REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 34, No CUANTIZACIÓN DEL FLUJO MAGNÉTICO EN SUPERCONDUCTORES NO SIMPLEMENTE CONEXOS

Transcripción

1 REVISTA OLOMBIANA DE FÍSIA, VOL. 34, No.. 00 UANTIZAIÓN DEL FLUJO MAGNÉTIO EN SUPERONDUTORES NO SIMPLEMENTE ONEXOS Vrglo Nño y Wllam Hrrra Dpartamnto d Físca, Unvrsdad Naconal d olomba, Bogotá, olomba. RESUMEN Prsntamos dsd l punto d vsta d la toría BS la cuantacón dl flujo magnétco n una rgón no smplmnt conxa. Usualmnt, n los txtos s mustra sta propdad dl flujo magnétco mdant la toría d Gnburg-Landau o a través d aproxmacons smcláscas; nos proponmos n part mostrar cómo dsd la toría mcroscópca surg la cuantacón dl flujo lo qu s d utldad n cursos avanados d stado sóldo o d suprconductvdad. Para tal fn consdramos un clndro huco y ncontramos la funcón d onda dl stado bas y l hamltonano n forma xplícta para st sstma. Adconalmnt, amplamos l contndo dl torma d Byrs y Yang al calcular l flujo magnétco n l clndro suprconductor huco. INTRODUIÓN S dsmnumos la tmpratura d un anllo ho d un matral suprconductor n prsnca d un campo magnétco dsd un valor mayor qu la tmpratura crítca a un valor mno s ncuntra qu l campo magnétco s xpulsado dl ntror dl matral suprconductor dbdo a la nduccón d corrnts léctrcas suprfcals cuyo campo magnétco cancla l campo aplcado dntro dl matral. S admás apagamos n campo xtrno stas corrnts nducdas (corrnts prsstnts) prmancn dbdo a qu la rsstnca léctrca dl matral s nula. Esto tn como conscunca qu n l ntror dl anllo qud atrapado un flujo magnétco. Est fcto fu dscubrto por Kamrlngh Onns [] n 94 y claramnt ocurr smpr y cuando l sstma n consdracón no sa smplmnt conxo. En 950 London [] prdjo qu l flujo magnétco qu xst a través dl anllo dbría star cuantado n undads d hc/. Su argumnto staba basado n la xgnca d qu la funcón d onda qu dscrbra a los lctrons qu conforman l fludo suprconductor dbía sr unvaluada. Tomando un camno dntro dl matral suprconductor n dond l campo magnétco s cro s tn qu la funcón d onda qu dscrb suprconductors s pud dscrbr mdant una funcón d onda ψ o mdant sa msma funcón d onda multplcada por un factor d fas gual a xp( / ). En caso d qu l camno sa crrado y contnga al huco s rqur qu [3] xp( d ) d nπ A r A r, s dcr Φ B da n, n,,3... qu s lo prdo por London [,4] 438

2 REVISTA OLOMBIANA DE FÍSIA, VOL. 34, No., 00 Prdccons sobr la cuantacón d flujo furon tambén plantadas por Onsagr[5] y s dducn tambén drctamnt d la toría d Gnurg-Landau[]. En 96 Davr y Farbank [6] por una part y Doll y Näbaur[7] por otra, dmostraron xprmntalmnt la cuantacón dl flujo magnétco n undads guals a / sugréndos nmdatamnt qu los portadors d carga d la suprconductvdad tn carga, lo qu concd con los pars d oopr. En s msmo año [8] Byrs y Yang xplcaron mcroscópcamnt la cuantacón dl flujo magnétco para múltplos pars d Φ 0 / admás consdraron otras propdads mportants d un sstma no smplmnt conxo qu tn atrapado un flujo magnétco, como su funcón d partcón, tc. La cuantacón dl flujo magnétco ha sdo obsrvada tambén n los suprconductors d alta tmpratura crítca [9] y ha prmtdo dtrmnar la smtría dl parámtro d ordn n dfrnts matrals, vr por jmplo [0]. En st trabajo rvsamos l torma d Byrs y Yang, lo amplamos para múltplos mpars d Φ 0 usando argumntos mcroscópcos a partr d la funcón d onda dl stado bas suprconductor. En la rfrnca [] s prsnta una dduccón snclla d la cuantacón d flujo magnétco utlando nocons báscas d mcánca cuántca y n [] s rlacona l momntum angular d una partícula con la cuantacón d flujo. HAMILTONIANO Y ESTADO BASE PARA UN ILINDRO HUEO onsdrmos un suprconductor dscrto mdant un hamltonano scrto n una bas d ondas planas H εk V k ',q,, ' q, ' k-q, (), ' k dond ε k s la nrgía d lctrónca mdda dsd l potncal químco y c s un oprador qu dstruy un lctrón n l stado. V k,q,, s l lmnto d matr dl potncal d ntraccón ntr lctrons n la bas d ondas planas V,q,, ' k q, ; q, ' V ;, ' El stado bas dl suprconductor dscrto por () s BS ( uk vk k -k () k Para l sstma n consdracón, usamos coordnadas clíndrcas y tomamos funcons d onda qu san propas dl oprador momntum angular L h / ϕ L ψ n k ( ) hmψ,, ( ) n m k (3) mϕ ψ ( r, ) ψ n k, ( ϕ, ') fn, k ( ) g ( ') (4) El hamltonano xprsado n () s pud scrbr n sta bas como H ε α α, α, Vα, α, α, α,, ' α, ' 3 4 α, α3, (5) α4, ' k α... α 4, ' 439

3 REVISTA OLOMBIANA DE FÍSIA, VOL. 34, No.. 00 BS ( uα vα, α n,k n, n,, m,m (m 0, ±, ±,...) (6) α A st hamltonano l corrspond crta nrgía dl stado bas E 0. onsdrmos qu xst corrnt n l clndro; st stado stá acoplado a un campo magnétco dscrto por l potncal vctoral A. En l curpo dl clndro B A 0. Para una trayctora crrada, dntro dl curpo dl clndro, s tn qu Φ 0, (7) En dond Φ s l flujo magnétco atrapado n l huco dl clndro. Usamos l gaug d London A 0 n todo l spaco y A n 0. Hacndo A χ s tn qu χ 0 n l clndro y χ/ n n la suprfc ( n l gaug d London las corrnts prpndculars a la suprfc son cro ). En gnral, n l hamltonano db aparcr l potncal vctoral, s dcr n lugar d Ĥ aparc H ( A). Podmos lmnar A d H ( A) mdant una transformacón d calbracón H ' UH ( ) U A, con U xp drχ ( r) ψ ( r) ψ ( r) (8) ψ ( r) s un oprador d campo para lctrons. Ĥ ' s un funconal d los nuvos opradors α, Uc α, U d la msma forma como Ĥ s funconal d los ĉ α,. Por otra part BS s stado bas d Ĥ, pro BS ' U BS no s ncsaramnt stado bas d Ĥ '. D otra part BS no camba cuando todo l sstma s grado alrddor dl j dl clndro n π, o sa πl / h BS BS, con L L, (9) Para l stado πl / h πl / h U BS ' sto no s ncsaramnt váldo, sno qu tnmos xp xp drddϕ rχ( ϕ) ψ ( ϕ π ) ψ ( ϕ π ) drddϕ rχ( ϕ π ) ψ ( r) ψ ( r) on χ( r, ϕ π ) χ( ϕ) Φ, sgún (7) y χ. Admás s pud mostrar qu (0) 440

4 REVISTA OLOMBIANA DE FÍSIA, VOL. 34, No., 00 πl c / h Φ / h BS ' En partcular s BS () hc Φ l, ( l 0,,...) () S cumpl qu BS ' U BS satsfac la msma cuacón d valors propos qu BS con las msmas condcons d frontra. Por lo tanto H ( A) y Ĥ tnn los msmos valors propos y las funcons d onda corrspondnts son: BS A U BS (3) Est s l torma d Byrs-Yang. c/ s l cuanto d flujo d London. Para l stado suprconductor dbmos hacr l cambo, con lo qu l cuanto d flujo s Φ 0 hc/. Usando l torma d Byrs-Yang obtnmos Φ l Φ 0, ( l,,3...) (4) El torma d Byrs y Yang planta qu para ΦΦ la nrgía lbr dl sstma lctrónco tn l msmo valor qu para Φ 0. En lo qu sgu dmostrarmos qu lo antror tambén s váldo para Φ ( l ) Φ 0, ( l 0,,...) aplcando l sntdo dl torma orgnal. Para smplfcar no consdramos la dpndnca con r n la funcón d onda / k ψ n k, ( ϕ, '), scrbmos ψ (, ) (πl) m r ϕ g ( ') (l longtud d normalacón). Para χ obtnmos χ( r ) Φϕ /(πr0 ), con r 0 l rado dl clndro. La nrgía cnétca n l hamltonano Ĥ tn una part qu s pud xprsar n térmnos d L y pud scrbrs para Φ0 (tomamos para ε h/). T h m k L mr 0 mr 0 k m, m m,,, (5) con BS obtnmos) S xst un flujo dfrnt d cro ncontramos n lugar d (5) para T Φ T L mr 0 Para ΦΦ 0 s tn h mr 0 h T m c,, k 0,, k m k m mr Φ m 44 (7) (8)

5 REVISTA OLOMBIANA DE FÍSIA, VOL. 34, No.. 00 Tommos l valor sprado d st oprador con l stado ~ ~ BS u v (9) ( α α,, m, α h BS T ~ BS v,, k m m (0) mr0,, m Para qu st valor concda con l d Φ0 dbmos tomar v ~ ~ k, v k /, y / dbdo a qu al valor sprado d T contrbuyn spcalmnt valors grands d. El valor sprado d la nrgía potncal d Ĥ qu s obtn con BS y BS s l msmo. En conscunca para Φ(Φs db tomar BS l ( u l / v k l / l, 44, m, () Usando las cuacons (6) y(3) ncontramos qu para ΦlΦ 0 l stado corrspondnt s BS l ( u v k l / l,, m l, () habría qu dmostrar qu la nrgía qu la nrgía lbr para cualqur valor d flujo dfrnt a Φ0 aumnta. Es dcr qu la nrgía lbr como funcón dl flujo db tnr mínmos para Φ lφ0. ONLUSIONES alculando l valor sprado d nrgía para un sstma n prsnca d un campo magnétco, s ncontró qu su valor s gual al d un sstma sn campo magnétco para valors dl flujo magnétco qu san múltplos mpars d Φ0. Est rsultado ampla l torma d Byrs y Yang y sólo rstaría dmostrar lo antror para la nrgía lbr dl sstma. REFERENIAS [] M. Tnkham. Introducton to suprconductvty, nd d, Mc-Graw-Hll. (996). [] F. London, Suprfluds, John Wly & Sons, (956). [3] Ralmnt lo qu stá cuantado s l fluxod dfndo por c c c Φ ' mv s dr mv s A dr P dr n dond v s s la vlocdad dl fludo c suprconductor qu s proporconal a la dnsdad d corrnt suprconductora. Dntro dl matral v s 0. [4] J. B. Jttrson and S. N. Song, ambrdg Unvrsty Prss, (999). [5] G. Ryckayn. Thory of Suprconductvty, John Wly & Sons, (965). [6] B. S. Dav Jr and W. M. Farban Phys. Rv. Ltt. 7, 43 (96). [7] R. Doll and M. Näbau Phys. Rv. Ltt. 7, 5 (96). [8] N. Byrs,. N. Yang, Phys. Rv. Ltt. 7, 46 (96). [9]. E. Gough, Flux Quantaton and Quantum ohrnc n onvntonal and HTc Suprconductors and thr Appcatons to SQUID Magnomtry. En J. G. Bdnor K. A. Müllr (d). Earlr and Rcnt Aspcts of Suprconductvty, Sprngr (990). [0].. Tsu and J. R. Krtly, Rv. Mod. Phys. 7, 969 (000). [] F. Wl Phys. Rv. Ltt. 40, 44 (98). [] F. S. rawford, Am. J. Phys. 50, 54 (98).