Uidd. Mries TEM. MTRICES.. Defiiió de Mries ipos de Mries. Operioes o Mries.. Iguldd de Mries.. Sum de Mries.. Produo de u Mri por u úmero (eslr). Produo de Mries. Trsposiió de Mries. Mries siméris isiméris. Mri ivers.. Defiiió... Cálulo. Resoluió de euioes mriiles J José Luis Loree rgó
Uidd. Mries Coeo o l P..U. E ese em omie el loque II de Álger Liel. Por lo geerl e los eámees de l P..U. suele her u prolem reliodo o l resoluió de sisems de euioes lieles, que veremos e el em, u o dos uesioes relivs : resoluió de euioes mriiles, ese em dd u mri álulo del vlor de, ese em álulo de deermies, em ompror si u mri es iversile o o, em Por lo geerl o el prolem omo ls uesioes relivs ese loque que hor empemos suele ser meódis, por o seills. pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU
Uidd. Mries. Defiiioes de Mries ipos de Mries El oepo de Mri es seillo, es u l o m fils olums de úmeros reles ordedos (m, N). Vemos u defiiió más memái de ls mries Defiiió: se llm mri de dimesió m l ojuo de úmeros reles dispuesos e m fils olums de l siguiee form:... m... m............ o ij elemeo de l mri siudo e l fil i olum j... m Muhs vees l mri se deo mié omo ( ij ) Defiiió: El ojuo de ods ls mries o m fils olums se deo omo M m(r). sí M (R) Defiiió: dimesió de u mri es el úmero de fils olums de l mism, e el ejemplo erior, es de dimesió Tipos de mries:. Mries udrds: so ls mries que iee igul úmero de fils que de olums (m), que omo veremos so ls úis que puede muliplirse ere sí e ulquier de los dos posiioes. El ojuo de ods ls mries udrds o fils olums se deo omo M (R) o M (R). Ejemplo:, M (R) ó M (R) Elemeos de ls mries udrds:. Digol priipl: elemeos de l form ii, es deir e l digol que v desde hs. Digol seudri: elemeos de l form ij dode ij, es deir los elemeos e l digol que v desde hs Digol priipl ij Digol seudri ij J José Luis Loree rgó
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU. Mries rigulres superiores e iferiores: so ls mries udrds l que:. Superior: elemeos dejo digol de l priipl so ulos ij si i>j. Iferior: elemeos eim de l digol priipl so ulos ij si i<j erior rigulr erior rigulr if sup. Mries digoles: mries udrds dode odos los elemeos fuer de l digol so ero. D. Mri eslr: mri digol e el que odos los érmios de l digol so igules: E. Mri uidd o mri ideidd: mri eslr uos elemeos so. Se deo omo I o Id: Id I (mri ideidd de orde ) Id I (mri ideidd de orde ) Id I (mri ideidd de orde ). Mri olum: od mri o u sol olum M m (R) C C M (R). Mri fil: od mri o u úi fil M (R) ( ) F F M (R)
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó oioes: Tod mri digol es rigulr, o superior omo iferior, pues los elemeos por eim por dejo de l digol so ulos. Tod mri eslr es digol. L mri ideidd es u mri eslr. Ejeriio. Esriir mries de los siguiees ipos: ) De dimesió ) Cudrd de dimesió ) Trigulr iferior de dimesió d) Digol de dimesió e) Qué ipo de mri es de dimesió? Po u ejemplo. Cuál será l mri ideidd de dimesió? Soluió:... d. e. fil u olum los úmeros reles M (R)R, ejemplos,-., l ideidd es. Ejeriio.Deir que ipo de mries de que dimesió so ls siguiees mries: ) ) ) d)
Uidd. Mries. Mri udrd, rigulr superior, dimesió (M (R)) o udrd de dimesió.. Mri olum de dimesió (M (R)). Mri regulr de dimesió (M (R)) d. Mri udrd, eslr de dimesió (M (R)) o simplemee mri udrd de dimesió.. Operioes o mries. Iguldd de mries Defiiió: dos mries M N se die que so igules (MN) si se umple: - mism dimesió - elemeos que oup el mismo lugr so igules.. Sum de mries Solo se puede sumr mries de l mism dimesió, vemos e qué osise l sum de mries: Defiiió: l sum de dos mries de dimesió es or mri que se deo omo o mism dimesió que ls ors dos defiid omo ( ij )( ij )( ij ij ). Es deir se oiee sumdo los elemeos que oup l mism posiió e ls dos mries que sum. Vemos u ejemplo de dos mries, M (R) Propieddes de l sum de mries: omo l sum de mries defiids prir de l sum de úmeros reles umple ls misms propieddes que esos, es deir: - soiiv: (C)() C - Elemeo euro, o O l mri de igul dimesió que o odos sus oefiiees igules ero - Elemeo opueso: (-), o (-)(- ij ) es deir los elemeos opuesos los de l mri. - Comuiv: Ejemplo de elemeo opueso:, pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU
Uidd. Mries. Produo de u mri por u úmero (eslr) Defiiió: Se R (eslr) ( ij ) u mri de dimesió m ( M m (R)).El produo de por es or mri de mism dimesió l que: ( ij )( ij ), es deir l mri se oiee de muliplir por d elemeo de l mri. Ejemplo: M (R): Propieddes: - () - () - ()() - Ejeriio : sr for omú u eslr de ls siguiees mries de form que éss se simplifique C D Id No: siempre que de form seill se pued sr for omú, simplifido l mri, se reomied sr ése, que se simplifi los álulos, espeilmee e l mulipliió de mries, omo veremos e el prdo siguiee. Ejeriio : Clulr el vlor de,, d: -d d- - dd d- J José Luis Loree rgó
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU Ejeriio : dds ls mries, C lulr ls siguiees operioes: C ) ) --C ) -C Ejeriio : resolver los siguiees sisems ) () () Y X Y X Llmemos ()-() YY- Y/(-) XY ) () () Y X Y X Llmmos ()() X X/() Y-X
Uidd. Mries ) () X Y () X Y Llmmos ()-() -Y- Y-/(-) X-Y. Produo de Mries El produo de mries es u operió más omplej que ls eriores. Pr poder muliplir dos mries es eesrio que el º de olums de l primer mri del produo se igul l º de fils de l segud mri. Vemos l defiiió del produo de mries: Defiiió: El produo de l mri ( ij ) M m ( ij ) M p es or mri C M mp, o igul º de fils que de olums que, l que el elemeo de l mri C que oup l fil i olum j, ij se oiee muliplido l fil i-esim de l primer mri o l olum j-ésim de l segud. Resul más seillo ompreder el produo de mries prir de vrios ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J José Luis Loree rgó
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU No se puede muliplir, pues l primer mri iee olums l segud fils. No: Vemos l uilidd de sr for omú e el produo de mries o u ejemplo: ) ( ) ( Más simple ) ( ) ( Ejeriio: ver odos los produos posiles o ls siguiees mries lulrlos:,, C M, M, C M, solo posiles los siguiees produos: C C Ejeriio : muliplir, Qué ourre?
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó No: e ls mries udrds, o siempre umple que, es deir o se umple l propiedd omuiv del produo de mries. Eise lgú ipo de mries que si omu,, si eso ourre se die que omu Ejeriio : Clulr -, () (-) siedo ls siguiees mries:, ) óese que o oiide o elevr l udrdo d érmio de - - ) () ()() ) (-) (-)(-) No: l o ser omuivo el produo de ls mries se umple que ls igulddes oles o so iers udo so mries () (-) -- -
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU Ejeriio : Clulr los vlores de e que verifi ls siguiees igulddes: ) ) - Ejeriio. Deir si so verdders o flss ls siguiees ideiddes pr ulquier mri: ) () Fls () ) (-) - Fls (-) -- ) ()(-) - Fls ()(-) - - Ejeriio : Clulr ls mries que omue o l mri, siedo:, ) Si omu se umple que XX R omu o ulquier,,, ) Si omu se umple que XX
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó f e d i i h f f e i h g f e d i h g f e d R g d o omu d g d h d i e f f e i d i h f f e,,,,,, Ejeriio. Se lulr. Clulr, Vemos lo que vle,, prir de sus vlores usquemos el vlor de : Id (-Id)- (-Id)(-Id)Id Id() es ere dividir de reso el Id es ere dividir de reso el es ere dividir de reso el Id es ere dividir de reso el sí -Id, que el reso de dividir ere es., que el reso de dividir ere es Ejeriio : Se lulr. ) ) )
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU )... ) )......
Uidd. Mries Ejeriio. Se u mri que omu o C. Demosrr que es ier l iguldd (C)(C) Si omu Si C omu CC (C)(C)(C)()C()C(C) Ejeriio Es posile que pr dos mries o udrds pued eisir? Se M m (R) M pq (R). Si eise p Si eise qm Sólo eise si M m M m. U so priulr es udo m, es deir ls dos mries so mries udrds.. Trsposiió de Mries.Mries siméris isiméris Defiiió: se u mri M m (R) se llm mri rspues se esrie omo M m (R) que resul de mir ls fils por ls olums. Ejemplos: C Propieddes:. ( ) ( ) C. (). (). () J José Luis Loree rgó
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU Ls rsposiioes de mries os permie defiir dos ipos de mries: siméris isiméris. Defiámosls: ) Mri siméri: es od mri udrd M (R) l que oiide o su rspues, es deir los elemeos simérios respeo l digol so igules, vemos u ejemplo de dimesió : ) Mri isiméri: es od mri udrd M (R) l que oiide o el opueso de su rspues - -, es deir los elemeos simérios respeo l digol so opuesos, los de l digol so ero. Vemos u ejemplo de dimesió : Ejeriio. Demosrr ls propieddes de mries rspuess prir de ls siguiees mries: P: ( ) P: ) ( P: () P:()
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó Ejeriio : Esriir u mri siméri isméri de dimesió,. isiméri S siméri isméri S siméri isméri S siméri Ejeriio. Eorr ods ls mries isiméris S siméris de orde que verifi Id S Id Si es isiméri de orde eoes es de l siguiee form, R - imposile, es deir o h igu mri isméri de orde que l udrdo se igul l Id. Si S es siméri de orde es de l siguiee form S,,, R S () () () de l euió oeemos () o - so : ±, ±,,, S S S S so : - ± S S, se umple siempre que - (rdido posiivo).
Uidd. Mries Ejeriio. Desompoer od mri udrd omo sum de u mri siméri or isiméri Se M l mri udrd, vemos ls siguiees mries: S demosremos que es siméri S S demosremos que es isméri Tedremos que ompror que l sum de S sum : S. Mri ivers. Defiiió Defiiió: l mri ivers de u mri udrd M (R) es or mri udrd de mism dimesió que se deo omo - M (R) l que se umple: - - Id o Id M (R) No ods ls mries udrds iee ivers, sí ls mries que iee ivers se llm mries regulres ls que o iee ivers se deomi mries sigulres.. Cálulo de l ivers El méodo más seillo pr el álulo de l ivers lo veremos e el em siguiee, udo defimos el deermie de ls mries. Pr mries podemos lulr l ivers prir de l defiiió: Ejemplo: Teemos euioes o iógis, que podemos gruprls e dos sisems de dos euioes o dos iógis: () () () () pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó Los sisems so: () () () () Ls soluioes so /, -/, -/ /, o lo que Comproió: - Id Ejeriio. Clulr l ivers de ls siguiees mries ) () () () () Soluió / Comproió: - Id ) () () () () () -, / () (), -/ () / /
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU ) () () () () () o soluió () () o soluió () Luego l mri o iee ivers, por lo que es u mri sigulr.. Resoluió de euioes mriiles. Defiiió Defiiió: so euioes lgeris dode los oefiiees ls iógis so mries. Ejemplos (PU JUN PRUE, C-) X - siedo (PU SEP PRUE, C-) P -P siedo, P. Resoluió de euioes. Teemos que oeer l mri iógi, que geerlmee se deo omo X, despejádol de l iguldd. Pr oseguirlo eemos ls siguiees regls: ) Si u mri esá sumdo u ldo de l iguldd ps resdo l oro ldo de l iguldd l revés. XC XC- X-C XC
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó ) Si muliplimos u mri por l iquierd u ldo de l iguldd mié lo eemos que her e el oro ldo de l iguldd por l iquierd. Igul por l dereh. X -X - Id X - X - X X - - XId - X - Ejemplo: vemos l resoluió de los dos eriores ejemplos: (PU JUN PRUE, C-) X - oro miemro psmos X - - ldereh por mos mulipli X - ( - -) - XId( - -) - X - - - - - - -Id Cluldo - eemos que - o lo que X - (PU SEP PRUE, C-) P -P l iquierd por P por muliplimos PP -PP IdPP PP por l dereh P por muliplimos PP - PP - PP - Cluldo P eemos que l mri usd es: Ejeriio : Ls mries l que se llm idelpoees, lulr ls mries idelpoees de orde () () () () () () so igules () so : - ; so
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU Cso - Susiuedo e () (-) (-) ± ± ± [,] (que so los vlores de dode el rdido es posiivo), Cso Susiuedo e (), Susiuedo e (), Eso os geer soluioes:,,, Ejeriio. Se l mri. Clulr l que se umpl l siguiee iguldd (-Id) (-Id) ) ( I Teemos euioes o u iógi, ods ls euioes iee u soluió omú. Si l soluió fuer disi e lgu or euió o edrí soluió
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó Ejeriio. Clulr l mri X, e l euió mriil (Id)X siedo (Id)X miemro oro psmos (Id)-X X por iquierd por muliplimos - - X - X por l dereh muliplimos - - X - - X Cluldo - (em siguiee) X - Ejeriio. Prue que --I siedo. Clul - prir de l erior iguldd: --Id - - --Id -Id (-Id)Id Id) ( - Id - Id) ( - - Ejeriio. Si so dos mries digoles de orde demuesr que. Hllr ls mries digoles que umpl Id ),, ), ±, ± Luego h soluioes:,,,
Uidd. Mries Ejeriios PU: Juio.Prue C--Dd l mri hállese u mri X que verifique l euió X-. X - psmos oro miemro X - - mulipli mos por l dereh X - ( - -) - XId( - -) - X - - - - - - -Id Cluldo - eemos que - o lo que X - Sepiemre. Prue C-) Dds ls mries, hállese l mri siedo que P - P. P -P muliplimos por P por l iquierd PP -PP IdPP PP muliplimos P por l dereh por PP - PP - PP - Cluldo P eemos que l mri usd es: Juio. Prue C-.- Dds ls mries, C, hállese ls mries X que sisfe XCC. XCC siedo C XCC psmos l oro miemro XCC - muliplimos por C por l dereh XCC - (C -)C - X(C -)C - XId( -)C - pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó Clulemos. Luego susiuedo e l euió mriil eemos: XId(-)C - Id Juio. Prue C-- Hállese ls mries udrds de orde, que verifi l iguldd: es equivlee ver ls mries que omu o Por resoluió de euioes o podemos oeerl, que o podemos despejr, que pr elimirl del primer miemro deerímos muliplir por -, pero eoes edrímos - e el segudo miemro. Pr soluior eso defimos l mri omo. sí l iguldd es de l siguiee: () () () () Luego será od mri, R. Comproió:
Uidd. Mries pues de Memáis II pr preprr el eme de l PU Juio. Prue C-.- Dds ls mries P, hállese rodmee l mri siedo que P. P PP - P - P - Cluldo P - (em siguiee): P -. Eoes Sepiemre. Prue C-.- Se X u mri, I l mri ideidd. Hllr X siedo que X I. I X I X ( ) I X ) ( X I X Cluldo - X Juio. Prue C-.- Se C lulr siedo C Vemos lo difíil que serí resolver el sisem de l siguiee form Tedremos que pesr e u form más seill pr eorr l mri : Si C, eoes se umple que C C -C Cluldo -
Uidd. Mries J José Luis Loree rgó