Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero
El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd de terns: (x, y, z) (x', y', z') x x' y y' z z'
Operciones en R Sum en R (sum de terns) (x, y, z ) + (x', y', z') (x + x', y + y', z + z') Es un operción intern en R. Con est operción el conjunto verific ls propieddes: socitiv, conmuttiv, tiene elemento neutro y opuesto Producto de un número rel por un tern de R (x, y, z) (x, y, z) Es un operción extern en R, sobre el cuerpo R Cumple ls dos propieddes distributivs, l socitiv y de l unidd EL CONJUNTO DE LAS TERNAS DE R SOBRE EL CUERPO R CON ESTAS OPERACIONES Y PROPIEDADES TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL (R, +, R)
Vectores fijos en el espcio Un vector fijo es un segmento de rect orientdo. El primero de sus puntos recibe el nombre de origen, y el segundo, extremo. Culquier punto A del espcio se consider como un vector fijo en el que coinciden origen y extremo. Todo vector fijo está crcterizdo por su: Módulo: es l longitud del segmento. Dirección: determind por l rect que contiene l segmento y tods sus prlels. Sentido: pr cd dirección hy dos sentidos posibles. El que corresponde l definido por el recorrido desde A hst B y el definido por el recorrido desde B hst A. AB extremo B B origen origen A A BA extremo Estos dos vectores tienen igul módulo, igul dirección y sentido contrrio.
Vector libre Se dice que dos vectores fijos no nulos son equipolentes si y sólo si tienen igul módulo, igul dirección e igul sentido. Est relción es de equivlenci y clsific l conjunto de los vectores libres en clses de equivlenci llmds VECTOR LIBRE. Todos los vectores nulos son equipolentes entre sí. Ddo un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que formn un vector libre (todos tienen el mismo módulo, l mism dirección y el mismo sentido). El conjunto de los vectores libres del espcio se denomin V. C B El vector fijo AB es un representnte del D A vector libre [ AB] u El vector fijo CD es un representnte del vector libre [ CD] v
Sum de vectores libres En el conjunto V de todos los vectores libres se define l sum de dos vectores de l siguiente mner: Se eligen dos representntes de mner que el origen del º coincid con el extremo del º y el vector sum se obtiene uniendo el origen del º con el extremo del º b P Q + b b R
L sum de dos vectores: no depende del punto inicil b P Q + b b R P' Q' + b b R' Los vectores PR y el P R son representntes del mismo vector libre con lo que tienen el mismo módulo, l mism dirección y el mismo sentido
Producto de un número por un vector libre En el conjunto V de todos los vectores libres se define el producto de un número k 0 por un vector libre de l siguiente mner: Es un vector con l mism dirección, su módulo qued multiplicdo por k. El sentido depende del signo de k k > 0: el módulo del vector qued multiplicdo por k u k > 0 k. u El sentido permnece k < 0: el módulo del vector qued multiplicdo por k El sentido cmbi k < 0 k. u Si k 0 ó u 0 entonces k. u 0
Espcio vectoril. Definición Decimos que el conjunto V ( no vcío) es un espcio vectoril sobre el cuerpo K si tiene definids dos operciones: Sum es un operción intern que verific ls propieddes, socitiv, elemento neutro, elemento simétrico y conmuttiv, es decir, es un grupo conmuttivo Producto por un esclr es un operción extern en l que se multiplic un esclr del cuerpo K por un vector de V y que verific: ) v v ) λ (μ u) (λ μ) u ) (λ + μ) u λ u + μ u 4) λ ( u + v) λ u + λ v Entonces (V, +, K) es un espcio vectoril
Definición y Crcterizción de subespcios U n subconjunto S de V se dice que es subespcio vectoril si es no vcío y es espcio vectoril con ls operciones inducids de V Crcterizción de los subespcios Un subconjunto S de V es subespcio vectoril si y sólo si se cumplen ls siguientes condiciones: Un subconjunto S de V es subespcio vectoril si y sólo si se cumplen l siguiente condición: ) u + v S u, v S b) λ u S λ R u S λ u + μ v S u, v S λ, μ R
Combinción linel de vectores Un vector v de V es combinción linel de los vectores u, V si puede expresrse sí: u y v u + u + u siendo,, números reles u de
Dependenci e independenci de vectores Un conjunto de vectores u de V, u,..,u n son linelmente dependientes si l menos uno de ellos se puede expresr como combinción linel de los demás. u i u + + i- u i- + i+ u i+ +.. n u n Un conjunto de vectores dependientes si existen de mner : que: u, u,., u n,,., n u + u + + n u n 0 de V son linelmente no todos nulos Si un conjunto de vectores no es linelmente dependiente, se dice que es independiente
Bses de V El conjunto B { u, u, u } de V form un bse y que: Son linelmente independientes. Culquier vector de V se puede expresr como combinción linel de ellos. Además:tres vectores u, u, u no nulos y no coplnrios formn un bse de V.
Coordends de un vector (x, y, z) son ls coordends del vector v respecto de l bse B { u, u, u } de V si se verific que: v x u + y u +z u Ls coordends de un vector respecto un bse son únics. A cd vector v se le hce corresponder un únic tern (x, y, z) y vicevers.
Ls coordends de un vector respecto un bse son únics Dd un bse del espcio vectoril y un vector culquier D./ Supongmos que el vector tiene dos coordends distints, b u b u b u u u u b u b u b u v u u u v + + + + + + + + 0 ) ( ) ( ) ( 0 + + + + u b u b u b b u b u b u u u u Como los vectores son un bse, en prticulr son independientes y por ello, de tod combinción linel iguld cero se deduce que os coeficientes son cero y por tnto ls coordends son únics b b b luego 0 b 0 b 0 b v { },, u u u B v
Producto esclr de dos vectores libres El producto esclr de dos vectores es un nº obtenido multiplicndo el módulo del primer vector por el módulo del segundo vector por el coseno del ángulo que formn u. v v u. v cos 0 si u ó v son nulos ( u, v ) si u o v no son nulos Interpretción geométric el módulo del producto es el producto del módulo de uno de ellos por l proyección del otro sobre él u' u, v v u, v v' u u u. v u. v' u. v v. u'
Propieddes del producto esclr El producto esclr cumple ls siguientes propieddes: x. x 0 Conmuttiv: x. y y. x Homogéne: k (x. y ) (kx ). y x. (ky) Distributiv respecto l sum:x.(y + z )x. y + x. z El producto esclr de dos vectores puede ser cero sin que ninguno de los vectores se el vector nulo. Si uno de los fctores (o los dos) es el vector nulo el producto esclr d cero.
Alguns bses especiles Un bse B { u, u, u } de V puede ser: u Bse normd Bse ortogonl Bse ortonorml u u u u u u u u u u u u u u uu uu uu 0 uu uu uu 0
Se B Producto esclr: expresión nlític { u, u, u} un bse de V. Considermos los vectores: u xu+ yu + zu v x u + y u + z u Si multiplicmos los vectores el producto esclr se obtiene plicndo l propiedd distributiv: uv xx uu + yx uu + zx uu + xy uu + yy uu + zy uu + xz uu + yz uu + zz uu xx uu + yy uu + zz uu + ( yx + xy ) uu + ( zx + xz ) uu + ( yz + zy ) uu Normd Ortogonl Ortonorml Est expresión se simplific en el cso de que l bse se de ciertos tipos: uv xx + yy + zz + ( yx + xy ) uu + ( zx + xz ) uu + ( yz + zy ) uu uv xx u + yy u + zz u uv xx + yy + zz
Módulo de un vector Se define como l ríz cudrd del producto de un vector por sí mismo Expresión vectoril Como u. u u. u cos ( u, u ) u entonces u + u. u Expresión nlític Se B { i, j, k } un bse ortonorml de V y se u x i + y j +z k. Como u. u x + y + z nos qued: u + x + y + z
Ángulo de dos vectores Se B { i, j, k } un bse ortonorml de V y sen u x i + y j + z k y v x' i + y' j + z' k. v Obtenemos el coseno de los vectores despejándolo de l definición inicil. u, v cos ( u, v ) u. v u. v xx' + yy' + zz' x + y + z x' + y' +z' u
Producto vectoril de dos vectores libres Ddos u y v se define el producto vectoril mner: u x v de l siguiente Si uno de ellos es nulo o los vectores son proporcionles u x v 0 En cso contrrio u x v se define como un vector que tiene: Módulo: u. v sen ( u, v ) Dirección: Perpendiculr los vectores u y v Sentido: Avnce del sccorchos que gir de u v A B D C Interpretción geométric El módulo del producto vectoril represent el áre ABCD u x v Áre del prlelogrmo ABCD
Propieddes del producto vectoril. Anticonmuttiv: u v ( v u) [El producto vectoril, por lo tnto no es conmuttivo]. Homogéne: ( ku) v k( u v) u ( kv). Distributivdel producto vectoril respecto de l sum de vectores: u ( v+ w) ( u v) + ( u w)
Expresión nlític del producto vectoril Se B { i, j, k } un bse ortonorml de V y sen los vectores u (x, y, z) y v (x', y', z'). Entonces se cumple que: u x v (x i + y j +z k ) x (x i +y j +z k ) x x ( i x i )+x y ( i x j ) + x z ( i x k ) + y x ( j x i ) + y y ( j x j ) + y z ( j x k ) + z x ( k x i ) + z y ( k x j ) + z z ( k x k ) como el producto de dos vectores igules es nulo (y z' y' z) i + (z x' z' x) j + (x y' x' y) k y z i + y' z' z z' x j x' + x y y z x z x k,, x' y' y' z' x' z' x' i j k x y z u x v x' y' z' y y'
Producto mixto de tres vectores libres. Expresión nlític Ddos u, v, w se define su producto mixto como el producto esclr del primer vector por el vectoril de los otros dos: Expresión nlític [ u, v, w ] u. ( v x w ) [ u, v, w] (x i + y j + z k ). (x i + y j + z k ). ( y' z' y" z" i x' z' x" z" i j k x' y' z' x" y" z" x' y' j + x" y" k ) y' z' y" z" x x' z' x" z" x y z x' y' y + x" y" z x' y' z' x" y" z" det ( u, v, w)
Interpretción geométric del producto mixto El módulo del producto mixto represent el volumen del prlelepípedo de rists los tres vectores [ u, v, w ] u. ( v x w ) u. v x w. cos ( u, v x w ) OH. v x w h. SB S B Volumen del prlelepípedo de rists OA, OC y OB S B superficie de l bse