PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES

PROPOSICIONES, RELACIONES Y OPERACIONES 1. Sea p 1, p,, p proposicioes primitivas. Sea P ua proposició compuesta que cotiee al meos ua ocurrecia de cada p i, para 1 i ( y o cotiee otra proposició primitiva ). Cuátas filas se ecesita para costruir la tabla de verdad de P? Justifique claramete su respuesta.. Diga cual es la diferecia etre ua implicació lógica y ua equivalecia lógica. 3. Explique la diferecia etre ua tautología, ua cotigecia y ua falacia, hablado de proposicioes compuestas. 4. Cuádo se dice que ua implicació de la forma p q es cierta por vacuidad y cuado que es trivialmete verdadera? 5. Cuádo se dice que dos proposicioes so iguales y cuádo que so lógicamete equivaletes? 6. Cosidere las siguietes proposicioes compuestas : P : p ( q r ) Q: r ( p q ) Utilice tablas de verdad para explicar CLARAMENTE cuales de las siguietes opcioes so correctas: A) P Q, B) Q P, C) Q P D) Nigua de las tres ateriores. 7. E u saló de clases de la Uiversidad hay u grupo de 10 estudiates tomado clase, cuatro de ellos so hombres y seis de ellos so mujeres. Las mujeres de la clase siempre dice la verdad, mietras que los varoes siempre miete. Al llegar el director de la Facultad a la clase y pregutar a uo de los estudiates si la clase resulta retate para ellos, éste respode de maera algo extraña, le dice: "La clase resulta retate para osotros ó yo uca mieto, pero o ambas cosas". Determie, si la clase resulta retate o o para ellos. (Explique MUY CLARAMENTE su razoamieto) 8. Idetifica las proposicioes primitivas e las siguietes proposicioes. Bautiza las primitivas co letras como p, q, r y reescribe las proposicioes origiales usado estas letras y los coectivos lógicos. a) Ya sea que Cythia vega a la fiesta y Liliaa o, o que Cythia o vega y Liliaa sea feliz. b) Paul irá al cie solo si pasa ua comedia. c) Es ecesario que Mariaa soría para que su mamá sea feliz. 9. Sea p, q y r las siguietes proposicioes: p: Agustí o cea. q: Agustí o duerme bie c: Al día siguiete Agustí estará desvelado Escribe e forma simbólica: a) Si Agustí o cea o dormirá bie. b) Si Agustí o duerme bie, al día siguiete estará desvelado. c) Agustí o cea. d) Agustí o duerme bie y al día siguiete estará desvelado. 10. Costruye la tabla de verdad de cada ua de las siguietes proposicioes: a) (p q q) p; b) (p q q) p c) p q p; d) p q p; e) (p q) p 11. Supó que p es ua proposició verdadera y que q es ua proposició falsa. Para qué valores de verdad de r y s es verdad que r s (p r) (q s)? 1. Use el álgebra de proposicioes (leyes de la lógica) para verificar que la siguiete proposició es ua tautología (p, q, r so proposicioes primitivas). ( p q ) r r ( p q ) 13. Justifica cada paso e la siguiete simplificació: (p q) q (r q) (p q) q (p q) q q (p q) 1

(q p) (q q) (q p) F q p (q p) 14. Defie ad como pq (p q). Represeta las siguietes proposicioes usado úicamete la coectiva ad: a) p b) p q e) p q 15. Refute la siguiete proposició y exprese su resultado correctamete e español: Si Homero aprueba su curso de Pascal y termia su proyecto de estructura de datos, se graduará fialmete 16. Sea = 9. Determie el valor de después ejecutar todas las siguietes istruccioes ( El valor de después de la ejecució del euciado (1) se covierte e el valor de para el euciado () y así sucesivamete. La operació Div devuelve la parte etera de u cociete, por ejemplo, 6 Div = 3, 7 Div = 3, 8 Div 3 = ): (1) Si > 5 etoces poga := + ; () Si ( ( + = 1 ) o ( 3 = 8 ) ), etoces poga := +1; (3) Si ( ( + 3 = 14 ) y ( Div 6 = 1 ) ), etoces poga := +3; (4) Si ( ( 1 ) y ( -7 = 9 ) ), etoces poga := - 4; (5) Si ( ( Div 5 = ) o ( + 1 = 0 ) ), etoces poga := +1. 17. Determie todas las asigacioes de valores de verdad ( si es que existe ) para las proposicioes primitivas p, q, r, s, que hace que la proposició compuesta sea falsa: [ ( p q ) r ] ( s r ). 18. Obtega la proposició que represeta a la siguiete red lógica. Simplifique su proposició al máximo, mecioado e cada paso la ley o propiedad utilizada. Dibuje la red correspodiete a su proposició fial ( la ya simplificada ). x y z 19. Escriba la proposició dual de cada ua de las siguietes proposicioes ( JUSTIFIQUE cada uo de sus pasos ). a) p ( q r ). b) p q. 0. Escribe ua proposició e las tres variables p, q, r, de modo que su tabla de verdad tega como columa pricipal a la columa marcada co el símbolo? : P q r? V V V F F V V V V F V V F F V V V V F V F V F V V F F V F F F F Escribe, explica como la desarrollaste y verifica que es correcta. 1. Obtega la proposició que represeta a la siguiete red de comutació. Simplifique su proposició al máximo, mecioado e cada paso la ley o propiedad utilizada. Dibuje la red correspodiete a su proposició fial ( la ya simplificada ). p q r T1 p r r q T. Determiar el valor de verdad de cada ua de las siguietes afirmacioes. Coveir e que x es u úmero real y f represeta ua fució real: a) Si f ( x) x, etoces f ( x) x.

b) Si x = 0 ó x = 1, etoces x x. c) Si x 3, etoces 3 x 3. d) ( es irracioal ) ( es real ). e) (e es racioal ) (e es u etero ). 3. Escribir cuatro egacioes diferetes de cada ua de las siguietes afirmacioes: a) P: = 3; b) P : e es irracioal. 4. Escribir ua expresió equivalete a cada ua de las siguietes egacioes, que o ivolucre el símbolo de egació: a) ( x y ). b) ( z 1 x ). 5. Expresar cada ua de las siguietes afirmacioes e la forma si P, etoces Q y PQ, idetificado el atecedete y el cosecuete: a) No existe factorizació de cuado es primo. b) r 1 implica que a lim( a ar... ar ) 1 r. c) U etero es u úmero racioal. d) Ua codició ecesaria para que las líeas l 1 y l sea paralelas es que l1 l. e) 3x 3y puesto que x = y. 6. Traducir las siguietes afirmacioes usado,,,,. a) Si u triágulo es isósceles, etoces debe teer dos lados iguales, y recíprocamete. b) Si p y q so eteros y q 0, etoces p/q es u úmero racioal. c) Si a, etoces a es par o a es impar. d) x 1 = 0 es equivalete a x = ½. 7. E geeral, qué es lo que hace ua relació de equivalecia co los elemetos del cojuto e el que está defiida? 8. Sea S = { todos los estudiates de la Uiversidad Aáhuac Norte }. Defiamos e S la relació: arb (por defiició) b tiee la misma edad años que a, por ejemplo, co u estudiate de 0 años se relacioará todos los estudiates que tega de 18 a años. Demuestre si R es o o ua relació de equivalecia e S; de serlo, dé las clases de equivalecia que R geera. 9. Sea m, úmeros eteros. Defiamos la relació R así: m R m ( mod 5 ). Demuestre que R es ua relació de equivalecia. Obtega todas sus clases de equivalecia. 30. Demuestre si la siguiete relació R e el cojuto S = { 1,, 3, 4 } es o o de equivalecia; de serlo, dé las clases de equivalecia: R = { ( 1,1 ), ( 1, 3 ), (, ), (, 4 ), ( 3, 1 ), ( 3, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ), ( 4, 3 ), ( 4, 4 ) } 31. Sea ua relació de equivalecia e u cojuto S. Demuestre que para t y s e S se cumple que si s t etoces s t. 3. Demuestre que la relació de coteció etre cojutos ( ) es ua relació de implicació y o ua relació de equivalecia. FUNCIONES PROPOSICIONALES E INFERENCIA 33. Cuádo ( bajo qué codicioes ) resulta falso decir que para toda x real, existe ua x atural, tal que se cumple p(x,y)? 34. Sea p(x), q(x) y r(x) las siguietes proposicioes abiertas: p(x) : x - 7x + 10 = 0, q(x) : x - x - 3 = 0, r(x) : x es egativo. a) Demuestre la verdad o falsedad de las siguietes proposicioes, e las que el uiverso está formado por todos los úmeros eteros: 1. x, p(x) r(x). x : q(x) r(x) 3. x : p(x) r(x) b) Determie la respuesta de la parte ( a ) si el uiverso costa de todos los eteros positivos. 3

35. Determiar el cojuto solució y el cojuto de verdad para cada ua de las siguietes afirmacioes, e base al cojuto uiversal idicado: a) x 1 3; U = { 0, 1,, 3 }. b) ( x 1)( x ) 1; U = { -, -1, 0, 1, }. c) x 3x 1 0 ; U =. d) x 3x 1 0 ; U =. e) x 3x 1 0 ; U =. f) x 3x 1 0 ; U =. 36. a) Cuál debe ser el cojuto uiversal para que la proposició abierta x, x = 0 sea verdad? Y cuál debe ser el cojuto uiversal para que x, x + 5x + 6 = 0 sea verdad? b). Si U =, ecuetre el cojuto de verdad de la proposició abierta siguiete: x, x 5x 6 = 0. Nótese que a b sigifica (a + b) (a b). 37. Demuestre que es cierta la implicació x y, p(x, y) y x, p(x, y), pero e cambio, la proposició recíproca y x, p(x, y) x y, p(x, y) es falsa. Explique por qué pasa eso, usado algú ejemplo cocreto. 38. Para, m úmeros eteros, sea p(, m) la proposició abierta divide a m la cual se escribe así: m; por ejemplo 4, 05, 315. La egació se escribe así:3 16 (léase 3 o divide a 16). Formalmete, se dice que divide a m si y sólo si existe algú etero k tal que m = k. E los siguietes icisos determia el valor de verdad de cada proposició (las letras represeta úmeros eteros): a) p(3, 7) b) p(7, 3) e) x p(x, 0) f) x p(x, x) g) y x, p(x, y) h) y x, p(x, y) j) x y z [p(x, y) p(y, z) p(x, z)] 39. Niega y simplifica: c) x [p(x) q(x)] d) x [(p(x) q(x)) r(x)] 40. Cosidere la proposició cuatificada x, y : [ x - y = 10 ]. Determie u uiverso para las x y otro distito para las y, de modo que la proposició dada sea a) falsa, b) verdadera. Justifique muy claramete sus respuestas. 41. Para el uiverso de los úmeros reales, determie el valor de verdad de la siguiete proposició. Escriba las proposicioes cotrapositiva, recíproca e iversa y para cada ua de ellas determie su valor de verdad. Si ua proposició es falsa dé u cotraejemplo. Si ua proposició es verdadera, explique CLARAMENTE por qué lo es: x, (x < -) (x > 4. 4. Explique por qué es u trabajo excesivo el demostrar u argumeto por medio de ua tabla de verdad. 43. Escribe el siguiete argumeto e forma simbólica, verifica si es o o válido. El uiverso es el de todos los adultos mayores de 18 años que reside e la ciudad de Las Cruces, como Roxaa e Iés: Todos los empleados de la uió de crédito debe saber Cobol. Todos los empleados de la uió de crédito que se ecarga de solicitudes de préstamo debe coocer Quattro. Roxaa trabaja para la uió de crédito pero o sabe usar Quattro Iés sabe Quattro pero o Cobol Por lo tato Roxaa o se ecarga de solicitudes de préstamo e Iés o trabaja para la uió de crédito. 44. Use el método de premisas verdaderas para demostrar o refutar el siguiete argumeto, segú sea el caso. Premisa 1: p q Premisa : r q Premisa 3: r Coclusió sugerida: p 45. Supogamos ahora que lo que Pedro dijo fue esto: Amo a Adriaa o amo a Beatriz, o a ambas. Además, si amo a Adriaa es porque amo a 4

Beatriz tambié. a) Averigua si realmete Pedro ama o o a Adriaa y b) si ama o o a Beatriz. c) Averigua tambié si es cierto que ama a ambas o d) si será que o ama a igua de las dos mujeres e cuestió. 46. Demuestre por CONTRADICCIÓN el siguiete argumeto. Escriba CLARAMENTE su desarrollo y o olvide justificar cada uo de sus pasos. ( p q ) r r ( s t ) s u u t ------------------ p 47. Muestre co u cotraejemplo que el siguiete argumeto o es válido. Escriba CLARAMENTE su desarrollo y o olvide justificar cada uo de sus pasos. p p r p ( q r ) q s ---------------- s 48. Da las razoes de cada paso para justificar el siguiete argumeto: p q r s p r -------------------- q s Paso 1. (q s) Paso. (q s) Paso 3. q s Paso 4. s Paso 5. r s Paso 6. r Paso 7. p q Paso 8. q Paso 9. p Paso 10. p r Paso 11. r Paso 1. r r Paso 13. q s 49. Supoga que a, b y c so eteros. Demuestre que si ab y dc, etoces adbc. 50. Demuestre que u etero es impar sí y sólo sí es la suma de dos eteros cosecutivos. 51. Refute: U etero x es egativo sí y sólo sí x-1 es egativo. 5. Describa co cuatificadores la existecia úica del iverso aditivo e los úmeros reales y demuestre su uicidad. 53. Demuestre que el úmero real x 7 4 3 7 4 3 es racioal. = 1 1 Idicació: Haga a = 7 4 3 y b = 7 4 3. Empiece por calcular (a + b). 54. Demuestre, por cotradicció, que dos eteros cosecutivos o puede ser impares ( ambos ). 55. Demuestre por casos, que para todo atural, es par. 56. Demuestre, empleado el método de la cotrapositiva, que si es u úmero par, etoces ecesariamete es par. 57. Demuestre que 1.999... =, dode la expresió 1.999...idica ua cola ifiita de ueves, lo que tambié se puede escribir como 1.9. 58. Demuestre que el cojuto de los úmeros irracioales o es cerrado co respecto a igua de las cuatro operacioes aritméticas básicas (+,,, ). 59. Demuestra que si x, y so úmeros reales y x + y > 100 etoces x > 50 o bie y > 50. 60. Demuestre que existe dos úmeros b irracioales a y b tales que a es racioal. 5

61. Demuestre que 0x x = 0. 6. Se requiere demostrar por iducció 1 1 matemática que a b es divisible etre a + b. 63. Demuestre por medio del pricipio de iducció matemática, cada ua de las siguietes fórmulas, relativas al cojuto de los úmeros aturales: ( 1)(4 1) c) i 1i 3 i1 l) 4 15 1 siempre es divisible etre 9. 1 m)! si > 1. 1 ñ) 1 k1 ( k 1) 1 p) se x se x, si es u etero positivo y x es cualquier úmero real. i i q) a b a b, dode i0 i!. Sugerecia: Demuestre i i!( i)! primero que r) k k k 1 r r 1 r. cos i se cos i se. 64. Sea f: B 3 B la fució booleaa tal que f(0,0,0) =1, f(0,0,1)=1, f(1,1,0)=1 y f(a,b,c)=0 para los demás (a,b,c) B3. Escriba la expresió booleaa e forma caóica e térmios míimos para ésta fució 65. Para cada ua de las expresioes booleaas e x,y,z escriba la fució booleaa correspodiete y escriba la forma caóica e térmios míimos: a) xy; b) xy z. CONJUNTOS, RELACIONES Y OPERACIONES 66. Sea U u uiverso fiito co A, B U. Ordee la siguiete lista, e orde creciete de acuerdo al tamaño: A B, B,, A B, U. 67. A) Qué ecesita u elemeto para perteecer a la uió de 100 cojutos diferetes? B) Cuádo se dice que u elemeto perteece a la itersecció de dos, tres o cojutos? C) Dóde está u elemeto del uiverso que o está detro de cierto subcojuto A de éste uiverso? 68. Es ecesario determiar el cojuto de verdad de ua proposició lógica, co objeto de determiar el valor de verdad de dicha proposició? Explique su respuesta. 69. Determiar la verdad o falsedad de las siguietes expresioes: a) { x : x = 3 y x es par } =. b) { } =. c) { 0 }. d) { 0 }. 70. Efectuar las operacioes siguietes: a) { x : x < 0 } { x : x < -1 } b) { x : x < 0 } { x : x < -1 } 71. i) Expresar los siguietes cojutos escribiedo sus elemetos a) 0 x x y x 3k dode k b) 1 x x y x 3k 1 dode k c) x x y x 3k dode k ii) E base a los cojutos determiados e i), obteer los cojutos siguietes: a) 1 0 b) 1 d) 0 1 7. i) E térmios de la otació de itervalo, determiar los siguietes itervalos: a) (,3) [, ) c) [ 1,) [1,4) e) [, ] [ ( 1), 1], dode es etero. f) [, ] [ ( 1), 1], dode es etero. ii) Los itervalos determiados e i) expresarlos gráficamete sobre el eje umérico. 6

73. Si A es u cojuto, etoces P(A) es el cojuto de partes (cojuto potecia) de A y P(P(A)) es el cojuto de partes (potecia) de P(A). Determiar: P( 1, ) y P( P 1, ) a) b) P( 0 ) y P( P 0 ) c) P( ) y P( P( )) 74. Determie los cojutos A y B si sabe que : A \ B = { 1, 3, 7, 11 }; B \ A = {, 6, 8 }; A B = { 4, 9 }. 75. Escriba la expresió dual de [( A B ) C] ( A \ C ). 76. Represete mediate u diagrama de Ve la siguiete operació co cojutos : [ ( A B ) C ] ( A \ C ). 77. Si A = [ 0, 3 ], B = ( 1, 8 ], C = [ -, 5 ) y el uiverso so todos los úmeros reales, determie lo siguiete: ( Explique claramete ) a) ( A B ) \ C; b) ( A B ) C 78. Demuestra que la cardialidad de la diferecia de dos cojutos se obtiee mediate la fórmula siguiete, dode \ sigifica diferecia de cojutos, y (A) es la cardialidad o el úmero de elemetos del cojuto A: (A \ B) = (A) (A B). 79. Demuestra co rigor el siguiete teorema iteresate: Si U es el cojuto uiversal y A, B, C U, etoces (A \ B) C si y sólo si (A \ C) B. 80. Simplifique lo más que se pueda cada ua de las siguietes expresioes, empleado para ello propiedades de cojutos previamete establecidas: c) (A B) (A c B) (A c B c ). d) [[(AB)C] c B c ] c e) A C ( A B C ) ( A B C C ) ( A B C D C )... 81. Cuáles so verdaderas? {} {} {} 8. Cuáles de los siguietes cojutos so o vacíos? a) {xn x + 7 = 3} b) {xr x + 5 = 4} c) {xn x + 4 = 6} 83. Demuestre cada ua de las siguietes propiedades relativas a la diferecia de cojutos: a) (A \ B) \ C = A \ (B C); c) A \ (A \ B) = A B; e) (A \ B) B =. B \ A A c. f) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 84. La diferecia simétrica dos cojutos: A B = (A \ B) (B \ A): cotiee a todos los elemetos x que está exactamete e uo de los dos cojutos A o B (pero o e ambos). Alguos autores usa otros símbolos para deotar esta operació de cojutos, tales como A B, o bie A B. El estudiate debe estar ateto a la otació que use su profesor a. Demuestre 1ue que A B = (A B) \ (A B). b. Demuestre que la diferecia simétrica es asociativa, es decir: A (B C) = (A B) C = A B C. c. Demuestre A A = ; 85. Sea el uiverso LOS NÚMEROS REALES y sea el cojuto de ídices los eteros positivos. Para cada etera positiva, sea A = [ -, 3 ]. Determie lo siguiete a) A 3 ; b) A 1 86. Si U = { Atletas de ua Delegació } M = { Atletas que les gusta la música } D = { Atletas que les gusta la daza } T = { atletas que les gusta el teatro } 7

Escriba e leguaje ordiario lo que se represeta e cartesiao de N X N. La relació deberá de teer el siguiete diagrama: más de 6 elemetos. U D M 91. Describa e otació de cojutos, el siguiete cojuto de putos: 3 87. Al iterrogar ua delegació deportiva formada por 50 atletas sobre su afició respecto al Teatro, la Daza o la Poesía, se ecotró que 15 prefiere el Teatro, 180 prefiere la Daza, 65 la Poesía, 100 Teatro y Daza, 5 Teatro y Poesía, 40 Daza y Poesía y 0 teía las tres preferecias. Determiar cuátos de estos atletas tiee: a) Al meos ua de las tres aficioes. b) Nigua de las tres aficioes. c) Exactamete dos de las tres preferecias. T -3 - -1 0 1 3-88. Sea U = Z. Sea p(x), q(x) y r(x) las siguietes proposicioes abiertas. p(x) : x - 8x + 15 = 0, q(x) : x es impar, r(x) : x es positivo. Use CONJUNTOS DE VERDAD para demostrar si se cumple o o A) x ( r(x) q(x) ) p(x) B) x r(x) q(x) p(x) 89. Sea P, Q y R respectivamete, los cojutos de verdad de ciertas proposicioes p(x), q(x) y r(x), dadas e cierto uiverso U. Explique muy claramete, e térmios de los cojutos de verdad, cuádo ( bajo qué codicioes ) so verdaderas las siguietes proposicioes: 1. x, p(x) q(x) ]. x, q(x) ( r(x) p(x) ) 3. x, ( p(x) r(x) ) q(x) 90. Defia ua relació que sea reflexiva y simétrica a partir de los elemetos del producto 8