A.4. EORÍA DE CRCUOS CAPÍULO 3 ANÁLSS DE CRCUOS EN RÉGEN POLARÓNCO Cáedra de eoría de Crcuos Edcó 3
ANÁLSS DE CRCUOS EN RÉGEN POLARÓNCO 3. roduccó El desarrollo de las éccas de aálss de Fourer posee ua larga hsora que olucra a u cosderable úmero de esgadores, y la esgacó de umerosos y dferees feómeos físcos. E ese capíulo descrbremos el uso de la sere de Fourer como ua herramea para el aálss de crcuos que opera e régme peródco o seodal. El cocepo del uso de "sumas rgoomércas", es decr, sumas de seos y coseos armócamee relacoados, o de expoecales peródcas compleas para descrbr feómeos peródcos se remoa hasa los babloos, los cuales ulzaro deas de ese po para predecr eeos asroómcos. La hsora modera del ema comeza e 748 co L. Euler, que esudó el momeo de ua cuerda brae. Euler obseró que s la cofguracó de ua cuerda brae e u sae de empo dado es ua combacó leal de sus modos ormales (los cuales so fucoes armócamee relacoadas de la logud x, lo msmo ocurrrá e cualquer sae de empo poseror. E 753, D. Beroull propuso que odos los desplazameos físcos de ua cuerda podría represearse por combacoes leales de sus modos ormales, pero o lo fudameó maemácamee, y sus deas o fuero muy acepadas. E efeco, el propo Euler descaró las seres rgoomércas, y, e 759, L. Lagrage crcó el uso de las seres rgoomércas e el esudo de las cuerdas braes, basádose e su creeca de que era mposble represear señales co pedees dscouas. Fue e ese ambee hosl que, el de dcembre de 87, el maemáco fracés Jea Bapse Fourer (768-83 preseó los resulados de su rabao de esgacó del fluo de calor e ua arlla meálca al suo de Fraca, e el cual había deermado la uldad de las seres rgoomércas para represear ua fucó peródca, propoedo así que "cualquer señal peródca podía represearse por dcha sere". Auque su raameo del ema fue sgfcao, muchas de las deas báscas ya había sdo descuberas por oros. Además, los fudameos maemácos de Fourer era aú mprecsos, y fue P.L. Drchle, que, e 89, aporó las codcoes precsas bao las cuales ua señal peródca puede represearse por ua sere de Fourer. El rbuo mas sgfcao al rabao de Fourer ha sdo el eorme mpaco del msmo e umerosas dscplas dero del área de las maemácas, ceca e geería, dado que hay umerosos problemas e los cuales las señales peródcas, y por lo ao las seres y rasformada de Fourer uega u papel mporae. E efeco, las señales peródcas surge al descrbr el comporameo peródco del clma erresre, las odas geeradas por los aleradores, o, cluso, las olas e el océao, que cosse e combacoes leales de odas seodales co dferees períodos espacales, o logudes de oda. Asmsmo, los recfcadores o flrados almeados por ua señal seodal produce odas seodales recfcadas que o so seodales, pero so peródcas. El geerador de barrdo usado para corolar el haz de elecroes e u oscloscopo produce ua oda peródca ragular. Los oscladores elecrócos que se ulza e esayos de laboraoro esá dseñados para geerar odas peródcas o seodales. Esos geeradores de fucoes so capaces de producr odas cuadradas, ragulares o de pulsos recagulares. Oro problema que cremea el erés e las odas peródcas es que los geeradores de poeca, aú cuado se dseñe para producr ua oda seodal, o puede geerar odas seodales puras, la cual, s embargo,es peródca.
El erés e las fucoes peródcas se basa ambé e que ua alealdad e u crcuo que debería ser leal crea ua oda peródca o seodal. Eemplo de ese feómeo so los recfcadores aes mecoados, la sauracó magéca, que ocurre ao e máquas como e rasformadores, o recores e crcuos elecrócos, que ulza rassores e codcoes de core o sauracó. 3. Geeraldades sobre el méodo de la sere de Fourer Ua fucó peródca de período se puede represear medae ua suma de fucoes seodales cuyas frecuecas so múlplos de / (sere de Fourer. Esa sere os será úl para hallar la respuesa de u crcuo a ua señal de erada peródca o seodal, sumado las respuesas del crcuo a cada uo de los érmos seodales dduales que os represea la oda de erada e la sere de Fourer. La eaa esecal de la sere es que represea ua oda peródca de almeacó medae ua suma de señales, e u méodo smlar al usado e físca cuado se descompoe u ecor fuerza e ua suma de ecores perpedculares. E la sere de Fourer, la oda de erada se descompoe u ua suma de compoees seodales muuamee orogoales, y os abre la posbldad de aplcar el eorema de superposcó para obeer la respuesa. A couacó eremos los leameos báscos para la deermacó de la respuesa de u crcuo a ua oda peródca ragular. E la fgura a se muesra dcha oda, la cual se aplca al crcuo de la fgura b, e el que se preede deermar la esó de salda o (. La solucó es smple medae la aplcacó de Fourer. E efeco, el prmer paso cosse e la represeacó de la oda ragular medae ua sere de Fourer, es decr, medae ua suma de érmos seodales, la cual ambé se muesra e la fg.. El segudo paso cosse e la deermacó de la respuesa del crcuo a cada uo de los érmos seodales, lo cual es smple medae la aplcacó de éccas de aálss de crcuos e régme seodal. El ercer y úlmo paso es aplcar superposcó, dado que al ser u crcuo leal, la respuesa a la oda ragular descompuesa por Fourer e ua suma de seodes es la suma de las respuesas a cada seode acuado sola. Es decr, ese paso es ua síess, e la cual se cosruye la oda de salda sumado odas sus compoees seodales. Fg.
emos así que la respuesa de u crcuo a ua erada peródca esará represeado aalícamee medae ua suma fa de seodes, e la msma forma que fue represeada la erada. De acuerdo a la mayor o meor exacud que se preeda, se podrá lmar el úmero de érmos de la suma para obeer ua aproxmacó más o meos exaca de o (. 3 3.3 Gráfcos de erfereca. Para compreder meor la sere de Fourer, es úl eeder prmero el feómeo de erfereca. Se deoma erfereca al feómeo que se produce oda ez que se suma odas seodales de dsas frecuecas, y el resulado es sempre ua oda o seodal. Como eemplo, cosderemos la suma ( cos f cos f... cos 5f A cada uo de los érmos seodales de esa suma se las llama compoees. emos que las compoees ee frecuecas f o o/ (C.C., f /, f /,..f 5 5/ que so múlplos de /, las cuales se grafca ddualmee e la fg. a, meras que e la fg. b se muesra la suma de las compoees (. Fg.
4 E la fg. b se puede obserar que la fucó ( es peródca de período, codcó que ambé puede obeerse por rgoomería, y que además es o seodal. emos que para alores de próxmos a, co,,..., las compoees ee el msmo sgo por lo que sus efecos se refuerza. Eso se deoma erfereca cosruca. Para alores de leos de (por eemplo /, los alores umércos de las compoees o ee el msmo sgo, caceládose ere s e la suma y obeédose alores de ( pequeños, feómeo que se deoma erfereca desruca. emos así que el feómeo de erfereca es el que orga que la forma de oda ( sea o seodal. Fue Fourer que por prmera ez propuso que odas las señales peródcas puede obeerse como el resulado de erferecas desrucas y cosrucas de compoees seodales, desgado a las odas como la de la fg. b como gráfcos de erfereca. 3.4 Forma Seo-Coseo de la sere de Fourer Cosderaremos el problema de represear ua oda peródca real arbrara ( como ua suma de érmos o compoees seodales, al como se muesra a couacó: ( a a a cos f (a...a cos f b cos f...b se f se f...b se f... ( dode f /, y es el período de (. La pregua es ahora, como esá relacoados los coefcees a o, a y b co la fucó (. E prmer lugar, obseramos que a o debe ser el alor medo de (, dado que los alores medos de los resaes érmos del segudo membro so cero, por lo que: a (d ( co o arbraro. ulplcado ambos membros de la ecuacó ( por cosf e egrado e u eralo de duracó, llegamos, luego de operar, a que: a ( cos f d,... (3 Los coefcees b puede obeerse e forma smlar s mulplcamos ambos membros por se f e egramos e u eralo de duracó, llegamos a que: b ( se f d,... Los coefcees a y b esá uíocamee deermados y se deoma coefcees de Fourer de (. Dmesoalmee se expresa e la msma udad que (, y su alor se calcula drecamee de (, e forma depedee de los resaes coefcees. Esa depedeca es cosecueca del hecho que los érmos del segudo membro de la ecuacó ( so orogoales (4
5 e u eralo, es decr, se erfca que: o x ( x o ( d Como cosecueca de la orogoaldad, odas las egrales del segudo membro se guala a cero, co lo cual el rabao de cálculo se smplfca oablemee. 3.5 eorema de Parseal para odas peródcas reales. mos aerormee que el alor efcaz al cuadrado de ua oda es umércamee gual a la poeca ormalzada de la oda, la cual es la poeca aca que la oda dspa cuado se aplca a ua resseca de Ω. El eorema de Parseal muesra que la poeca ormalzada e ua oda peródca puede expresarse drecamee e fucó de los coefcees reales de Fourer, y puede obeerse escrbedo la poeca ormalzada e ( como: ( d a (a cos f b se f d,... (5 Cuado se desarrolla el cuadrado del paréess del segudo membro se obee umerosos producos cruzados, los cuales ua ez egrados coduce a ceros, pues las compoees de la sere de Fourer so orogoales. Las egrales de los producos o cruzados se obee fáclmee, y el resulado es: ( d a a b (6 Se puede er fáclmee que la cadad a o es la poeca ormalzada de la compoee de coua, a es la poeca ormalzada de la compoee a cos f y b es la poeca ormalzada e b se f. Por lo ao, el eorema de Parseal os dce que la poeca ormalzada oal e ( es gual a la suma de las poecas ormalzadas de cada ua de las compoees de la sere de Fourer de (. Eso sgfca que s ( se aplca a ua resseca, la poeca aca oal sumsrada gualará a la suma de las poecas acas dspadas por las compoees dduales de la sere de Fourer. 3.6 Propedades de smería esgaremos ahora la relacó ere la smería de la oda y su sere de Fourer. Las res propedades de smería descras a couacó so mporaes porque os dce cuado será cero ceros coefcees de Fourer s ecesdad de ealuar las correspodees egrales. * Propedad : s ( es ua fucó par, es decr, s (- (, la sere de Fourer de ( coee sólo compoees pares.
6 Esas compoees so los érmos de coua a o y los érmos coseo. Es decr, para ua fucó par, los b para,,3... U eemplo de la fucó par es el re de pulsos rapezodal de la fgura 3. Fg. 3 * Propedad : S ( es ua fucó mpar, (- - (, y la sere de Fourer coee solo compoees armócas mpares. Esas compoees so los érmos seo: b se f,,,... Luego, los a para,,,... Como eemplo se muesra e la fgura 4 ua oda dee de serra. Fg. 4 Propedad de smería 3: Ua oda peródca que sasface la codcó de que ( - ( - / se dce que posee smería de meda oda. U eemplo de ua oda co smería de meda oda es la doble dee de serra de la fg. 5. E ese caso, s ( ee smería de meda oda, su sere de Fourer coee sólo compoees co smería de meda oda, es decr, compoees de frecuecas que sea múlplos mpares de f. Es decr, a o a b para, 4, 6... Fg. 5 E síess, u oda peródca co smería par coee sólo compoee de coua y érmos coseo. Ua oda peródca co smería mpar coee sólo compoees seo. Ua oda co smería de meda oda coee sólo frecuecas que so múlplos mpares de /.
mporae: es frecuee que los crcuos elecrócos sume esoes de coua a formas de oda que posee smería mpar o de meda oda. Esrcamee hablado, eso desruye la smería olucrada. S embargo, la suma de ua esó de coua a cualquer forma de oda peródca camba sólo el coefcee de coua a o de la sere. Por lo ao, s se debe rabaar co ua oda que poseería smería mpar o de meda oda luego de la susraccó del el de coua, odos los coefcees de Fourer excepo a o sasfará las codcoes dadas e las propedades de smería y 3. 7 3.7 Forma amplud - fase de la sere de Fourer. Ora forma úl de la sere de Fourer de ua oda peródca real puede obeerse de la dedad: A cos( f Φ A cosφ cos f A se Φ se f (7 S hacemos: a b A A cos Φ se Φ,...,... (8 (9 y reemplazamos e la forma seo coseo, resula: ( A A cos(f Φ... A cos(f Φ... e la cual: A A A Φ A cos(f Φ a a a b b a (,,...,,... Esa forma se deoma amplud - fase, sedo A la amplud de Fourer y Φ la fase de Fourer. Las compoees seodales de la forma amplud-fase se deoma oos o armócas, y A cos ( f Φ se deoma fudameal o prmera armóca, A cos ( f Φ seguda armóca, y así sucesamee. La duplcacó de la frecueca elea la armóca ua ocaa, por lo que la seguda armóca esá ua ocaa por arrba de la prmera, y la cuara armóca esá dos ocaas por arrba de la prmera. Los érmos ocaa y armóca so décos a los ulzados e músca, y esa ermología comú es muy úl al aalzar o dseñar u amplfcador de audo. 3.8 Especro ulaeral de amplud, fase y poeca. La represeacó de las ampludes de Fourer e fucó de la frecueca, como se muesra e la fg. 6 a, se deoma especro ulaeral de amplud de (. La represeacó correspodee de las fases de Fourer, que se muesra e la fg. 6 b se deoma especro ulaeral de fase de (, y ambas gráfcas dca que a cada frecueca f f,,,,..hay compoees seodales e
8 (. El especro de amplud os dce que la amplud de la compoees de frecueca f es A, y se desga por la alura de la líea correspodee. El especro de fase os dce que la fase de la compoee de frecueca f es, represeado por la alura de la líea correspodee. Los especros de fase y se amplud se deoma especros de líea pues cosse e líeas. Fg. 6 Los coefcees A se deoma coefcees especrales de ( y mde la pare de la señal ( que esá e cada armóca de la compoee fudameal. El érmo a o es la compoee de coua y es smplemee el alor medo de ( e u período. El érmo "coefcee especral" dera de problemas ales como la descomposcó de la luz e líeas especrales, o sea las compoees elemeales a dsas frecuecas. La esdad de cualquer líea e al descomposcó es ua medda dreca de la pare de eergía oal de la luz a la frecueca correspodee a la líea. 3.9 Replaeo del eorema de Parseal para odas peródcas reales. Los érmos de la derecha de la expresó amplud-fase de la sere de Fourer, al como ocurría co los érmos e la forma seo-coseo, so orogoales e el eralo. E cosecueca, la poeca ormalzada e ( ( d [ A A cos(f Φ ] d ( guala a la suma de las poecas ormalzadas e las compoees dduales. De esa forma surge el replaeo del eorema de Parseal para la forma amplud-fase, al como se muesra a couacó:
9 ( d A A (3 expresó que os perme calcular la poeca ormalzada oal de ua oda. La represeacó de las poecas ormalzadas de cada ua de las compoees de la ecuacó 3 e fucó de la frecueca, al como se muesra e la fgura 7 se deoma especro ulaeral de poeca de (. La alura de la líea e f f e el especro de poeca es umércamee gual a la poeca meda que se dsparía s la eésma armóca de esó se aplcara e los bores de ua resseca de Ω. De acuerdo al eorema de Parseal, la suma de las aluras de odas las líeas e el especro de poeca es umércamee gual a la poeca meda (aca que se dsparía s ( se aplcara e los bores de ua resseca de. 3. Forma complea de la sere de Fourer. Fg. 7 La forma complea de la sere de Fourer es la represeacó de ua oda peródca medae ua suma de expoecales compleas. Esa forma suele ser más coeee de usar que las formas reales, además de resular ua forma úl para proceder a las rasformacoes de Laplace o de Fourer. La forma complea de la sere de Fourer de ua oda peródca real puede obeerse drecamee a parr de la forma real, s embargo, es úl proceder a ua geeralzacó de forma de clur odas peródcas compleas. Cosderemos ua fucó peródca ( real o complea arbrara, y escrbámosla como ua sere complea de Fourer: (. e f dode f / y es el perodo. Las cadades,,,,... so fasores, y se deoma coefcees compleos de Fourer. Obseramos que odos los érmos e la sumaora so fasores roaes. Los que correspode a > roa e sedo ahoraro, y los que correspode a < roa e sedo horaro. La suma de los fasores roaes es (. La expresó del -ésmo fasor puede obeerse s mulplcamos ambos membros de la ecuacó 4 por e - f (4 e egramos desde o a o, dode o es arbraro. Eso os coduce a: Las seccoes 3. a 3. puede omrse para ese curso, quedado a íulo formao para usos e oras asgauras.
.. f f f (f e ( e d e e d d (5 Por aplcacó de la dedad de Euler, podemos escrbr: e (f d cos ( f d se ( f d (6 emos que s, cada ua de las dos egrales del segudo membro de la ecuacó (6 es cero, porque el área bao u úmero eero de cclos de cualquer seode es cero. S, la seguda egral del segudo membro es cero, porque se. S embargo, como cos, el alor de la prmera egral del segudo membro es para : (f e d (7 Reemplazado la ecuacó 7 e la ecuacó 5 llegamos a que: ( e f d. (8 dode es el -ésmo coefcee compleo de Fourer. Susuyedo por e la ecuacó 8 y resoledo para obeemos:. ( e f d, ±, ±... Esa es la expresó geeral del -ésmo coefcee de la sere complea de Fourer de ua oda peródca arbrara real o complea (, y e el caso de que ( sea real se obee resulados especales, al como eremos a couacó. (9 3. Relacó ere las formas real y complea de la sere de Fourer de ua señal real. Ahora aalzaremos la relacó exsee ere las formas real y complea de la sere de Fourer. edae la aplcacó de la dedad de Euler, la ecuacó 4 puede escrbrse como:. ( cos f d (se f d ( para, ±, ±,... Comparado la ecuacó co las ecuacoes (, (3 y (4 emos que para ( real:. a b para,,...
y a Se deduce así que los coefcees reales de Fourer a o, a y b co,,.. de ua oda peródca real ( puede obeerse drecamee a parr de los coefcees de la sere complea de Fourer de dcha oda medae el uso de las sguees expresoes: a b m a Re,...,... ( ambé podemos obeer las ampludes de Fourer, A,,,,.. y las fases Φ,, 3,.. de ua oda peródca real ( a parr de los coefcees de la sere complea de Fourer de dcha oda. Para ello, reemplazamos las expresoes 8, 9 y (a e las ecuacoes a y b para obeer: y. Φ A cos A se A e Φ Φ para,,... A (3 Eso os coduce a formulas úles: A A Φ,,3...,,3... (4 Ua obseracó fal respeco de los coefcees compleos de Fourer de ua oda peródca real surge a parr del reemplazo de por -:. ( e f d, ±, ±... emos que esa susucó ha cambado el sgo de e el expoee de la egral e la ecuacó 9. S ( es real, eoces el cambo e el sgo de e el expoee es equalee a cougar el segudo membro, o sea, para ua oda real (: ( e la cual, comparada co la ecuacó 9 muesra que: *. f d * (6 (7 (5
Es decr, para ua oda real, podemos obeer los coefcees compleos de Fourer de ídce egao smplemee cougado los coefcees compleos de ídce poso. 3.. eorema de Parseal para odas peródca reales o compleas. La forma más geeral del eorema de Parseal se aplca ao a odas reales como compleas, y la obeemos cougado ambos membros de la ecuacó 4, mulplcado el resulado por ( e egrado desde o a o. Eso os coduce a:. ( *(d (. * e f d (8 ercambado el orde de la suma y la egracó obeemos:. ( *(d. * ( e f d (9 lo cual, medae la ecuacó 9 resula: ( *(d * (3 es decr, ( d expresó del eorema de Parseal para odas peródcas reales o compleas. Por supueso, s ( es real, ( (. (3 3. Especro blaeral de amplud, fase y poeca. La represeacó de las magudes y fases de los coefcees compleos de Fourer e fucó de la frecueca al como se muesra e la fg.8 se deoma especros blaerales de amplud y de fase de (. Dado que ( puede sezarse a parr de su especro, ese proee ua represeacó complea e el domo frecuecal de (.
3 Fg. 8 Fg. 9 emos que exse líeas especrales para frecuecas posas y egaas. Las frecuecas egaas o ee exseca físca, so que surge porque represeamos seodes como fasores roaes, al como se e e la fg.9. E efeco, como f { f } f e e e cos f Re (3 el proceso de omar la pare real de f e f es equalee a sumar el fasor que roa e sedo ahoraro / e al fasor que roa e sedo f horaro / e. Por lo ao, las frecuecas egaas se refere smplemee a fasores que roa e sedo horaro. Debdo a eso, para ua oda peródca real el especro de amplud ee smería par y el especro de fase ee smería mpar arg arg La represeacó de e fucó de la frecueca, al como se lusra e la fg. se deoma especro blaeral de poeca de (, y a parr de las ecuacoes 4 y 7 se deduce que, para ua oda peródca real (: A,,3... (33
4 Fg. La poeca ormalzada de la -ésma compoee de Fourer A cos ( f Φ es el segudo membro de la ecuacó 33. Por lo ao, hallamos la poeca ormalzada correspodee a la -ésma armóca sumado y -. La poeca ormalzada correspodee a la compoee de coua es, y la poeca ormalzada oal de (, de acuerdo al eorema de Parseal dada por la ecuacó 3, es gual a la suma de odas las líeas del especro de poeca. Eemplos de Aplcacó. Ua oda peródca esá dada por ( 7.cos(6 3 5.cos (8 3 45. Hallar el período y los coefcees de la sere real de Fourer. Ra.: mseg a o a 3 7 a 4 5 cos 45º b 4-5 se 45º El facor de serco de u re de pulsos peródco ( como el de la fgura sguee, se defe: F.S (τ/ x %. ( A -τ / τ / a Grafcar ( para A 5 y u facor de serco del 5%. b Grafcar los especros ulaerales de la amplud, fase y poeca de ( para el caso a. c Comear algua propedad eresae que muesre las gráfcas. 3 Grafcar los especros ulaerales de amplud, fase y poeca de la oda peródca: ( 5.cos ( 7 3.se (3 4.se ( Ra.: A o 7 A 4 A 3 3 arca (5/4 5,34 3 8 4 a Ecorar el facor de amplud (F.A. y el de forma (F.F. de la sguee oda:
5 ( / mseg -8A b Hallar la poeca dspada e ua resseca R 8Ω. Ra.: a F.A.,45 F.F.,63 b P 9W 5 El re de pulsos peródco de la fgura se aplca e bores de ua resseca de 3KΩ. Hallar el porceae de poeca aca oal dspada debdo a la compoee de coua. Escrbr la respuesa e fucó de τ y. ( A -τ / τ / Pdc τ Ra.: P oal 3.3 Aálss de crcuos e régme polarmóco. Dada ua magud cuya eolucó e el empo es: x( X m se ( la formacó que sumsra se presea e el domo emporal como se e e la fg. Fg. Fg. Esa formacó, segú hemos so, puede represearse e el domo frecuecal dado lugar a los especros de amplud y fase que se muesra e la fgura, de la cual se desprede que, para la señal seodal exsrá ua sola compoee de amplud y ua de fase e el domo frecuecal. S e lugar de la señal seodal se dspusera de ua señal peródca como la mosrada e la fg. 3, por
6 medo de la sere de Fourer podrá descompoerse e sus compoees e el domo frecuecal como se dca e la sguee expresó: la cual se represea e la fg. 4. x ( X o X se( Fg. 3 Fg. 4 Cabe recordar que es la pulsacó de la compoee seodal de meor frecueca, llamada fudameal o prmera armóca. Los demás alores de la pulsacó que se muesra e los especros dscouos de la fg. 4 so múlplos eeros de. E cosecueca, s ua gra cadad de señales, llamadas polarmócas, puede descompoerse e aras compoees seodales de dsa amplud y frecueca, será coeee exeder los cocepos sos aerormee para la solucó ddual de cada ua de ellas. S la señal e aálss posee u período grade, los eralos ere armócas que se muesra e la fgura 4 será pequeños, y, e el líme, s el período es fo, o sea, s la señal es aperódca, se edrá u especro couo que se aalza medae la egral de Fourer. 3.4 Obecó de la respuesa permaee de u crcuo e régme polarmóco. S u crcuo leal es excado por u geerador que proee ua señal polarmóca, podrá resolerse aplcado el sguee méodo. E prmer lugar, se descompodrá la señal polarmóca e sere de Fourer. Luego, se hallará la respuesa emporal del modelo a cada ua de las excacoes compoees, y falmee, e base al prcpo de superposcó se hallará la respuesa del crcuo como la suma algebraca de las respuesas del modelo a cada ua de las excacoes compoees. Fg. 5 Supogamos, por eemplo, que el dpolo paso DP de la fgura 5 se almea co u geerador de
7 esó polarmóco cuya eolucó puede expresarse e sere de Fourer como: o, lo que es lo msmo: ( o se( ( se( se(... se( o lo cual, e forma séca, puede expresarse como: ( ( (... ( De acuerdo a esa expresó, la señal de la fuee o seodal esá represeada por la suma de ua esó coua y seodes de dsa frecueca y amplud, y a cosecueca de eso la fuee puede reemplazarse por ua coexó e sere de u geerador de esó coua y geeradores de esó seodal, como se lusra e la fgura 6. Debdo a la lealdad del dpolo, puede aplcarse superposcó, resoledo para deermar el esado de régme del msmo para cada ua de las excacoes compoees, y hallar falmee la respuesa a la excacó polarmóca como suma de las respuesas dduales a cada uo de los geeradores compoees. ( ( ( ( ( ( ( ( ( (..... ( ( Fg. 6 Dado que el prmero de los geeradores de la fgura 6 es de alor cosae e el empo, sgfca que debemos resoler u crcuo almeado por ua fuee de esó coua. Las resaes so geeradores de esó seodal del po: ( se( φ por lo que se podrá aplcar el méodo fasoral para cada uo de ellos, es decr, calcular para cada frecueca el alor de la mpedaca Z, realzar el cocee ere el alor compleo de esó y el alor de Z, obeedo así el alor compleo de la corree: Z y llegado así a que la respuesa emporal asocada a la compoee e cuesó será: ( se( φ
8 y la respuesa emporal correspodee a la excacó polarmóca será: ( ( (... ( emos que la suma de las respuesas dduales se efecúa e el domo emporal, ya que o podrá sumarse los fasores correspodees a dsas frecuecas, pues grará co dsa elocdad agular. Por ora pare, es obo que el méodo será efcee e aquellos casos e que la sere de Fourer sea lo sufceemee coergee como para represear co sufcee exacud a la señal polarmóca empleado u reducdo úmero de geeradores elemeales. Eemplos de Aplcacó. La f.e.m. de u alerador de 5Hz obserada e u oscloscopo es smérca, cossedo esecalmee de ua fudameal y ercer armóca. U olímero de C.A. dca (alor efcaz, meras que u olímero elecróco acusa 98 (alor máxmo. a Escrbr la ecuacó de esa f.e.m. b Dbuar la oda. Ra.: e( 3, se (5 84,89 se (65 Fudameal y 3er armóco e corafase U crcuo pasabaos RC ee como erada u re de pulsos peródco, cuya amplud es A, τ,3ms y ms. La resseca es R KΩ. Elegr C para que la compoee fudameal de la oda de salda sea eces meor que la compoee de coua de la msma. Ra.: C 7,3 µf 3 Dado el crcuo dcado e la fgura, almeado por u geerador de corree polarmóca expresada por: (.se ( / 5.se (3 /.se (5 A Sabedo que la esó efcaz ere los exremos de la boba es L, se pde deermar el alor de L. L L ( C R Ra.: L 6,89 mh 4 E el crcuo de la fgura, calcular la poeca dspada e la resseca R 5Ω.
9 5Ω mh R 5Ω (/4 mf 4µF 5µF e ( e ( Ω mh e 3 ( e ( e ( e ( 3..se( 4.5.se( 6..se(5 3 Ω Ra.: P 555,7W 5 E el crcuo de la fgura, hallar, aplcado el eorema de hee, el alor efcaz de la corree, s la f.e.m. aplcada es: e(.se(.se(3 H Z (Ω, 3mH Z 3Ω ( e( 4Ω,5F Ra.: 3,4 ma 6 Ua fuee de esó (, cuya forma es ua oda cuadrada, se aplca al crcuo RL de la fgura. Hallar la corree de respuesa e esado esacoaro. ( H - ( ( Ω Ra.: S 4. (..cos( 45º.cos(3 8,43º.cos(5 78,69º A 3. 5. 6 7 El crcuo de la fgura se ulza para elmar flucuacoes de corree alera de la salda de u recfcador de oda complea. El recfcador sumsra la sguee esó e bores:
. (..cos(..cos(4.... 3 5 m r Sedo 377rad/seg, hallar la esó e bores de ua carga de Ω. 5H Recfcador r - µf f - Ω. m Ra.: f (. [,4.cos(. 76,º,.cos(4.,9º...] 8 E el sguee crcuo obeer (. Sedo: e( 5.se( 5.se(3 /4 Ω mh,6ω (5/3µF ( Ω (/3µF e( Ra.: ( [,83. se( 5,56º 6,4. se(3 5,3º ]A 9 E la fgura sguee, el crcuo se soza a la ercera armóca. Su acho de bada es el % de la frecueca ceral. a Obeer las compoees fudameal, ercera y qua armóca de la esó de salda. b Comparar la amplud de la salda de la ercera armóca co la amplud de la fudameal y la qua armóca. Basar la comparacó e ua amplud uara de la ercera armóca. Comear el resulado. ( R Ra.: - ( L C
a 4..,37 Fudameal : 87,85º 4. ercera armóca : º 3. 4..,93 Qua armóca : 84,64º 5. b Fudameal:, ercera armóca: Qua armóca:,58 E el crcuo de la fgura, eedo e cuea hasa el ercer armóco, sedo 68,3 mseg obeer: a La expresó de la sere real de Fourer de (. b La expresó de o ( y sus especros de amplud, fase y poeca. ( 3Ω (/8F m 6 ( Ω H o ( m / /4 / 3/ 5/4 Ra.: a 3. 3. ao 37,5. a. se( b. cos( ( 37,5. 3.cos( 3. se( 3. se(.cos(3. se(3 b o ( 5,89.. se( 5,78º 8,4.. se( 3,39º 8,68.. se(3 4,73º 3.5 Poeca e crcuos e régme o seodal. Dado que e los crcuos recorrdos por señales polarmócas coexse seodes de dsa amplud y frecueca, se orga la coexseca de fasores de dsa pulsacó lo que duce a pesar que el procedmeo de cálculo para las poecas e régme polarmóco dferrá del correspodee a régme permaee seodal. De acuerdo a lo so aerormee, ua esó y la correspodee corree e u crcuo e régme polarmóco puede expresarse como: ( ( se( se( y sus correspodees alores efcaces puede calcularse como: (38
(39 Por defcó, el produco escalar de ambas se deoma poeca aparee: S. (4 Es decr, se defe de maera aáloga que e régme permaee seodal, y su sgfcado y udad so los msmos, pero debemos oar que la poeca aparee desarrollada por las señales polarmócas o es gual a la suma de las poecas aparees de cada ua de las compoees. Por ora pare, recordamos que la poeca aca es el alor medo de la poeca saáea para u período compleo de excacó: d d p P ( ( ( (4 Reemplazado e ella las expresoes de esó y corree polarmóca dadas por las ecuacoes 38, resula: d se se P ( ( ( d se d P (4 ( ( ( d se se d se Debdo a la orogoaldad de fucoes, e el segudo membro de la ecuacó 4, las egrales del segudo y ercer érmo so ulas y las egrales del cuaro érmo so ulas para armócas de dso orde, por lo que sólo edrá sedo resoler las egrales que correspoda al produco de armócas de esó y corree del msmo orde. Debdo a eso, operado e la mecoada ecuacó: ( ( d se se P (43 ( (... ( ( d se se d se se Las egrales plaeadas e el segudo membro de la ecuacó (43 resula el produco de dos fucoes seodales y puede smplfcarse recordado que: [ ] cos( cos( β α β α β α se se
3 la cual, aplcada a dcha ecuacó, os coduce a: cos( cos( 4 d d P... cos(4 cos( 4 d d (44 cos( cos( 4 d d Dado que la egral del coseo es ula, resoler la ecuacó aeror os coduce a: cos(... cos( cos( P (45 s. ; ϕ y dado que esas compoees so seodales, llegamos a: P ϕ ϕ ϕ cos... cos cos o, lo que es lo msmo: cos P P ϕ (46 co φ por ser u problema de coua. La ec. 46 da la forma de cálculo de la poeca aca e régme polarmóco permaee, y dce que la poeca aca dspada e u crcuo excado por ua señal polarmóca es la suma de las poecas acas dspadas e el mecoado crcuo por cada ua de las compoees del desarrollo e sere de Fourer de la excacó. Su sgfcado y udad so los msmos que e régme permaee seodal. E forma aáloga se defe la poeca reaca como: Q se Q ϕ (47 Dode, auralmee, la sumaora debe parr del érmo, dado que o puede exsr poeca reaca para la compoee de coua, y esa expresó da la forma de cálculo de dcha poeca e régme permaee polarmóco, sedo su sgfcado y udad los msmos que e régme permaee seodal. Hasa ahora hemos defdo las poecas aparee aca y reaca, que era las úcas exsees e el capíulo 8. Cabe preguarse s so e realdad las úcas exsees e régme permaee polarmóco. Para respoder a esa pregua, paredo de las expresoes de los alores efcaces de esó y corree, los que se puede escrbr como:
4 (48 dado que cos φ se φ, el alor efcaz de la corree puede escrbrse cómo: cos (cos se se ϕ ϕ ϕ ϕ (49 Dode φ es el desfasae ere las armócas de esó y corree de orde, sedo φ por raarse de coua. ulplcado las ecs. (48a y (49 se obedrá el cuadrado de la poeca aparee, resulado: cos se S ϕ ϕ (5 Operado esa expresó, la msma puede expresarse como: se S cos ϕ ϕ (5 pero como: X X X X la ecuacó (5 puede escrbrse como: se S cos ϕ ϕ se se cos cos ϕ ϕ ϕ ϕ expresó que puede modfcarse recordado que: [ ] [ ] cos( cos( cos( cos( cos cos β α β α β α β α β α β α se se por lo que:
5 S P Q cos( ϕ ϕ (5 Noemos que, s: φ, crcuo resso; ϕ ϕ cos( ϕ ϕ y ce, crcuo leal; y e cosecueca y el ercer y cuaro érmo del segudo membro de la ec. (5 se aula muuamee. Aalcemos ahora el sgfcado de cada uo de los érmos que aparece e esa expresó: El prmer érmo del segudo membro correspode al cuadrado de la poeca aca. El segudo érmo al cuadrado de la poeca reaca. Los érmos resaes, que obamee so dmesoalmee ua poeca, correspode al cuadrado de ua uea poeca que aparece e régme polarmóco, y que o aparecía e régme permaee seodal. eremos cómo erpreamos eso. E régme permaee seodal, s la forma de oda de la excacó es seodal, la respuesa ambé ee forma seodal, al como se e e la fg. 7. Los especros de amplud y fase que correspode a la excacó y respuesa se muesra e la msma fgura, y resula formalmee guales. Fg. 7 E cambo, e régme permaee polarmóco la suacó es la de la fg. 8. E esa se obsera que las formas de oda de señal de excacó y respuesa dfere, al gual que los especros de
6 amplud y fase. Fg. 8 Esayado ua sere de crcuos se ecuera que cada ez que los especros de esó y corree cocde, o, lo que es lo msmo, que la forma de señal de ( e ( so guales, la poeca que correspode a los érmos o defcados de la ecuacó 5 se aula. E cambo, cuao más dfere dchos especros, la mecoada poeca aumea. Eso ocurre a medda que el crcuo e esayo se compora más reacamee. odo eso duce a asgar a esa poeca el ombre de poeca de deformacó o dsorsó (, pudedo por lo ao erprearse como la poeca puesa e uego para alerar o deformar la forma de la señal de respuesa respeco de la excacó. E cosecueca, la ecuacó 5 puede expresarse como: S P Q (53 Debdo a la secllez del cálculo para las poecas aparee, aca y reaca, la poeca de dsorsó puede calcularse como: S P Q y su udad es el ol-ampere de deformacó, smbolzado ad. La aparcó de esa uea poeca, o exsee e el régme permaee seodal, hace que el dagrama de poeca se alere respeco al coocdo e dcho régme, y de la ecuacó 53 surge que el dagrama de poecas e régme permaee polarmóco es el lusrado e la fgura 9
7 Fg. 9 E rud de lo aerormee expresado, es edee que para que la poeca de dsorsó sea ula, debe cumplrse que las formas de la señal de excacó y respuesa o dfera ere sí, o, dcho de ora maera, que los especros de amplud y fase correspodees a cada señal sea formalmee guales, excepuado udad y facor de escala. Desde el puo de sa crcual, eso mplca que el crcuo se compora como resso puro, para odas las frecuecas del especro de la excacó y que obamee dcho crcuo sea leal e arae e el empo. Falmee, es posble mecoar que por aalogía co el régme seodal, se defe u facor de poeca e régme polarmóco, como el cocee ere la poeca aca dspada y la poeca aparee oal, resulado: P facor de poeca f. p S Problemas propuesos: El sguee crcuo se ecuera almeado por ua esó polarmóca cuya expresó es: ( 4.se ( 7,7.se (. Se pde: a La expresó de la corree saáea. b Grafcar los especros de amplud y fase de la esó y la corree. c Los alores de las poecas aparee, aca, reaca y de dsorsó, usfcado los resulados obedos basádose e el aálss de los especros. ( L,H ( R 7Ω Ra.: a ( /7,56 se( 55º,33 se ( 7,7º b P 93,5 W Q 77,84 AR S 5,44 A 54,44 A Hallar la poeca meda absorbda por la resseca R y las poecas aca, reaca, aparee y de dsorsó que eree e la fuee de coua.
8,5H,5H R 3Ω Ω,5F 4A 8..cos(4 Ra.: P R,45 W P f -W Q f AR S f,79 A 4,43 A 3 Cosderar el re de mpulsos peródco desplazado: ( A. δ( d dode es el período y d es u empo de desplazameo arbraro. a Grafcar ( para A 5, ms y d,5ms. b Deermar los coefcees reales de Fourer de (. Supoer que A, y d so arbraros. c Usar la dedad rgoomérca cos(u- cos u. cos se u. se, para rescrbr la sere real de Fourer e fucó solo de fucoes coseo. Cómo aparece el parámero d e el resulado? 4 U flro pasabada RLC usa ua resseca R,KΩ. a Elegr los alores de L y C para que la qua armóca de ua oda ragular de erada de KHz pase s aeuacó y para que la salda de sépma armóca sea 5 eces meor e amplud que la qua. b Hacer u gráfco aproxmado de los especros de amplud de la erada y la salda, y del módulo de la fucó rasfereca, hasa la sépma armóca. 5 El sguee crcuo esá e régme permaee. Se desea deermar la poeca aca eregada a la resseca de 9Ω. a Se aplca superposcó a las esoes y correes saáeas? b Se aplca superposcó a las esoes y correes fasorales? c Se aplca superposcó a la poeca saáea? d Se aplca superposcó a la poeca aca? e E base a las respuesas aerores, calcular la poeca dspada e la resseca.,5h,5h R 3Ω Ω,5F 4A 8..cos(4 6 Dado el crcuo mosrado e la fgura, excado por u geerador de esó polarmóco de alor: (..se(
a Deermar los alores de R y C para que la poeca aca sea P W y la reaca Q 5 AR b Jusfcar s exse poeca de dsorsó. 9 ( R C 7 Para el crcuo mosrado e la fgura, almeado por u geerador de esó polarmóca expresada como: se pde: 4 (.se( 3. a Hallar la expresó de AB (. b Calcular la relacó ere las compoees alera y coua para la excacó y la respuesa. Sacar coclusoes. L H A ( R Ω C,mF B 8 El crcuo de la fgura se almea co ua f.e.m. cuya ecuacó es: e AB (.se( 5.se(3 Sozar la rama para elmar e la ella la ercera armóca de corree, y la rama para elmar e ella la fudameal de corree. Calcular los alores saáeos y efcaces de las correes e cada rama y de la corree oal. Ω 5mH C A Ω 5mH B C