Capítulo 5 1 EDES EQUIVALENTES En aradas stuacons no ntrsa conocr todos los alors d los oltajs y corrnts d una rd, sno sólo un pquño conjunto d llos. Pudn logrars smplfcacons mportants, n l cálculo d una part d la solucón d la rd, mplando rds qualnts. San trs rds 1, 2 y, conctadas d la forma n qu s ndca n la Fgura 5.1. 1 2 Fgura 5.1. 2 s qualnt a 1 rspcto d. Dnomnamos solucón d, a los alors d las corrnts y oltajs d las componnts dntro d. 1 s qualnt a 2 s la solucón d no camba, s stá conctada a 1 o a 2. no pud dars cunta s tn conctada la rd 1 o la rd 2. S sólo s dsa obtnr la solucón n cuando stá conctada a 1 ; un método fcto consst n dtrmnar una rd 2, qualnt a 1 y tal qu los cálculos para dtrmnar la solucón n san más smpls. 5.1. Caractrístca trmnal d una sub-rd S para una subrd s plantan las cuacons d ntrconxón y las d qulbro, n funcón d las arabls ntrnas y d las trmnals ; s pud lograr una rlacón ntr, lmnando las arabls ntrnas. A sa rlacón s la dnomna caractrístca trmnal o d punto motrz. Y s qualnt a dfnr la subrd por su cuacón d qulbro. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
2 Toría d ds Eléctrcas Subrd Fgura 5.2. lacón trmnal. S dc qu una caractrístca trmnal s controlada por oltaj s la corrnt trmnal pud dscrbrs por una funcón dl oltaj: f () (5.1) Para cada alor d, xst sólo uno d. Fgura 5.3. Caractrístca controlada por oltaj. S dc qu una caractrístca trmnal s controlada por corrnt s l oltaj trmnal pud dscrbrs por una funcón d la corrnt: f () (5.2) Fgura 5.4. Caractrístca controlada por corrnt. Una caractrístca no controlada por oltaj n por corrnt quda dscrta por una rlacón ntr : f (, ) 0 (5.3) Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 3 5.2. Valors n trmnals Fgura 5.5. lacón ntr. En la Fgura 5.6 s sólo s dsa calcular n los trmnals, pudn dtrmnars las caractrístcas trmnals d 1 y 2. sultan: f (, ) 0 para 1 1 f (, ) 0 para 2 2 (5.4) 1 2 Fgura 5.6. Intrsccón d caractrístcas. solndo l sstma d dos cuacons (5.4) pudn calculars los alors n los trmnals:. La solucón antror pud sualzars gráfcamnt: f 1 s f 2 s Fgura 5.7. Solucón gráfca. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
4 Toría d ds Eléctrcas Dond: s s son los alors trmnals, o solucón dl sstma, ya qu satsfacn smultánamnt l sstma dscrto n (5.4). Est método gráfco s muy útl s una d las sub-rds s no lnal y s s conoc su caractrístca trmnal n forma gráfca. En sstmas rals la solucón s únca. Ejmplo 5.1. Un caso frcunt d subrd s un gnrador ral d tnsón. Vrmos algunas propdads d su caractrístca trmnal. Dtrmnar caractrístca trmnal d la rd G : G Fgura 5.8. cta d gnracón. S tn, aplcando LVK y las cuacons d qulbro d las componnts ntrnas, qu la rlacón trmnal s: G : (5.5) La funcón f (), n (5.5), s rprsnta n forma gráfca n la Fgura 5.9. / Fgura 5.9. Parámtros d la rcta. La gráfca s dbuja n crto nstant. S s constant, la gráfca s álda para todo t. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 5 S camba, con constant, la rcta s dsplaza parallamnt. S camba, con constant, la rcta rota, mantnndo fja la ntrsccón con l j. La rcta rsultant podría dnomnars rcta d gnracón. Ejmplo 5.2. Dtrmnar la solucón n los trmnals. G C C Fgura 5.10. Gnrador y carga. Para la sub-rd C, a la drcha d los trmnals: C : C (5.6) Para l gnrador ral, a la zqurda d los trmnals: G : (5.7) La solucón gráfca dl sstma dscrto por (5.6) y (5.7) pud sualzars n la Fgura 5.11. / s 1 1/ C s Fgura 5.11. cta d carga. La gráfca d C s una rcta, comúnmnt dnomnada d carga. Es la carga dl gnrador ral; s C dsmnuy aumnta la corrnt qu db sumnstrar l gnrador. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
6 Toría d ds Eléctrcas En la ntrsccón d la rcta d gnracón con la rcta d carga, s ncuntra la solucón dl oltaj y la corrnt, n los trmnals d la rd. 5.3. Tpos d rds qualnts 5.3.1. Equalnca por gual caractrístca trmnal En l squma prsntado n la Fgura 5.1, s pud ncontrars una rd 2 qu tnga structura ntrconctada ntrna dfrnt a 1, pro con gual caractrístca trmnal qu 1, s dc qu 1 y 2 son qualnts por tnr gual caractrístca trmnal. 5.3.2. Equalnca por guals alors trmnals S la caractrístca d s controlada por oltaj, la rd 1, d la Fgura 5.1, pud substturs por una funt d oltaj qu tnga gual alor qu l oltaj trmnal. En st caso, la rd qualnt s una funt d tnsón. a (t) b Fgura 5.12. Substtucón por funt d oltaj. La solucón n no camba, al substtur la sub-rd 1 por una funt d oltaj. S la caractrístca d s controlada por corrnt, la rd 1, d la Fgura 5.1, pud sr substtuda por una funt d corrnt qu tnga gual alor qu la corrnt trmnal. Esto s lustra n la Fgura 5.13. a (t) b Fgura 5.13. Substtucón por funt d corrnt. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 7 Casos partculars son la substtucón por un cortocrcuto, s s conoc qu l oltaj trmnal s cro; y la substtucón por un crcuto abrto s s conoc qu la corrnt trmnal s cro. 5.4. Conxons Vrmos algunas qualncas qu dpndn d cómo stén conctadas las componnts ntr sí. Exstn dfncons para algunas conxons típcas, qu studarmos a contnuacón. 5.4.1. Conxón sr Dos componnts stán n sr s son atrasadas por la msma corrnt. Las componnts tnn un y sólo un trmnal común; y n s trmnal común no hay más componnts conctadas. S dc qu C 1 y C 2 stán n sr. Como s aprca n la Fgura 5.14, n A no hay otras componnts conctadas. C 1 A C 2 Fgura 5.14. Conxón sr. 5.4.2. Conxón parallo Dos componnts stán n parallo s tnn ambos trmnals comuns; s dcr, tnn gual oltaj ntr trmnals. En la Fgura 5.15, s dc qu C 1 y C 2 stán n parallo. C 1 C 2 Fgura 5.15. Conxón parallo. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
8 Toría d ds Eléctrcas 5.5. Conmutatdad 5.5.1. Conmutatdad sr Dos componnts n sr pudn conmutars, sn cambar la caractrístca trmnal dl conjunto. S tn, para las componnts C 1 y C 2 d la Fgura 5.16: ( ) 1( ) 2( ) (5.8) 1 2 A C 1 C 2 Fgura 5.16. Conmutatdad sr a. La rlacón (5.8), qu s una cuacón LVK, pud scrbrs: ( ) 2( ) 1( ) (5.9) Qu pud ntrprtars gráfcamnt como s lustra n la Fgura 5.17. 2 1 A C 2 C 1 Fgura 5.17. Conmutatdad sr b. Las rds d las Fguras 5.16 y 5.17 son qualnts rspcto a la rd, por tnr guals caractrístcas trmnals. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 9 5.5.2. Conmutatdad parallo Dos componnts n parallo pudn conmutars, sn cambar la caractrístca trmnal dl conjunto. S tn para las componnts C 1 y C 2 d la Fgura 5.18, la sgunt rlacón trmnal: ( ) 1( ) 2( ) (5.10) 1 2 C 1 C 2 Fgura 5.18. Conmutatdad parallo a. La rlacón (5.10), qu s una cuacón LCK, tambén pud scrbrs sgún: La qu pud ntrprtars sgún la Fgura 5.19. ( ) 2( ) 1( ) (5.11) 2 1 C 2 C 1 Fgura 5.19. Conmutatdad parallo b. Las rds d las Fguras 5.18 y 5.19 son qualnts rspcto a la rd, por tnr guals caractrístcas trmnals. 5.6. Blatraldad Una componnt cuya caractrístca trmnal sa smétrca rspcto dl orgn pud conctars al rés, ntrcambando trmnals, sn cambar su caractrístca trmnal. S para la componnt C, n la Fgura 5.20, s tn: Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
10 Toría d ds Eléctrcas f (, ) 0 (5.12) C Fgura 5.20. Blatraldad a. S la rlacón (5.12) s smétrca rspcto dl orgn, s tndrá: f (, ) f (, ) (5.13) Dbdo a (5.13) pud plantars la conxón d la componnt C, como s ndca n la Fgura 5.21. C Fgura 5.21. Blatraldad b. Las rds d las Fguras 5.20 y 5.21 son qualnts rspcto a la rd, por tnr guals caractrístcas trmnals. 5.7. dundanca 5.7.1. dundanca sr En la Fgura 5.22 s mustra una componnt C, n sr con una funt d corrnt. Para la rd d la Fgura 5.22, s tn: j() t (5.14) Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 11 C a j(t) Fgura 5.22. dundanca sr a. Para la rd d la Fgura 5.23, tambén s cumpl la rlacón (5.14); pro db notars qu los alors d la arabl, n las Fguras 5.22 y 5.23 son dfrnts. b a j(t) b Fgura 5.23. dundanca sr b. S dc qu la componnt C, como s mustra n la Fgura 5.22, s rdundant n sr; y pud sacars, como s lustra n la Fgura 5.23. Las rds d las Fguras 5.22 y 5.23 son qualnts rspcto a la rd, por tnr guals alors d la corrnt trmnal. La componnt C no pud sr una funt d corrnt dfrnt a j. S lo fura la structura no sría rd, ya qu no s cumplría LCK. 5.7.2. dundanca parallo Una componnt C n parallo con una funt d tnsón, como s mustra n la Fgura 5.24, s rdundant n parallo, y pud sacars, como s lustra n la Fgura 5.25, consrando los alors trmnals dl oltaj. Para las rds d las Fguras 5.24 y 5.25, s cumpl qu l alor trmnal dl oltaj s: () t (5.15) Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
12 Toría d ds Eléctrcas a (t) + C b Fgura 5.24. dundanca parallo a. a (t) + Fgura 5.25. dundanca parallo b. Es dnt qu la nrgía qu sumnstra la funt, s dfrnt n ambas stuacons; tambén la corrnt, s dfrnt. Lo qu no camba s la solucón al ntror d la rd. Las rds d las Fguras 5.24 y 5.25 son qualnts rspcto a la rd, por tnr guals alors dl oltaj trmnal. La componnt C no pud sr una funt d tnsón dfrnt d, n st caso no s rd; ya qu no s cumpl LVK. Db notars qu s la corrnt n C s l lmnto d control d una funt controlada, no s rdundant y no pud sacars; ya qu altra la solucón n la sub-rd conctada. b 5.8. Contraccón d cortocrcutos S n una sub-rd xst un cortocrcuto, ést pud contrars mantnndo la caractrístca trmnal d la sub-rd. S lustra un cortocrcuto ntr los nodos A y B, d la Fgura 5.26. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 13 1 A C C B Fgura 5.26. Contraccón d cortocrcuto. En las cuacons ntrnas d 1, c aparc n cuacons LVK, n crcutos qu contngan al lmnto AB; stas cuacons no camban s s rmplaza c por cro. En 1, hay dos cuacons LCK, qu contnn a c ; las asocadas a los nodos A y B. Nóts qu A y B con rspcto a una rfrnca común, son guals, dbdo a LVK. S s lmna l cortocrcuto, por contraccón, quda sólo una cuacón LCK, asocada al nodo fusonado A y B. Entoncs ambos sstmas d cuacons prmtn drar gual rlacón para las arabls trmnals. La sub-rd con l cortocrcuto contraído, tn una cuacón LCK mnos qu la rd orgnal; pro tambén tn una arabl corrnt mnos qu la rd orgnal; y las cuacons LVK son las msmas. 5.9. Duplcacón d nodo Nóts qu cualqur nodo pud partrs n dos, conctados por un cortocrcuto. El nodo b, d la Fgura 5.27 zqurda, s ha duplcado n b y b, n la Fgura 5.27 drcha. Sgún s ó n 5.8, l cortocrcuto ntr b y b, n la Fgura 5.27 a la drcha, pud contrars, orgnando la Fgura 5.27 zqurda. C C b b Fgura 5.27. Duplcacón d nodo. b Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
14 Toría d ds Eléctrcas Pud dcrs qu l nodo b pud partrs n los nodos b y b conctados por un cortocrcuto. Las rds orgnan guals cuacons LCK y LVK, y d qulbro. La rd d la drcha aporta una cuacón d qulbro adconal, y las dos arabls asocadas al cortocrcuto. Ambas rds son qualnts, con rspcto a, por tnr guals caractrístcas trmnals. Esta qualnca s muy usada para darl una caractrístca rtcular a los dagramas d rds léctrcas. 5.10. Aprtura d lmntos S n una sub-rd s conoc qu la corrnt s cro n un lmnto, ést pud rmplazars por un crcuto abrto, o sacars, mantnndo la caractrístca trmnal d la sub-rd. 1 A a a B Fgura 5.28. Substtucón por crcuto abrto. En las cuacons ntrnas d 1, a ntrn n las LCK n los nodos A y B; y éstas no camban al rmplazar a por cro. En rds planas, xstn dos mallas qu contnn al lmnto AB. Por lo tanto, xstn dos cuacons LVK qu contnn l oltaj dl lmnto. Al sacar l lmnto, la nua rd contn una cuacón LVK mnos. Y sa cuacón s la qu rsulta d lmnar l oltaj dl lmnto n las dos cuacons antrormnt mnconadas. Lo cual mustra qu ambos sstmas d cuacons prmtn drar gual rlacón para las arabls trmnals. Un caso partcular d los tormas antrors, stos n 5.8 y 5.9, s l qu s produc: Cuando s conoc qu l oltaj d un lmnto s cro, y pud dducrs por su cuacón d qulbro, qu la corrnt tambén s cro. Por jmplo, sto sucd s l lmnto s una rsstnca. S produc una stuacón smlar, cuando s conoc qu la corrnt s cro, y por la cuacón d qulbro s dduc qu l oltaj s cro. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 15 En ambos casos s tndrá qu l lmnto s un oport. Y pud sr consdrado crcuto abrto o cortocrcuto sgún connga. Es dcr, l lmnto s pud sacar o bn rmplazar por un cortocrcuto; l qu a su z pud contrars. 5.11. Moldad d funts d tnsón Consdramos la rd qu s lustra n la Fgura 5.29. Entr A y B hay un crcuto abrto. S 1 2, s tn qu l oltaj ntr A y B s cro, y pud aplcars l torma d substtucón por un cortocrcuto. A 1 B 2 1 2 Fgura 5.29. Moldad d funts d tnsón a. Conctando un cortocrcuto, ntr A y B, tndrmos: 0, 0 Esto pud rs n la Fgura 5.30. C C A 1 C 2 C B Fgura 5.30. Moldad d funts d tnsón b. Contrayndo l cortocrcuto y aplcando rdundanca paralla, s logra: Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
16 Toría d ds Eléctrcas A B A 1 2 Fgura 5.31. Moldad d funts d tnsón c. S n un nodo hay conctada una funt d tnsón, como s mustra n la Fgura 5.31, ésta pud mors haca todas las componnts conctadas al nodo. S mu la funt a traés d A y B, haca los lmntos, orgnando la Fgura 5.29, con 1 2. El gnrador dal, d la Fgura 5.31, quda como aros gnradors rals, n la Fgura 5.29; s dcr, cada gnrador d tnsón quda con una componnt n sr. 5.12. Moldad d funts d corrnt Consdrmos la rd, d la Fgura 5.32. j 1 1 A B j 2 2 Entr A y B hay un cortocrcuto. Fgura 5.32. Moldad d funts d corrnt a. S j1 j 2, s tn, por LCK, qu la corrnt n l cortocrcuto s cro. S l oport ntr A y B s rmplazado por un crcuto abrto, y s aplca rdundanca sr d funts d corrnt, s logra, la Fgura 5.33. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 17 C 1 j B 2 Fgura 5.33. Moldad d funts d corrnt b. En la Fgura 5.33, la funt qu mu corrnt d A haca C, pud sr rmplazada por una funt qu lla corrnt d A haca B y otra qu lla d B haca C, como s lustra n la Fgura 5.32. Nóts qu l cortocrcuto ntr A y B dl prmr dagrama pud contrars. Esta qualnca prmt transformar un gnrador dal d corrnt n gnradors rals; s dcr, cada gnrador d corrnt con una componnt n parallo, tal como s lustra n la Fgura 5.32. 5.12. ds qualnts d componnts d gual tpo 5.12.1. Dos rsstncas n sr Para la conxón sr d dos rsstncas, qu s mustra n la Fgura 5.34, pud obtnrs una rsstnca qualnt, aplcando las cuacons a la sub-rd zqurda, y lugo lmnando las arabls ntrnas d ésta. A d 1 2 1 2 Fgura 5.34. sstncas n sr. Aplcando LVK: 1 (5.16) 2 Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
18 Toría d ds Eléctrcas Emplando las cuacons d qulbro d las rsstncas n (5.16), s lmnan 1 y 2, s obtn: Aplcando LCK, s tn: Elmnando las corrnts ntrnas, s obtn: 1 1 2 (5.17) 2 1 (5.18) 2 ( 1 2) (5.19) Para la rd d la Fgura 5.35, s tn la sgunt rlacón ntr arabls trmnals: (5.20) d Fgura 5.35. sstnca sr qualnt. Comparando las rlacons (5.19) y (5.29) s tn qu las rds d las Fguras 5.34 y 5.35 son qualnts, por tnr gual caractrístca trmnal, s s cumpl qu: 1 2 (5.21) La combnacón sr d dos rsstncas s qualnt a una rsstnca, con l alor dado por la rlacón (5.21). 5.12.2. Dos rsstncas n parallo Para la conxón n parallo d dos rsstncas, qu s mustra n la Fgura 5.36, pud obtnrs una rsstnca qualnt, aplcando las cuacons a la sub-rd, y lugo lmnando las arabls ntrnas d ésta. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 19 1 2 d 1 2 Fgura 5.36. sstncas n parallo. S tnn por LVK y las cuacons d qulbro: 11 22 (5.22) Aplcando LCK: 1 (5.23) 2 mplazando, las corrnts n (5.23) mdant las cuacons d qulbro d (5.22), s obtn: 1 2 (5.24) sulta, factorzando: 1 1 (5.25) 1 2 Para la rd d la Fgura 5.37, s obtn la rlacón (5.20). d Fgura 5.37. sstnca parallo qualnt. Comparando (5.20) con (5.25) s tn qu las rds d las Fguras 5.36 y 5.37 son qualnts por tnr la msma caractrístca trmnal, s s cumpl qu: Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
20 Toría d ds Eléctrcas 1 1 1 1 2 (5.26) Dspjando, d la rlacón (5.26), s obtn: 1 2 1 2 (5.27) Para rcordar la fórmula n (5.27), nóts qu l producto d las rsstncas db r n l numrador; para mantnr la dmnsón físca d la rsstnca qualnt. La rlacón (5.27) sul anotars: 1 2. Intrprtacón gráfca: S s colocan, como ordnadas, los alors d 1 y 2 sparados n crta cantdad n l j d abcsas; y s unn los xtrmos, s forman dos trángulos, sgún mustra la Fgura 5.38. 1 x 2 a b Fgura 5.38. sstnca n parallo. Por smjanza d trángulos, o bn calculando las tangnts d y s logra: tg x x 2 ; 1 tg a a b b a b (5.28) A partr d stas xprsons, pud obtnrs: x a x b ; a b a b 2 1 (5.29) Sumando las rlacons n (5.29) s obtn: x x 2 1 1 (5.30) Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 21 Dspjando x, n (5.30), s obtn: x 1 2 1 2 (5.31) Volndo a la Fgura 5.38, s tn qu l alor d la rsstnca qualnt stá rprsntado por x. S obsra qu la rsstnca d la combnacón paralla s mnor qu 1 y 2. 5.12.3. Cálculos aproxmados Para l caso sr, s 1 10 2 s tndrá 1. Para l caso parallo, s 1 10 2 s tndrá 2. S dfn l rror rlato como: ( alor xacto) -( alor aprox.) 100% ( alor xacto) (5.32) En l caso sr, l rror rlato n porcntaj s: ( /10) 1,1 1 1 1 1 100% 9, 09% 10% (5.33) En l caso parallo, l rror rlato s: (10 /11) (10 /11) 2 2 2 100% 10% (5.34) Entoncs, s s mplan componnts cuya tolranca d fabrcacón s dl 10%, la forma d aproxmar mostrada mantn los cálculos dntro d la tolranca. 5.12.4. Componnts dnámcas n parallo o sr Pud comprobars qu las nductancas n sr y n parallo tnn xprsons smlars a las obtndas para las rsstncas. En l caso d condnsadors n sr s aplca la structura d la fórmula para sumar rsstncas n parallo; para l caso d condnsadors n parallo, s usa la structura d la fórmula para sumar rsstncas n sr. Calcularmos l condnsador qualnt d dos conctados n parallo, qu s lustra la Fgura 5.39. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
22 Toría d ds Eléctrcas 1 2 d C 1 C 2 D las cuacons d qulbro, s tnn: Fgura 5.39. Condnsadors n parallo. 1 1 1 2 d C dt d C dt (5.35) Aplcando LCK, y rmplazando las cuacons d qulbro, s obtn: 1 2 ( C1 C2) d (5.36) dt S s compara (5.36) con la cuacón d qulbro d un condnsador, s obtn l alor dl condnsador qualnt a la conxón parallo: C C1 C (5.37) 2 5.12.5. Funts d tnsón n sr La Fgura 5.40 lustra la conxón sr d dos funts dals d tnsón: 2 1 Fgura 5.40. Funts d tnsón n sr. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 23 Aplcando LVK, pud rmplazars la combnacón sr por una funt d tnsón qualnt con alor: 1 (5.38) 2 S las funts dals d tnsón stán n parallo, sólo pudn sr guals; ya qu db cumplrs LVK. 5.12.6. Funts d corrnt n parallo La Fgura 5.41 lustra la conxón parallo d dos funts dals d corrnt: j j 1 j 2 Fgura 5.41. Funts d corrnt n parallo. Aplcando LCK, pudn rmplazars la combnacón parallo por una funt d corrnt ndpndnt dal d alor: j j1 j (5.39) 2 S las funts stán n sr, sólo pudn sr guals; ya qu db cumplrs LCK. 5.12.7. Dos funts rals n parallo La Fgura 5.42 mustra dos funts ndpndnts d tnsón, cada una con una rsstnca n sr. S dsa ncontrar una rd qualnt con un solo gnrador, como s lustra n la Fgura 5.43. 1 1 2 1 2 2 Fgura 5.42. Dos funts n parallo. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
24 Toría d ds Eléctrcas Para la Fgura 5.42 s tnn las sgunts cuacons LVK, n las cuals s han rmplazado las cuacons d qulbro: 1 1 1 2 2 2 (5.40) Admás s tn, por LCK, qu: 1 (5.41) 2 Elmnando mdant (5.40) las corrnts ntrnas 1 2, s obtn: 1 2 1 2 (5.42) Dspjando, n (5.42) s obtn: 21 1 2 1 2 1 2 1 2 (5.43) Para la rd d la Fgura 5.43, s tn la sgunt caractrístca trmnal. (5.44) Fgura 5.43. Funt qualnt. Comparando los cofcnts d (5.43) y (5.44), las rds d las Fguras 5.42 y 5.43 son qualnts por tnr guals caractrístcas trmnals, s s cumpl qu: 2 1 1 2 1 2 (5.45) 1 2 1 2 Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 25 sultado qu s conoc como Torma d Mllman. El torma s pud xtndr a más d dos gnradors rals conctados n parallo. Por jmplo, para trs gnradors n parallo, s tn: 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 2 3 (5.46) 5.12.8. sstors n sr La Fgura 5.42 mustra dos rsstors n sr. S asumn conocdas las caractrístcas gráfcas d cada componnt. 1 1 2 2 Fgura 5.44. sstors n sr. Los rsstors d la Fgura 5.44 son qualnts al rsstor d la Fgura 5.45. Fgura 5.45. sstor qualnt. Intrsa dtrmnar la caractrístca gráfca dl rsstor. El procdmnto gráfco para componr las caractrístcas no lnals d los rsstors, consst n dsponr las gráfcas como s lustra n la Fgura 5.46. La caractrístca d s logra punto a punto. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
26 Toría d ds Eléctrcas 1 2 Fgura 5.46. Procdmnto gráfco. Suma sr. Para gual corrnt, s suman las abscsas ndduals, aplcando LVK. Ejmplo: 1 1 2 Fgura 5.47. Dodo y rsstnca sr. Nóts qu para alors ngatos d, l dodo s un crcuto abrto. 1 2 Fgura 5.48. Suma LVK gráfca. 5.12.9. sstors n parallo Para componr, n forma gráfca, caractrístcas d componnts n parallo, s procd sgún: Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 27 d 1 2 Fgura 5.49. sstors n parallo. 1 2 a b a+b Fgura 5.50. Procdmnto gráfco. Suma parallo. Para gual oltaj, s suman las ordnadas, sgún LCK. Ejmplo: 1 2 d D Fgura 5.51. Dodo y rsstnca paralla. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
28 Toría d ds Eléctrcas 1 2 Fgura 5.52. Suma LCK gráfca. Nóts qu para oltajs mayors qu cro, l dodo pud rmplazars por un cortocrcuto. Y al sumar n parallo una rsstnca cro con otra d alor cualqura, quda l cortocrcuto. 5.13. ds qualnts strlla y trángulo Para la conxón strlla, qu s mustra n la Fgura 5.53, pudn ncontrars las rsstncas d una conxón qualnt trángulo, qu s mustra n la Fgura 5.54, tal qu s mantngan las caractrístcas trmnals d ambas confguracons. Tambén pudn dtrmnars los alors d las rsstncas d la conxón strlla qu sa qualnt, por tnr guals caractrístcas trmnals, a la conxón trángulo. El cálculo d las qualncas dmanda gran trabajo algbraco. Está basado n plantar las cuacons d la rd n térmno d las arabls trmnals, para ambas rds, y lugo s dtrmnan las qualncas comparando los cofcnts. Es dcr, dbn logrars las rlacons trmnals (5.47) para las rds d las Fguras 5.53 y 5.54. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 29 f (, ) 1 1 f (, ) 2 2 f (, ) 3 3 a a a b b b (5.47) 1 a 1 1 2 3 2 2 3 b 3 Fgura 5.53. Conxón strlla. 1 I 1 a V 1 V 3 r 1 r 3 2 r 2 I 3 I 2 b 3 V 2 Fgura 5.54. Conxón trángulo. Las rsstncas dl trángulo n funcón d las rsstncas d la strlla, rsultan: r, r, r 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 2 (5.48) Las rsstncas d la strlla n funcón d las rsstncas dl trángulo, rsultan: Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
30 Toría d ds Eléctrcas r r rr,, r r 1 3 12 2 3 1 2 3 r1 r2 r3 r1 r2 r3 r1 r2 r3 (5.49) S las trs rsstncas d la strlla son guals a, la rlacón (5.48) s smplfca a: r 3 (5.50) Y S las trs rsstncas dl trángulo son guals a r, la rlacón (5.49) s smplfca a: r Y 3 (5.51) Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 31 Problmas rsultos Problma 5.1 Para la rd d la Fgura P5.1, dtrmnar la rd qualnt más smpl, rspcto d la rd. S tnn 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, k = 4, m = 1/2 m 1 + 2 1 k a 1 a 2 3 Fgura P5.1. Solucón. Dfnndo la corrnt 2, s plantan las cuacons: 3 1, 2 k a a 0, m 1 1 2 1, 1 2 a No s ncsara plantar la cuacón LVK n la malla cntral, ésta stá mplícta s s dfn 1 como l oltaj n la funt dpndnt d corrnt. Elmnando: 2, a, 1 rsulta: ( 3 2 m 2 3 1 2 1 k 3 1 3 ) m 2 1 k 1 2 Ealuando con los datos dados, s obtn: 2 La rd más smpl s una rsstnca d alor 2, s mustra n la Fgura P5.2. 2 Fgura P5.2. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
32 Toría d ds Eléctrcas Problma 5.2. Para la rd d la Fgura P5.3, dtrmnar la rd qualnt más smpl, rspcto d la rd. A 1 2 B 3 C 4 5 D Fgura P5.3. Solucón. S s cumpl la condcón d punt qulbrado: 1 5 2 4 a) La corrnt qu crcula n la rsstnca 3 s cro; s s rmplaza por un crcuto abrto la rsstnca qualnt srá: ( 1 4 ) ( 2 5) b) La corrnt qu crcula n la rsstnca 3 s cro; por lo tanto l oltaj n la rsstnca srá cro; s s rmplaza por un corto crcuto la rsstnca qualnt srá: ( ) ( ) 1 2 4 5 S no s cumpl la condcón d qulbro dl punt xstn drsas altrnatas para rducr l punt: c) El trángulo ABC s rmplaza por una strlla. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 33 A r 2 B r 1 r 3 C 4 5 Fgura P5.4. La rsstnca qualnt pud calculars n la Fgura P5.4 sgún: r ( r ) ( r ) Dond: 2 1 4 3 5 r 1 r r 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 d) La strlla cuyo nodo cntral s B, pud rmplazars por un trángulo, como s mustra n la Fgura P5.5; sto lmna l nodo B. D A 2 r 2 r 1 C r 3 5 D Fgura P5.5. La rsstnca qualnt pud calculars n la Fgura P5.5 sgún: Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
34 Toría d ds Eléctrcas Dond: r2 (( r1 2 ) ( r3 5)) r 1 r r 2 3 1 3 3 4 4 1 4 1 3 3 4 4 1 3 1 3 3 4 4 1 1 Problma 5.3. Para la rd d la Fgura P5.6, dtrmnar la rd qualnt más smpl, rspcto d la rd. 1 + 1 m + k 1 2 Fgura P5.6. Solucón. Dfnndo arabls n las componnts, sgún s mustra n la Fgura P5.7. 1 5 + 1 5 1 3 3 4 + k 1 m 2 4 2 2 Fgura P5.7. S pudn scrbr cnco cuacons d qulbro:, 1 1 1 2 2 2 m, k, 3 4 1 5 Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 35 Trs cuacons LCK: 5 1, 3 1, 2 4 Trs cuacons LVK: 5 1 3, 2, 4 S n las onc cuacons antrors s lmnan las dz arabls ntrnas: 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4 5, s obtn: Dfnndo: 1 2 2k km km 1 2 1 2 E 1 2 km 1 2 2k km 1 2 La rd qualnt pud rprsntars sgún la Fgura P5.8 + E Fgura P5.8. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
36 Toría d ds Eléctrcas Ejrccos propustos Ejrcco 5.1. Para la rd d la Fgura E5.1, calcular la corrnt : A 2 B 5 3 4 2 C 10 Fgura E5.1. D a) Mdant transformacón strlla-trángulo. b) Aplcando rd qualnt ntr B y C, sta por la rsstnca d 4 ohms. c) Aplcando moldad d funts d corrnt. Indcar los tormas qu s aplcan, y olr a dbujar la rd dspués d aplcarlos. Ejrcco 5.2. Para la rd d la Fgura E5.2: F G H 3 5 4 2 7 A + 5 1 4 2 B 2 3 5 C D E Fgura E5.2. Aplcar tormas d qualnca para: a) Calcular las corrnt 1 2. b) Dtrmnar la rd qualnt sta por la rsstnca d 5 ohms, ntr los értcs C y E. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 37 c) Dtrmnar la rd qualnt sta por la rsstnca d 4 ohms, ntr los értcs G y B. Ejrcco 5.3. En la rd d la Fgura E5.3, calcular la corrnt d B a C, y l oltaj ntr B y D. A 1 2 + B C 4 3 D Fgura E5.3. Ejrcco 5.4. En la rd d la Fgura E5.4, calcular la corrnt, y l oltaj ntr B y C. A 1 2 + B j C 4 3 D Fgura E5.4. Ejrcco 5.5. a) Para la rd d la Fgura E5.5 dtrmnar la rd qualnt más smpl sta por la funt d tnsón. b) Para la rd d la Fgura E5.5 dtrmnar la rd qualnt más smpl sta por la rsstnca c. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
38 Toría d ds Eléctrcas + A 1 k BD + B 2 C C Fgura E5.5. D Ejrcco 5.6. a) Para la rd d la Fgura E5.6 dtrmnar la rd qualnt más smpl sta por la funt d tnsón. b) Para la rd d la Fgura E5.6 dtrmnar la rd qualnt más smpl sta por la rsstnca c. k AB + A 1 2 B 3 C C D Fgura E5.6. Ejrcco 5.7. a) Para la rd d la Fgura E5.7 dtrmnar la rd qualnt más smpl sta por la funt d tnsón. b) Para la rd d la Fgura E5.7 dtrmnar la rd qualnt más smpl sta por la rsstnca c. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 39 A 1 B 3 C k CB 2 + D + C E Fgura E5.7. Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
40 Toría d ds Eléctrcas Índc gnral CAPÍTULO 5... 1 EDES EQUIVALENTES... 1 5.1. CAACTEÍSTICA TEMINAL DE UNA SUB-ED... 1 5.2. VALOES EN TEMINALES... 3 Ejmplo 5.1.... 4 Ejmplo 5.2.... 5 5.3. TIPOS DE EDES EQUIVALENTES... 6 5.3.1. Equalnca por gual caractrístca trmnal... 6 5.3.2. Equalnca por guals alors trmnals... 6 5.4. CONEXIONES... 7 5.4.1. Conxón sr... 7 5.4.2. Conxón parallo... 7 5.5. CONMUTATIVIDAD... 8 5.5.1. Conmutatdad sr... 8 5.5.2. Conmutatdad parallo... 9 5.6. BILATEALIDAD... 9 5.7. EDUNDANCIA... 10 5.7.1. dundanca sr... 10 5.7.2. dundanca parallo... 11 5.8. CONTACCIÓN DE COTOCICUITOS... 12 5.9. DUPLICACIÓN DE NODO... 13 5.10. APETUA DE ELEMENTOS... 14 5.11. MOVILIDAD DE FUENTES DE TENSIÓN... 15 5.12. MOVILIDAD DE FUENTES DE COIENTE... 16 5.12. EDES EQUIVALENTES DE COMPONENTES DE IGUAL TIPO... 17 5.12.1. Dos rsstncas n sr... 17 5.12.2. Dos rsstncas n parallo... 18 5.12.3. Cálculos aproxmados... 21 5.12.4. Componnts dnámcas n parallo o sr... 21 5.12.5. Funts d tnsón n sr... 22 5.12.6. Funts d corrnt n parallo... 23 5.12.7. Dos funts rals n parallo... 23 5.12.8. sstors n sr... 25 5.12.9. sstors n parallo... 26 5.13. EDES EQUIVALENTES ESTELLA Y TIÁNGULO... 28 POBLEMAS ESUELTOS... 31 Problma 5.1... 31 Problma 5.2.... 32 Problma 5.3.... 34 EJECICIOS POPUESTOS... 36 Ejrcco 5.1.... 36 Ejrcco 5.2.... 36 Ejrcco 5.3.... 37 Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
Capítulo 5. ds qualnts 41 Ejrcco 5.4.... 37 Ejrcco 5.5.... 37 Ejrcco 5.6.... 38 Ejrcco 5.7.... 38 ÍNDICE GENEAL... 40 Índc d fguras. Fgura 5.1. 2 s qualnt a 1 rspcto d.... 1 Fgura 5.2. lacón trmnal.... 2 Fgura 5.3. Caractrístca controlada por oltaj.... 2 Fgura 5.4. Caractrístca controlada por corrnt.... 2 Fgura 5.5. lacón ntr.... 3 Fgura 5.6. Intrsccón d caractrístcas.... 3 Fgura 5.7. Solucón gráfca.... 3 Fgura 5.8. cta d gnracón.... 4 Fgura 5.9. Parámtros d la rcta.... 4 Fgura 5.10. Gnrador y carga.... 5 Fgura 5.11. cta d carga.... 5 Fgura 5.12. Substtucón por funt d oltaj.... 6 Fgura 5.13. Substtucón por funt d corrnt.... 6 Fgura 5.14. Conxón sr.... 7 Fgura 5.15. Conxón parallo.... 7 Fgura 5.16. Conmutatdad sr a.... 8 Fgura 5.17. Conmutatdad sr b.... 8 Fgura 5.18. Conmutatdad parallo a.... 9 Fgura 5.19. Conmutatdad parallo b.... 9 Fgura 5.20. Blatraldad a.... 10 Fgura 5.21. Blatraldad b.... 10 Fgura 5.22. dundanca sr a.... 11 Fgura 5.23. dundanca sr b.... 11 Fgura 5.24. dundanca parallo a.... 12 Fgura 5.25. dundanca parallo b.... 12 Fgura 5.26. Contraccón d cortocrcuto.... 13 Fgura 5.27. Duplcacón d nodo.... 13 Fgura 5.28. Substtucón por crcuto abrto.... 14 Fgura 5.29. Moldad d funts d tnsón a.... 15 Fgura 5.30. Moldad d funts d tnsón b.... 15 Fgura 5.31. Moldad d funts d tnsón c.... 16 Fgura 5.32. Moldad d funts d corrnt a.... 16 Fgura 5.33. Moldad d funts d corrnt b.... 17 Fgura 5.34. sstncas n sr.... 17 Fgura 5.35. sstnca sr qualnt.... 18 Fgura 5.36. sstncas n parallo.... 19 Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008
42 Toría d ds Eléctrcas Fgura 5.37. sstnca parallo qualnt.... 19 Fgura 5.38. sstnca n parallo.... 20 Fgura 5.39. Condnsadors n parallo.... 22 Fgura 5.40. Funts d tnsón n sr.... 22 Fgura 5.41. Funts d corrnt n parallo.... 23 Fgura 5.42. Dos funts n parallo.... 23 Fgura 5.43. Funt qualnt.... 24 Fgura 5.44. sstors n sr.... 25 Fgura 5.45. sstor qualnt.... 25 Fgura 5.46. Procdmnto gráfco. Suma sr... 26 Fgura 5.47. Dodo y rsstnca sr.... 26 Fgura 5.48. Suma LVK gráfca.... 26 Fgura 5.49. sstors n parallo.... 27 Fgura 5.50. Procdmnto gráfco. Suma parallo.... 27 Fgura 5.51. Dodo y rsstnca paralla.... 27 Fgura 5.52. Suma LCK gráfca... 28 Fgura 5.53. Conxón strlla.... 29 Fgura 5.54. Conxón trángulo.... 29 Fgura P5.1.... 31 Fgura P5.2.... 31 Fgura P5.3.... 32 Fgura P5.4.... 33 Fgura P5.5.... 33 Fgura P5.6.... 34 Fgura P5.7.... 34 Fgura P5.8.... 35 Fgura E5.1.... 36 Fgura E5.2.... 36 Fgura E5.3.... 37 Fgura E5.4.... 37 Fgura E5.5.... 38 Fgura E5.6.... 38 Fgura E5.7.... 39 Lopoldo Sla Bjt 27-06-2008