TEMA 3. VARIABLE ALEATORIA

TEMA 3. VARIABLE ALEATORIA 3.. Introduccón. 3... Dstrbucón de Probabldad de una varable aleatora 3... Funcón de Dstrbucón de una varable aleatora 3.. Varable aleatora dscreta 3... Funcón masa de probabldad de una varable aleatora dscreta 3... Funcón de dstrbucón de una varable aleatora dscreta 3.3. Varable Aleatora Contnua 3.3.. Funcón de densdad de una varable aleatora contnua 3.3.. Funcón de dstrbucón de una varable aleatora contnua 3.4. Característcas de una varable aleatora. Esperanza y Varanza 3.4.. Esperanza Matemátca de una varable aleatora dscreta 3.4.. Esperanza Matemátca de una varable aleatora contnua 3.4.3. Propedades de la Esperanza 3.4.4. Esperanza Matemátca de una funcón de varable aleatora 3.4.5. Varanza de una varable aleatora. Propedades y Ejemplos 3.5. Independenca 87

3.. Introduccón Necesdad de asocar a un suceso un número real Defncón. Una varable aleatora (v.a.) es una funcón que asoca a cada resultado del espaco muestral un número real Ejemplo: Se realza un expermento en un laboratoro cuyo resultado puede ser postvo o negatvo. Construr el espaco muestral y dar una v.a. asocada al expermento. X ( Postvo ) = E= {Postvo, Negatvo} X ( Negatvo ) = 0 X es una varable aleatora Tpología: V.a. dscreta y v.a. contnua Dscreta: Toma valores en un conjunto numerable Contnua: Toma valores en un conjunto nfnto no numerable 88

Sucesos y ejemplos A un suceso expermental se le asoca un número real a través de la varable aleatora Ejemplo. Expermento en un laboratoro A : el test da postvo A = {X = } B : el test da negatvo B = {X = 0} A» B : dar postvo o negatvo A» B :{X = 0,X= } = E Ejemplo. X : Bacteras de tpo A en una ppeta A : número de bacteras entre 000 y 500 A = {000 X 500} B : número de bacteras menor o gual a 00 B = {X 00} 89

3... Dstrbucón de Probabldad de una varable aleatora La dstrbucón de probabldad de una v.a. es una funcón que asgna a cada valor posble de dcha v.a. una probabldad Ejemplo. Expermento en un laboratoro P{X = } = P {postvo} Ejemplo. X : Bacteras de tpo A en una ppeta P {000 X 500} = P(A) 90

3... Funcón de Dstrbucón de una varable aleatora Defncón. Funcón de Dstrbucón de una varable aleatora X F (x) = P {X x}; x Es la probabldad de que X sea menor o gual a x Propedades de la Funcón de Dstrbucón F es no decrecente F contnua a la derecha F( ) = 0 ; F(+ ) = 9

Ejemplo. Un expermento en un laboratoro P {X = 0} = P {X = } = =P {Negatvo} = P {Postvo} = / / 0 x x x 0 ; x < 0 F( x) = / ; 0 x< ; x 9

3.. Varable aleatora dscreta Defncón X es una v.a. dscreta s toma valores en un conjunto numerable {x, x, x 3,..., x,... } 3... Funcón masa de probabldad de una varable aleatora dscreta Sea X una v.a. dscreta que toma los valores x, x, x 3,..., x,... La funcón masa de probabldad se defne como P{ X = x} = p 0 ; =,,... p = = x x x x 3 ª P[X = x ] = p p p p 3 ª 93

3... Funcón de dstrbucón de una varable aleatora dscreta Sea X una v.a. dscreta que toma los valores X = x, x, x 3,...,x, La funcón de dstrbucón, F(x), es la probabldad de que X tome valores menores o guales a x F( x) = P{ X x} = P{ X = x} = p x x x x x P[X = x ] = p F(x ) = F F = p x x x 3 ª p p p 3 ª F = p + p F 3 = p + p + p 3 ª 94

Ejemplo. Se desea realzar un estudo sobre el número de crías en una camada. Sea la v.a. X : Número de crías en una camada X toma los valores x = 0,,, 3, con probabldades P{X=0}= 0.; P{X=} = 0.3; P{X=} = 0.3; P{X=3} = 0. F(.5) = P {X.5} =P{X = 0} + P { X =} 0. 8 0. 5 0. 0 + P {X = } = 0.8 Cuál es la probabldad de que una camada tenga crías? P{X = }= P{X } P{X } = F() F() = 0.3 Cuál es la probabldad de que el número de crías en una camada sea mayor o gual a.? P{X.}= P{X <.} = P{X } = F() =0. 3 0 0. F(x) = 0.5 0.8 Cuál es el número de crías que dvde a las camadas en dos partes guales? F(x) = 0.5 x = ; ; ; ; ; x 0 < x 0 x < < x < 3 x 3 95

Nota: Relacón de la f.m.p. y la F. dstrbucón cuando la v.a. toma valores enteros P[ X = x ] = P [ X x ] P[ X x ] =F (x) F ( x ) F(x) F(x ) x x x P [ x X x j ] = P [ X x j ] P [ X < x ] = = P [ X x j ] P [ X x ] = F(x j ) F(x ) F(x j ) F(x ) x x x j Ejemplos. P [ X 8 ] = F ( 8 ) F ( ) P [ X < 8 ] = P [ X 7 ] = F ( 7 ) F ( ) P [ < X 8 ] = P [ 3 X 8 ] = F ( 8 ) F ( ) 96

3.3. Varable Aleatora Contnua Defncón X es una v.a. contnua s toma valores en un conjunto no numerable 3.3.. Funcón de densdad de una varable aleatora contnua S X es una v.a. contnua X, s exste una funcón f, llamada funcón de densdad tal que b a ( ) ( ) ;, P a X b = f x dx a b R La funcón de densdad verfca f ( x) 0 ; x f( x) dx= 97

Ejemplo: Se desea estudar el nvel de colesterol en certo tpo de pollos. La funcón de densdad de la v.a. asocada es f(x) = kx 0 x 0 x < 0, x > Calcular el valor de k Solucón.- Para que f sea una funcón de densdad se debe verfcar que: f ( x) 0 ; x f( x) dx= Como f(x) 0 k 0 x 4 = kxdx= k = k = k= 0 0 k = / 98

3.3.. Funcón de dstrbucón de una varable aleatora contnua Sea X una v.a. contnua con funcón de densdad f(x), entonces su funcón de dstrbucón es x F( x) = P( X x) = f( u) du f ( x ) NOTA x S X es una v.a. contnua P ( X = a ) = 0 ; para cualquer número real a P ( a X b )= P ( a < X b )= P ( a X < b )= = P ( a < X < b )= b b a = f ( udu ) = fudu ( ) fudu ( ) = Fb Fa a ( ) ( ) a b 99

Ejemplo. Se desea estudar el nvel de colesterol en certo tpo de pollos. La funcón de densdad de la v.a. asocada es Solucón f(x) = x 0 x 0 x < 0, x >. Obtener la Funcón de Dstrbucón, F(x). Obtener: P( X.) ; P ( X 0.8) ; P ( < X <.5 ). x < 0 : F(x) = 0 0 x : F(x) = P [X x] = x > : ( ) x x u x x = udu = = = 4 0 0 u F x = udu = = = = 4 0 0 00

. Obtener : P( X.) ; P ( X 0.8 ) ; P ( < X <.5 ) F(x) = 0 s x < 0 x / 4 s 0 x s x > P( X.) = F (. ) =. / 4 = 0.36 P( X 0.8 ) = P ( X < 0.8 ) = F ( 0.8 ) = = 0.8 / 4 = 0.84 P ( < X <.5 ) = F (.5 ) F ( ) = =.5 / 4 / 4 = 0.35 0

3.4. Característcas de una varable aleatora. Esperanza y Varanza Necesdad de defnr meddas que sntetcen el comportamento de la varable aleatora Consderaremos como medda de poscón la Esperanza y de dspersón la Varanza 3.4.. Esperanza Matemátca de una varable aleatora dscreta Sea X una varable aleatora dscreta que toma los valores x, x,... con f.m.p. P ( X = x ) para =,,... E[ X] = x P[ X = x ] Ejemplo. X : Número de crías en una camada X toma los valores x = 0,,, 3, con probabldades P ( X = 0 ) = 0. ; P ( X = ) = 0.3 ; P ( X = ) = 0.3 ; P ( X = 3 ) = 0. [ ] = 0 0+ 03+ 03+ 3 0= 5 E X..... 0

3.4.. Esperanza Matemátca de una varable aleatora contnua Sea X una varable aleatora contnua con funcón de densdad f( x ) E[ X] = x f( x) dx 3.4.3. Propedades de la Esperanza E [ax ] = ae[ X ], a E [ X + Y ] = E [ X ] + E [ Y ] E [ a X + b Y ] = a E [ X ] + b E [ Y ] ; a, b 03

Ejemplo. La altura de un certo árbol sgue una v.a. con funcón de densdad, f(x) = x /, con < x < 5. Calcular la Esperanza de X Solucón. 5 x 3 5 3 E[ X] = x f( x) dx dx x = = = 36 9 04

3.4.4. Esperanza Matemátca de una funcón de varable aleatora Sea X una varable aleatora dscreta que toma los valores x = x, x,... Sea Y = h ( X ) una varable aleatora dscreta. Entonces Ejemplo. E[ Y] = E[ h( X)] = h( x ) P[ X = x ] = Se ha realzado un test a una sere de ratones, pudendo resultar éste negatvo, nulo o postvo. La v.a. dscreta asocada tene la sguente f.m.p. P [ X = ] = P [ X = 0 ] = P [ X = ] = /3, asocando el valor s el test da negatvo, 0 s es nulo ó s es postvo. Calcular la esperanza de Y = X. Solucón. EY [ ] = hx ( ) PX [ = x] = = ( ) 0 + + = 3 3 3 3 x P [ X = x ] = 05

Sea X una v.a. contnua con funcón de densdad f ( x ) Sea Y = h(x) una v.a. contnua. Entonces + E[ Y] = E[ h( X)] = h( x) f( x) dx Ejemplo. La longtud de las alas de un certo tpo de ave sgue una v.a. con funcón de densdad, f ( x ) = x ; 0 < x < Calcular la esperanza de Y Solucón. = X E[ Y ] = x f ( x) dx = x x dx = x x dx = 3 5 5 4 4 = x dx = x = x = 5 5 5 0 0 0 06

3.4.5. Varanza de una varable aleatora. Propedades y Ejemplos Se defne la varanza de una v.a. como ( ) Var[ X ] = E X E[ X ] = E X E[ X ] 0 Propedades de la varanza Var[X] = 0 X es constante a constante Var[aX] = a Var[X] a, b constantes Var[aX + b] = a Var [ X ] 07

Ejemplo. Se desea realzar un estudo sobre el número de crías en una camada. X: Número de crías en una camada X toma los valores x = 0,,, 3 con probabldades P{X = 0} = 0. ; P{X = } = 0.3 ; P{X = } = 0.3 ; P{X = 3} = 0. Calcular la varanza de dcha varable aleatora. Solucón E X = 0 0. + 0.3 + 0.3 + 3 0. = 3.3 La esperanzade X ya fue calculada : E[X] =.5 Por lo tanto: [ ] Var[ X ] = E X E X = 3.3.5 =.05 08

Ejemplo. La altura de un certo árbol sgue una v.a. con funcón de densdad, f(x) = x /, con < x < 5 Calcular la Varanza de X Solucón. 5 3 5 E X = x f( x) dx= x dx = x 4 = 3 48 La esperanzade X ya fue calculada y es: E[X] = 3/9. Por lo tanto: Var[ X ] = E X E[ X ] = 3 =.358 9 3 09

3.5. Independenca Dos varables aleatoras X, Y son ndependentes Caso dscreto: P[X = x, Y = y] = P[X = x] P[Y = y], para todo x, y Caso contnuo: f(x, y) = f X (x) f Y (y ), para todo x, y Sendo f X y f Y las funcones de densdad de X e Y Intutvamente X e Y son ndependentes cuando el comportamento de la prmera no nfluye en el de la segunda y recíprocamente 0

Ejemplo. Sea X el número de machos por camada de una determnada espece e Y el número de hembras. Se han observado 399 camadas y el número de hembras y machos vene reflejado en la tabla adjunta X \ Y 0 3 4 Margnal Y 0 3 Margna X 6 0 9 0 5 30 50 95 6 3 8 30 57 8 4 4 40 76 6 8 48 80 5 4 6 0 399 Estudar s X e Y son ndependentes X e Y son ndependentes s se verfca que: P[X = x, Y = y] = P[X = x] P[Y = y] 4 P[ X = 0] = 399 P[X = 0, Y = 0] = / 399 9 PY= [ 0] = 399 4 9 PX [ = 0] PY [ = 0] = = = PX [ = 0, Y= 0] 399 399 399 Análogamente se estuda para el resto de los valores. Se prueba que X e Y son ndependentes