q [ ω (G Q)] Comparando ahora (3.10) con (3.2) resulta que el segundo térmno del lado derecho de la gualdad anteror se puede reescrbr en funcón del tensor de nerca, por lo que fnalmente tenemos: (3.33) T = 1 2 M v Q 2 + 1 2 ω Á Q ω + M v Q [ ω (G Q)] Casos partculares: S Q es un punto del rígdo nstantáneamente en reposo: v Q = 0, la energía cnétca del sstema será la de una rotacón pura, que puede escrbrse a partr de (3.33) como: (3.34) T = 1 2 ω Á Q ω Para el caso partcular en que Q = G, la energía cnétca nos queda como: (3.35) T = 1 2 M v G 2 + 1 2 ω Á G ω Comparando (3.35) con (1.16) vemos que el térmno en la energía cnétca del movmento de las partículas relatvo al centro de masas presente en el teorema de Köng corresponde en un rígdo a una rotacón pura en torno al centro de masas.
40 CAPÍTULO 3. CINÉTICA DEL RÍGIDO
Capítulo 4 Dnámca del Rígdo 4.1. Ecuacones Cardnales. Así como sucede para cualquer sstema de partículas, la Prmera Cardnal para un rígdo es (1.8): (4.1) M a G = R (ext) donde R (ext) es la resultante de la fuerzas externas que actúan sobre el rígdo. Por otro lado, para cualquer sstema donde las fuerzas nternas verfquen el prncpo de accón y reaccón fuerte, tenemos la Segunda Cardnal (1.11): L Q = M v G Q + M (ext) Q sendo M (ext) Q el momento de las fuerzas externas al sstema con respecto al punto Q. Consderando la forma partcular (3.10) que toma el momento angular de un rígdo: L Q = M(G Q) v Q + ÁQ ω la dervada del lado zquerdo de la Segunda Cardnal es: L Q = M( v G Q) v Q + M(G Q) d v Q dt + d(á Q ω) dt y tenemos la Segunda Cardnal para un rígdo: (4.2) M( v G Q) v Q + M(G Q) d v Q dt + d(á Q ω) M v G dt Q = M (ext) Q 41
42 CAPÍTULO 4. DINÁMICA DEL RÍGIDO Para el caso en que Q sea un punto del rígdo se cumple: Q = v Q d v Q dt = a Q y la segunda cardnal toma esta forma smplfcada: (4.3) M(G Q) a Q + d(á Q ω) dt = M (ext) Q Observacón 1: Para tratar con el térmno d(á Q ω) dt dervada absoluta y relatva: de (4.3) podemos consderar la relacón entre d A dt = d A dt + ω A y tomar como sstema relatvo uno soldaro al rígdo con orgen en Q: d(áq ω) dt = d (ÁQ ω) dt + ω ÁQ ω = d ÁQ dt ω + Á Q ω + ω ÁQ ω = ÁQ ω + ω ÁQ ω donde la últma gualdad vale ya que como Q es un punto del rígdo, las dstancas relatvas de los demás puntos del rígdo a él no camban y por lo tanto el tensor tampoco. Así, la segunda cardnal toma la sguente forma: (4.4) M(G Q) a Q + ÁQ ω + ω ÁQ ω = M (ext) Q Observacón 2: Para los casos en que el movmento sea plano, consderamos la proyeccón de la segunda cardnal (4.3) con respecto al eje (ˆk) perpendcular al plano: M(G Q) a Q ˆk + d(á Q ω) dt ˆk = M (ext) Q ˆk = M (ext) Q (donde usamos que como todas las fuerzas actúan en el plano, su momento debe ser de la forma M (ext) Q ˆk). En el segundo térmno del lado zquerdo podemos ntercambar la dervada y el producto escalar ya que ˆk tene una dreccón fja: M(G Q) a Q ˆk + d(á Q ω ˆk) dt = M (ext) Q
4.2. SISTEMAS DE FUERZAS APLICADAS. 43 Luego, como ω = ωˆk y el eje ˆk es prncpal para el tensor: d(áq ω ˆk) dt = d(á Qˆk ˆkω) dt = d(i Q,ˆkˆk ˆkω) dt = I Q,ˆk ω (donde la últma gualdad vale ya que Q es un punto del rígdo y el momento de nerca para un eje que pasa por él no varía con el tempo) y nos queda la segunda cardnal para un problema plano: (4.5) M(G Q) a Q ˆk + I Q,ˆk ω = M (ext) Q 4.2. Sstemas de Fuerzas Aplcadas. A la hora de aplcar las ecuacones cardnales a un rígdo deberemos encontrar la resultante R (ext) y el momento M (ext) Q de las fuerzas externas al sstema. Esto mplca la reduccón de un sstema de fuerzas: F = {P, F (ext) externas al sstema F (ext) y sus puntos de aplcacón P. } dado por las fuerzas 4.2.1. Sstemas Equvalentes. Dos sstemas de fuerzas son equvalentes cuando se satsfacen las sguentes condcones: La resultante de cada sstema es la msma. El momento de las fuerzas de un sstema u otro con respecto a un punto arbtraro es el msmo. S se trata de un rígdo, el efecto de un sstema u otro será gual. 1 Por ejemplo, consderemos el sstema de fuerzas gravtatoras actuando sobre un cuerpo cerca de la superfce de la Terra. La fuerza sobre una partícula es F = m g La resultante es entonces R = F = m g = M g 1 No vale lo msmo s el cuerpo es deformable; consderemos por ejemplo una banda elástca de cuyos extremos tramos con fuerzas guales y opuestas. El efecto no será claramente el msmo s empujamos con fuerzas guales y opuestas sobre cada extremo, a pesar de que los dos sstemas son equvalentes.
44 CAPÍTULO 4. DINÁMICA DEL RÍGIDO (sendo M la masa total del sstema). El momento alrededor de un punto Q es M Q = (P Q) m g = (P G + (G Q)) m g [ ] = m (P G) g + (G Q) m g = (G Q) M g y corresponde entonces a una fuerza M g actuando sobre el centro de masas del sstema (ndependentemente del punto Q elegdo para referr el momento). M g actuando sobre G es equvalente sstema orgnal de fuerzas gravtatoras ya que da la msma resultante y el msmo momento no mporta cuál sea el punto consderado. Antes de segur adelante ntroducremos los sguentes conceptos: Línea de accón: Consderemos una fuerza F aplcada sobre un punto P. La recta que pasa por P y que contene a F se denomna línea de accón de la fuerza. Se puede ver (fgura 4.1) que a efectos de calcular el momento de F respecto a un punto O arbtraro se puede tomar cualquer punto de la línea de accón como punto de aplcacón: (P O) F = (P P ) F + (P O) F = (P O) F ya que P P es colneal con F. Fgura 4.1: Línea de accón para una fuerza F. Par: Un par de fuerzas está consttudo por dos fuerzas cuyas líneas de accón son paralelas, tenen gual magntud y sentdos opuestos (fgura 4.2). El momento de este sstema vsto desde P es: M P = a F y como este sstema tene resultante nula, la fórmula (1.13) de cambo de aplcacón de momentos nos dce que el momento del par será gual vsto desde cualquer punto,
4.2. SISTEMAS DE FUERZAS APLICADAS. 45 Fgura 4.2: Par de fuerzas. por lo que el subíndce en P ya no es necesaro: M = a F Un par está caracterzado entonces por su momento M y todos los pares cuyo momento sea gual serán equvalentes entre sí. En partcular, cualquer sstema de fuerzas con resultante nula cuyo momento respecto a un punto arbtraro sea M, será equvalente a un par M. 4.2.2. Reduccón de un sstema de fuerzas aplcado sobre un rígdo. 1. Cualquer sstema de fuerzas aplcado F se puede reducr a una fuerza aplcada en un punto arbtraro más un par (cualquera de los cuales puede ser cero). Sea R la resultante de las fuerzas y M P el momento de ellas respecto de un punto arbtraro P. Luego, s hacemos que R actúe en P y le sumamos un par M P, este sstema será equvalente al orgnal. 2. Todo sstema de fuerzas actuando se puede reducr a uno equvalente que contene como máxmo dos fuerzas. Como el par consderado en el tem anteror se puede formar con dos fuerzas, una de las cuales puede actuar en un punto arbtraro, podemos consderar la otra fuerza aplcada en el punto P y sumársela a R para tener una sola fuerza actuando en P más la otra fuerza del par. Artculacones. Podemos ver una aplcacón de la reduccón de un sstema de fuerzas para el caso de artculacones. En partcular vamos a concentrarnos en el caso de artculacones lsas:
46 CAPÍTULO 4. DINÁMICA DEL RÍGIDO Fgura 4.3: Artculacones lsas: (a) clíndrca (b) esférca. Artculacón clíndrca lsa. Consderemos una artculacón como la de la fgura 4.3(a) formada por un clndro central cuberto por un cascarón, sendo el contacto entre ellos carente de frccón. Las fuerzas que se ejercen mutuamente están drgdas según la dreccón radal, por lo que el momento ejercdo por una de las partes sobre la otra con respecto a un punto del eje no tene componente según el eje (ˆk) de la artculacón: M O ˆk = 0 y esto es ndependente del punto del eje consderado ya que usando la fórmula de cambo de momentos (1.13) con respecto a otro punto O : y proyectando según ˆk: M O = M O + R (O O) M O ˆk = M O ˆk + ( R (O O)) ˆk = M O ˆk = 0 (donde usamos que (O O) está en la dreccón de ˆk). Artculacón esférca lsa. Para el caso de una artculacón como la de 4.3(b), las fuerzas ejercdas sobre la esfera central de la artculacón están drgdas en dreccón a O sempre y cuando el contacto con el soporte externo sea lso. De esta forma, el momento con respecto a O es nulo: M O = 0