APUNTES DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS II PARA INGENIEROS DE TELECOMUNICACIONES Elbordos por Arturo de Pblo, Domingo Pestn y José Mnuel Rodríguez 3. Problems de utovlores de Sturm-Liouville 3.1. Introducción Un problem de utovlores de Sturm-Liouville regulr consiste en un ecución diferencil de Sturm- Liouville, d px) dϕ ) + qx)ϕ + λσx)ϕ = 0, < x < b, 3.18) con condiciones de contorno del tipo dϕ β 1 ϕ) + β 2 ) = 0, dϕ β 3 ϕb) + β 4 b) = 0, 3.19) y coeficientes β i ddos. Además, los coeficientes p,q y σ deben ser continuos, con p > 0 y σ > 0 en todo el intervlo,b]. Ls incógnits son l función solución u y el prámetro λ, denomindos utofunción y utovlor, respectivmente. Teorem de Sturm-Liouville. Los siguientes resultdos son válidos pr todos los problems de Sturm-Liouville regulres. 1. Todos los utovlores λ son reles. 2. Existe un cntidd infinit de utovlores: λ 1 < λ 2 <... < λ n < λ n+1 <... con un utovlor mínimo, y verificndo λ n cundo n. 3. A cd utovlor λ n le corresponde un utofunción, denotd por ϕ n x) que es únic slvo constntes multiplictivs), que tiene exctmente n 1 ceros en el intervlo < x < b. 4. Ls utofunciones ϕ n x) formn un conjunto completo, es decir, culquier función suve trozos fx) se puede representr en serie de Fourier generlizd de ls utofunciones: fx) n ϕ n x), n=1 pr ciertos coeficientes generlizdos de Fourier n. Más ún, est serie converge l vlor medio fx+) + fx )]/2 en < x < b. 5. Ls utofunciones correspondientes utovlores distintos son ortogonles respecto l función peso σx), es decir ϕ n x)ϕ m x)σx) = 0, si λ n λ m. 17
6. Cd utovlor está relciondo con su utofunción correspondiente medinte el cociente de Ryleigh: λ = CRϕ) pϕdϕ/ b + pdϕ/) 2 qϕ 2 ]. ϕ 2 σ Algunos de estos resultdos pueden ser válidos tmbién pr problems de utovlores de Sturm- Liouville que no son regulres, es decir, con condiciones de contorno más generles, de periodicidd o de no singulridd. Ls condiciones de periodicidd son ϕ) = ϕb), p) dϕ ) = pb)dϕb); ls condiciones de no singulridd imponen ϕ cotdo siempre que l función px) se nule, de mner que el producto pϕ se nule en ese punto. 3.2. Ejemplo e ilustrción del teorem de Sturm-Liouville Podemos ver el significdo de estos resultdos usndo el ejemplo más sencillo de problem de Sturm- Liouville regulr: d 2 ϕ + λϕ = 0, 2 ϕ0) = 0, 3.20) ϕl) = 0. En este cso l ecución diferencil con coeficientes constntes tiene condiciones de contorno nuls en mbos extremos. Como y sbemos, los utovlores y sus correspondientes utofunciones son nπ λ n = L lo que d lugr un serie de Fourier de senos. ) 2, ϕn x) = sen nπx L, n = 1,2,3,..., Vemos que los utovlores son reles, formn un sucesión con un primer utovlor λ 1 = π/l) 2, y que se tiene λ n cundo n. Ls utofunciones ϕ n x) = sennπx/l, un pr cd utovlor, tienen exctmente n 1) ceros cd un en el intervlo 0,L): l función senπx/l no tiene ceros, sen 2πx/L se nul un únic vez en 0,L), sen3πx/l tiene dos ceros, etc. Ls utofunciones se pueden utilizr siempre pr representr culquier función suve trozos fx) fx) n=1 n sen nπx L. Reconocemos en este desrrollo un serie de Fourier de senos. De hecho ests utofunciones son ortogonles con peso σ = 1, como sbemos de ls series de Fourier. Los coeficientes n son quí los coeficientes de Fourier del desrrollo en serie de senos. Finlmente cd utovlor se relcion con su utofunción de l siguiente mner, λ n = CRϕ n ) = L L dϕ n /) 2 nπ/l) 2 cosnπx/l)) 2 0 = = nπ/l) 2. 0 L 0 ϕ n ) 2 L 0 sennπx/l)) 2 18
Demostrremos en lo que sigue prte del teorem; no demostrremos l existenci de l sucesión de utovlores, excepto en los csos en los que podremos clculrlos de mner explícit, ni tmpoco probremos l propiedd de los ceros de ls utofunciones. Pr l demostrción del resto de propieddes utilizremos ls llmds identidd de Lgrnge y fórmul de Green. 3.3. Demostrción del teorem de Sturm-Liouville 3.3.1. Identidd de Lgrnge. En l myorí de ls demostrciones que siguen será fundmentl el uso de l fórmul conocid como identidd de Lgrnge. Clculemos l expresión ulv) vlu) pr dos funciones u y v culesquier, no necesrimente utofunciones. Recordemos que y que entonces Lu) = d p du ) + qu y Lv) = d p dv ) + qv, ulv) vlu) = u d p dv ) v d p du ). El miembro derecho se puede escribir como un diferencil exct: p ulv) vlu) = d u dv vdu expresión que se conoce como form diferencil de l identidd de Lgrnge. 3.3.2. Fórmul de Green. )], 3.21) L form integrl de l identidd de Lgrnge tmbién se conoce como fórmul de Green. Se obtiene integrndo l expresión 3.21), ulv) vlu)] = p u dv ) vdu b 3.22) pr funciones u y v regulres. Si p = 1 y q = 0 en cuyo cso L = d 2 / 2, como el ejemplo nterior), l identidd 3.21) nos dice que 3.3.3. Operdores utodjuntos. ) u d2 v 2 u vd2 2 = u dv vdu ) b. Como cso importnte de l fórmul de Green, supongmos que u y v son dos funciones culesquier, pero con l restricción dicionl de que los términos de contorno se nuln, Entonces, 3.22) se convierte en p u dv ) b vdu = 0. ulv) vlu)] = 0. 19
Por ejemplo podemos tomr funciones u y v tles que mbs cumpln ls misms condiciones de contorno homogénes 3.19). Pero tmbién condiciones de periodicidd nuln el término fronter. Por tnto, pr ests funciones u y v, tenemos que ulv) vlu)] = 0. 3.23) Cundo se cumple 3.23) decimos que el operdor L, con sus correspondientes condiciones de contorno, es utodjunto. 3.3.4. Ortogonlidd. Demostrremos hor l utilidd de l fórmul de Green. Comenzremos probndo l importnte relción de ortogonlidd de los problems de utovlores de Sturm-Liouville. Pr muchos tipos de condiciones de contorno, ls utofunciones correspondientes utovlores distintos son ortogonles respecto l peso σx). Pr probr est firmción, sen λ n y λ m los utovlores correspondientes ls utofunciones ϕ n x) y ϕ m x). Usndo l notción de operdores, ls ecuciones diferenciles que cumplen ests utofunciones son Lϕ n ) + λ n σx)ϕ n = 0, Lϕ m ) + λ m σx)ϕ m = 0. Además, tnto ϕ n como ϕ m cumplen ls misms condiciones de contorno homogénes. Podemos tomr pues u = ϕ m y v = ϕ n en l fórmul de Green, obteniendo: Así tenemos ) b dϕ n ϕ m Lϕ n ) ϕ n Lϕ m )] = p ϕ m ϕ dϕ m n. λ m λ n ) Como u y v son utofunciones, esto implic que ) b dϕ n ϕ n ϕ m σ = p ϕ m ϕ dϕ m n. λ m λ n ) Si λ m λ n, entonces se sigue inmeditmente que ϕ n ϕ m σ = 0. ϕ n ϕ m σ = 0. 3.24) En otrs plbrs, ls utofunciones ϕ n y ϕ m ) que corresponden utovlores diferentes λ n λ m ) son ortogonles con peso σx). 3.3.5. Autovlores reles. Podemos usr l ortogonlidd de ls utofunciones pr probr tmbién que los utovlores son reles. Supongmos que λ es un utovlor complejo y ϕx) l correspondiente utofunción que tmbién 20
puede ser complej, y que l ecución diferencil que define l utofunción serí complej en ese cso). Tenemos pues: Lϕ) + λσϕ = 0. Tomndo el conjugdo complejo en los dos miembros de l ecución obtenemos Lϕ) + λσϕ = 0. Como el coeficiente σ es rel, se tiene σ = σ. El conjugdo de Lϕ) es exctmente L ctundo sobre el conjugdo de ϕ, es decir, Lϕ) = Lϕ), porque los coeficientes del operdor diferencil linel son tmbién reles. Por tnto, Lϕ) + λσϕ = 0. Por otro ldo, si ϕ cumple uns cierts condiciones de contorno con coeficientes reles, entonces ϕ cumple ls misms condiciones de contorno. L ecución nterior y ls condiciones de contorno muestrn que ϕ verific el problem de utovlores de Sturm-Liouville con utovlor λ. Hemos probdo el siguiente resultdo: si λ es un utovlor complejo y su utofunción correspondiente es ϕ, entonces λ es tmbién un utovlor y su utofunción correspondiente es ϕ. Si λ λ, se tendrí que ϕ y ϕ deberín ser ortogonles, cos que result en un contrdicción, pues ϕϕ = ϕ 2 > 0. Así pues λ = λ, y λ es rel. 3.3.6. Desrrollo generlizdo de Fourier. Al igul que con ls series de Fourier de senos, usmos l condición de ortogonlidd pr clculr los coeficientes de Fourier generlizdos. Escribimos fx) = n ϕ n x), y multiplicmos por ϕ m x) y σx). Integrndo desde x = hst x = b, obtenemos fx)ϕ m x)σx) = n=1 n ϕ n x)ϕ m x)σx), n=1 y como ls utofunciones son ortogonles, con respecto l peso σx), tods ls integrles del miembro derecho se nuln excepto l correspondiente n igul m: fx)ϕ m x)σx) = m ϕ 2 mx)σx). L integrl de l derech no es nul porque el peso debe ser positivo por l definición de problem de Sturm-Liouville regulr) y ϕ n no puede ser idénticmente nul por ser utofunción. Podemos, por tnto, dividir por l integrl pr clculr el coeficiente de Fourier generlizdo m : m = fx)ϕ m x)σx). 3.25) ϕ 2 mx)σx) 21
3.3.7. Unicidd de ls utofunciones en los csos regulr y singulr. Probemos continución que cd utovlor le corresponde un únic utofunción excepto en el cso de condiciones de contorno periódics). Supongmos que hubier dos utofunciones distints, ϕ 1 y ϕ 2, socids l mismo utovlor λ. Diremos entonces que λ es un utovlor múltiple con multiplicidd l menos dos. En este cso se verificrán l vez ls dos identiddes Lϕ 1 ) + λσϕ 1 = 0, Lϕ 2 ) + λσϕ 2 = 0. Como λ es el mismo en mbs expresiones, tenemos ϕ 2 Lϕ 1 ) ϕ 1 Lϕ 2 ) = 0. Utilizndo l form diferencil de l identidd de Lgrnge tenemos p ϕ 2 Lϕ 1 ) ϕ 1 Lϕ 2 ) = d ϕ 2 dϕ 1 ϕ 1 )] dϕ 2. De l expresión nterior se sigue ) dϕ 2 p ϕ 1 ϕ dϕ 1 2 = constnte. 3.26) Podemos hor clculr l constnte prtir de ls condiciones de contorno: est constnte es nul si l menos un de ls condiciones de contorno es de tipo Sturm-Liouville regulr o de tipo singulr). Pr culesquier de ests condiciones de contorno se sigue que dϕ 2 ϕ 1 ϕ dϕ 1 2 = 0. Esto es equivlente d ϕ 2/ϕ 1 ) = 0, y de quí deducimos que pr ests condiciones de contorno ϕ 2 = cϕ 1. Esto demuestr que con ls condiciones de contorno nteriores, dos utofunciones culesquier, ϕ 1 y ϕ 2, correspondientes l mismo utovlor, deben ser un un múltiplo de l otr. Cundo ls condiciones de contorno son periódics, no obtenemos que l constnte de 3.26) se necesrimente cero. Por ejemplo, consideremos el problem de utovlores con condiciones de contorno periódics, d 2 ϕ + λϕ = 0, 2 ϕ L) = ϕl), 3.27) dϕ dϕ L) = L). Sbemos que el utovlor λ = 0 tiene por utofunción l función ϕ = 1. Los otros utovlores, nπ/l) 2, n = 1,2,..., tienen socids, cd uno, dos utofunciones linelmente independientes, sennπx/l) y cosnπx/l), lo que, según hemos visto, d lugr un serie de Fourier complet, en senos y cosenos. 22
3.3.8. Cociente de Ryleigh El cociente de Ryleigh se puede obtener prtir de l ecución diferencil de Sturm-Liouville, d px) dϕ ] + qx)ϕ + λσx)ϕ = 0, 3.28) multiplicndo est iguldd por ϕ e integrndo, Como ϕ d p dϕ ) ] + qϕ 2 + λ ϕ 2 σ = 0. ϕ 2 σ > 0, podemos despejr λ, e integrndo por prtes obtenemos l expresión finl del cociente de Ryleigh, λ = CRϕ) = 3.3.9. Autovlores no negtivos. pϕ dϕ b + p ) ] 2 dϕ qϕ 2 ϕ 2 σ. 3.29) A menudo, en los problems físicos el signo de λ es bstnte importnte. Por ejemplo, en ciertos problems de flujo de clor l prte temporl de l solución seprd verific l ecución dh/dt + λh = 0. Así, λ positivo corresponde un decimiento exponencil en el tiempo, mientrs que λ negtivo corresponde un crecimiento exponencil. Por otro ldo, en ciertos problems de vibrción, l prte temporl verific l ecución d 2 h/dt 2 = λh. En ese cso, sólo los vlores positivos de λ corresponden ls oscilciones esperbles. Por tnto, en los dos tipos de problems es norml esperr que λ 0. Ahor bien, el cociente de Ryleigh prueb directmente que λ 0 si, por ejemplo, se cumplen ls dos condiciones : ) pϕ dϕ b 0 y b) q 0. Ls condiciones ) y b) son rzonbles físicmente en el cso de utovlores λ no negtivos. Por ejemplo los tipos más simples de condiciones de contorno homogénes, ϕ = 0 y dϕ/ = 0, no contribuyen este término de fronter, luego cumplen ). L condición dϕ/ = hϕ, que prece por ejemplo en los csos físicos de l ley de enfrimiento de Newton o de condición de contorno elástic, contiene un constnte h > 0 en el extremo izquierdo x =, y por tnto proporcionrá un contribución positiv en ese punto. Ls condiciones de contorno periódics tmpoco contribuyen l término de fronter. Por tnto, en todos estos csos el término pϕ dϕ/ b 0. En cunto l condición b), por ejemplo, en los problems de flujo de clor, se tiene q = α, puesto que Q = αu, y l condición q 0 corresponde l cso de un rección que bsorbe energí endotérmic), mientrs que pr problems de vibrción, est mism condición corresponde un fuerz de recuperción. 3.3.10. Principio de minimizción. El cociente de Ryleigh no se puede utilizr pr clculr explícitmente el utovlor, porque ϕ es desconocid, pero puede ser bstnte útil pr estimr los utovlores. Pr ello usmos el siguiente 23
principio de minimizción: el vlor mínimo del cociente de Ryleigh evludo sobre tods ls funciones continus que cumplen ls condiciones de contorno es igul l primer utovlor, esto es: λ 1 = mín u CRu). 3.30) El mínimo se clcul sobre tods ls funciones continus que cumplen ls condiciones de contorno y se lcnz solmente pr u = ϕ 1 x), l utofunción correspondiente l utovlor mínimo. En problems como el del clor, el utovlor mínimo es de grn importnci. 24