GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES

GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES Po Jave de Motolu Ssca, D. Ig. Id. 4ª Edcó. Julo 003.

PROLOGO E este esayo, se teta hace u esume de las pcpales popedades geeales de los espacos vectoales, así como de las elacoes que se puede establece ete ellos cuado se halla estuctuados sobe u msmo cuepo. Se habla cocetamete de las aplcacoes leales y multleales, tato e su expesó geeal como e la foma de poductos ete vectoes. Ete los poductos, cosdeaemos especalmete al poducto tesoal que defe a los tesoes y a aquellos poductos escalaes que defe a los espacos duales. Paa ello y paa mayo facldad, o pescdemos de cosdea espacos vectoales complejos cojugados. Los espacos vectoales más mpotates está suctamete eseñados, y os teesaemos patculamete e los de dmesoes co fto, auque se mecoe alguas caacteístcas popas de fto. Falmete se estuda el cojuto de tesoes afes a u espaco eucldao ó popamete eucldao de dmesó fta, paa el que se establece ua estuctua de álgeba cuya aplcacó a espacos popamete eucldaos es objeto de desaollo e ota oba. Este esayo tee po objeto, además de da a cooce e foma elemetal las popedades geeales de los espacos vectoales, el faclta la compesó del álgeba establecda e el últmo captulo y que estmamos de teés, pues o sólo os pemte epeseta tesoalmete cualque opeado leal ó multleal, so també halla el esultado de su aplcacó sobe u teso ó vecto detemado medate ua smple opeacó algebaca, co caácte tíseco.

TABLA DE CONTENIDO PROLOGO... TABLA DE CONTENIDO... I GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES... A.- CONVENIOS PREVIOS.... B.- ESPACIOS VECTORIALES.... 3.- Defcó de espaco vectoal.... 3.- Subespacos vectoales.... 4 3.- Geeadoes.... 5 4.- Geeadoes y bases. Dmesoes.... 8 5.- Aplcacoes del cálculo matcal.... 0 6.- Espacos vectoales fudametales.... 7.- Aplcacoes ete espacos vectoales.... 5 8.- Aplcacoes leales cojugadas.... 7 9.- Fomas leales.... 9 C.- APLICACIONES MULTILINEALES Y PRODUCTOS. TENSORES.... 0.- Aplcacoes p-leales y p-leales cojugadas.... 0.- Poductos.... 3.- Poducto tesoal.... 4.- Poductos sobe el cuepo base.... 7 D.- ALGUNOS ESPACIOS NOTABLES.... 33.- Espacos hemítcos.... 33.- Espaco hemítco E co úcleo ulo.... 39 3.- Espacos pehlbetaos.... 43 4.- Espacos popamete eucldaos.... 49 E.- CONJUNTO DE LOS TENSORES E (O SEA AFINES A E), CON E EUCLIDIANO DE DIMENSION FINITA. 5.- Geealdades.... 5.- Algeba tesoal... 5 3.- Tesoes y aplcacoes leales.... 55 4.- Opeacó cotaccó de tesoes.... 56 5.- Obsevacoes.... 57 I

GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES. A.- CONVENIOS PREVIOS..- Supodemos coocdos los elemetos de álgeba leal y e patcula del álgeba matcal y detemates..- E geeal, expesaemos los escalaes po letas gegas músculas: α,µ,π, etc., los vectoes po letas omales músculas co flecha e la pate supeo: v, w, etc., y los tesoes po letas gegas músculas co flecha e la pate supeo: ρ, σ, etc. S α ó (v w ) so escalaes complejos, sus cojugados se epesetaá po α _ y (v _ w _ ) ó α* y (v w )*. Nomalmete, cuado u escala es el módulo de u vecto tal como v, lo epesetaemos co la msma leta v s flecha y també s es u coefcete, auque ahoa co u subídce o supaídce, po ejemplo: v, v, v 3, etc. S es u coefcete de u teso τ, se epesetaá po la leta omal múscula t coespodete, seguda de los subídces y supaídces, ecesaos paa su detfcacó, esctos uo a cotuacó del oto. Ejemplo: t 4 Ua matz se expesaá co ua leta mayúscula ó como u cojuto de elemetos. Sea po ejemplo la matz A = {λ j }. La expesó λ j sgfcaá u elemeto de la matz cuya detfcacó depedeá de la covecó adoptada. Aqu covedemos que el supaídce dca la fla, e este caso j, y que el subídce dca la columa, e este caso. De esta maea λ 3 o epeseta a la matz A, so a u elemeto detemado de ella, el de fla 3 y columa. Sea u sumatoo k=m a. Lo epesetaemos po k m a s k o hay duda sobe la magtud que toma valoes y s tampoco hay duda especto a los valoes límtes, po k a k o smplemete po a. k 3.- Se adopta el coveo de Este: Sempe que e u moomo fgue dos veces el msmo ídce, ua vez como supeo y ota como feo, se debe, salvo avso e cota, suma los moomos obtedos dado a este ídce todos los valoes posbles. S esto ocue co más de u ídce, habá que suma los moomos obtedos dado a estos ídces todos los valoes posbles. v v = v v + v v +... + v v a j bj = a b +a b +..+a b +a b +...+a b +a b +..

B.- ESPACIOS VECTORIALES..- Defcó de espaco vectoal..0- Se deoma espaco vectoal sobe u cuepo K (o ecesaamete comutatvo), al cojuto R de elemetos v, w, u,..., llamados vectoes, que co los elemetos de u cuepo K, llamados escalaes, vefca los sguetes axomas: a) A todo pa de vectoes {v,w } coespode u vecto úco expesado po v +w (leído v más w ) y llamado suma de v y w, co las sguetes codcoes: 0 v +w = w +v Comutatvdad 0 v +(w +u ) = (v +w )+u = v+w+u Asocatvdad 30 v +0 = v Exsteca del vecto 0 40 v +(-v )=0 Exsteca del vecto opuesto U espaco vectoal es pues u gupo abelao especto a la suma. b) A todo pa (λ,v ) de u escala y de u vecto, coespode u vecto detemado de R, llamado poducto de λ y v y expesado po λv (leído λ po v ), sujeto a las sguetes codcoes: 0 λ(v +w ) = λv +λw Dstbutvdad deecha 0 (λ+µ)v = λv +µv Dstbutvdad zqueda 30 (λµ)v = λ(µv ) = λµv Asocatvdad escala 40 v = v Ivaaca co el escala S K o es comutatvo hay que dstgu ete λv y v λ. Al espaco vectoal defdo del modo ateo lo llamaemos espaco vectoal a la zqueda sobe K, y s pemutamos vectoes co escalaes e todo pa, esulta u espaco vectoal a la deecha sobe K. Peo e lo sucesvo supodemos sempe que K es comutatvo, y así o teesa dstgu ete λv y v λ, auque habtualmete adoptaemos la otacó de espaco vectoal a la zqueda paa epeseta u úco espaco vectoal sobe K. Hemos de hace obseva que el cumplmeto de las codcoes peddas al poducto, o exge e pcpo u poceso úco paa su obtecó, es dec, u tpo úco de multplcacó. Cuado así ocue, a dos tpos dsttos de poducto debeá coespode otacoes dsttas, po ejemplo λv y λ"v.0.- Popedades geeales. Relacoamos s demostacó las popedades geeales más mpotates de los espacos vectoales: a) x +a = b x = b + (-a ) 3

b) x +x = x x = 0 c) ( x R ): 0x = 0 d) ( λ K ): λ0 = 0 e) λx = 0 λ = 0 ó be x = 0 y escbedo x + (-y ) e la foma x-y, o sea dfeeca de x y (leído x meos y) veíamos també: a f) (-λ)x = λ(-x ) = -(λx ) = -λx g) λ(x -y ) = λx - λy h) (λ-µ)x = λx - µx ) x - x = 0 No demostaemos que paa halla el vecto suma cuado la catdad de sumados es fta, y sólo e este caso, la comutabldad y asocatvdad de los sumados hace que sea dfeete el ode e que se vaya efectuado cada suma sucesva. otacó: Co y m eteos y >m es fecuete la sguete a +a +...+a = m m+ k=m Coetemete se escbe: k=m a k a = k m a = a k k k.- Subespacos vectoales..0.-llamamos subespaco vectoal de R a toda pate R de R tal que se vefque: (λ K; µ K, a R ; b R ) λa + µb R Es fácl deduc de esta expesó lo sguete: a) El subespaco vacío, que es el que o cotee a gú vecto, es u subespaco de todos los espacos vectoales. Aquí o lo cosdeaemos de o dca expesamete lo cotao. b) El vecto 0 costtuye u subespaco, el subespaco ulo. Todos los subespacos excepto el vacío lo cotee. c) El cojuto de múltplos de u vecto costtuye u subespaco. d) La teseccó de subespacos es u subespaco y sólo s uo de ellos es el subespaco vacío la teseccó es este subespaco vacío. e) Todo subespaco es, a su vez, u espaco vectoal sobe el msmo cuepo que el espaco ogal, teedo e comú co él todos sus vectoes. També es comú el vecto ulo y la 4

opeacó poducto de u escala y u vecto..0.- Llamamos subespacos dsjutos a dos subespacos cuya teseccó es el subespaco ulo..03.- S teemos dos subespacos A y B del espaco vectoal R, llamaemos subespaco suma de A y de B y lo expesaemos po A+B al cojuto de vectoes que esulta de suma u vecto cualquea de A co u vecto cualquea de B. Este cojuto es u subespaco puesto que, paa a,a ' y b,b ' espectvamete vectoes cualesquea de A y de B, y paa λ y µ escalaes cualesquea podemos escb: λ(a +b ) + µ(a +b ) = (λa +µa +λb +µb ) A + B.04.- Subespacos suplemetaos so aquellos subespacos de R tales como A y B, que so dsjutos y tee po subespaco suma a R. 3.- Geeadoes. 3,0.- E u espaco vectoal R cualquea, decmos que u vecto v es ua combacó leal de vectoes de R tales como a,a,..,a, cuado hay escalaes α,α,..,α, llamados coefcetes de los a, tales que se vefque: () v = Σ α a També decmos etoces que los vectoes {a } costtuye u geeado de v. Podíamos deduc de esta defcó las sguetes popedades: a) S v y w so combacoes leales de {a } també lo es λv +µw. Po cosguete, el cojuto de combacoes leales coespodetes a u geeado S, es u subespaco. Decmos que es el subespaco geeado po el geeado y que S es u geeado del subespaco. b) El vecto ulo es ua combacó leal de cualque geeado. c) U vecto es combacó leal de sí msmo. d) S u vecto es combacó leal de {a,a,..,a }, m també lo es de {a,a,..,a,a,...,a m m+ } co mayo que m. e) S v es ua combacó leal de {a ) y cada a es ua combacó leal de {b }, v j es combacó leal de {b }. j 3.0.- Sea P ua pate o vacía de u espaco vectoal 5

R y llamemos A al cojuto de vectoes que se puede expesa como combacó leal de vectoes de P. Se vefca: a) A es u subespaco. Demos que A es el subespaco egedado po P y que P es u geeado de A. E efecto: S a y b peteece a A po se combacoes leales de sedos cojutos {a,a,..,a } y {b,b,..,b m } de vectoes de P, λa +µb seá ua combacó leal de {a,a,..,a,b,b,..,b m }, que es u cojuto de vectoes de P y po tato també peteeceá a A. b) A es la teseccó de todos los subespacos que cotee a P. Pues evdetemete A cotee a P y todo subespaco que cotega a P debe cotee a todos los vectoes de A y po lo tato a A. c) Cuado P es u subespaco, la teseccó A evdetemete cocde co P. 3.03. Defcó. Decmos que u espaco o subespaco vectoal está ftamete geeado s exste u geeado del msmo co u úmeo fto de vectoes. S exste peo o co u úmeo fto, demos que está ftamete geeado. 3.04.- Vectoes y cojutos lbes. U vecto es lealmete depedete de ua pate P de u espaco vectoal R, cuado o puede expesase como ua combacó leal de vectoes de P. Estos vectoes so, evdetemete, todos los de R o peteecetes al subespaco egedado po P. Po cosguete, los vectoes lealmete depedetes de u subespaco dado, so todos aquellos que o peteece a este subespaco. E patcula, el vecto 0 o es depedete de gua pate o vacía de R, auque sea u solo vecto. Demos que u cojuto de vectoes es lealmete depedete o lbe, cuado guo de sus vectoes puede expesase como combacó leal de los demás, y que es lealmete depedete, ó que es lgado, e caso cotao. Po tato, o puede se lealmete depedete u cojuto e que fgue el vecto ulo. 3.05.- Teoema. Ua codcó ecesaa y sufcete paa que {a,a,...,a } sea u cojuto lealmete depedete, es que exsta algú vecto geeado po este cojuto, cuya expesó () como fucó leal de los elemetos del cojuto sea úca. a) Sea v este vecto, w cualque oto vecto que tega 6

expesó múltple, y vamos a cosdea la gualdad: v + w - w = v Es evdete que s e el pme membo epesetamos la w del témo de modo dstto a la w del 3, al opea co las expesoes () coespodetes, esultaá paa v e el membo ua expesó dstta a la úca admtda. Así pues, el que haya u vecto co expesó úca ó múltple, sgfca que todos los geeados po el cojuto e cuestó está e el msmo caso. b) S y solo s el cojuto o es lbe, paa algú j podíamos poe u vecto aj del cojuto e fucó de los demás y e cosecueca, co coefcetes adecuados o todos ulos y β j o ulo, se vefcaía: -β j a j = k j β k a k k β k a k = 0 c) Teedo e cueta que el vecto ulo sempe es expesable po k 0a k, y que la últma expesó obteda paa 0 es dstta, el cojuto seá lbe s y sólo s el vecto 0 tee po úca expesó k 0a k, o sea co todos los coefcetes ulos. Esto sucedeá, segú a), s y sólo s, exste algú vecto geeado po el cojuto {a,a,...,a } e cuestó, cuya expesó () como fucó leal de los elemetos de este cojuto sea úca. 3.06.- Obtecó de ua sucesó lbe. Sea u subespaco A egedado po ua sucesó de vectoes {a,a,a 3,...} fta o fta. Podemos foma co ella ua sucesó pacal de vectoes lealmete depedete que també egeda a A. Efectvamete: S todos los a so múltplos de a, la sucesó pacal obteda es evdetemete {a }. S o es así, a pat de a elmaemos todos los múltplos hasta llega a u elemeto que o lo sea, al que llamaemos a. A cotuacó elmaemos todos los elemetos sguetes que sea combacó leal de los dos pmeos hasta llega a u vecto que o lo sea y que llamaemos a. 3 Asì sucesvamete emos fomado ua sucesó pacal de vectoes depedetes que egeda A, sucesó que cocdía co la ogal e caso de que ya esté fomada po vectoes depedetes. S la sucesó fuese fta y A o tuvea gú geeado fto, este poceso se puede cotua defdamete pues de lo cotao A, cota lo supuesto, tedía u geeado fto. 7

4.- Geeadoes y bases. Dmesoes. 4.0.- Defcó. De u geeado fto de R decmos que es ua base de R, cuado es u cojuto lealmete depedete. Po lo vsto e '3.06 esulta pues, que todo espaco vectoal ftamete geeado tee bases ftas. S u espaco vectoal R o tee gú geeado fto, decmos que es de dmesó fta. Se demuesta que e u espaco de dmesó fta sempe puede cosdease ua base. Lmtádoos al caso de que esté geeado po ua sucesó fta llamaemos base del msmo a ua sucesó fta de vectoes depedetes obteda po el método descto e '3.06. 4.0.-Teoema de Stetz. Sea u geeado fto de vectoes del espaco vectoal R y {b,b,...,b m } co m u cojuto lealmete depedete de vectoes de R. Podemos eodea los vectoes del geeado e foma {a,...,b,a,..,a,a,..,a } de modo que el cojuto {b, b m m+ } sea oto geeado de R. Efectvamete: a) Expesemos b de R como combacó leal de los a del geeado dado: b = λ a habedo elegdo pevamete como a a u vecto del geeado dado que apaezca co coefcete o ulo, lo que sempe seá posble pues b o puede se ulo po hpótess. Po lo tato podemos escb: + Σ λ a a = (b λ - Σ λ a ) y po tato e el geeado dado podemos susttu a po b y {b,a,a,...,a 3 } es u uevo geeado. b) Supogamos que paa p<m hemos demostado que G = {b,b,...,b,a,...,a p- p } es u geeado de R. Pocededo como ates, expesaemos b p como combacó leal de los vectoes de G y llamaemos a p a algú vecto de los a que queda cuyo coefcete o sea ulo. Tee que habe alguo pues de lo cotao b p esultaía combacó leal de los ateoes b j, lo que po hpótess o ocue. Despejado a e la expesó de b p p y susttuyedo este valo de a p e la expesó de cualque vecto de R como combacó 8

leal de los vectoes de G, tedemos, aálogamete a lo dcho e a) que {b,b,..,b,b,a,...,a p- p p+ } es també oto geeado del espaco vectoal R. c) Po ecueca es evdete que llegamos falmete al esultado que queíamos demosta. 4.03.- Cosecuecas del teoema de Stetz. Se puede deduc s dfcultad las sguetes: a) U geeado de u espaco vectoal o puede tee meos vectoes que ua base del msmo. S tee los msmos es a su vez ota base. b) Dos bases de u espaco vectoal R cotee el msmo úmeo de vectoes. Este úmeo ecbe el ombe de dmesó del espaco vectoal. 4.04.- Teoema. Sea u geeado A = {a,a,..,a } del espaco vectoal R. El cojuto B = {a,b,b,..,b,b,..,b p p- p+ } que esulta de susttu todos los a ( p) po los vectoes b ( p) tales que: ( p): b = a - µ a p ( p): a = b + µ a p es u uevo geeado de R. Efectvamete. S teemos u vecto v cualquea de R expesado como combacó leal () de los a y paa p susttuímos los a po los b coespodetes, tedemos: ( p) : v = λp ap + λ a = λp ap + λ(b + µ a p) o sea que B es també u geeado de R. S A hubea sdo ua base, e cosecueca, B seía ota base. 4.05.- Dmesó de los subespacos. De todo lo que atecede podemos deduc: a) S R es u espaco vectoal -dmesoal y u subespaco R de R es m-dmesoal, tedemos m. a) Paa m= tedemos R =R. a) Paa m<, R admte al meos u subespaco suplemetao de dmesó -m. Puesto que todo sstema lbe de m vectoes de R puede amplase co otos -m vectoes más paa obtee ua base de R. b) Decmos que u subespaco es de dmesó ula cuado se tata del subespaco ulo. 9

5.- Aplcacoes del cálculo matcal. 5.0.- Sea e u espaco vectoal R los vectoes de u cojuto {f j } que so combacó leal de los vectoes de oto cojuto {e } y que tee po expesó: () f = α j je Cualque vecto v, que como combacó leal de {f j } se puede expesa po (3) v = λ j f j podá expesase pues como combacó leal de {e } de la sguete maea: j j (4) v = λ ( αj e ) = αj λ e 5.0.- Teoema. S teemos dos geeadoes de u msmo espaco vectoal tales como {f } y {e j }, y la expesó de los vectoes del uo como combacó leal de los del oto es (), s u geeado es ua base, es ecesao y sufcete que la matz {α j } sea egula paa que el oto sea ua base. a) De acuedo co el teoema '3.05, s {e } es ua base, podemos deduc; a) De (), que {α j } tee ua sola expesó o ula. a) De (4), que la matz {α j λ j } = {α j }{λ j } debe se úca y dstta paa cada vecto v. S {f j } també es ua base, po (3) ello equvale a que {λ j } tega ua expesó úca y dstta paa cada vecto, lo que compota, segú el cálculo matcal, que la matz {α j } sea egula, es dec, cuadada y de úcleo ceo. Recípocamete, s la matz {α j } es egula, la codcó a) equee que {λ j } sea úca y dstta paa cada vecto v, o sea que {f j} sea també ua base. b) S e luga de pat de que {e } es ua base, lo hacemos a pat de que la base es {f j }, tedemos: b) {e } base y {α j } o egula. No es posble po lo vsto ateomete. b) S teemos {α j } egula, tedá vesa que també seá egula, y multplcado po ella la ecuacó () obteemos los vectoes de {e } como combacoes leales de los vectoes de {f j } y estamos e la stuacó de a). 5.03.- A la matz egula {α j } se la deoma matz del cambo de bases de {f } a {e j }. Vemos que la úca codcó que debe cumpl ua matz paa se de cambo de bases es que 0

sea ua matz egula. 5.04.- Sea {e } y {f j } dos bases del espaco vectoal R. Coocedo la matz de cambo, acabamos de ve que u vecto cualquea se puede expesa así: v = j λ fj = α j A los valoes λ j los llamaemos coefcetes de v e base {f } y a los valoes j µ coefcetes de v e la base {e }. La últma expesó os da el método matcal paa calcula los coefcetes de u vecto e ua base s coocemos los coefcetes e ota y la matz de cambo. E el caso expesado tedemos: λ j e = {α j }{λ j } = {µ } µ e α α : α α α α :.... ::.. α λ α λ : : α λ = α α α j j j j λ j λ : j λ = µ µ : µ Llamado A a la matz de cambo, X a la matz columa de los coefcetes λ y Y a la de los coefcetes µ, podemos escb co otacó matcal: AX = Y X = A - Y pues A es ua matz egula cuadada, y compobamos que la matz del cambo de bases veso es la matz vesa de la matz de cambo decto. Obsévese que las columas de A so los coefcetes de los f e fucó de la base {e j } atgua, que X es la ueva matz de coefcetes de v y Y la atgua. 5.05.- S, como ocue e geeal, la esolucó de los poblemas páctcos de vectoes utlza la somofía co el espaco de -eplas que defe los coefcetes de su expesó como combacó leal de los vectoes de ua base (e } pevamete detfcada -dmesoal, podemos deduc de los páafos ateoes u método matcal secllo que os pemte obtee la base de u subespaco cuado coocemos u geeado {g } del msmo po la expesó de sus vectoes como combacoes leales de la base {e } del espaco total: g = α j e j y evdetemete podemos pescd de todos los vectoes e j cuyos coefcetes esulte ulos paa todo g, y cosdea que

o está cluídos e la base. Llamaemos g al pme vecto del geeado cuyo coefcete paa e o sea ulo y eemplazaemos los estates po combacoes leales g = g - λ g elgedo los λ de maea que todos los g ' tega ulo su coefcete elatvo a e. Habemos obtedo así u uevo geeado {g ',g ',..,g m } del subespaco (ve '4.04) y podemos compoba que el pme vecto obtedo es lealmete depedete de los sguetes. Opeado de gual maea emos obteedo uevos vectoes que además de se depedetes de los ateoes lo seá de los sguetes. Elmado los vectoes ulos que pueda esulta obtedemos falmete u geeado, que seá la base buscada, expesada como combacó leal de los vectoes e j. e Q 5 5.06.- Ejemplo (Tomado de Let-Rvaud). Detemíese ua base del subespaco egedado po los vectoes: g =(,,-4,3,); g =(,5,-3,4,8) g 3 =(6,7,-7,0,); g 4 =(,3,-3,,0) Se dspoe los cálculos de la sguete maea: g -4 3 ; g -4 3 g 5-3 4 8; g '=g -g 0 5-6 g 6 7-7 0 ; g '=g -6g 3 3 3 0 5 7-8 6 g 3-3 0; g '=g -g 4 4 4 0 - - g 3-4 3 ; g -4 3 g 0 5-6; g 0 5-6 g "=g -5g 0 0-8 -4; g 3 3 4 0 0-4 -7 g "=g -g 0 0-4 -7; g -g 0 0 0 0 0 4 4 3 4 El subespaco es de tes dmesoes, y ua base del msmo está fomada po los vectoes: g, g =g -g, g 4 =g 4 +g -g 6.- Espacos vectoales fudametales. 6.0.- Multplcacó escala-vecto que defe u espaco vectoal. Espacos cojugados. Paa estuctua u gupo abelao paa la suma como espaco vectoal sobe u cuepo, hemos dcho que es pecso que esté dotado de ua multplcacó escala-vecto co cetas caacteístcas. Cuado el cuepo es el de los úmeos eales, solo hay ua multplcacó posble.

Podíamos ve que co el cuepo C de los complejos (que puede cosdease ogado po R R), el úmeo de multplcacoes posbles es dos, y po tato, el cojuto C da luga a dos estuctuas dsttas de espaco vectoal. Así pues, s es posble estuctua u cojuto como u espaco vectoal E sobe C, medate ua multplcacó de sus elemetos po escalaes expesada po αv, també seá posble estuctualo además como u espaco vectoal E* dstto, al cosdea oto tpo dstto de multplcacó de α po v, que expesaemos po α v. Sea v u elemeto del cojuto comú y αv el elemeto de E esultate de ua multplcacó po α, que cosdeaemos omal. Defmos que el vecto α v de E* obtedo po el segudo tpo de multplcacó es el que cocde co el vecto α _ v de E. Es fácl demosta que esta seguda multplcacó cumple las codcoes exgdas paa u espaco vectoal sobe C, y aquí os lmtaemos a la sguete compobacó de la asocatvdad: α (β v ) = α _ (β v ) = α _ (β _ v ) =(α _ β _ )v = (αβ)* v = (αβ) v El espaco vectoal E*, ogado po u segudo tpo de poducto escala-vecto, se deoma espaco vectoal cojugado de E. Podemos ve fáclmete que se vefca (E*)*=E. 6.0.- Sea cualque base {e } de E. Sempe podemos cosdea a los e como sedo també vectoes de E* y dado que po lo dcho e el páafo ateo se vefca: α e = α_ e deducmos que {e } es asmsmo ua base de E* y que, po lo tato, todas las bases de E y de E* so comues a ambos espacos vectoales. 6.03.- Sea el cojuto E E cuado E es u espaco vectoal -dmesoal sobe R y desgemos sus elemetos po (v,w ) sedo v y w vectoes cualesquea de E. Desgemos a los complejos po (α,α ), ecodado ete ellos al complejo =(0,). tal que _ =-. S dotamos a E E co las sguetes leyes de composcó: 0. (v,v ) + (w,w ) = (v +w, v +w ) (Adcó) 0. (α,α )(v,v ) = (αv -α v, αv +α v ) (Multplcacó po u escala) habemos estuctuado a E E como u espaco vectoal sobe el cuepo de los complejos, al que llamaemos E. 3

Efectvamete, la adcó es comutatva y asocatva po selo e E. Hay u elemeto euto (0,0 ) y u elemeto opuesto a (v,v ) que es (-v,-v '). Podemos compoba que la multplcacó es dstbutva y asocatva especto a los escalaes y es dstbutva especto a los vectoes. El elemeto euto es (,0). De las leyes ateoes se deduce fáclmete que todo vecto (v,w ) de E puede poese e la foma (v,w ) = (v,0 ) + (0,)(w,0 ) = (v,0 ) + (w,0 ) De aqu deducmos que E 0, que está cotedo e E, seá u geeado de E. Tomado po gualdad la somofía atual exstete ete E y E 0, podíamos dec que E es la pate eal de E que geea a E y que = (0,)(0,) = (-,0) = -. E po De acuedo co ello podemos expesa a los vectoes de (v,w ) = v + w e cuya expesó sólo tevee vectoes y úmeos eales y el úmeo, así como escb: E = E + E Co tal otacó, las leyes de composcó so: 0 v +v + w +w = v +w + (v +w ) 0 (α+α )(v +v ) = αv -α v + (αv +α v ) 6.04.- Espaco vectoal sobe R detemado po u espaco vectoal sobe C. Sea E y E* u pa de espacos vectoales cojugados sobe C. Sobe ua base comú abtaa, que llamaemos eal así como llamaemos també eales sus vectoes, podemos costu u espaco vectoal E sobe R y cove e que E es el cojuto comú de todos los vectoes eales de los dos espacos cojugados. S y sólo s los vectoes so eales, es dec, que peteece a E, demos de ellos que so cojugados de sí msmos. Y s o es así demos que w * = _ α e = α e es el cojugado de w = α e y lo expesaemos así: e * = e ; w * = (α e )* = (α )*e * = α_ e * = α_ e Paa v y w eales, como *=-, escbemos: (v +w )* = v -w [(α+β)(v +w )]* = (α+β)* (v +w )* = (α-β)(v -w ) 4

Y paa cualque vecto v y escala α: (αv )* = α _ v * 6.05.- La cojugacó de dos espacos es evdetemete ua popedad ecípoca, lo msmo que la elacó ete u tpo de multplcacó escala-vecto y el oto. Así podemos escb: (v *)* = v ; E* = (E+E)* = (E-E) 6.06.- Cuepos como espacos vectoales. El espaco vectoal más secllo que cabe estuctua sobe u cuepo, es este msmo cuepo, ya que, po defcó, es u gupo abelao paa la suma y puede adoptase paa él como multplcacó escala-vecto así como vectoes ceo y uo, los popos del cuepo. Po lo dcho e los páafos ateoes, cuado se tate del cuepo de los complejos, habá además oto espaco vectoal cojugado co dstta multplcacó. 7.- Aplcacoes ete espacos vectoales. 7.0.- De o avsa de lo cotao, vamos a cosdea aplcacoes leales de u espaco vectoal A e oto espaco vectoal B, solo paa el caso de que ambos sea espacos vectoales sobe el msmo cuepo R ó C y de que las aplcacoes sea uívocas, es dec, cuado a cada vecto de A hace coespode u vecto de B úco y detemado llamado mage del pmeo. 7.0.- Llamamos aplcacoes leales f de A e B a aquellas aplcacoes que paa cualesquea vectoes a y b de A, y cualesquea escalaes λ y µ, cumple la sguete codcó: f(λa +µb ) = λ[f(a )] + µ[f(b )] De esta defcó se deduce fáclmete que la mage de ua aplcacó leal (o sea el cojuto de los vectoes de B mágees de los de A) es u subespaco de B, y que el úcleo de ua aplcacó leal (cojuto de los vectoes de A cuya mage es el vecto ulo de B) es u subespaco de A. 7.03.- Exste ua aplcacó leal de A e B y solamete ua, que a cada vecto de ua base detemada de A hace coespode u vecto de B abtaamete elegdo. Pues dada ua base (e ) de A y elegdo el cojuto (f ) de sus mágees, como todo vecto de A se puede expesa po v = x e 5

s le hacemos coespode el vecto de B w = x f habemos establecdo ua aplcacó de A e B que es fácl ve que es leal y que satsface a las codcoes exgdas. 7.04.- Dos espacos vectoales so somofos cuado exste ua aplcacó leal byectva ete ambos, y paa ello es ecesao y sufcete que A y B tega la msma dmesó. Pues s tee gual dmesó, acabamos de ve que hay ua aplcacó leal que a ua base abtaa de A hace coespode coespode u cojuto de gual úmeo de vectoes també abtaos de B, y e este caso podemos eleg ua base de B. Es fácl ve que esta aplcacó es byectva. Y s teemos A de dmesó y B de dmesó m mayo que, a los vectoes de ua base de A o podá coespode más de vectoes de ua base de B. Las aplcacoes posbles o seá supayectvas y po tato tampoco seá byectvas. Hay casos e que el establecmeto de ua aplcacó byectva ete A y B o pecsa efese a uas bases detemadas, so a patculadades tísecas de A y B, y e tal caso la somofía se llama atual. U ejemplo de somofía atual es la detemada po la coespodeca byectva exstete po poyeccó paalela a u subespaco vectoal ete dos subespacos dsttos suplemetaos de éste. 7.05.- Sea ua aplcacó leal de A -dmesoal e B m-dmesoal. Podemos ve fáclmete que: a) La mage del vecto ulo de A es el vecto ulo de B. b) La mage de u sstema lgado de A es u sstema lgado de B. c) S la mage de u sstema de A es u sstema lbe de B, el sstema de A també es lbe. d) S el úcleo es el vecto ulo de A, la aplcacó es yectva. Ello solo es posble paa m. e) Ua aplcacó supayectva solo es posble paa m. f) La vesa de ua aplcacó leal byectva també es leal. g) Dmesó mage + dmesó úcleo =. 7.06.- El cojuto de las aplcacoes leales de u espaco vectoal A e oto B toma la estuctua de espaco vectoal sobe el msmo cuepo que A y B, cuado defmos las sguetes leyes de composcó: 0. Aplcacó suma de las aplcacoes f y f expesada po f +f. Es la que paa todo vecto de A vefca: 6

f(v ) = f (v ) + f (v ) y podemos compoba que es leal. 0. Aplcacó λf. Es la que vefca: (λf)(v ) = λ _ [f(v )] cuya lealdad podemos compoba. Hemos escto λ _ cuado gualmete hubésemos poddo cove e escb λ. 7.07.- Cuado la dmesó de A es y la de B es m, la dmesó del espaco vectoal de las aplcacoes de A e B es el poducto m de las dmesoes de A y de B. Sea (e ) y (f j ) sedas bases de A y B y cosdeemos las m aplcacoes g k j tales que g k j(e ) = δ k f j (δ k = símbolo de Koecke: 0 paa k y paa =k) po λ j k g k j Cualque vecto geeado po {g k j} puede epesetase y cualquea de A po x e y podemos escb: (λ j k g k j)(x e ) = λ_ j kx [g k j(e )] = λ_ j x f j Paa que {g k j} sea u cojuto lbe es pecso que la aulacó de las expesoes ateoes paa cualque {x } exja que todos los _ j λ k sea ulos. Sucede así puesto que, po se {f j } ua base, los coefcetes _ λ j x seía ulos paa todo j, ó sea, e otacó matcal: {λ _ j }{x } = {0} y s {x } es cualquea, seía ecesao que se vefcaa: {λ _ j } = {0} ( )( j): _ λ j = 0 Po cosguete {g k j} es u cojuto lbe. Es també ua base, pues toda aplcacó leal abtaa que hace coespode a {e } los vectoes {µ j f } j cualesquea, puede expesase po _ µ j kg k j. E efecto: (µ _ j kg k j)(e ) = µ j k[g k j(e )] = µ j f j 8.- Aplcacoes leales cojugadas. 8.0.-Llamamos así a las aplcacoes leales f de u espaco vectoal A a oto B, ambos sobe el cuepo de los complejos, cuado paa vectoes a y b cualesquea de A y cualesquea escalaes λ y µ, vefca: 7

f(λa +µb ) = λ _ f(a ) + µ _ f(b ) De la defcó se deduce que úcleo e mage de ua aplcacó leal cojugada so subespacos de A y de B espectvamete. 8.0.- Señalaemos a cotuacó alguas popedades de estas aplcacoes, omtedo las demostacoes que so aálogas a las elatvas a las aplcacoes leales e geeal. a) Exste ua aplcacó leal cojugada de A e B y solamete ua, que a cada vecto de ua base detemada de A hace coespode u vecto de B pevamete elegdo. b) S el úcleo es el subespaco ulo, la aplcacó es yectva y po tato Dm A Dm B. c) S la aplcacó es byectva, la vesa també es leal cojugada. d) El cojuto de las aplcacoes leales cojugadas de A e B toma la estuctua de espaco vectoal sobe el msmo cuepo que A y B, al def las sguetes leyes de composcó: 0 f= f + f ( v A ): f(v ) = f (v ) + f (v ) 0 f= λf ( v A ): λf(v ) = λ[f (v )] ó λ _ [f (v )] e) Ua aplcacó leal cojugada de A e B sólo puede se supayectva s Dm A Dm B. f) La mage del vecto ulo de A es el vecto ulo de B. g) La mage de u sstema lgado de A es u sstema lgado de B. Cuado la mage de u sstema de A es u sstema lbe de B, també es lbe el sstema de A. h) Dm mage + dm úcleo = dm A. 8.03.- Relacó ete aplcacoes leales y aplcacoes leales cojugadas. tee: Paa A* y B* espectvamete cojugados de A y B, se f:(a B)leal cojugada f:(a B*) leal f:(a* B) leal Pues s se vefca lo pmeo, paa cualesquea vectoes a y b de A, teemos: f(λa +µb ) = λ _ f(a ) + µ _ f(b ) f(λa +µb ) = λ f(a ) + µ f(b ) y també: f(λ _ a +µ _ b ) = λf(a )+µf(b ) f(λ a +µ b ) = λf(a ) + µf(b ) 8.04.- La aplcacó compuesta de dos aplcacoes de A e B coespodetes a los casos estudados, es fácl demosta que vefca: 8

a) S ambas so leales o ambas leales cojugadas, la compuesta es leal. b) S hay ua de cada clase, la compuesta es leal cojugada. c) S ambas so byectvas, també lo es la compuesta. 8.05.- Sea dos espacos vectoales A y B sobe C e los cuales sabemos dstgu los vectoes eales de los demás. La base del espaco vectoal de las aplcacoes leales o be leales cojugadas de A e B paa que sea cocodate e el cálculo co las bases eales elegdas tales como {e } de A y {f } de B, debeá se {g k j j} tal que g k je = δ k f (δ k j = símbolo de Koecke) Co tales bases, las aplcacoes eales so las que da mage eal de cualque vecto eal. Paa los espacos vectoales eales, sea cosdeados como pate de espacos vectoales complejos ogales o be cosdeados dectamete como eales, se cofude el cocepto de aplcacó leal cojugada co el de aplcacó leal. 9.- Fomas leales. 9.0.- Defcó. Llamamos fomas leales a las aplcacoes de u espaco vectoal sobe u cuepo e este msmo cuepo cosdeado como espaco vectoal. Po cosguete los espacos vectoales de las fomas leales tedá la msma dmesó que el espaco vectoal al que se efea, pues u cuepo cosdeado como espaco vectoal es de dmesó uo. Cosecueca de lo dcho e '6.05 sobe los cuepos cosdeados como espacos vectoales, paa el cuepo de los úmeos eales exstá ua somofía completa de tpo úco ete espacos vectoales y fomas, metas que paa el cuepo de los complejos la somofía solo seá completa paa ua sola de las dos estuctuacoes dsttas de espaco vectoal que admte el cuepo. De acuedo co '8.03, se vefcaá: f:(a C) leal cojugada f:(a C*) leal f:(a* C) leal Como ua foma leal es u caso patcula de aplcacó leal, vefcaá todas las demás codcoes geeales de éstas. 9

C.- APLICACIONES MULTILINEALES Y PRODUCTOS. TENSORES..- Aplcacoes p-leales y p-leales cojugadas.,0.- Sea el cojuto poducto E E... E p de p espacos vectoales sobe K, odeados. Llamamos aplcaco p-leal de estos espacos e oto espaco vectoal A sobe K, a toda aplcacó f de su cojuto poducto e A, tal que paa cualque valo de y cualesquea escalaes λ y µ vefque: f(a,a,..,[λa +µa ],..,a p ) = λf(a,a,..,a,..,a p ) + µf(a,a,..a,..a p ) E patcula, la multplcacó de u a po u escala multplca la mage po este msmo escala y po tato s uo de los vectoes es ulo, la mage es el vecto ulo del espaco A..0.- Exste ua aplcaco p-leal y solamete ua, tal que sedo {e },{e },...,{e } bases espectvas de E, E, j ps..., E p, hace coespode a cada elemeto (e,e,...,e ) j ps u vecto v j..s de A, pevamete elegdo. Pues todo elemeto del cojuto poducto puede expesase po: (λ e,λ j e,...,λ s j pe ) ps y s le hacemos coespode el vecto de A λ λ j... λ p s f(e,e,..,e ) = λ j ps λ j... λ s p v j..s habemos establecdo ua aplcacó de E E.. E p e A que es fácl ve que es leal y que es la úca que satsface a las codcoes equedas..03.- El cojuto de las aplcacoes p-leales de E E.. E p e A puede estuctuase como espaco vectoal s se establece: f=f +f f(a,a,..a p ) = f (a,a,..,a p )+f (a,a,..,a p ) f = λf' f(a,a,..a p ) = λ_ [f'(a,a,..,a p )] paa cualque elemeto (a,a,..a p ) de E E.. E p..05.- Sea el cojuto poducto E E... E p de p espacos vectoales sobe C, odeados, sedo C el cuepo de los úmeos complejos. Llamamos aplcacó p-leal cojugada de estos espacos e oto espaco vectoal A sobe el msmo cuepo, a toda aplcacó f de su cojuto poducto e A, tal que paa 0

cualque valo de vefque: f(a,a,..,[λa +µa ],..,a ) = p _ λ f(a,a,..,a,..,a ) + µ_ p f(a,a,..a,..a ) p E patcula, la multplcacó de u a po u escala multplca la mage po su cojugado y po tato s uo de los vectoes es ulo, la mage es el vecto ulo de A..0.- Es fácl ve que se vefca: f:(e E.. E A) multleal cojugado f:(e * E *.. E * A) multleal..03.- Al gual que paa las aplcacoes p-leales, podemos demosta:. Exste ua aplcaco p-leal cojugada y solamete ua, tal que sedo {e },{e },...,{e } bases espectvas de E, j ps E,..., E p, hace coespode a cada elemeto (e,e,...,e ) u j ps vecto de A v j..s pevamete elegdo.. El cojuto de aplcacoes p-leales de E E.. E p e A puede estuctuase como espaco vectoal s se establece: f=f +f f(a,a,..a p ) = f (a,a,..,a p )+f (a,a,..,a p ) f = λf' f(a,a,..a p ) = λ_ [f (a,a,..,a p )] paa cualque elemeto (a,a,..a p ) de E E.. E p..04.- Aplcacoes sesquleales. So las aplcacoes f del cojuto poducto E E de dos espacos vectoales sobe el cuepo de los complejos, e oto espaco vectoal A sobe el msmo cuepo, que paa todo elemeto del cojuto poducto vefca: f([λv +µv ], w ) = λf(v,w ) + µf(v,w ) f(v,[λw +µw ]) = λ_ f(v,w ) + µ_ f(v,w ) Estas aplcacoes se puede estuctua també como espacos vectoales. Se demuesta que f:(e E A) es sesquleal s y sólo s f:(e E * A) es bleal. Pues paa w de E cocdete co w * de E * tedemos dos otacoes de este elemeto: w paa E y w * paa E *, y así: f sesquleal: f(λv,µw ) = λµ _ f(v,w ) f bleal: f(λv,µ _ w *) = λµ _ f(v,w )

.- Poductos..0.- Hemos vsto que co cualque aplcacó leal f e u espaco vectoal A sobe el cuepo K, de u cojuto poducto E E.. E p de espacos vectoales sobe el msmo cuepo, cuado la aplcacó es leal, leal cojugada o sesquleal, todo elemeto del cojuto poducto detema u vecto s de A. Ello cluso e el caso de que el cuepo sea el de los complejos y que la aplcacó sea leal cojugada o sesquleal,po lo que sempe podemos escb: f(a,a,...,a p ) = s y smbolzado la aplcacó f co u sgo especal de multplcacó tal como també escbemos: a a... a p = s y demos que s es el poducto de la multplcacó de los p vectoes a. Natualmete, las eglas de esta multplcacó depedeá de las caacteístcas popas de la aplcacó f. 3.- Poducto tesoal. 3.0.- Sea el cojuto poducto A B de dos espacos vectoales odeados sobe K y oto espaco vectoal W sobe K. Sea també ua aplcacó leal de A B e W, que expesaemos po, tal que paa dos bases detemadas {a } y {b j } de A y B espectvamete se vefque: (a,b j ) = base de W. S y sólo s esto sucede co algua aplcacó leal decmos que W es u espaco poducto tesoal de A po B, y etoces lo expesaemos po A B y a sus vectoes los llamaemos tesoes. Puede vese fáclmete que esto ocuá s y sólo s la dmesó de W es el poducto de dmesoes de A y de B. A los tesoes mage de u elemeto (u,v ) de A B, los expesamos así: (u,v ) = u v que leemos "poducto tesoal de u po v ". 3,0.- Cuado paa {a } base de A y {b j } base de B esulta {a b j } ua base de A B y teemos otas bases cualesquea {a } de A y {b } de B, tedemos que {a b k m k m } es també ua base de A B. Pues poedo los a y los b k m e fucó de las bases

pmeas, teemos: a = α k k a ; b ' = β j m m b j co matces de cambo egulaes, y podemos escb: a b = (a,b ) = (α k m k m k a,β j m b ) = α j k β j m (a b ) j Multplcado po λ km esulta: λ km (a k b m ) = λkm α k β m j (a b j ) y dado que (a b j ) es ua base, paa que esta expesó sea ula debe se ulo λ km α j k β m paa todo y todo k, o sea, expesado po cálculo matcal: ({α k } = M egula); ({λ km } = L); ({β m j } = N egula ): MLN = 0 M-MLNN - = 0 L = 0 ( k)( m): λ km = 0 y po lo tato (a b k m ) també es base de A B. 3.03.- La expesó geeal de u teso τ de A B e elacó co la base (a b j ) que a su vez se efee a la base (a ) de A y a la base (b j ) de B es: τ = t j (a b ) j o sea que todo teso se puede expesa como sumatoo de poductos tesoales. No sempe u teso se puede detfca co u poducto tesoal úco v w pues expesado v y w e fucó de bases cualesquea (a ) de A y (b j ) de B tedíamos: v = v a ; w = w j b j y po tato: τ = t j (a b ) = j v w j (a b ) j El teso τ seá u poducto tesoal úco s y sólo s, paa dm. A = y dm. B = m, es posble halla coefcetes v y m coefcetes w j que vefque las m ecuacoes t j = v w j y esto, paa +m < m, e geeal o es posble. 3.04.- Sea (a ) y (b j ) dos cojutos de vectoes de A y de B espectvamete, y uo de ellos po lo meos o es lbe. El cojuto (a b j ) de A B es lgado. Pues s po ejemplo se tee ( 3): a = 3 α a 3

co los coefcetes α o ulos, se vefcaá (a 3 b j ) = α (a b j )+α (a b j )+α4 (a 4 b j )+..+α (a b j ) y e cosecueca el cojuto es lgado. 3.05.- S hay ua aplcacó leal byectva g, de A B e oto espaco vectoal W' sobe K, esulta se W' oto espaco vectoal poducto tesoal de A po B. Pues paa {a } y {b j } sedas bases de A y B se tee: g(a b j ) = g[ (a,b j )] = (g )(a,b j ) y po se a b j ua base de A B y g byectva, g(a b j ) tedá que se ua base de W. Po tato W es oto espaco poducto tesoal de A po B. 3.06.- S exste ua aplcacó bleal f de A B e u espaco vectoal T cualquea sobe el msmo cuepo, exstá sempe ua aplcacó leal g de A B e T tal que paa cualque vecto v de A y cualque vecto w de B se vefca: g(v w ) = f(v,w ) Puesto que exste sempe ua aplcacó leal g de A B e T tal que a la base (a b j ) hace coespode los vectoes f(a,b ) y po tato, al expesa v j y w e fucó de las bases espectvas, tedemos: g(v w ) = g(α a βj b j ) = α β j [g(a b j )] = α β j [f(a,b j )] = = f(α a,βj b j ) = f(v,w ) 3.07.- Como la codcó ecesaa y sufcete paa que dos espacos vectoales sobe K sea somofos y exsta ete ellos algua aplcacó byectva, es que tega gual dmesó, esulta de lo vsto hasta ahoa, que s dm A = y dm B =m todos los espacos vectoales de dmesó m puede se cosdeados espacos poductos tesoales de A po B. Po cosguete, la estuctua A B es ua elacó de equvaleca e todos estos espacos de dmesó m. A los efectos de cálculo o teesa dstgu uos de otos tales espacos A B, peo sí teesa cooce su estuctua comú que los elacoa co otos espacos A y B, y patculamete cooce de cada vecto el sumatoo de elemetos de A B del que so mage. Así pues a todos los dvesos espacos poductos tesoales de A po B, los cosdeaemos epesetados e el cálculo po u úco espaco A B de dmesó m y empleaemos la msma otacó (a b ) paa desga la mage del elemeto (a,b ) de A B. 4

3.08.- Sea tes espacos vectoales A, B y C sobe K y u espaco vectoal (A B) C. S {a ), {b } y {c j k } so bases espectvas de A, B y C, tedemos que {[a b ] c j k } es ua base de(a B) C. S hubésemos cosdeado el espaco A (B C), hubésemos hallado que {a [b c j k ]} es ua base de éste. No habedo teés e dstgu ete sí ambas bases, se covee que y po lo tato a (b j c k ) = (a b j ) c k = a b j c k (A B) C = A (B C) = A B C Este espaco vectoal se deoma espaco poducto tesoal de A po B po C y decmos que es de tece ode y que sus vectoes so tesoes, e este caso de tece ode. Los tesoes coespodetes a elemetos de A B C també se llama poductos tesoales. Es fácl ve que u poducto tesoal es ulo s es ulo cualquea de los factoes. A B C. 3.09.- Exste ua aplcacó tleal de A B C e S expesamos los vectoes de u elemeto cualquea de A B C e fucó de sus bases espectvas, la coespodeca que detema la aplcacó, es evdetemete la sguete: (v,w,u ) = (v a,wj b j,uk c k ) v w j u k (a b j c k ) 3.0.- De la msma maea que hemos defdo espaco poducto tesoal de ode 3, podemos cosdea espacos poducto tesoal de p espacos vectoales elemetales y demos que es ode p. Sus vectoes se llama gualmete tesoes y se llama poductos tesoales cuado coespode a elemetos del cojuto poducto de los p espacos vectoales elemetales. Su dmesó es el poducto de las dmesoes de los espacos factoes. Podíamos ve que sus popedades so aálogas a las ya desctas y os lmtaemos a eseña alguas: a) Los tesoes sempe se puede epeseta po sumatoos de poductos tesoales: τ = t j..s (a b... p ) j s y solo alguos de ellos po u úco poducto tesoal. b) Se vefca: 5

(a b.. [λh '+µh"].. p ) = = λ(a b.. h '.. p ) + µ(a b.. h ".. p ) c) S y sólo s {a },{b },..,{p j s } so bases de A,B,..,P, teemos que {a b... p j s } es ua base de A B... P. Esta coespodeca detema ua aplcacó p-leal de A B.. P e A B.. P. d)toda aplcacó leal byectva de A B.. P e u espaco vectoal W, detema que W sea també u espaco poducto tesoal A B.. P. e) S f es ua aplcacó p-leal de A B.. P e u espaco vectoal T cualquea sobe el msmo cuepo exste sempe ua aplcacó leal g de A B.. P e T tal que paa todo poducto tesoal se vefca: g(a b... p ) = f(a,b,...,p ) f) U poducto tesoal es ulo s lo es cualquea de sus factoes. 3..- Po extesó, llamamos teso de ode a u smple vecto y teso de ode 0 a u escala. El ode de u teso solo tee setdo cuado se efee al úmeo de espacos vectoales elegdos como factoes. 6

4.- Poductos sobe el cuepo base. 4.0.- Sea el cojuto poducto A B de dos espacos vectoales odeados sobe C y sea també ua foma sesquleal de A B e C (Las aplcacoes sobe el cuepo base ecbe el ombe de fomas). Sabemos que se vefca: :(A B C) sesquleal :(A B* C) bleal sedo B* el espaco vectoal cojugado de B. Refedo a B los vectoes comues de B*, tedemos: ( a A )( b B ): (λa ) (µb ) = (λa,µb ) = λµ _ (a,b ) = λµ _ (a b ) 4.0.- Espacos duales. Sea dos espacos vectoales, A de dmesó m y B* de dmesó, ambos sobe C. Demos que so espacos duales uo del oto cuado. Exste ua foma bleal de los msmos e C, foma que detema u poducto ete los vectoes de A y los de B*.- El úco vecto de A cuyo poducto es ulo co cualquea de B* es el 0 de A, y el úco vecto de B* cuyo poducto es ulo co cualquea de A es el 0 de B* Al poducto que cumple estas codcoes lo llamamos poducto escala. 4.03.- Deomemos F* al espaco vectoal de las fomas leales de B* e C y F al espaco vectoal de las fomas leales de A e C. Po lo tato Dm F* = y Dm F = m. Sea també v,v vectoes del espaco vectoal A y w *, w '* vectoes de B*. a) Cosdeado los poductos v w * co v fjo y e que w * descbe B*, vemos que so mágees de ua detemada foma leal de B* e C. Exste pues e F* u elemeto f* be detemado tal que paa cualque vecto w * de B* vefca v w * = f*(w *) Po la 0 codcó la foma es bleal, y a A le coespode u subespaco F'* de F* y po la 0 codcó esta coespodeca es yectva. Po tato m b) Cosdeado los poductos v w * co w * fjo y e que v descbe A, vemos que so las mágees de ua detemada foma leal de A e C. Exste pues e F u elemeto f be detemado tal que paa v abtao se vefca: v w * = f(v ) 7

Po la 0 codcó, al se la foma bleal, a B* le coespodeá u subespaco F' de F y po la 0 codcó esta coespodeca es yectva. Po tato m c) De a) y b) deducmos pues, po ua pate, que debemos tee m= o sea A y B* de gual dmesó, y po ota, que A es atualmete somofo a F* y B* atualmete somofo a F. El somofsmo es atual, pues se ha deducdo co depedeca de bases. 4.04.- Dada ua base {e } de B*, expesada e B, paa A dual de B* cosdeaemos la base {e j } tal que e j e = δ j (símbolo de Koecke) que es la más cómoda paa el cálculo, pues paa vectoes v de A y w de B* (expesado e B) cualesquea, como v =v j e j ; w =w e utlzado tales bases, su poducto escala es: v w = Sesqu.(v j e j ),(w e ) = w _ vj (e j e ) = w _ vj δ j = w _ v Estas bases se llama duales ua de la ota. El valo hallado coespode a la sguete opeacó matcal; v <w v> = {w _ w_.. w_ } v. v S la base de A se cosdea eal, es fácl ve que la base dual seá ua base eal de B* y ecípocamete, pues etoces el poducto escala de dos vectoes eales sempe seá eal. 4.05.- Cambo de bases. Dadas dos bases duales {e } y {e } de A y B* espectvamete, vamos a halla la base dual de ota base {f j } de A, elacoada co la ateo po f = α j j e Fomemos la matz A del cambo de bases colocado los coefcetes de los fj e columas odeadas y hallemos la matz A - vesa de A: 8

9 β β β β β β β β β α α α α α α α α α -.. : :: : :.... = A ;.. : :: : :.... = A Tedemos: A - A = I α j β _ k = δ j k Expesada e B, la base dual buscada es el cojuto de vectoes {f k } dados po f k = β m k e m cuyos coefcetes so los cojugados de los elemetos de cada fla de la matz vesa de A, pues se vefca: f j f k = (α j e ) ( β m k e m ) = α j β _ m k (e e m ) = α j β _ k = δ j k U método aálogo se utlza paa obtee {f j } e fucó de {e } cuado coocemos {f k } e fucó de (e m }. Los esultados obtedos puede esumse co las sguetes expesoes matcales smbólcas:... e }A e {e =... f } f {f ; e : e e A = f : f f - 4.06.- Cambo de coodeadas del vecto v = v j f j de A y del vecto w = w k f k de B*, expesado e B, al vaa las bases duales de efeeca de (f k,f k ) a (e,e ), quedado sus uevas otacoes e v =v e de A y e w =w e de B*, este últmo expesado e B: v : v v A = v : v v v = v e v = f v = v j j j j j j α α w = w k f k = w k β k e w ' = w k β k {w ' w '.. w '} = {w w... w } A -

De las expesoes obtedas e este páafo y el ateo, deducmos fáclmete que s los vectoes de ua base {e } cece ufomemete paa covetse e ua ueva base {f }, j esulta que: a) Los coefcetes v decece. b) Los coefcetes w cece. Po esta azó y atededo a la vaacó de ua base {e } cosdeada como efeeca pcpal, se deoma cotavaates los coefcetes que lleva supaídce y covaates los que lleva subídce. Natualmete, s hubésemos tomado como efeeca pcpal la base {e }, sucedeía lo cotao, peo aquí seguemos la costumbe de cosdea como base pcpal la de los vectoes deotados co subídce. 4.07.- Cálculo de coefcetes. v e = (v j e j ) e = v j (e j e ) = v 4.08.- Poductos hemítcos. a) Dado u espaco vectoal A -dmesoal, sea ϕ:a A C ua foma sesquleal, es dec, tal que: ϕ(αv,βw ) = αβ _ [(ϕ(v,w )] S además se vefca: ϕ(a,b ) = [ϕ(b,a )]* co dos vectoes a y b cualesquea de A, decmos que la foma ϕ es hemítca, ó que el poducto que detema e A es hemítco. Po tato, paa a =b, el poducto hemítco es eal. b) S ϕ es hemítca, podemos deduc de ello, que exste ua foma sesquleal ϕ' smétca, es dec, tal que: que vefca: ϕ'(αv,βw ) = α _ β[ϕ'(v,w )] ϕ'(a,b ) = ϕ(b,a ) y po tato los poductos que ϕ' detema e A so cojugados de los detemados po ϕ y los llamaemos hemítcos cojugados. c) E el caso de que A=C, sedo C u espaco vectoal estuctuado co el cuepo de los complejos, podemos def como foma hemítca: f(α,β) = αβ _ 30

que detema e C u poducto hemítco que e geeal o cocde co el poducto popo del cuepo, y que sempe es eal paa factoes détcos (α=β). 3

D.- ALGUNOS ESPACIOS NOTABLES..- Espacos hemítcos..0.- Sea F u espaco vectoal sobe el cuepo C de los complejos. Demos que es u espaco hemítco cuado se ha defdo e él u poducto e C de dos vectoes cualesquea a y b, llamado hemítco, que paa λ y µ escalaes cualesquea y c F, vefca las sguetes leyes: 0. a b = (b a )* (Hemtcdad) 0. (λa +µb ) c = λ(a c ) + µ(b c ) (Lealdad e facto).0.- E cosecueca podemos establece: a) c (λa +µb ) = λ _ (c a ) + µ _ (c b ) (Lealdad coj. facto) b) 0 a = a 0 = 0 c) a a = úmeo eal puesto que se vefca: a) c (λa +µb ) = [(λa +µb ) c ]* = λ _ (a c )* + µ _ (b c )* = λ _ (c a ) + µ _ (c b ) b) 0 a = (b -b ) a = (b a )-(b a ); a 0 = a (b -b )= a b - a b = 0 c) a a = (a a )* Evdetemete, cualque subespaco de u espaco hemítco es també hemítco..03.- Sea {e } u geeado de F de dmesó fta y fomemos la matz e e e e G = : e e e e e e : e e.... ::.. e e e e : e e 33 = {e e} = {g A esta matz la llamamos matz fudametal de F paa el geeado cosdeado y sempe seá hemítca po la 0 codcó de '.0, y po tato de detemate eal..04.- Ua matz fudametal es egula s y sólo s se cumple las sguetes codcoes: 0. Se efee a ua base. 0. El úco vecto cuyo poducto co todos los del espaco cluído él msmo, es ulo, es el vecto ulo. Esto equvale a dec que el úco vecto que multplcado po todos los vectoes de ua base da 0, es el vecto ulo. j j }

Po cálculo matcal sabemos que multplcado cada matz fla de ua matz egula po u escala λ y sumado, la suma ula exge que sea ulos todos los λ. Expesado esta suma podemos escb: λ {e e e e.. e e } + λ {e e e e.. e e } +.. + + λ {e e e e.. e e } = {0} {(λ e ) e (λ e ) e.. (λ e ) e } = {0} ( j): (λ e ) e = 0 j Cuado {e } es u geeado o base, paa cetos valoes de los λ o todos ulos podemos tee λ e =0 y la matz o seá egula. tal que: Cuado {e } es ua base y exste u vecto a o ulo ( j): a e j = 0 podemos eleg los λ o todos ulos paa obtee λ e = a y etoces todos los (λ e ) e j seá ulos y la matz o es egula. S {e } es ua base y o exste el ateo vecto a 0, seá pecso λ e =0 paa que se aule los (λ e ) e j, Po cosguete todos los λ habá de se ulos y la matz seá egula. E cosecueca, todas las matces fudametales coespodetes a geeadoes o bases, so egulaes y su detemate es ulo y esto tato s se cosdea el espaco total como u subespaco..05.- S coocemos la matz S fudametal paa ua base {f }, la matz fudametal paa ota base {e k }, al cooce la matz del cambo de bases, podemos hallala así: S' = {e e } = {(λ k j )f } {(λ m k j )f } = {λ k m (f k f )λ_ m m j} y podemos compoba la ecuacó matcal coespodete: S = λ λ : λ λ λ λ :.... ::.. λ f f λf f : : λ f f f f f f : f f.... ::.. f f λ f f λ : : f f λ λ λ λ :.... ::.. λ λ : λ = A * GA sedo A* la matz taspuesta de la cojugada de A, cojugada a su vez de la cosdeada e 'C 4.05, y todas egulaes..06.- Cosecueca de esta expesó y de que los detemates de A y A* so cojugados, es que u cambo de bases 34

o altea el sgo, o e su caso la uldad, del detemate de las matces fudametales de u espaco hemítco..07.- Otogoaldad. Decmos que dos vectoes v y w so otogoales cuado se vefca v w =0 y que u vecto u es otogoal a sí msmo cuado se vefca u u =0. E cuato a subespacos, demos que G y H so otogoales cuado se vefca: ( v G )( w H ): v w = 0 Paa ello, s {g } y {h j } so sedas bases de G y H, es sufcete que se vefque ( )( j): g h j = 0 Llamamos base otogoal {e } a toda base cuyos elemetos sea otogoales dos a dos, es dec: ( j): e e j = 0.08.- S e u subespaco de F todos los vectoes so otogoales a sí msmos, cualque pa de vectoes seá otogoal. Pues s v y w peteece al msmo, també peteeceá a él los vectoes v +w y v +w y podemos escb: 0 = (v +w ) (v +w ) = (v v )+(v w )+(w v )+(w w ) = (v w )+(w v ) 0 = (v +w ) (v +w ) = (v v )-(v w )+(w v )-(w w ) 0 = -(v w )+(w v ) Po cosguete: (v w ) = (w v ) = 0.09.- Llamamos úcleo N del espaco F, al cojuto de vectoes que so otogoales, tato a sí msmos como a los demás del espaco. Es u subespaco vectoal pues paa cualesquea vectoes v,w de N y a de F tedemos: (λv +µw ) (λv +µw ) = λλ _ (v v ) +λµ _ (v w ) +µλ _ (w v ) +µµ _ (w w )=0 (λv +µw ) a = λ(w a )+ µ(w a ) = 0 = a (λv +µw ).0.- S {v } es u cojuto fto de vectoes, o otogoales a sí msmos y otogoales ete sí dos a dos, todo vecto w o geeado po él se puede descompoe e dos sumados, el uo λ v peteecete al subespaco geeado po {v } y el oto, w, otogoal al msmo. 35

S exste ua solucó, tedemos: w = λ v + w y multplcado membo a membo po u elemeto vk se tedá: del cojuto w v k = ( λ v ) v k + w 3v k y como po hpótess w v =0 y ( λ v ) v = λ v k v k k k k w v = λ v k v w v k k k k λ k = v k vk se tedá: Po lo tato λ v = w v v v v ; w = w - w v v v v ; w v = w v - w v = 0 y es fácl ve que cocde los subespacos geeados po {v } y w y po {v } y w...- Método de otogoalzacó de Schmdt. U espaco hemítco ftamete geeado po ua sucesó {e } de vectoes lealmete depedetes sempe puede efese a ota sucesó de vectoes otogoales ete sí dos a dos. S e el espaco o hay gú vecto o otogoal a sí msmo, el espaco cocde co su úcleo y todas las bases so otogoales. S hay uo tal como v, se establece ua base que cluya a v y pocedeemos a susttu todos los vectoes base dsttos de v, po los otogoales a v obtedos co las fómulas del páafo ateo aplcadas a u úco vecto v. El subespaco geeado po estos vectoes otogoales es otogoal y suplemetao al geeado po v. E este subespaco, sepaaemos u vecto w que o sea otogoal a sí msmo. S o exste, tal subespaco seá el úcleo y la base hallada es válda. S exste, detemaemos ua base del subespaco que lo cluya y cada uo de los vectoes base dsttos de w lo susttuemos po oto otogoal a v y w de la msma maea que ates. Hemos obtedo así u subespaco geeado po los vectoes base dsttos de v y w que es suplemetao y otogoal al geeado po v y w. Pocededo eteadamete del msmo modo, obtedemos falmete ua base de las caacteístcas deseadas...- Evdetemete s y sólo s u geeado es ua base otogoal, su matz fudametal seá dagoal, y etoces 36

sus elemetos dagoales seá eales. Vamos a ve que todas las matces dagoales de F tee ete sus elemetos dagoales la msma catdad de elemetos postvos, la msma catdad de elemetos egatvos y la msma catdad de elemetos ulos. Cosdeemos ua base otogoal que os da ua matz fudametal dagoal co elemetos postvos, s elemetos egatvos y t elemetos ulos. Po lo tato la suma de, s y t es la dmesó del espaco. Los vectoes base coespodetes al msmo sgo geea espectvamete los subespacos F +,F - y F o que so dsjutos y cuya suma es F. Sus dmesoes so espectvamete, s y t. vefca: Paa cada uo de ellos, co sus vectoes o ulos se a a = ( α e ) ( α j e j ) = α α _ j (e e j ) = α α _ (e e ) Po tato, paa F + tedemos a a >0, paa F - se tee a a <0 y paa F o seá a a = 0, y co este motvo llamamos a estos subespacos, subespaco postvo, subespaco egatvo y úcleo espectvamete. S paa ota base otogoal o cocdea,s y t, como su suma seguá sedo, tedíamos po ejemplo '> elemetos postvos y po tato F + de dmesó '> y R + s + t > y F +, F - y F o o seía dsjutos, lo que es mposble..3.- Caso patcula: F - =0 E este caso, gua matz fudametal tedá detemate egatvo, o sólo paa el espaco F total, so paa cualque subespaco del msmo. Las expesoes de esta ccustaca so las llamadas desgualdades de Schwatz y que so las sguetes: v v v w 0. 0 (v v)(w w) - (v w)(w v) 0 w v w w v v v w v u 0. w v w w w u 0 u v u w u u (v v )(w w )(u u )+(v w )(v u )(u v )+(w v )(u v )(v u )- -(u u )(v w )(w v )-(v v )(u v )(v u )-(w w )(u v )(v u ) 0 37

etc..4.- El sgo postvo coespode a ua base co F o =0 (úcleo ulo). E este caso patcula de úcleo ulo, el espaco se deoma defdo postvo. Cuado el úcleo o es ulo al espaco co F - =0 se le deoma semdefdo postvo..5.- Espaco sobe R coespodete. Sea u espaco vectoal E sobe el cuepo de los úmeos eales tal que a dos vectoes cualesquea a y b del msmo sabemos hace coespode u úmeo eal llamado poducto de a po b y expesado po a b de maea que sedo λ y µ úmeos eales cualesquea se vefque las sguetes leyes: 0 a b = b a (Smetía) 0 ( c E ): (λa +µb ) c = λ(a c )+µ(b c ) (Lealdad e facto) Este espaco tedá evdetemete las msmas popedades que los espacos hemítcos s se tee e cueta que ahoa la hemtcdad vee susttuída po la smetía y que el cojugado de u úmeo eal es este msmo úmeo eal. 38

.- Espaco hemítco E co úcleo ulo..0.- Estos espacos vectoales hemítcos, paa los que se supme el sgo del poducto hemítco, se puede def como los espacos vectoales hemítcos e geeal, añadedo a las dos codcoes ctadas e '.0, la sguete: 30 ( x E): a x = 0 a = 0 (Núcleo = 0 ) que os da la ley de smplfcacó: ( x E): a x = b x a = b puesto que se vefca: ( x E): a x =b x ( x E): (a -b )x =0 a -b =0 a =b La ctada codcó 30 se puede susttu po la sguete: 3'0 Paa ua base {e } de E se vefca: ( ): a e =0 a =0 Pues todo vecto x de E se puede epeseta po x = x e y tedemos: ( ): a e =0 ( x E): 0=x (a e ) = a (x e ) = a x.0.- Paa estos espacos es váldo todo lo dcho paa los espacos hemítcos, a excepcó de lo que se ecuete afectado po la ueva codcó 30. cueta. A cotuacó señalaemos las dfeecas a tee e a) Ua matz fudametal es egula s y sólo s se efee a ua base. b) No puede exst gua base otogoal que cotega u vecto otogoal a sí msmo. c) Exste sempe algú vecto o otogoal a sí msmo. d) Al aplca el metodo de otogoalzacó de Schmdt, los sucesvos subespacos que se va cosdeado tee po úcleo el vecto ulo, pues s tuvea u vecto o ulo otogoal a todos los del subespaco, lo seía a los vectoes base ya detemados, co lo que o solamete seía otogoal a sí msmo so que lo seía a los sucesvos vectoes base que se fuea ecotado lo que po hpótess o es posble. e) No todos los subespacos tee po úcleo el vecto ulo. U ejemplo evdete es el subespaco udmesoal geeado po u vecto otogoal a sí msmo. f) Ua matz fudametal dagoal o cotee gú valo ulo. Al cojuto {++..+--..-} de sus sgos se le llama sgatua de la matz y també del espaco, pues es popa y 39

caacteístca del msmo. g) Tato E + como E - tee como úcleo el vecto ulo..03.- De acuedo co el estudo efectuado co los espacos vectoales duales, el poducto escala aquí defdo establece u somofsmo caóco ete el espaco vectoal E y su dual E*. Tal espaco hemítco esulta se así, e ceto modo, dual de sí msmo. Se coseva el cocepto de base dual de ua base {e } ogal que ahoa deomaemos {e } y seá ota base del espaco. Estas bases vefca: e e j = e j e = δ j (símbolo de Koecke) y su uso es el msmo que paa espacos vectoales dsttos. Puede compobase que la base dual de la base dual de ua dada es la base ogal y que s cambamos la base {e } po la {f j }, la ueva base dual {fj } se obtee como e 'C 4.05 y 'C 4.06. Tomaemos como base de efeeca pcpal, tal como decíamos allí, a ua base expesada po subídces tal como {e _ } y, po cosguete, paa u vecto cualquea v =v e =v j e j tomaemos los coefcetes v como cotavaates y los coefcetes v como covaates. Podemos escb po tato: v e j = (v e )e j = v (e e j ) = v j e j v = v _ j v e = (v j e j )e = v j (e j e ) = v e j v = v _ j v w = (v e )(w j e j ) = w _ v.04.- La matz de cambo paa pasa de coefcetes cotavaates a covaates es la matz fudametal de la base pcpal. La matz vesa, coespodete al cambo veso, es la matz fudametal de la base dual: v = v e = v e ; G = {g j } = {e e j }; gj = e e j v =v e =(v k e k )e =v k g k ; v j =v e j =(v e )e j =v (e e j )=v g j =v k g k g j y e cosecueca, {g k }{g j } = {δ k j } = Matz udad.05.- El cojuto de los vectoes otogoales a u subespaco F de dmesó de E -dmesoal, es u subespaco G de dmesó -, y todos los vectoes del subespaco teseccó de F y G so otogoales a sí msmos y a los demás de tal teseccó. Efectvamete, pues s u es u vecto cualquea de F 40

se vefca v,w G (λv +µw )u = λv u + µw u = 0 λv +µw G Su dmesó es -, pues cosdeado ua base {e } de E tal que sus pmeos vectoes fome ua base de F, y su base dual {e }, tedemos: ( j): e e j = 0 y habá po tato - vectoes e j que seá otogoales a todo e co de a y po tato a F, que so los vectoes e j co j de + a. Fomaá ua base de G y G tedá po lo tato ua dmesó -. E el subespaco teseccó de F y G todos los vectoes peteeceá a F y a su otogoal G. Po cosguete, el poducto escala de uos co otos y de cada uo cosgo msmo es ulo..06.- U espaco hemítco de úcleo gual a 0 queda evdetemete detemado, cuado coocemos ua base del msmo y la matz fudametal coespodete, y además sabemos expesa u vecto cualquea como combacó leal de los vectoes de esta base..09.- Espaco eucldao. Llamamos espaco eucldao a todo espaco vectoal E de úcleo ulo sobe el cuepo de los úmeos eales, cuado a cada pa a,b de vectoes del msmo, sabemos hace coespode u úmeo eal llamado poducto escala de a po b que expesamos po a b, de maea que sedo λ y µ úmeos eales cualesquea, se cumple las sguetes leyes: 0 a b = b a Smetía 0 ( c E ): (λa +µb )c =λ(a c )+µ(b c ) Lealdad facto Las popìedades de u espaco eucldao so las msmas de los espacos hemítcos de úcleo gual a 0, teedo ahoa e cueta que: a) El cojugado de u escala o vecto es el msmo escala o vecto. b) La hemtcdad es smetía. c) Las matces A* so taspuestas de las A ('.05). d) Las aplcacoes leales cojugadas so leales. e) La aplcacoes multleales cojugadas so multleales. f) Las aplcacoes sesquleales so bleales..0.- Sobe u espaco vectoal eal E e 'B6.0 hemos costuído u espaco vectoal complejo E del cual el espaco E foma pate. Ahoa be, s E está dotado de u poducto escala y queemos segu cosdeádolo pate de E, es 4

ecesao que éste a su vez esté dotado de u poducto escala y cocda asmsmo co el pmeo po lo que especta a vectoes eales. S E es eucldao, el equsto ateo lo cumple evdetemete u E hemítco de úcleo 0 tal que o sólo tega ua base comú co E so que també cocda sus matces fudametales. Vefcádose esto, també seá comues las demás bases eales así como las matces fudametales coespodetes. Dado u espaco vectoal complejo també detemábamos u espaco vectoal eal E como fomado pate del msmo. Peo s E está dotado de u poducto escala y ha de clu a E, habá que dota a E de uo tal que que los esultados cocda paa los vectoes eales. S E es hemítco de úcleo 0 la base de E paa costu E habá de se de matz fudametal eal. El espaco vectoal E costuído de esta maea, es eucldao y las matces fudametales de E lo seá també de E y asmsmo todas las bases de E seá bases eales de E...- Sea dos bases duales {e } y {e }y u vecto v v =v e =v e. Tedemos ahoa: v = v e = e v ; v = v e = e v 4

3.- Espacos pehlbetaos. 3.0.- Llamamos espacos pehlbetaos a los espacos hemítcos de úcleo ulo y sgatua postva. Segú vmos e '.0f la sgatua postva equvale a que paa todo vecto v o ulo se tega v v >0. Po cosguete, podemos def como espaco pehlbetao a todo espaco vectoal sobe el cuepo de los complejos dotado de u poducto escala s sgo, que paa cualesquea vectoes v,c,a,b y cualesquea escalaes λ, µ vefca las sguetes codcoes: 0 a b = (b a )* Hemtcdad 0 (λa + µb )c = λ(a c ) + µ(b c ) Lealdad facto 30 (v 0 ): v v >0; (v =0 ): v v = 0 Evdetemete, todo lo dcho especto a las espacos hemítcos de úcleo ulo seguá váldo ahoa. 3.0.- No obstate señalaemos alguas caacteístcas especales deducdas de la ueva hpótess más estgda: a) E u espaco pehlbetao, todos sus subespacos so també pehlbetaos. b) E u espaco pehlbetao o hay vectoes otogoales a sí msmos, excepto el vecto ulo. Po lo tato, s u subespaco es otogoal a oto ambos so dsjutos. c) Todas las matces fudametales elatvas a bases del espaco tee su detemate eal y postvo y o ulo. Puesto que evdetemete el detemate de ua matz fudametal dagoal es postvo y u cambo de bases o altea el sgo del detemate ('.05), pues se vefca: G = A*FA y las matces A y A* tee detemates cojugados. d) S F es el subespaco otogoal a F y G es el subespaco otogoal a G, tedemos F G F G po costtu cada pa, u pa de subespacos otogoales y suplemetaos. 3.03.- Pepedculadad. Decmos que dos subespacos F y G so pepedculaes, cuado paa sus subespacos otogoales espectvos F y G se 43

vefca: F G G F ó F =G G =F ó F G G F S las dmesoes de F y G so m y p espectvamete, las de F' y G' seá -m y -p espectvamete y habá los sguetes casos de pepedculadad: a) (m+p> p>-m): F G G F b) (m+p= p=-m): F = G G = F c) (m+p< p<-m): F G G F El caso a) es de smple pepedculadad, el b) es evdetemete el de otogoaldad suplemetaa y etoces decmos que u subespaco es el otogoal al oto. El caso c) es de otogoaldad e geeal. Basádoos e el cuado ateo, demos també que dos subespacos so smplemete pepedculaes cuado todos los vectoes otogoales al uo peteece al oto (caso a), que so otogoales cuado todos los vectoes del uo so otogoales al oto (caso c) y que so otogoales suplemetaos cuado sucede ambas cosas a la vez (caso b). 3.04.- Sea dos paes F, F y G G de subespacos otogoales suplemetaos. El subespaco otogoal suplemetao de F G es F'+G'. Pues po ua pate, todo vecto de F G po peteece a la vez a F y a G, es pepedcula a F y a G y po lo tato també a F +G. Y po ota pate, toda pepedcula a F +G lo seá a F y a G, po lo que peteeceá a F y a G y po cosguete a F G. Aálogamete demostaíamos que el subespaco otogoal suplemetao de F F... F es F +F +...+F. 3.05.- Desgualdades de Schwatz. Pmea.- Sea el subespaco geeado po dos vectoes v y w. La matz fudametal coespodete es: vv vw wv ww y como su detemate ha de se postvo o ulo, tedemos: (v v )(w w ) - (v w )(w v ) 0 co el sgo gual efedo a v y w o depedetes. 44

Seguda.- Sea el subespaco geeado po tes vectoes u,v y w. Su matz fudametal es: vv vw vu wv ww wu uv uw uu y po gual azó que e el caso ateo tedemos: (v v )(w w )(u u ) + (v w )(w u )(u v ) + (w v )(u w )(v u ) - - (v v )(u w )(w u ) - (w w )(u v )(v u ) - (u u )(w v )(v w ) 0 co el sgo gual efedo a v,w y u o depedetes. Sucesvas.- Co los subespacos geeados po cuato o más vectoes íamos hallado sucesvas desgualdades. 3.06.- Nomas y módulos. Llamaemos aquí, oma de u vecto v, y la desgaemos po v, el úmeo eal o egatvo defdo po: v = v v Llamaemos logtud o módulo de u vecto v, y la desgaemos po v o be v, a la aíz cuadada postva de su oma: v = v = vv 3.07.- Deomaemos oma λ y módulo λ de u complejo λ a los sguetes valoes postvos eales: λ = λλ; λ = λλ 3.08.- Las omas y módulos vefca las sguetes popedades: a) λv = λ v ; λv = λ v Pues teemos: y també po cosguete: λv = (λv )(λv ) = (λλ _ )(v v ) = λ v λv = λ v b) v +w + v -w = v + w Pues se vefca: 45

v +w = (v +w )(v +w ) = v v + v w + w v + w w v -w = (v -w )(v -w ) = v v - v w - w v + w w y sumado membo a membo: v +w + v -w = v v + w w = v + w c) La pmea desgualdad de Schwatz efeda a omas y logtudes, queda así: v w - v w 0 v w v w d) Desgualdad tagula: v +w v + w Po ua pate se vefca: v +w = (v +w )(v +w ) = v v + v w + w v + w w Paa v w = α+β se tee w v = α-β y po tato, al suma los dos poductos escalaes, se obtee: y al multplca: v w + w v = α (v w + w v ) = α (vw)(wv) = α + β vw = α + β Po cosguete: (v w + w v ) v w v w + w v v w y teedo e cueta la pmea desgualdad de Schwatz vsta e c) tedemos també: y po cosguete: v w + w v v w Po ota pate, hemos vsto que se vefca: v +w = v v + v w + w v + w w v +w v v + w w + v w Peo como teemos: v v + w w + v w = v + w + v w = ( w + v ) tedemos falmete: v +w v + w El sgo gual coespode a que las dos desgualdades que hemos utlzado e la demostacó sea gualdades. Esto, como puede vese fáclmete, ocuá co la desgualdad de 46

Schwatz cuado v =λw y co la ota paa β=0. E esume, el sgo gual coespode a v =λw co λ eal. e) Hacedo w =t -v, esulta ua ueva expesó: t = v+(t -v ) v + t -v t - v t -v 3.09.- De la defcó de espaco omado y de los páafos ateoes se despede que todo espaco pehlbetao es u espaco omado e elacó co las logtudes de los vectoes (y o co las omas tal como aquí se ha defdo). Pues se cumple las codcoes: 0 v > 0 cuado v 0 ; 0 = 0 0 v +w v + w 30 λv = λ v 3.0.- De la defcó de espaco métco y de lo vsto ateomete, deducmos que todo espaco pehlbetao es métco, al toma ahoa como dstaca ete v y w al valo v -w. Pues se vefca las codcoes 0 v -w > 0 paa v w ; v -w = 0 paa v = w 0 v -w = w -v 30 v -w v -u + u -w y la últma codcó es la desgualdad tagula, pues v -w = (v -u ) + (u -w ). 3..- Hemos vsto que u espaco pehlbetao es métco, cuado tomamos como dstaca ete dos vectoes v y w al úmeo eal v -w. Vamos a taduc ahoa los coceptos de espaco métco geeal e témos de espacos pehlbetaos a) Ua sucesó de vectoes {u } covege haca el límte u s u -u 0, cuado, es dec, cuado dado u ε abtao exste u ídce N tal que u -u ε paa N. El vecto u está etoces uívocamete detemado po la sucesó {u }. Notacoes: u u o be u =lím u, etc. b) Ua sucesó de vectoes {u } es covegete, s exste u vecto u tal que u u. E caso cotao la sucesó es dvegete. c) Ua sucesó de vectoes {u } es de Cauchy s u -u m 0 cuado m, ; es dec, que dado u ε>0 abtao, exste u ídce N tal que u -u m ε paa m, N. Toda sucesó covegete es de Cauchy; la ecípoca o es ceta. 47

d) U espaco pehlbetao es completo s toda sucesó de Cauchy covege, esto es, s la codcó u m -u 0 mplca que exste u vecto u tal que u u. 3..- Llamamos espaco de Hlbet a todo espaco pehlbetao completo. 3.3.- Decmos que u cojuto base de u espaco pehlbetao es completo, cuado el úco vecto otogoal a todos sus elemetos es el vecto ulo. Se demuesta que sempe exste u cojuto así fomado po vectoes de módulo uo otogoales ete sí dos a dos, peo que o sempe puede expesase co ua sucesó. Cuado se puede expesa co ua sucesó, se deoma base otoomal. 3.4.- Todo espaco pehlbetao co ua base otoomal se deoma sepaable, y so sempe sepaables los espacos pehlbetaos de dmesó fta. U vecto v cualquea de u espaco pehlbetao sepaable e vtud de ua sucesó o base otoomal {e } tee las sguetes popedades: v = (v e )e = v e v = (v e ) = (v ) ( ): v 0 48

4.- Espacos popamete eucldaos. 4.0.- Deomamos espaco popamete eucldao a todo espaco eucldao de sgatua postva. Po cosguete espaco vectoal popamete eucldao es todo espaco vectoal sobe el cuepo de los úmeos eales tal que a todo pa a,b de vectoes del msmo sabemos hace coespode u úmeo eal llamado poducto escala de a po b, que expesamos po a b, de maea que sedo λ y µ úmeos eales cualesquea se cumpla las sguetes leyes: 0 a b =b a Smetía. 0 ( c E ): (λa +µb )c = λ(a c )+µ(b c ) Lealdad facto 30 (v 0): v v >0; (v =0): v v = 0 Así pues u espaco popamete eucldao tee també todas las popedades de u espaco pehlbetao, teedo e cueta las obsevacoes de '.09. 4.0.- Tegamos e cueta que la matz A* elatva a A e u espaco pehlbetao, seá ahoa la matz A~ taspuesta de A. Po lo tato, s a ua base del espaco popamete eucldao coespode la matz fudametal G, co u cambo de bases de matz A y de acuedo co '.05, ahoa obtedemos la ueva matz fudametal G de la maea sguete: G = A~GA 4.03.- La oma v de u vecto v se expesa fecuetemete po y su módulo po v = v = v v = v 4.04.- Como ahoa v w =w v, y v v >0 paa v 0,la pmea desgualdad de Schwatz adoptaá uevas fomas: (v v )(w w ) - (v w )(w v ) 0 v w (v w ) (vw ) v w - 49 vw vw + Exste pues sempe u úmeo eal α del tevalo [0,π], tal que vw cos α = vw

A este úmeo se le llama águlo de los dos vectoes v y w y es ua fucó smétca de los msmos. La toduccó del águlo α, da al poducto escala de los espacos popamete eucldaos, su foma clásca. v w = vw cos α 4.05.- S hacemos: vw vw = cos α wu wu = cos β uv uv = cos γ la seguda desgualdad de Schwatz se tasfoma 0 v w u + (v w )(w u )(u v ) - u (v w ) - v (w u ) - w (u v ) vw wu uv +.. vw wu uv (vw ) - v w y adopta falmete la expesó: (wu ) - w u (uv ) - u v + (cos α)(cos β)(cos γ) - cos α - cos β - cos γ 0 a la que coespodeá el sgo gual, al se {u,v,w } u sstema lgado. 4.06.- Recodaemos que ua base otoomal es la de elemetos de módulo uo otogoales dos a dos y expesable po ua sucesó, expesó que sempe es posble s el espaco es de dmesó fta. Y haemos ota que e u espaco vectoal eucldao, sólo s es popamete eucldao exstá bases otoomales, ó sea fomadas po vectoes de módulo uo otogoales ete sí. Estas bases otoomales so duales de sí msmas, puesto que vefca: 0 e e j = δ j (símbolo de Koecke) 50

E.- CONJUNTO DE LOS TENSORES E (O SEA AFINES A E), CON E EUCLIDIANO DE DIMENSION FINITA..- Geealdades. -0.- Bases adoptadas. Cosdeaemos a los vectoes de E como tesoes de ode uo, y epesetaemos po (e ) a ua base de E tomada como pcpal, y po (e j ) a su base dual, sabedo que se vefca: e e j = e j e = δ j (símbolo de Koecke). Po cosguete podemos toma como bases de E, las sguetes: (e e j.. e s ), (e e j.. e s ), (e e j.. e s ), etc..0.- Expesoes de u teso. a) Todo teso de E puede expesase po ua combacó leal de poductos tesoales elemetales, es dec, coespodetes a elemetos de E : τ = α(a b.. p ) b) Teedo e cueta que cada factoes tesoales smples se puede epeseta po u teso de ode, todo teso de ode mayo que uo, se puede epeseta també e foma esteaa de la sguete maea: τ = σ µ c) La otacó odaa esteaa de u teso e fucó de bases duales, es: τ = t j..s (e e j.. e ) = s t..s j (e e j.. e ) =... s S o se dca lo cotao tomaemos (e ) como base pcpal y e cosecueca los coefcetes escalaes se deoma: Cotavaates: t j..s Covaates: t j..s Mxtos: t j..s, etc. Sólo s E es popamete eucldao, las bases duales puede se otoomales y etoces se vefca: t j..s = t j..s = t j..s =... 5

.- Algeba tesoal.0 Opeacoes fudametales. El cojuto E toma la estuctua de u álgeba establecedo las sguetes opeacoes fudametales ete sus elemetos:.- Multplcacó tesoal. 0.- Multplcacó cotacta. que pasamos a pecsa..0.- Multplcacó tesoal. Defmos como poducto tesoal de u teso τ E po u teso σ E m a u teso τ σ de E (+m) de las caacteístcas popas de la estuctua tesoal que supoemos coocda. Nos lmtaemos ahoa a ecoda las sguetes: 0.- No comutatvdad: E geeal τ σ σ τ. 0.- Asocatvdad: σ (τ π )=(σ τ ) π = σ τ π 30.- Dstbutvdad a deecha e zqueda: (σ =σ +σ ; τ =τ +τ ): σ τ = σ τ + σ τ + σ τ + σ τ.03.- Multplcacó cotacta. Ete los posbles, defmos como poducto cotacto omal de dos tesoes τ y σ y lo expesamos s sgo especal, a u teso τ σ, que tee po ode el módulo de la dfeeca de ódees de los factoes, sujeto a las sguetes leyes: 0.- Comutatvdad: τ σ = σ τ 0.- Dstbutvdad a deecha e zqueda: (σ =σ +σ ; τ =τ +τ ): σ τ = σ τ + σ τ + σ τ + σ τ 30.- El poducto cotacto ete vectoes de E cocde co el poducto escala e E. 40.- El poducto cotacto de dos poductos tesoales elemetales, se vefca odeadamete del modo sguete: (a a... a m a m+... a )(b b... b m ) = = (a b )(a b )...(a m b m ) [a m+... a ] Cada paétess () dca u poducto escala cuyos factoes so los paes de vectoes stuados e el msmo ode de coloca- 5

có de zqueda a deecha de los tesoes factoes, hasta agota los vectoes del teso de meo ode. Puede vese fáclmete que esta opeacó es compatble co las popas de los espacos vectoales de tesoes..04.- Notacoes esteaas omales. Ejemplos. Sea los tesoes τ =t j k (e e j e k ); σ =s lm (e l e m ).- π = τ σ = t j k (e e j e k ) slm (e l e m ) = = t j k s lm (e e j e k e l e m ) p j klm = t j k s lm.- ρ = τ σ = [t j k (e e j e k )][slm (e l e m )] = = t j k s lm (e e l )(e j e m )e k =t jk s j e k k = t j k s j Paa este poducto, las bases utlzadas paa el pme facto debe se duales de las utlzadas paa el segudo facto..05.- Teoemas fudametales de esta álgeba. Teoema.- Dados tes tesoes τ, σ y µ costuídos sobe E, tales que el ode de τ es gual o mayo que el de σ, se vefca: (τ σ)µ = (σ µ )τ Dada la dstbutvdad de poductos tesoales y cotactos, bastaá demostalo paa el caso de que los tes tesoes sea poductos tesoales smples. Efectvamete, paa σ = a a... a τ = b b... b b +... b s µ = c c... c t tedemos: τ σ = (a b )(a b )...(a b )[b +... b ] s σ µ = a a... a c c... c t y po cosguete: (τ σ )µ = (a b )(a b )...(a b )[b +... b s ][c c... c t ] (σ µ )τ = (a b )(a b )...(a b )[c c... c t ][b +... b s ] Teoema.- Dados tes tesoes σ, τ y µ costuídos sobe E, tales que el ode de σ es feo al de τ, se vefca: σ τ µ = (τ µ )σ 53

Bastaá demostalo paa los msmos tesoes de la demostacó ateo, co lo que σ τ tomaá el valo allí expesado. Tedemos además: τ µ = b b... b b +... b s c c... c t y po cosguete: σ τ µ = (a b )(a b )...(a b )[b +... b s c c... c ] t (τ µ )σ = (a b )(a b )...(a b )[b +... b s c c... c ] t Teoema 3.- Sea 4 tesoes τ, τ, σ y µ costuídos sobe E, tales que τ y τ so de gual ode. se vefca: (τ τ )(σ µ ) = (τ σ )(τ µ ) Pues τ τ =τ τ es u escala, y podemos escb: (τ τ )(σ µ ) = [(τ τ )σ ]µ y po el teoema : (τ τ )(σ µ ) = [τ (τ σ )]µ = (τ σ )(τ µ ).06.- U coefcete escala de u teso τ de ode s, elatvo a ua base tesoal compuesta po vectoes de u pa de bases duales de E, es gual al poducto cotacto de τ po u poducto tesoal de dchos vectoes base co ídces e gual poscó y ode. Podemos demostalo, po ejemplo paa t j : k τ (e e j e ) = (e k [t'j' k' ' e j' e k' )](e e j e ) = k = t 'j' (e k' ' e )(e j' e j )(e k' e ) = k tj k y evdetemete la demostacó es aáloga paa cualque oto coefcete..07.- Cambo de coodeadas de u teso afí τ al pasa de ua base {e } de E y su dual, a ua ueva base {f j } y su dual, elacoadas co las ateoes, segú C'4.05, po: f j = α j e ; f k = β k m e m ; αjβ k = δ k j = símbolo de Koecke Sea po ejemplo τ = t st (e e e s e t )= t vw gh (f v f w f g f h ) t vw gh = τ (f v f w f g f h ) = τ ([β v e ][β w e ][α s g e s ][αt h e t ])= = β v β w α s gα t h τ (e e e s e t ) = βv β w α s gα t h t st Como β v,βw,αs y g αt h coespode a matces de cambo de bases, que so egulaes, las uevas coodeadas so fucó egula de las ateoes. Paa todo teso, se obtee aálogamete las coodeadas uevas de cualque tpo a pat de las atguas del msmo o dstto tpo. 54

.08.- Se demuesta que u cojuto de escalaes fucó de ua base de E, defe a u teso de E, s y sólo s, co u cambo de bases, los escalaes vaía como s fuea los elemetos de u cojuto de coefcetes tesoales de u msmo tpo detemado. Etoces el cojuto de escalaes cocde co el cojuto de coefcetes del msmo tpo coespodetes a algú teso. També se demuesta que u cojuto de escalaes, fucó de ua base de E, defe a u teso π, o sea que es el cojuto de coefcetes de π, de algú tpo, cuado al opea como s así fuea paa halla los coefcetes de π σ ó de π σ, sedo σ u teso cualquea, hallamos u cojuto de escalaes que defe a u teso..09.- El poducto cotacto aquí defdo, duce e todos los espacos vectoales E de tesoes afes a E, u poducto escala que los hace eucldaos. S E fuea popamete eucldao, també lo seía los espacos vectoales poducto. 3.- Tesoes y aplcacoes leales. 3.0.- Los poductos cotactos de u vecto v detemado de E (m+) po los dsttos vectoes de E, so vectoes de E m que vaía lealmete co ellos. Po lo tato dchos poductos so las mágees de ua aplcacó leal de E e E m epesetable po el vecto v. El vecto de E (m+) coespodete a la aplcacó leal po la que ua base {g } de E tee po mage {f ), vamos a ve que es (g j f ) sedo j (g j } la base dual de {g j ). E efecto: (g j f j )g = (g j g )f j = f 3.0.- De acuedo co el páafo ateo, la aplcacó leal détca vedá epesetada po el teso g g = g g efedo a cualque pa de bases duales, pues po el teoema y '.05, teemos: (g g )a = (g a )g = a g = a Paa los vectoes de E, la aplcacó leal détca vedá epesetada po u teso de ode: I = e e = e e co {e } y {e } bases duales de E. El poducto cotacto de I po u poducto tesoal (a b ) cualquea de dos vectoes de E, es el poducto escala de ambos. Pues teemos: 55

I (a b ) = (I a )b = a b 3-03.- Los coefcetes tesoales de I cotavaates costtuye las matces de cambo de ua base a su dual y los coefcetes tesoales de I covaates foma las matces de cambo veso. Los coefcetes mxtos costtuye la matz udad. Pues podemos escb: I = g j (e e ) = e j g j e = e j e e = g j e j I = g j (e e j ) = e g j e j = e e e = g e j j I = g (e e j )= e k e k I = g j (e e )= e j k e k g = δ j g j = δ j (símbolo de Koecke) (símbolo de Koecke) vesas. E D'.04 hemos vsto que las matces de cambo so Las matces covaate y cotavaate de I so las fudametales paa las bases duales cosdeadas: g j e = e j = e j (e e ) = (e j e )e gj = e j e g j e = e = e (e j j e ) = (e e )e j g j = e e j 4.- Opeacó cotaccó de tesoes. La defemos co u modelo. Sea u poducto tesoal úco: τ =a b c d.. m La cotaccó de los factoes,4, es el teso: τ = (bd)(a c.. m ) S el teso vee dado e foma omal e fucó de bases duales, tal como: τ = t jk (e..m e j e k e l.. e m ) el teso cotaccó,4, seá: τ = t jk (e l..m j e l )(e e k.. e m ) = (j=l): t jk (e j..m e k..e m ) Deducmos de aquí, que paa efectua esta últma opeacó, hay que expesa pevamete los dos factoes tesoales a supm, e sedas bases duales. 56

5.- Obsevacoes. Las magtudes que se cosdea e muchas pates de la Físca o elatvsta, so asmlables a espacos vectoales de tesoes de ode 0, ó mayo, somofos a los de E, y sus elacoes mutuas, e muchos casos, se puede expesa s adopta udades de medda, ó sea tísecamete, a tavés de los coceptos y métodos algebacos aquí establecdos, y de otos complemetaos deducdos de ellos. Estmamos que esta álgeba tesoal puede faclta cosdeablemete el estudo tíseco de las elacoes ete magtudes fscas y paa su desaollo, esulta dspesable el domo e la aplcabldad de los tes teoemas fudametales aquí eucados. De ete los poductos cotactos ete tesoes que se puede def y que se usa, se ha elegdo como omal el de aplcacó más geeal, y que estmamos sufcete paa uestos fes. Ua vez halladas las expesoes más secllas ó coveetes, el cálculo uméco exge adopta udades de cada magtud y po tato la adopcó de bases vectoales que se coespoda debdamete ete ellas y etoces també tee plea aplcacó la expesó de tesoes po coefcetes de otacó esteaa, expesó que e los casos secllos se pesta a la aplcacó del cálculo matcal. Las matces, també se puede cosdea como tesoes, po lo geeal de ode uo y dos, y po tato, sus elacoes tísecas també quedaá eflejadas e desaollos dvesos del álgeba tesoal aquí pesetada. El álgeba que aquí se va a desaolla, está dedcada especalmete a los tesoes afes a E expesados e foma tíseca, cluyedo ete ellos a vectoes y escalaes. E cuato a bases y coefcetes, e geeal tevee solamete paa completa el estudo de los poblemas o paa aclaa o cofma esultados, de acuedo co el objeto del texto, que es úcamete teta hace ve las vetajas del método tíseco de cálculo tesoal aquí desaollado. Esta álgeba o se ha amplado a los elemetos de espacos costuídos sobe espacos vectoales hemítcos, po la dfcultad devada de que, ya e los casos más secllos, el poducto hemítco de vectoes o es e ellos comutatvo. El texto que atecede, o tee oto objeto que ecoda las bases pevas elatvas a los espacos vectoales, que es coveete cooce, paa la coecta aplcacó del álgeba tesoal a espacos vectoales afes eucldaos (popamete ó o). Dejamos a posteo cosdeacó su posble aplcacó a espacos pehlbetaos 57