Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas.

Boletín de l Asocición Mtemátic Venezoln, Vol. XVIII, No. 2 (2011) 89 ARTÍCULOS Expnsión de ls soluciones pr ecuciones integrles cudrátics. Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Resumen. En este rtículo encontrmos l expnsión de l solución de x(t) + d s K(t, s)g(s)bx(s) = u(t), t [, b], bsd en l teorí de representción de operdores multilineles plicd operdores bilineles. Abstrct. In this rticle we find the expnsion of the solution of x(t) + d s K(t, s)g(s)bx(s) = u(t), t [, b], bsed on the theory of representtion of multiliner opertors pplied to biliner opertors. Introducción Sen X, Y espcios de Bnch y consideremos l ecución integrl no linel de Volterr-Stieltjes del tipo x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b], (K), donde x es un función regld incógnit, u es un función regld conocid, K es un función simplemente regld como función de t y uniformemente de semivrición de Fréchet como función de s, nulándose en l digonl; y l no 2010 AMS Subject Clssifictions: Primry 45D05, Secondry 06B15. Keywords: Ecuciones Integrles de Volterr-Stieltjes, Ecuciones Integrles Cudrátics, Integrl de Dushnik, Semivrición Acotd, Funciones Reglds, Teorems de Representción de Riez, Expnsiones de Volterr.

90 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. linelidd de (K) está dd por f : [, b] X X, con f(t, x) = g(t)bx, donde g es un función regld y Bx = L 2 x un operdor polinomil de grdo dos sobre X. Dremos l expnsión de l solución de (K), bsándonos en l Teorí de representción de operdores multilineles, plicd operdores bilineles. 1 Funciones reglds Consideremos X, Y, W y Z espcios de Bnch, y [, b] R un intervlo cerrdo. Un función x : [, b] X es un función regld si sólo tiene discontinuiddes de primer especie, es decir, si i) pr todo t [, b) existe x(t + ) = lim h 0 x(t + h) y ii) pr todo t (, b] existe x(t ) = lim h 0 x(t h). Al espcio de ls funciones reglds de [, b] en X lo denotmos por G([, b]; X), tl espcio es un espcio de Bnch con l norm del supremo. Teorem 1.1. (Hönig[3], Theorem 1.3.1) Un función x : [, b] X es regld si, y sólo si, existe un sucesión de funciones esclonds (ϕ n ) n 1 : [, b] X, tl que lim n ϕ n(t) = x(t) t [, b]. Un función x : [, b] X es regld por l izquierd si x() = 0 y x(t) = x(t ) pr todo t (, b]. A este subespcio cerrdo de G([, b]; X) lo denotmos por G ([, b]; X). Un función x : [, b] L(W, X) es simplemente regld si, pr todo w W, l función xw : [, b] X t x(t)w, es regld y escribimos x G σ ([, b]; L(W, X)), que es un espcio de Bnch con l norm dd por Además, x = sup x(t) L(W,X) t [,b] x G σ ([, b]; L(W, X)). G([, b]; L(W, X)) G σ ([, b]; L(W, X)). (Arbex [1] )

Ecuciones integrles cudrátics. 91 2 Funciones de vrición y semivrición cotd Un prtición de un rectángulo [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] es el conjunto P = P 1 P 2 con P r P[ r, b r ], donde r = t 0 <... < t n(r) = b r. P ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]) denot el conjunto de tods ls prticiones del rectángulo. Además, n(p) = n(p 1 ) n(p 2 ), P = P 1 P 2. Sen z : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Z y P P ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]). Consideremos i(1), i(2) N, con 1 i(r) n(p r ). Definimos i(1) z : [ 2, b 2 ] Z por i(2) z : [ 1, b 1 ] Z por i(1) z(s) = z(t i(1), s) z(t i(1) 1, s) s [ 2, b 2 ] i(2) z(s) = z(s, t i(2) ) z(s, t i(2) 1 ) s [ 1, b 1 ] En prticulr, pr [, b] R, z : [, b] Z está dd por i z = z(t i ) z(t i 1 ). Luego, i(1) i(2) z denot el cálculo i(1) ( i(2) z ) (s). Ddos (X 1, 1 ), (X 2, 2 ) y (Y, ) espcios de Bnch. Consideremos, en X 1 X 2, l topologí producto inducid por ls norms sobre X 1, X 2, es decir, x X1 X 2 = sup{ x 1 1, x 2 2 }. Un plicción q : X 1 X 2 Y es bilinel si es linel en cd vrible por seprdo. Diremos que q L (X 1 X 2, Y ) si q es bilinel y continu (es decir, M > 0 tl que q(x 1, x 2 ) M x 1 x 2 ). Se α : [, b] L(X, Y ). Se define l semivrición de α en [, b] por SV [α] = sup SV [α; P] P P[,b] = sup P P[,b] sup x i X x i 1 n(p) [α(t i ) α(t i 1 )]x i. i=1

92 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Si SV [α] <, entonces α es un función de semivrición cotd y se escribe α SV ([, b]; L(X, Y )). Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Z. Se define vrición de Vitli de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] por donde V [K] = sup V [K; P], P P([ 1,b 1] [ 2,b 2]) V [K; P] = n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) K Si V [K] <, entonces K es un función de vrición cotd de Vitli en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] y se escribe K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; Z). Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X, Y ), se define l semivrición de Vitli de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] como donde SV [K] = sup SV [K; P], P P([ 1,b 1] [ 2,b 2]) SV [K; P] = sup x i(1)i(2) 1 n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) Kx i(1)i(2) : x i(1)i(2) X. Si SV [K] <, entonces K se dice de semivrición cotd de Vitli y se escribe K SV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L(X, Y )). Teorem 2.1. (Vilori[8]; Teorem 2.1.1) BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )) SV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )) y si K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )), entonces SV [K] V [K]. Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X 1, X 2 ; Y ). Se define l vrición de Fréchet de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] por

Ecuciones integrles cudrátics. 93 donde SF [K] = sup SF [K; P] P P([ 1,b 1] [ 2,b 2] SV [K; P] = sup x i(r) 1 n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) K ( ) x i(1), x i(2) : x i(r) X r Si SF [K] <, entonces K se dice de semivrición cotd de Fréchet y se escribe K SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L(X 1, X 2 ; Y )). Teorem 2.2. (Vilori [8]; Teorem 2.1.2) BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )) SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) Además, si K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )), entonces SF [K] < V [K]. 3 Integrl interior de Dushnik L integrl interior de Dushnik fue concebid por Pollrd, en 1920, y redescubiert por Dushnik, en 1931. Posteriormente fue utilizd por Kltenborn, en 1934, pr representr los elementos del espcio L((G[, b], R), R), resultdo generlizdo por Hönig, en 1975, l espcio L(G([, b], X); Z) y extendido ( por Vilori [7], en 1997, pr representr los elementos de los espcios m ) ( m ) L G ([, b], X); Z y L G ([ r, b r ]; X r ), G ([, b]; Y ), y tmbién r=1 r=1( m ) pr los operdores cusles en L G ([ r, b r ]; X), G ([, b]; Y ). En este r=1 trbjo es empled pr representr, de mner prticulr, los elementos de L (G ([ 1, b 1 ]; X) G ([ 2, b 2 ]; X); G ([, b]; Y )). Sen e, (e P ) P P en un espcio topológico E, escribiremos lim P P e P = e si, pr todo entorno V de e, existe P V P tl que P P V e P V. Definición 3.1. (Integrl doble de Dushnik) Sen K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X 1, X 2 ; Y ), x 1 : [ 1, b 1 ] X 1 y x 2 : [ 2, b 2 ] X 2. Si existe lim σ P, donde P = P([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]) y P P

94 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. σ P = n(p 1) i(1) n(p 2) i(2) i(1) i(2) K(x 1 (ξ i(1) ), x 2 (ξ i(2) ) con ξ i(r) (t i(r) 1, t i(r) ), entonces es llmdo integrl interior de Dushnik de l función x = (x 1, x 2 ) con respecto l núcleo K y se denot por b1 b2 1 2 d s1s 2 K(s 1, s 2 )(x 1 (s 1 ), x 2 (s 2 )). Un resultdo, que nos ofrece un condición suficiente pr l existenci de l integrl, es el siguiente Teorem 3.1. (Vilori [8]; Lem 2.2.1) Sen K SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) y x r G ([ r, b r ]; X r ), r = 1, 2. Entonces (i) Existe Λ K : G ([ 1, b 1 ]; X 1 ) G ([ 2, b 2 ]; X 2 ) Y, definid por Λ K (x 1 ; x 2 ) = (ii) Λ K es bilinel, b1 b2 1 2 d s1s 2 K(s 1 ; s 2 )(x 1 (s 1 ), x 2 (s 2 )), (iii) Λ K x SF [K] x 1 x 2, (iv) Si x r Ω 0 ([ r, b r ]; X r ) pr lgún r = 1, 2, entonces Λ K x = 0. 4 Teorems de representción integrl pr operdores bilineles Definición 4.1. que Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; Z) tl K( 1, s 2 ) = K(s 1, 2 ) = 0 s 1 [ 1, b 1 ] y s 2 [ 2, b 2 ]. Entonces diremos que K SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1 X 2 ; X)).

Ecuciones integrles cudrátics. 95 Teorem 4.1. (Vilori [8]; Teorem 2.3.1) L plicción K Λ K, definid por Λ K (x 1, x 2 ) = b2 b1 d s2 2 es un isometrí entre los espcios de Bnch y 1 d s1 K(s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ), SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Z)) L ( G ([ 1, b 1 ]; X 1 ), G ([ 2, b 2 ]; X 2 ); Z ). Además, K(s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = Λ K ( X (1,s 1]x 1, X (2,s 2]x 2 ) con Λ K = SF [K]. Definición 4.2. Se K : [, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L (X 1, X 2 ; Y ). Definimos K t : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L (X 1, X 2 ; Y ) y K s 2 : [, b] L (X 1, X 2 ; Y ) por K t (s 1, s 2 ) = K(t 1, s 1, s 2 ) = K s 2(t). Además, consideremos ls siguientes propieddes: (G σ ) : K es simplemente regld como función de t, es decir, K s 2 G σ ([, b]; L (X 1, X 2 ; Y )). (SF u ) : K es uniformemente de semivrición de Fréchet cotd como función de (s 1, s 2 ), esto es, SF u [K] = sup [K t ] <. t [,b] (SF u 2 ) : K stisfce (SF u ) y K t SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )) pr todo t [, b]. Si K verific (G σ ) y (SF u ), escribimos K G σ SF u ([, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )). Análogmente definimos K G σ SF u 2.

96 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Teorem 4.2. (Vilori [8]; Teorem 2.3.2) L plicción K Λ K dd por Λ K (x 1, x 2 )(t) = b2 b1 d s2 2 es un isometrí entre los espcios de Bnch y 1 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) G σ SF u 2 ([, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) L ( G ([ 1, b 1 ]; X 1 ), G ([ 2, b 2 ]; X 2 ); G([, b]; Y ) ), con K(t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = Λ K (X (1,s 1]x 1, X (2,s 2]x 2 )(t) y Λ K = SF u [K]. Definición 4.3. Se K G σ SF u ( [, b] 3 ; L 2 (X; Y ) ), donde [, b] 3 = [, b] [, b] [, b] y L 2 (X; Y ) = L (X X; Y ). Si, pr todo x X, l función K : [, b] Y definid por K (t) = K(t, t, t)(x, x) t [, b] es regld, se dice que K es simplemente regld en l digonl y escribimos K G σ SF u ( [, b] 3, L 2 (X; Y ) ). Si, demás, K (t) = 0 escribimos t [, b], se dice que K se nul en l digonl y K G σ 0 SF u ( [, b] 3, L 2 (X; Y ) ). Definición 4.4. P L 2 (G([, b], X); G([, b], Y )) es un operdor cusl si pr todo x G([, b]; X) y pr todo T [, b], x [,T ] = 0 P (x, x) [,T ] = 0. Definición 4.5. Se K G σ SF u ([, b] 3 ; L 2 (X, Y )). Pr x = (x 1, x 2 ) con x r G ([, b]; X), r = 1, 2, definimos (kx)(t) = d s2 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) t [, b] A continución mostrmos que los operdores bilineles cusles tmbién pueden ser representdos.

Ecuciones integrles cudrátics. 97 Teorem 4.3. (Vilori [8]; Teorem 2.3.3) L plicción K k es un isometrí entre el espcio de Bnch G σ 0 SF u ([, b] 3, L 2 (X; Y )) y el subespcio de los operdores cusles de L 2 (G ([, b], X); G([, b], Y )), donde k = SF u [K] y K(t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = k ( X (,t] x 1, X (,t] x 2 ) (t). Ahor presentremos el concepto de polinomil de Volterr-Stieltjes de grdo dos. Definición 4.6. definido por Si h 2 G σ SF u ([, b] 3, L 2 (X; Y )), el operdor P 2 : G ([, b]; X) G ([, b]; X), P 2 x(t) = h 0 (t) + b d s1 h 1 (t, s 1 )x(s 1 ) + b es llmdo Polinomio de Volterr-Stieltjes de grdo dos. b d s2 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) Dremos continución l definición de Expnsión de Volterr-Stieltjes de un operdor en G ([, b]; X). Definición 4.7. Un operdor T : G ([, b]; X) G ([, b]; X) posee un expnsión de Volterr-Stieltjes de grdo dos, en un vecindd de x 0 G ([, b]; X), si existen núcleos h 1, h 2 tles que T (x 0 +x) T (x 0 ) = donde lim λ 0 R 2 (x 0 ; λx) λ 2 = 0. d s1 h 1 (t 1 s 1 )x(s 1 )+ d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )x(s 1 )x(s 2 )+R 2 (x 0 ; x), Teorem 4.4. (Hille - Phillips [2]; Theorem 26.3.5) Sen V X no vcío, bierto y T : V X un operdor 2 veces diferencible Gâteux. Entonces ) T x0 es linel simétric, 2 T x0 es bilinel y simétrico con T x0 [x] y 2 T x0 [x] polinomios homogéneos de grdo 1 y 2, respectivmente. b) T (x 0 + x) T (x 0 ) = T x0 [x] + 1 2 2 T x0 [x] + R 2 (x 0, x), con R 2 (x 0, λx) lim λ 0 λ 2 = 0

98 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Corolrio 4.1. Se V G ([, b]; X) no vcío, bierto y T : V G ([, b]; X) 2 veces diferencible Gâteux en x 0, con 2 T x0 cusl. Entonces T tiene un expnsión de Volterr-Stieltjes de grdo dos. Definición 4.8. representrse como Un plicción T : V Y es nlític en V, si puede T (x) = n [x] n, n=1 donde n es un operdor polinomil homogéneo de grdo n y l serie converge bsolutmente en V, y uniformemente sobre conjuntos cerrdos y cotdos de V. Teorem 4.5. (Pisnelli [6]) Se V X no vcío, bierto, cotdo y T : V X un operdor loclmente cotdo tl que i) T es diferencible Gâteux, ii) T x0 es invertible en un vecindd de x 0. Entonces existen vecinddes de x 0 y T x0 respectivmente donde T posee un únic invers dd por: donde T 1 u = Q m [u], m=1 Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q m [u] = [ T x0 ] 1 m n=1 j 1+...+j n=m 1 n! m T x0 (Q j1,..., Q jn )[u]. Como resultdo del teorem nterior, obtenemos cómo podemos definir l invers locl de un operdor polinomil de grdo dos, sobre espcios de Bnch de form explícit. Corolrio 4.2. Se V X no vcío, bierto, cotdo y T : V X un operdor polinomil de grdo dos, con T X0 invertible en un vecindd de x 0. Entonces, existen vecinddes de x 0 y de T x0, respectivmente, donde T tiene un únic invers dd por:

Ecuciones integrles cudrátics. 99 con T 1 u = Q 1 [u] + Q 2 [u], Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q 2 [u] = [ T x0 ] 1 ( 2 T x0 )(Q 1, Q 1 )[u] 1 2 [ T x 0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u]. Definición 4.9. Consideremos el espcio vectoril { } F = x : [, b] X : x es un función y f : [, b] X X un función culquier. El operdor no linel F : F F ddo por F x(t) = f(t, x(t)) t [, b], x F, es llmdo el operdor composición socido l función f. Definición 4.10. que El conjunto de ls funciones f : [, b] X X tles f es regld por l izquierd en l primer vrible, f es Lipschitz en l segund vrible, formn un espcio de Bnch, denotdo G Lips([, b] X; X) con l norm { } f = sup f 0 ; [f], donde f 0 : [, b] X definid por f 0 (t) = f(t, θ) y { [f] = inf M : f(t, x 2 ) f(t, x 1 ) M x 2 x 1, } x 1, x 2 X. A continución expondremos el resultdo de Vilori [7], que indic ls condiciones necesris y suficientes en f, pr que F ctúe en el espcio G ([, b]; X). Teorem 4.6. Se f : [, b] X X Lipschitz en l segund vrible. Entonces, el operdor F de composición socido f, es tl que F : G ([, b]; X) G ([, b]; X) si, y sólo si, f G Lips([, b] X; X). Además, F es cotdo.

100 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. 5 Condiciones de existenci y unicidd de soluciones Consideremos l ecución x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b] (K) Teorem 5.1. (Hönig) Sen K G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) y f G Lips([, b] X, X) con C(K, P)[f] < 1, pr lgún P P([, b]). Entonces, pr cd u G([, b]; X), existe un únic x G([, b]; X), solución de (K), que depende continumente de u, K y f; donde { } C(K, P) = sup K(t i +, t i) ; sup SV (ti,t][k t ]. 0 i n 1 t i t t i+1 El siguiente resultdo expres en el cso linel, es decir cundo f(t, x(t)) = x(t), que el resolvente de l solución puede ser expresdo por un Serie de Neumnn. Teorem 5.2. (Arbex [1], Corolrio 3.22 prte b)) Se K G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) y C(K, P) < 1, pr lgún P P([, b]). Entonces, pr cd u G([, b]; X), existe un únic x G([, b]; X), solución de (K), l cul est dd por x(t) = u(t) donde el operdor resolvente se escribe d s R(t, s)u(s), con R(s, t) = I(t, s) + ( 1) n 1 K n (t, s), n=1 K 1 (t, s) = K(t, s) K n+1 (t, s) = d s K(t, σ)k n (σ, s) n 1 núcleos iterdos.

Ecuciones integrles cudrátics. 101 6 Form Explícit de l Solución pr ecuciones cudrátics Consideremos l ecución integrl no linel de Volterr-Stieltjes x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b] (K) donde x G([, b]; X) es incógnit, u G([, b]; X) es conocid y K G σ 0 SF u ([, b] [, b] [, b]; L 2 (X, X)). Ahor supongmos V X no vcío, bierto, cotdo y f : [, b] V X, definid por f(t, x) = g(t)bx, donde g G ([, b]; C) y B un operdor polinomil homogéneo de grdo 2 sobre X, definido por Bx = L 2 (x, x), con L 2 bilinel simétrico. Vemos que En efecto, f G Lips([, b] V, X). f es regld por l izquierd en l primer vrible, f es Lipschitz en l segund vrible. Se t (, b] lim f(t h, x) = lim g(t h)bx h 0 h 0 = g(t )Bx (y que g G ([, b], X)), luego, = f(t, x) f(t, x) = lim h 0 f(t h, x) x X, esto demuestr que f es regld por l izquierd en l primer vrible. Sen x 1, x 2 V tles que [x 1, x 2 ] V. Queremos ver que existe L [0, 1) tl que: f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2 t [, b]

102 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Así, f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) sup x f(t, x 0 ) x 1 x 2 x 0 [x 1,x 2] t [, b], y como [, b] es compcto y g G ([, b]; C), sbemos que g es cotd. Además, V es cotdo, por lo tnto existe M > 0 tl que sup x f(t, x 0 ) M x 0 [x 1,x 2] t [, b]. De donde, se sigue que f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) M x 1 x 2 t [, b]. En consecuenci, f es Lipschitz respecto X. Consideremos hor, el operdor F : G ([, b], X) G ([, b], X) de composición socido f, F x(t) = f(t, x(t)) x G ([, b]; X), el cul es cotdo (por el Teorem 4.4). Y, definiendo el operdor linel k por: (kf )x(t) = l ecución (K) se puede expresr como x(t) + kf x(t) = u(t) t [, b] d s K(t, s)f x(s), (1) (I + kf )x = u (x G ([, b]; X)), donde I : G ([, b]; X) G ([, b]; X) es el operdor identidd. Si considermos el operdor T : G ([, b]; X) G ([, b]; X), T = I + kf que ctú sobre funciones x G ([, b]; X), entonces el operdor T se puede invertir loclmente hllndo [ T x0 ] 1 y 2 T x0, como lo muestr el siguiente teorem.

Ecuciones integrles cudrátics. 103 Teorem 6.1. Sen K G σ 0 SV u ([, b] [, b] [, b]; L 2 (X, X)) y f G Lips([, b] X; X). Si C(K; P)[f] < 1, pr lgún P P([, b]), y F inf {1, 1/SF [K]}, entonces (i) T es 2 veces diferencible Gâteux y (ii) l diferencil de T posee invers. Demostrción: (i) De su mism definición, tenemos que F x es diferencible Gâteux, lo que nos induce l diferencibilidd de T. Así que, ddo x 0 W G ([, b]; X), bierto y cotdo, Siendo, T x0 x(t) = lim λ 0 T (x 0 + λx)(t) T (x 0 )(t) λ = lim λ 0 (I + kf )(x 0 + λx)(t) (I + kf )(x 0 )(t) λ = Ix(t) + k lim λ 0 F (x 0 + λx) F (x 0 )(t) λ = Ix(t) + k F x0 [x](t). F x0 [x](t) = lim λ 0 F (x 0 + λx)(t) F (x 0 )(t) λ = lim λ 0 f(t, x 0 + λx) f(t, x 0 ) λ donde, emplendo ls regls del cálculo diferencil en espcios de Bnch, f x (t, x 0 ) = g(t) B x0 [x] = g(t)[l 2 (x 0, x) + L 2 (x, x 0 )] = 2g(t)L 2 (x 0, x). Luego, T x0 = I + k F x0 con T x0 L(G ([, b]; X); G ([, b]; X)). Ahor, clculemos

104 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. 2 T x0 [x](t) = 2 T x0 (x 1 (t), x 2 (t)) { } 2 1 T x0 (x 1 (t), x 2 (t)) = lim T x0+λx λ 0 λ 2(t)(x 1 )(t) + T x0 (x 1 )(t) siendo { } 1 = lim I(x 1 )(t) + k F x0+λx λ 0 λ 2(t)[x 1 ](t) I(x 1 )(t) k F x0 [x 1 ](t) { } 2 1 T x0 [x](t) = k lim F x0+λx λ 0 λ 2(t)[x 1 ](t) + F x0 [x 1 ](t) 2 F x0 [x](t) = x ( x f(t, x 0 )) = k 2 F x0 [x 1, x 2 ](t) = k 2 F x0 [x](t), = x (2g(t)L 2 (x 0, x)) = 2g(t)[L 2 (x 0, x) + L 2 (x, x 0 )] = 4g(t)L(x 0, x). Esto es, 2 T x0 existe y, demás, 2 T x0 = k 2 F x0 L ( G ([, b]; X) G ([, b]; X); G ([, b]; X) ). Así, T es un operdor 2 veces diferencible Gâteux. Por otro ldo, en virtud del Teorem 4.4, T (x 0 + x) T (x 0 ) = T x0 [x] + 1 2 2 T x0 [x] y result T un operdor polinomil de grdo dos. Por otro ldo, como por hipótesis se tiene que { } 1 F inf 1,, SF [K] 1 k F k F SF [K] SF [K] = 1

Ecuciones integrles cudrátics. 105 de donde T x0 es invertible en un vecindd de x 0. Se sigue entonces, del corolrio nterior, que existen vecinddes de x 0 y T (x 0 ), respectivmente, donde T posee un únic invers definid por donde T 1 u = Q 1 [u] + Q 2 [u] (2) Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q 2 [u] = [ T x0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u] 1 2 [ T x 0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u]. Por consiguiente, pr hllr ( T x0 ) 1, bst resolver l ecución linel donde H = T x0 = I + k F x0. Hx = u, (3) L cul, según demostró Arbex, tiene resolvente determind prtir de un serie de Neumnn. Psemos clculr H 1. L ecución (3) puede escribirse como donde, por ser x(t) + d s K(t, s) F x0 x(s) = u(t) (4) F x0 L(G ([, b]; X); G ([, b]; X)), posee un representción integrl, esto es existe h 1 G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) tl que con F x0 x(t) = d s h 1 (t, s)x(s) t [, b],

106 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. y h 1 (t, s)x = F x0 (xx (,t] )(s) = 2g(s)L 2 (x 0 (s), xx (,t] (s)) F x0 = SV [h 1 ] = sup t SV [h 1 ] <. t [,b] Entonces, l ecución (4) posee un únic solución dd por x(t) = u(t) donde l resolvente está representd por el operdor d s R(t, s)u(s), (5) siendo K 1 = h 1 y K n+1 (t, s) = R(t, s) = I + ( 1) n 1 K n (t, s) n=1 d σ h 1 (t, σ)k n (σ, s). Así, hemos hlldo [ T x0 ] 1 u, medinte l expresión (5). Ahor, ddo que 2 F x0 L ( G ([, b]; X), G ([, b]; X); G ([, b]; X) ) existe un único h 2 G σ SF u 2 ([, b] [, b] [, b]; L(X, X; X)) tl que 2 F x0 (x 1, x 2 )(t) = donde d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ),

Ecuciones integrles cudrátics. 107 h 2 (t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = 2 F x0 (x 1 X (,t] (s 1 ), x 2 X (,t] (s 2 )) ) = 4g(t)L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 ) + x 2 X (,t] (s 2 ) [ ] = 4g(t) L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 )) + L 2 (x 0 (t), x 2 X (,t] (s 2 )) [ ] = 2 2g(t)L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 )) + 2g(t)L 2 (x 0 (t), x 2 X (,t] (s 2 )) ] = 2 [h 1 (t, s 1 )x 1 + h 1 (t, s 2 )x 2. Finlmente, podemos concluir que l únic solución pr un sistem no linel ddo por un ecución integrl de Volterr-Stieltjes de l form x(t) + se expres medinte l iguldd d s K(t, s)g(s)bx = u(t), donde x(t) = Q 1 [u](t) + Q 2 [u](t) Q 1 [u](t) = u(t) pr K 1 = F x0 y K n+1 (t, s) = Y, d s R(t, s)u(s) con R = I + n=1 ( 1) n 1 K n d σ F x0 (xx (s,t] (σ))k n (σ, s). Q 2 [u](t) = 3 2 (I + k F x 0 ) 1 (k 2 F x0 )(Q 1, Q 1 )[u](t) con 2 F x0 (Q 1, Q 1 )u(t) = d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )(Q 1 u(s 1 ), Q 1 u(s 2 )),

108 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. siendo tl que h 2 G σ 0 SF u ([, b] [, b] [, b]; L(X, X; X)), h 2 (t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = 2 F x0 (x 1 X (,t] (s 1 ), x 2 X (,t] (s 2 )) con = 2[h 1 (t, s 1 )x 1 + h 1 (t, s 2 )x 2 ] h 1 (t, s 1 )x 1 = 2g(s 1 )L 2 (x 0 (s 1 ), x 1 X (,t] (s 1 )) = F x0 x 1 (s 1 ) h 2 (t, s 2 )x 2 = 2g(s 2 )L 2 (x 0 (s 2 ), x 2 X (,t] (s 2 )) = F x0 x 2 (s 2 ). References [1] Arbex, S. Ecuções Integris de Volterr-Stieltjes com núcleos descontínuos, Dr. Tese, IME - USP, Brsil. 1976. [2] Hille, E nd Phillips, R. Functionl nlysis nd semi-groups, volumen 31. rev. ed, Americn Mthemticl Society Colloquium Publictions, Providence. 1957. [3] Hönig, C. Volterr-Stieltjes Integrl Equtions, Mth Studies 16, North - Hollnd Publ. Comp, Amsterdm. 1975. [4] Hönig, C. Volterr-Stieltjes Integrl Equtions, Funct. Diff. Eq. nd Bif., Springer Lecture Notes in Mthemtics 799, pg 173-216. 1979. [5] Hönig, C. Équtions Integrles générliseés t pplictions, Publ. Mth. D orsy. Exp. n o 5. 1983. [6] Pisnelli, D. Sull invertibilità degli opertori nlitici negli spzi di Bnch, Boll. Un. Mt. Itli 3(19). 110-113. 1964. [7] Vilori, N. Exponsão ds soluções de sistems não lineres no espço ds funções regrds vlores em espços de Bnch. Dr. Tese, IME - USP, Brsil (1997).

Ecuciones integrles cudrátics. 109 [8] Vilori, N. El operdor de Nemytskij en el espcio de ls funciones reglds, Divulgciones Mtemátics, Vol. 12, 149-153, No. 2(2004). Eribel Mrquin, Mgiter Scientie en Mtemátics. Jvier Quintero, Áre de Mtemátics, Centro Locl Mérid, Universidd Ncionl Abiert. Nelson Vilori, Deprtmento de Mtemátics, Fcultd de Ciencis, Universidd de Los Andes. e-mil: eribelm@hotmil.com, jvier58@cntv.net, nelson@ul.ve