(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) INTEGRALES IMPROPIAS En integración se pide que la función sea continua en el intervalo considerado que además éste sea finito. En este tema se pretende estudiar un cierto tipo de integrales en las cuales uno o los dos límites de integración son el infinito o bien, cuando el integrando considera una función con un número finito de discontinuidades en el intervalo de integración en estudio. A estas integrales se les llamará integrales impropias. Supóngase que se tiene una determinada función " f " que es continua en un intervalo semiabierto a, ) que es siempre positiva, considérese además que: ( ) limf La gráfica de esta función se muestra a continuación: Si como se observa en la figura, t > a, entonces el área At bajo la curva, entre las rectas de ecuaciones () a t está dada por la epresión: t At () ( ) a Si en esta epresión el límite limat ( ) t f d eiste, entonces puede ser interpretado como el área de la región limitada bajo la hacia la derecha del valor curva ( ) a ( ) At f, sobre el eje " " t f
a. El símbolo f ( ) d a es usado para denotar este valor. Así, es posible resolver esta área de la manera siguiente: () ( ) lim t ( ) a a A t f d f d t También podría presentarse el siguiente caso en el que una función presenta una discontinuidad en el intervalo en estudio. Así, sea la función " f " el intervalo ab, gráfica dada por: f, con su a c b Como se observa, esta función presenta una discontinuidad en c por lo que para calcular la integral entre los valores a b, esto es, el área bajo la curva señalada en la figura, se podría hacer mediante las siguientes integrales: b c b ( ) ( ) ( ) a a c p b lim f( ) d+ lim f( ) d a q f d f d + f d p c q c Otro caso que se podría presentar es el que se muestra en la figura:
f Aquí la integral ( ) f d o bien, el área bajo la curva, se podría resolver de la manera siguiente, partiendo en dos al área requerida: ( ) ( ) ( ) lim f( ) d+ lim q f( ) d p f d f d + f d p q Ahora se presenta una definición para estas integrales donde uno o los dos límites son el infinito o cuando eisten puntos de discontinuidad en el intervalo en estudio. DEFINICIÓN. ) i Sea la función f continua en el intervalo a, ). Entonces el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva hacia la derecha de a de manera indefinida, se obtiene a partir de la siguiente integral conocida definida como integral impropia: si el límite eiste. f( ) d lim t ( ) a a t f d ii) Sea la función f continua en el intervalo (, b). Entonces, el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva hacia la izquierda de b de manera indefinida, se obtiene a partir de la siguiente integral conocida como integral impropia:
si el límite eiste. b b f ( ) d lim ( ) t t f d iii ) Sea la función f continua en el intervalo (, ). Entonces, el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de la curva que se abre indefinidamente hacia la izquierda derecha en el eje de las abscisas, se obtiene a partir de las siguientes integrales conocidas como integrales impropias: a ( ) ( ) ( ) f d f d + f d a lim f d+ p p si los límites eisten. El valor a ( ) lim ( ) q a f d a pertenece al intervalo. iv) Sea la función f continua en el intervalo ac, ) ( cb,. Entonces, el área bajo la curva, limitada por los valores etremos del intervalo considerando el punto de discontinuidad en c se obtiene a partir de las siguientes integrales conocidas como integrales impropias: Si los límites eisten. b c b ( ) ( ) ( ) a a c p b lim f( ) d+ lim ( ) a q f d f d + f d p c q c f d En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral impropia es convergente que el valor del límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no eiste, la integral impropia es divergente. Cuando la integral original se divide en dos integrales, ambas deben ser convergentes para que la integral original sea convergente. Si una es divergente o las dos lo son, la integral original es divergente. 4
5 Ejemplo. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. Asimismo, realizar una gráfica de ambas analizar si eiste una relación entre ellas. i ) d ; ii ) d ( ) Solución. Primero se resolverán las correspondientes integrales impropias, después sus respectivas gráficas al final se harán algunos comentarios sobre la relación eistente entre ambas. i) ( ) d Primero se resuelve la integral indefinida. Así, se tiene que: d ( ) Con un cambio de variable se llega a: u du d u du + C d + C ( ) du u Ahora se resuelve la integral impropia t d d lim t ( ) ( ) t lim lim t + t t d la integral impropia es convergente. ( ) u
ii) d Primero se resuelve la integral indefinida. Así, se resuelve d Con un cambio de variable se llega a: du u du d lnu + C u d ln + C ( ) Ahora se resuelve la integral impropia t d lim d t t lim ln lim ln t ln t t d la integral impropia es divergente. Las gráficas de ambas funciones se muestran a continuación: 4 Asíntota: 6 ( ) 4
7 4 Asíntota: 4 5 Las gráficas de ambas funciones son semejantes a que las dos tienen como asíntotas a las rectas, son D, positivas continuas en el dominio ( ) decrecientes en este dominio. Sin embargo, la primera es convergente la segunda divergente, lo que se podría epresar, por la definición de integral impropia, diciendo que la primera corresponde a un área finita la segunda a un área infinita. Más adelante, al estudiar volúmenes de sólidos de revolución, en aplicaciones de la integral, se podría ver cómo la segunda área que es infinita, genera un volumen finito que corresponde a la primera integral considerada. Ejemplo. Asignar un área a la región que queda comprendida bajo la curva izquierda de. e, sobre el eje " " f a la Solución. Se puede considerar a esta región como limitada por e,, t. Se grafica se obtiene:
8 e t De acuerdo con la gráfica, el área requerida está dada por la integral impropia siguiente que se resuelve como a se vio: e e e d lim d lim t t t t e e e e e lim t e t Por lo tanto la integral impropia es convergente, luego el área es finita su valor es: e A.6945 u Ejemplo. Calcular la integral impropia + d. Para ello, trazar la gráfica de la función del integrando e interpretar la integral como un área. Solución. Se grafica la función del integrando se obtiene:
9 + Se divide en dos partes la región, se utiliza la integral impropia se obtiene: + d d d + + + q lim d lim d p + p + q + La resolución de la integral indefinida está dada por: d d angtan + C + + Luego, dada la simetría de la figura, bastará con calcular una de las integrales si es convergente, su valor finito, multiplicado por dos, equivaldrá al área de la región, esto es, al valor de la integral impropia. Así, q q lim d lim angtan q + q π lim angtanq angtan π q d π + Por lo tanto convergente. la integral impropia es Ejemplo. Analizar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia graficar la función del integrando.
d 4 Solución. La gráfica de la función del integrando se muestra en la siguiente figura: asíntotas 4 Como se observa, se pide calcular la integral entre los valores correspondientes a las asíntotas verticales de ecuaciones es por ello que al no ser continua la función en estos valores, se trata de una integral impropia. Para resolverla se parte el intervalo en dos, tomando el valor intermedio de. Así, d d d + 4 4 4 d q d lim lim p + p q 4 4 Ahora se resuelve la integral indefinida como sigue:
d d + ( ) 4 4 d d + + ( 4 4 4 ) ( ) Se utiliza un cambio de variable : ( ) u u du d a De donde, a du angsenu + C a u d angsen( ) + C 4 Finalmente se tiene que: d lim angsen( ) lim angsen( ) p + p q 4 p q ( ) angsen( p ) ( ) angsen( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim angsen + lim angsen q angsen angsen + angsen angsen π π + π Por lo tanto la integral impropia es convergente su valor es π, que corresponde al área finita de la región señalada en la figura. Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia. Graficar la función el área que q
se obtendría con el cálculo de la integral impropia si es que es convergente. 8 d ( 4 ) Solución. La función contenida en el integrando está definida en los etremos del intervalo de integración dado. Sin embargo, cuando 4, la función presenta una discontinuidad, dado que ahí se encuentra una asíntota vertical. Si se grafica se llega a: asíntota 4 ( ) 4 Por ello, la integral impropia se epresa como: d d d 8 4 8 + 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) p d lim + lim q q ( 4 ) ( 4 ) p 4 4 Por simetría se resolverá sólo una de ellas (la segunda). Pero 8 d primero ha que calcular la integral definida. Así, d ( ) 4
Mediante un cambio de variable se tiene: Luego, u 4 du d du u u du C u C + + u d ( 4 ) d + C 4 d 8 8 8 lim lim 4 4 q 4 q 4 q q ( 4 ) ( 4 ) + q lim 4 8 4 4 q 4 Por lo tanto la integral impropia es convergente le asigna al área considerada un valor finito de: 8 d ( 4 ) ( ) 4 6 4 Ejemplo. Investigar la naturaleza de la integral impropia siguiente ver si es factible calcular con ella un valor finito para el área en ella considerada. d 4 Solución. Se grafica la función del integrando,
4 asíntotas 4 Como se ve, la función en el intervalo considerado tiene asíntotas en las rectas de ecuaciones lo que se podría confirmar mediante los siguientes límites: lim lim 4 4 Luego, la integral impropia se debe partir en dos, tomando de manera arbitraria un valor intermedio en 4. Así, d 4 d d + 4 4 4 4 4 d q d lim lim p + p q 4 4 4 Primero se resolverá la integral indefinida, de donde: d Se realiza un cambio de variable se llega a: u 4 du d 4 u du u du u + C u + C
Por lo que: d d 4 4 + 4 q lim 4 + lim 4 p p q 4 4 lim 4 4 p 4 + lim q 4 4 4 p q + Se conclue entonces que la integral impropia es divergente, por lo que el área considerada es infinita. Ejemplo. Determinar si la siguiente integral impropia converge o diverge graficar el área que de ser convergente determinaría con su valor: d C 5 Solución. Se grafica la función del integrando se obtiene: asíntota Como se observa en la figura de manera analítica, es sencillo de ver que la función del integrando tiene dos asíntotas en las rectas de ecuaciones,
6 dados los límites de integración propuestos, la integral impropia se resuelve como: d p d lim p Al resolver la integral indefinida se obtiene: d Se efectúa un cambio de variable, u du d du u u u du + C u + C d + C Luego la integral impropia es igual a: d p lim p lim p + + lim p + 4 4 p p Por lo que la integral impropia es convergente, de acuerdo con su definición, el área de la región dada es de cuatro unidades cuadradas. Ejemplo. Calcular la integral impropia siguiente: e Solución. La función del integrando, que también se puede escribir como es continua para todo valor real de d e " " si se toma el valor intermedio integral impropia se resuelve como:, entonces la
+ q lim e d lim e d p p q e d e d e d + La resolución de la integral indefinida es como sigue: e d Se hace el siguiente cambio de variable: u u e u du d e du C + e e d + C Luego la integral impropia es igual a: e e e d lim + lim p q p lim lim p + + q + + + e e Por lo tanto la integra impropia es convergente su valor es cero. Nota. Si se hubiera pedido calcular el área bajo la curva, se tendría que haber hecho lo siguiente: se grafica la función se tiene: q e 7
8 Como se observa, eiste simetría con respecto al origen, por lo que se entiende que el resultado de la integral impropia haa sido cero a que se trata de dos áreas de igual valor absoluto pero diferente signo. Para calcular el área habría que calcular una sola parte después multiplicar por dos el resultado, lo que equivale, si se toma la parte de la derecha del eje de las ordenadas, a: q A e d lim e d A u q Ejemplo. Evaluar la integral impropia siguiente asignar si es posible un valor al área que la integral considera: d ( + ) Solución. La gráfica, donde se puede observar cómo la función presenta una discontinuidad en (la correspondiente a no se considera a que se sale del intervalo de estudio) es asintótica a las rectas, es la siguiente d ( + )
Para resolver la integral impropia, se divide en dos tomando a como punto intermedio. Así, d d d ( ) ( ) + + ( + ) lim p p d + + lim q ( ) + ( + ) Se resuelve la integral indefinida : q d + ( ) d Se realiza el cambio de variable siguiente: De donde, Luego, u u du a a d du angtanu + C angtan + C u + d p ( p q + ) () ( ) ( ) () lim angtan + lim angtan angtan angtan + angtan angtan π π Por lo tanto, la integral impropia es convergente su valor es π, valor que se asigna al área de la figura. Ejemplo. Evaluar la integral definida siguiente, trazar el área que considera resolverla: q 9
d Solución. Primero se hace una gráfica aproimada del problema planteado : La integral impropia, para resolverse, se epresa como: d d d d d + lim + lim p p q q La resolución de la integral indefinida es mu sencilla: Luego, d d + C + C d lim lim + p q p lim + lim + + p p q () 4 ( ) q Luego la integral impropia es divergente no asigna área a la región señalada. q