el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o de ls incógnits) que hcen que l iguldd se ciert. Resolver un ecución es hllr su solución, o soluciones, o llegr l conclusión de que no tiene. Ls ecuciones que tienen solución son comptiles. Ls ecuciones que no tienen solución son incomptiles. Dos ecuciones son equivlentes si tienen ls misms soluciones. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Un ecución de primer grdo es un epresión que se puede reducir l form =. Al resolverls podemos encontrr tres clses diferentes: - Ecución determind: cundo 0. Tiene un únic solución: =-/. - Ecución indetermind: cundo = 0 = 0. L ecución tiene infinits soluciones (es válido culquier vlor que demos ). - Ecución imposile: cundo = 0 0. L ecución no se cumple pr ningún vlor de, no tiene solución. Dos ecuciones son equivlentes si tienen l mism solución (o ms crecen de solución). Resolución de ecuciones: Ls trnsformciones que podemos relizr en un ecución, mnteniendo l equivlenci, son: - Sumr o restr l mism epresión en los dos miemros de l iguldd (lo que está sumndo en un miemro ps l otro restndo). - Multiplicr o dividir los dos miemros por el mismo número distinto de cero (lo que está multiplicndo todo lo demás de un miemro, ps dividiendo l otro, vicevers). Regl del fctor: si el producto de dos fctores es cero, l menos uno de ellos dee ser cero. Psos pr resolver un ecución de primer grdo. º. Quitr préntesis, si los h. º. Quitr denomindores, si los h. Pr ello, se multiplicn los dos miemros de l ecución por un múltiplo común de los denomindores, preferilemente por el mínimo común múltiplo. º. Psr los términos en l primer miemro los números l otro miemro. º. Simplificr en cd miemro. º. Despejr l. 6º. Sustituir l solución en cd miemro de l ecución inicil, pr compror que coinciden los resultdos. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: + +c=0. (El primer sumndo del primer miemro no puede ser nunc nulo, pues entonces no se trtrí de un ecución de segundo grdo). Pr resolver un ecución de segundo grdo, cu epresión generl es, como hemos visto: + +c=0, h que despejr l. Esto se consigue medinte un lrgo proceso cu epresión finl es l siguiente:
el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. c Posiles forms de l ecución de segundo grdo. Tods ls ecuciones de segundo grdo se pueden resolver con l ecución generl de l solución que hemos visto. Pero h lguns ecuciones de segundo grdo que, por su form, se pueden resolver ms fácilmente por otros métodos. Veremos lgunos csos continución. Ecuciones sin término en : son de l form +c=0. En ests ecuciones se despej, se otienen los vlores de, si los h. Ejemplos: ) -7=0 ) 7-0=0 c) +0=0 Ecuciones que son producto de vrios fctores: son de l form: k (-p) (-q)=0. Teniendo en cuent que pr que el producto de vrios fctores se cero es necesrio que lguno de los fctores vlg cero, en ests ecuciones h que igulr todos los fctores cero pr encontrr ls soluciones. Ejemplos: ) (-)(+)=0 ) 7(+)(-)=0 Ecuciones sin término independiente: son de l form: +=0. Ests ecuciones se pueden fctorizr scndo fctor común. Un solución es =0 l otr solución se otiene resolviendo l ecución +=0. Ejemplos: ) 7 -=0 ) +0=0 Número de soluciones. El rdicndo, es decir, l epresión que prece dentro de l ríz, -c, se llm discriminnte de l ecución. El número de soluciones depende del signo de ést epresión: - Si el discriminnte es positivo, entonces l ecución tiene dos soluciones reles distints. - Si el discriminnte es cero, entonces l ecución tiene un solución únic, que se llm solución rel dole. - Si el discriminnte es negtivo, entonces l ecución no tiene solución rel. Interpretción gráfic de ls soluciones de l ecución de segundo grdo. L interpretción gráfic de ls ecuciones de segundo grdo de ls soluciones de l ecución de segundo grdo se reliz prtir de l función cudrátic, c, que se represent medinte un práol cuo eje es prlelo l eje Y. El vértice de un práol se clcul encontrndo su coordend medinte l epresión: su coordend sustituendo el vlor otenido en l ecución de l práol, es decir: V, f v,
el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. Orientción de l práol: Si > 0, l práol present un mínimo en su vértice ls rms de l práol vn hci rri,, si < 0, l práol present un máimo en su vértice ls rms de l práol vn hci jo. Los puntos de corte de l práol con los ejes de coordends se clculn de l siguiente form: Con el eje X: se hce =0 se despej l, pudiendo her cero, uno o dos puntos de corte. Con el eje Y: l hcer =0 se otiene =c el punto es (0,c). Pr clculr los puntos de corte con el eje X resolvemos l ecución c 0, que tendrá dos, c un o ningun solución, dependiendo del vlor de discriminnte (rdicndo). Dos soluciones implic dos puntos de corte, un solución quiere decir que l práol es tngente l eje OX ningun solución implic que l práol no toc l eje: está enter por encim o por dejo del eje OX. RELACIONES DE CARDANO Ls soluciones - Sum: - Producto: de l ecución de segundo grdo: c 0 S c P Ejemplo: L ecución de º grdo cus soluciones son: Sz P 0 ECUACIONES BICUADRADAS verificn ls relciones: 0 6 0 es: Ls ecuciones icudrds son ecuciones polinómics de curto grdo que crecen de términos de grdo impr, es decir, de l form: + +c=0 con > 0 Ests ecuciones se resuelven hciendo el cmio: = z, oteniéndose l ecución de º grdo: z + z+c=0 Un vez clculdos los vlores de z, se clculn los vlores de etrendo l ríz cudrd. Según el signo de ls soluciones de z, se pueden otener hst cutro soluciones. Ejemplo: Clcul ls soluciones de l ecución: - +6=0
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Álger I: Ecuciones. pág. z z 6 0 z 9, z 9 ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS Ls ecuciones de tercer grdo en ls que flt el término independiente, c 0, ls de curto grdo en ls que fltn los dos últimos términos, c 0, se pueden resolver tmién reduciéndols ecuciones de segundo grdo. Pr ello se oper del siguiente modo: 0 c 0 c 0 c 0 L ecución tiene como soluciones =0 ls que se otengn l resolver l ecución de segundo grdo resultnte. Ejemplo: Resuelve l ecución: + 6 = 0 0 6 6 0 6 0 6 Resolución de ecuciones por fctorizción L epresión (-)(+)(-)=0 es un ecución de tercer grdo que podemos resolver plicndo un técnic que conocemos: igulndo cd fctor cero: 0 0 0 0 En generl, si en un ecución de culquier grdo, escrit en l form P()=0, el polinomio P() se puede descomponer en fctores de primer segundo grdo, entonces st con igulr cero cd uno de los fctores resolver ls ecuciones resultntes. Pr ello, ls ecuciones de tercer grdo o grdo superior deen tener ríces enters, que siempre se encuentrn entre los divisores del término independiente. (Ls podemos encontrr plicndo el teorem del resto o el teorem del fctor). Si se conoce un solución r de l ecución polinómic P()=0, entonces se puede fctorizr sí: P()=(-r) q()=0 Ls posiles soluciones enters de un ecución polinómic son divisores del término independiente, si es que lo tiene. Ejemplo: Resuelve ls ecuciones: ) 0 ) + --=0 Soluciones: ) =,-,- ) =, 7, 7
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Álger I: Ecuciones. pág. ECUACIONES RADICALES Ls ecuciones rdicles son quells en ls que l incógnit prece en lguno de sus términos, jo el signo rdicl. Resolveremos ecuciones con rdicles cudráticos. Pr resolverls, st seguir los siguientes psos: º. Se ísl un rdicl en uno de los miemros, psndo los restntes términos, rdicles no rdicles, l otro miemro. º. Se elevn l cudrdo los dos términos. (Si qued todví lgún rdicl, se repiten los dos psos nteriores). º. Se resuelve l ecución otenid. º. Se comprue cuáles de ls soluciones otenids son válids, sustituéndols en l ecución dd. Al elevr l cudrdo los dos miemros de l ecución precen ls soluciones de l ecución dd más ls de otr ecución; por eso es fundmentl compror ls soluciones, descrtndo ls que no sen válids. Ejemplos: Resuelve ls ecuciones: ) ( no 0 ( si vle) vle) ) 0 ( si vle) ECUACIONES EXPONENCIALES Un ecución eponencil es quell en l que l incógnit está en el eponente. Pr resolver ecuciones eponenciles, demás del cálculo mentl, se utilizn distintos métodos según el tipo de ecución. Cundo los dos miemros de l ecución se puede epresr como potencis de l mism se, h que tener en cuent ls propieddes de ls potencis: 0 =, -m = m (m > 0) º. El producto de dos potencis de l mism se es otr potenci con l mism se que tiene como eponente l sum de los eponentes: m n = m+n. º. El cociente de dos potencis de l mism se es otr potenci con l mism se que tiene como eponente l rest de los eponentes: m : n = m-n. º. L potenci de un potenci es otr potenci con l mism se que tiene como eponente el producto de los eponentes: ( m ) n = m n. º. El producto de dos potencis con el mismo eponente es otr potenci que tiene por se el producto de ls ses por eponente el mismo: m m =( ) m. º. El cociente de dos potencis con el mismo eponente es otr potenci que tiene por se el cociente de ls ses por eponente el mismo: m : m =(:) m. 6º. L potenci de eponente negtivo de un cociente es igul l mism potenci con eponente positivo de l invers del cociente: (/) -n =(/) n. Ejemplo: 8. 7 Descomponiendo 8 en fctores primos, qued:. Como son dos potencis de igul se, hn de ser igules los eponentes, por tnto: = 7, que tiene por solución =.
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Álger I: Ecuciones. pág. 6 - Todos los términos con incógnit se pueden epresr en función de lgún número elevdo dich incógnit. Ejemplo: 0 Como., qued 0 denomindores, se tiene: 0 0. Llmndo ; usndo ls propieddes de ls potencis quitndo, será ecución qued: 0 0, que tiene por soluciones 8 0. Como 0 ien. De puede ser negtiv. 8 result =. De. Sustituendo en l, qued 8 o 0 no se otiene solución, que un potenci no SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Un sistem de ecuciones es eponencil si l menos un de sus ecuciones es eponencil. Ejemplo: Un o más ecuciones reduciles un iguldd de potencis de l mism se: 6, Ejemplo: Un o más ecuciones resolules por cmio de vrile: 6 6 807 9 6 807 cmio : 6 9 6 z z t 807 z, 6 t z t 9 6 6 6 6 LOGARITMOS El ritmo en se ( > 0 ) de un número N (positivo) es el eponente que h que elevr l se pr otener dicho número. Log N = = N En culquier se se tiene: Log = 0 0 = Log = = Los ritmos en se 0 se llmn ritmos decimles se indicn omitiendo l se, sí: N. El ritmo neperino es el ritmo en se e (e=,7 ) se escrie Ln. Ejemplo: Hll los ritmos siguientes: 8 8 / 6 6 En qué se el ritmo de 00 es?
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Álger I: Ecuciones. pág. 7 00 00 0 0 Un ecución rítmic es quell en l que prece el ritmo de l incógnit, o de un epresión que l conteng. Propieddes de los ritmos: I. M N M N II. M M N N n M n III. M IV. M M ECUACIONES LOGARÍTMICAS Pr resolver un ecución rítmic se deen plicr ls propieddes de los ritmos hst conseguir epresrl en l form: A B, siendo A B epresiones lgerics. Por trtrse de ritmos igules con igul se se deduce que: A = B. no se puede clculr, sólo es válid l solución Ejemplo: - = Como. Así que es imprescindile compror ls soluciones, porque unque stisfgn l ecución A = B, pueden no stisfcer l ecución inicil, deido que lgún ritmo crezc de sentido. Alguns ecuciones eponenciles sólo se pueden resolver tomndo ritmos, puesto que no se reducen potencis de igul se. Ejemplo:. Aplicndo ritmos: otenemos '. despejndo, SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Un sistem de ecuciones es rítmico si, por lo menos, un de sus ecuciones es rítmic. Ejemplo: Un de ls ecuciones es rítmic: 0, 0
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Álger I: Ecuciones. pág. 8 Ejemplo: Un de ls ecuciones es rítmic: 7, Ejemplo: Ls dos ecuciones son rítmics: reducción: 7 7 restn do: 0 00; Ejemplo: Ls dos ecuciones son rítmics: convertir en epresiones lgerics: 0 7 7 0 00; 0 EJERCICIOS 0.- Resuelve: ) ) ) 6 ( ) ( ) 0 7) 9) ) 6 9 ) ) 6) 8) 0) ( 8) ( ) / ( 8) ( ) / 8 6 Solución: ) =0, =; =, =0 ) =0, = ) =00; =0 ) =0, ) =7, = 6) =/, =8/ 7) 0; 8) =, = 9) =000, =0 0) =-/; =/7 ) =/, =/6
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Álger I: Ecuciones. pág. 9.- Resuelve los siguientes sistems: ) ) e e e ) 7) 9) ) ) ) 8 0 0 / 0 0 ) e e / e ) / 8 6) 0 8) 096 0) ) / 0 ) e e / e 6) Solución: ) =0/, =/ ) =7, = ) =7; = ) =6, =- ) =, = 6) =, = 7) sin sol. enter 8) =, = 9) =00, =0 0) 7 0 ; 0 ) =, =0 no vle; =-, =6 si vle ) 0 ; 0 ) =00, =0 ) =, = ) =7, = 6) =, = 7 ECUACIONES RACIONALES Un ecución con denomindores lgericos se llm ecución rcionl. Pr resolverl h que trnsformrl en un ecución enter (sin denomindores), multiplicndo los dos miemros de l ecución por el m.c.m. de los denomindores. Como est operción no conduce un ecución equivlente, tenemos que compror si se hn producido soluciones etrñs, es decir, que ls soluciones que otenemos no sen ríz de ningún denomindor. Ejemplo: Resuelve ls ecución: El m.c.m. de los denomindores es. Entonces: 6 0 Ams soluciones son válids..