ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 50, úm. 69, 008, págs. 455 a 478 Iflueca de dsrbucó del empo de ocurreca ere sesros e la solveca de las careras de seguros o vda (*) por MAITE MÁRMOL JIMÉNEZ y M. MERCE CLARAMUNT BIELSA Deparame de Maemàca Ecoòmca, Facera Acuaral. Uversa de Barceloa RESUMEN E ese rabao, paredo de u modelo Sparre Aderse (957) modfcado co la roduccó de ua barrera de dvdedos cosae, realzamos u aálss comparavo de la flueca que eerce sobre la solveca de la carera de seguros o vda la dsrbucó del empo de erocurreca ere sesros. Como al roducr la barrera de dvdedos cosae la rua es segura, aalzamos el momeo de rua, τ. Paredo de la defcó de modelos comparables y medae ua aplcacó umérca, comprobamos que la dsrbucó (*) Trabao facado parcalmee por el Msero de Educacó y Ceca y FEDER 006. MTM006-3468 y MTM006-0990. Los auores quere agradecer a los evaluadores aómos sus comearos y sugerecas que ha meorado ese rabao.
456 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA del empo de erocurreca ere los sesros e dos modelos comparables ee u gra efeco sobre el momeo de rua. El recargo de segurdad promedo y la fucó esdad de rua os perme explcar las dferecas. Palabras clave: Teoría del resgo, dsrbucó geeralzada Erlag(), barrera de dvdedos cosae, momeo de rua, Trasformada de Laplace Clasfcacó AMS: 9B30, 6P05, 60K05.. INTRODUCCIÓN La solveca e careras de seguros o vda es el obeo de esudo de la eoría del resgo y de la rua. A parr de la modelzacó del proceso de las reservas acumuladas hasa u deermado momeo se aalza dversas meddas relacoadas co la solveca como el momeo de rua, la probabldad de rua o la cuaía por la que se produce la rua. E el modelo clásco de la eoría del resgo, el vel de las reservas del asegurador e u deermado momeo, R(), vee dado por [ 0 ) R () = u + c S(),,, [] dóde R (0) = u so las reservas cales del asegurador y c la esdad de prma cosae. S() represea la sesraldad agregada, es decr el oal de sesros ocurrdos hasa el momeo, N() ZS() =, dóde N () es el proceso esocásco del úmero de sesros ocurrdos hasa el momeo, y Z es la cuaía dvdual del -ésmo sesro. Por hpóess, se supoe que odas las cuaías dvduales de los sesros sgue la msma dsrbucó, sedo E [ Z] la cuaía meda de u sesro cualquera, y N la varable aleaora úmero de sesros ocurrdos hasa. =
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 457 El oal gresado por prmas hasa el momeo es [ Z] E[ N ]( + ρ ) c = E, [] dode ρ es el coefcee de segurdad promedo cludo e la esdad de prma c. Es decr, el oal de las prmas cobradas es la sesraldad meda (úmero medo de sesros por cuaía meda de sesros) recargada por u coefcee de segurdad que busca cubrr las posbles desvacoes de la sesraldad meda. A parr de [], despeado obeemos la expresó para el coefcee de segurdad, [ Z] E[ N ] c ρ =. [3] E E la Fgura represeamos ua rayecora cualquera del proceso esocásco R (), Fgura TRAYECTORIA PARA EL PROCESO DE RESERVAS
458 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Se defe el momeo de rua e u horzoe emporal fo como τ =f { : R () < 0}, co τ = s R () 0 para odo > 0, sedo por ao el prmer sae e el que las reservas oma valores egavos. Deoamos la ψ u = P τ<. probabldad de rua úlma co uas reservas cales u como ( ) [ ] E el modelo clásco de la eoría del resgo el caso más esudado cosdera que el úmero de sesros, N ( ), es u proceso de Posso, de forma que los empos de erocurreca ere dos sesros cosecuvos, a los que represeamos como T,, se dsrbuye segú ua expoecal de meda / λ. Alguos rabaos mporaes que aalza el momeo de rua e ese coexo so L y Wllmo (000), L e al. (003), Drekc y Wllmo (003), Dckso y Waers (00) o Dckso y Waers (004). Spare Aderse (957) propuso ua geeralzacó cosderado la suacó e la que los sesros ocurre segú u proceso de reovacó más geeral. Poserormee, ere oros, esuda el momeo de rua cuado T, sgue ua dsrbuco de la famla Erlag, Gerber y Shu (998), Dckso y Hpp (00), Dckso e al. (003), L y Garrdo (004) o Albrecher e al. (005). De Fe (957) plaea que bao las hpóess cláscas del proceso de resgo, al asumr que el recargo de segurdad es posvo, el vel de las reservas de aquellas rayecoras que o se arrua ede a fo co probabldad uo. Evdeemee ese hecho geera ua dsyuva ere segurdad y reabldad, ya que veles alos de reservas rerasa la rua, pero ulza ua sere de recursos al producrse ua acumulacó excesva de reservas. De ese hecho surge la ecesdad de corolar ese crecmeo lmado de reservas, corol que se realza medae la roduccó de barreras de dvdedos, que se represea formalmee como b ( ). Ecoramos e ese coexo la roduccó de barreras de dvdedos cosae, b() = b, 0 u b que modfca el proceso de las reservas. Así, cuado las reservas alcaza el vel b, los gresos por prmas se repare a los accosas e forma de dvdedos, y las reservas se maee e ese vel b hasa la ocurreca del sguee sesro. Esa roduccó acerca más el proceso eórco de las reservas a la realdad e la gesó écca de las careras de seguro. E ese modelo modfcado co la roduccó del reparo de dvdedos, e el cual [] dea de cumplrse, la probabldad de rua es, es decr la rua es segura, por lo cual τ <. E la Fgura, se represea ua rayecora de las reservas e u modelo modfcado co la roduccó de ua barrera de dvdedos cosae.
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 459 Fgura MODELO MODIFICADO CON UNA BARRERA DE DIVIDENDOS CONSTANTE A lo largo del rabao, smbolzaremos por MCEXP el modelo clásco co barrera cosae y empos de erocurreca dsrbudos segú ua expoecal, y por MCERL al modelo co barrera cosae y empos de erocurreca Erlag (, λ). El presee rabao corbuye al aálss del momeo de rua úlma e u modelo co barrera de dvdedos cosae. Así, e ese arículo, e u modelo Sparre Aderse (957) modfcado co la roduccó de ua barrera de dvdedos cosae, realzamos u aálss comparavo del efeco que ee sobre la solveca de la carera de seguros o vda la dsrbucó del empo de erocurreca ere los sesros. Dado que al roducr la barrera de dvdedos cosae la probabldad de rua es uo, aalzamos el momeo de rua, τ. A parr de la defcó de modelos comparables y medae ua aplcacó umérca, comprobamos que la dsrbucó del empo de erocurreca ere los sesros e dos modelos comparables ee u gra efeco sobre el momeo de rua. El recargo de segurdad promedo y la fucó esdad de rua os perme explcar las dferecas. El arículo se esrucura como sgue: E el aparado plaeamos el aálss del momeo de rua τ medae la obecó de sus momeos calculados a parr de la dervacó de su rasformada de Laplace. E el aparado 3 os preguamos qué modelos podemos comparar, lo que os permrá aalzar los efecos que
460 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA sobre la solveca de la carera ee u cambo e la dsrbucó que modelza los empos de erocurreca ere sesros. El aparado 4 del rabao se cera e el esudo de esos efecos, preseado resulados umércos y explcacoes sobre las causas de las dferecas obedas.. ANÁLISIS DEL MOMENTO DE RUINA E ese aparado os plaeamos la obecó de la rasformada de Laplace del momeo de rua ( φ(u) ), s los empos de erocurreca ere dos sesros cosecuvos sgue ua dsrbucó Erlag() geeralzada co parámeros λ,..., λ, y la dsrbucó de la cuaía dvdual de los sesros ee rasformada de Laplace racoal. Esa expresó geeral os perme obeer las correspodees a los modelos MCEXP y MCERL defdos e la roduccó. E aras de ua mayor clardad y cocsó, e ese aparado ommos las demosracoes que se ecuera desarrolladas e el Aexo I. E la Tabla se presea de forma resumda los resulados obedos para la rasformada de Laplace del momeo de rua e ambos modelos cuado la cuaía dvdual de los sesros sgue ua dsrbucó expoecal, Ζ exp () γ, RESULTADOS OBTENIDOS PARA ( ) Tabla φ u EN LOS MODELOS MCERL Y MCEXP
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 46 A parr de la rasformada de Laplace del momeo de rua podemos calcular sus momeos, es decr E[ τ ], medae dervacó sucesva y poseror evaluacó de las dervadas e δ = 0, es decr, E [ τ ] = ( ) φ δ ( u) δ= 0 3. QUÉ MODELOS PODEMOS COMPARAR? E ese aparado esablecemos las codcoes ecesaras para poder comparar los resulados obedos respeco al momeo de rua e modelos de reovacó co empos de erocureca de la famla Erlag(), y obeemos, como caso parcular, las ecesaras para comparar los modelos MCEXP y MCERL. Por uo de los eoremas límes para los procesos de reovacó (Parze, 97), se cosdera modelos comparables aquellos e los que la fucó de reo- vacó, E [ N ], ee asócamee el msmo comporameo promedo, es decr [ N ] E lm = E [ T ] Por ao, s E [ ] cocde, la fucó de reovacó [ ] T comporameo promedo cuado comparables. [4] E N ee el msmo, y eoces los modelos aalzados so S el obevo es aalzar la flueca sobre la solveca (y e cocreo el momeo de rua) de esos modelos comparables, es ecesaro coocer, o sólo el compor-, so ambé su evolucó. ameo líme de la fucó de reovacó, E [ ] Dcha evolucó os permrá, e el aparado 4., explcar las dferecas observadas ere los momeos esperados de rua e los modelos comparados. Para ello, y sguedo a Cox (96), recurrmos a la expresó que, e u proceso de reovacó ordaro, relacoa la fucó de reovacó, E [ N ], co T, L N gt () s () s = s para g () s g () s T T <, [5]
46 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA sedo L () s la rasformada de Laplace de E [ ] y g () s T la rasformada de Laplace de la fucó desdad de los empos de erocurreca. Para el caso parcular e que ErlagT(,λ) co λ gt () s =, la expresó [5] λ + s oma la forma L () s N λ = [6] s ( s) ), λ + λ Ceramos a couacó uesro aálss e la comparacó ere el modelo MCEXP y el modelo MCERL. S, (,λ) =, ErlagTmodelo MCERL, es medao obeer, vredo [6] para E De [6], s (,λ ) e vredo, obeemos [ N ] E T [ T ] = + [7] [ ] 4 ErlagT, es decr para MCEXP, co E[ T ] =, () s = [ T ] 4 e 4 E E [ N ] = [8] E λ L s λ 4. EFECTOS EN EL MOMENTO DE RUINA DE UN CAMBIO EN LA HIPÓTESIS SOBRE EL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA. Para comparar el momeo de rua obedo e los Tmodelos MCEXP y MCERL, Erlag, y MCEXP co E [ T ] debe cocdr. Así, los modelos MCERL co ( ) T exp ( 0, 5) so comparables, ya que e ambos E [ ] T =. Ulzamos esas dos dsrbucoes cocreas de los empos de erocurreca, para la obe có de resulados umércos. Para u vel de la barrera b=0, ua prma de c=0,6 y ua dsrbucó de la γz cuaía del sesro expoecal, f () z = γe, co γ =, preseamos e la Tabla
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 463 los resulados para E [] τ,σ[] τ 00σ [] [] τ cυ τ = E[] τ e los dos modelos comparables,, y el coefcee de varacó de τ defdo como Tabla z E [] τ, σ[] τ y cυ[] τ PARA f () z = e, b = 0 y c = 0. 6 E [] τ σ [] τ cv [] τ Erl (,) Exp (0,5) Erl (,) Exp (0,5) Erl (,) Exp (0,5) u = 0 93,9577 53,5339 7,63 3,55 3,65 46,863 u = 57,03 9,309 65,67 64,57 68,96 78,95 u = 05,805 3,583 88,8 8,94 40,075 46,698 u = 3 43,077 48,57 99,847 90,337 3,355 8,5 u = 4 7,099 68,06 305,565 95,8,74 6,05 u = 5 9,68 83,45 308,53 97,668 05,68 07,93 u = 6 306,77 94,339 309,4 98,857 0,03 0,35 u = 7 36,06 0,8 309,845 99,36 98,0336 98,557 u = 8 3,974 07,467 309,973 99,538 96,77 96,784 u = 9 34,794 0,3 309,996 99,58 95,4437 94,893 u = 0 35,37,03 309,997 99,584 95,744 94,4987 Podemos observar e la Tabla que ao la esperaza como la desvacó ípca del momeo de rua e ambos modelos, para u vel fo de la barrera, es crecee respeco al vel cal de las reservas, u. E cambo, el coefcee de varacó es decrecee. Eso mplca que la varable aleaora momeo de rua esá más cocerada eoro a su esperaza para valores de las reservas cales cercaas a la barrera. El comporameo de la esperaza del momeo de rua respeco a u se debe a que u mayor vel e las reservas cales perme ua mayor acumulacó de reservas que rerasa el momeo de rua. Cerado uesro aálss e la esperaza del momeo de rua, su comporameo respeco a u se debe a que u mayor vel e las reservas cales perme ua mayor acumulacó de reservas que rerasa el momeo de rua. Por oro lado, para cualquer valor de u, observamos que s el empo de erocurreca
464 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA sgue ua dsrbucó Erlag(,) el momeo esperado de rua es susacalmee superor al obedo e el modelo expoecal. Ese resulado es sorpredee dado que e ambos modelos la esperaza del empo de erocurreca ere dos sesros cosecuvos es la msma, E [ T ] =. E la pare fal de ese aparado usfcaremos esas dferecas. Los resulados obedos e la Tabla correspode a u vel de la barrera de b=0. Las dferecas ere E [] τ para el modelo Erlag coemplado (smbolzado por E [] τ )y para el modelo clásco (smbolzado por E [] τ Erl ) se maee para dferees valores de la barrera. E la Fgura 3 represeamos el cocee cremeal dferees valores de b, E Erl exp l [] τ E exp[] τ E [] τ Erl para VALOR DE E Erl Fgura 3 [] τ E exp [] τ E [] τ Erl PARA b=5,0, 5 y 0. S la barrera es cero, el cocee cremeal oma el valor 0 ya que E Erl [] τ = E exp [] τ de ocurreca del prmer sesro, por ao E [] τ = E[ ]. La causa es que para b=0 la rua se produce e el momeo T, que es la msma e
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 465 ambos modelos. Podemos observar además que las dferecas se amplía al cremear el vel de la barrera b. 4. Explcacó de las dferecas obedas Ua explcacó uva de las dferecas observadas ere los momeos esperados de rua, E [] τ, e los dos modelos comparados e el epígrafe aeror, que auque como veremos o explca su magud, se basa e el aálss del recargo de segurdad promedo cobrado hasa u deermado momeo, ρ. A parr de la expresó [3], asumedo E [ Z] =, para el modelo MCEXP y ee- do e cuea [8], obeemos que ρ = ce[ T ] = ρ, y para el modelo MCERL eedo c e cuea [7], sabemos que ρ =. 4 + e E T 4 4 E T [ ] [ ] Observamos así que el recargo de segurdad promedo cobrado hasa u deermado momeo es meor e el modelo MCEXP que e el modelo MCERL, ya que la esdad de prma cosae es la msma e ambos casos y la esperaza del úmero de sesros hasa es superor e el modelo MCEXP. E la Fgura 4 represeamos el recargo de segurdad promedo cobrado hasa para ua esdad de prma cosae c = 0,6.
466 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Fgura 4 RECARGOS DE SEGURIDAD PARA c = 0,6 CON Erlag(, ) T Exp( 0, 5) TY. Por ao, e el modelo MCERL la rua se producrá más arde ya que el recargo de segurdad es mayor que e el modelo MCEXP y las prmas gresadas las msmas. Co el obevo de medr la flueca que las dferecas aalzadas e el recargo de segurdad ee e el momeo de rua, plaeamos ua hpóess dsa que cosse e que el recargo de segurdad promedo cobrado hasa es cosae e los dos modelos, de forma que la esdad de prma, c (), dea de ser cosae. Por ao, e ese modelo, la hpóess [] queda susuda por, c 0 () s ds = E[ Z] E[ N ]( + ρ), [9] ya que E[ N 0 ] = 0. Para el caso de erocurreca expoecal [9] o represea gú cambo, ya que resolvédola se obee que c () = c, meras que para ErlagT,λ y eedo e cuea [7], la esdad de prma es ( ) c() = E [ T ] e + 4 E [ T ] E[ Z]( + ρ).
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 467 La esperaza del momeo de rua calculada por smulacó co la ueva hpóess [9], b=0, ρ =0, y cuaía del sesro expoecal f () z = e, se recoge e z la Tabla 3, E Tabla 3 z [] τ para f () z = e,b = 0 y c = 0, 6 T Erl (,) T Exp (0,5) c = 0,6 c = () ρ ρ= 0,. c = 0.6 ρ= 0, u = 0 93,9577 77,5085 53,5339 u = 57,03 47,498 9,309 u = 05,805 00,885 3,583 u = 3 43,077 4,779 48,57 u = 4 7,099 73,8 68,06 u = 5 9,68 96,6 83,45 u = 6 306,77 3,6 94,339 u = 7 36,06 3,885 0,8 u = 8 3,974 330,04 07,467 u = 9 34,794 333,04 0,3 u = 0 35,37 334,706,03 Podemos observar como las dferecas ere los dos modelos co ρ =0., sgue sedo susacales e cluso se aceúa para valores de las reservas cales cercaos a la barrera. Por lo ao esa prmera explcacó basada e las dferecas del recargo de segurdad, auque uva, o es sufcee. Ua explcacó más sólda de las dferecas podemos ecorarla e la fucó de esdad de rua, ζ b () r (ulzada e u modelo s barrera por De Vylder y Goovaers (998)). Esa fucó dca, paredo de uas reservas acumuladas r ras la ocurreca de u sesro, la probabldad de que se produzca la rua e la ζ r = P Z > r c. ocurreca del sguee sesro, () [ ] b + Teedo e cuea que s o ocurre gú oro sesro, las reservas alcazaría por prmera vez la barrera b cuado r + c = b, ζ () r * es b
468 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA b * () r = k() f ( z) dzd + k () f ( z)dzd 0 ζ. r+ c Para ua cuaía de los sesros expoecal de parámero γ, * = d.. 0 * sedo F ( ) k () E MCEXP exp( λ) E MCERL co Erlag(,λ) ζ b,erlag () r = e Tζ rγ b * *, 0 r γ c γ b γ * () r = e k () e d + e ( F ( ), resolvedo la egral, obeemos λ * r γ cλ () ( bγ+λ r = e + e ) ζ b, exp. λ + cγ λ + cγ λ ( λ + cγ),obeemos * ( λ+ cγ ) * e b ( λ + cγ) + e bγ e * λ * ( + λ ). TLos resulados de ζ b,exp () r para exp ( 0,5) y b,erlag () r T z Erlag(,) co b =0, c =0.6 y f () z = e se recoge e la Tabla 4. ζ para La fucó esdad de rua o esá defda para r = b debdo a que es mposble que ras la ocurreca de u sesro las reservas esé e el vel de la barrera.
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 469 Tabla 4 () r () r ζb, erlag ζb, exp () r, ζb, erlag () r y para f = ζ b, exp z () z = e, b = 0 y c 0,6. ζ (r) ζ b, erlag (r) b, exp ζ b, erlag ζ b, exp (r) (r) r = 0 0,454545 0,39065 0,86 r = 0,678 0,43703 0,86 r = 0,0656 0,058653 0,86 r = 3 0,6306 0,09448 0,86 r = 4 0,0083546 0,0075455 0,86 r = 5 0,00306309 0,006303 0,86 r = 6 0,00759 0,000968343 0,86 r = 7 0,0004655 0,00035669 0,86 r = 8 0,000576 0,000339 0,85 r = 9 0,000668576 0,00006035 0,90 Podemos observar que la probabldad de arruaros e el sguee sesro paredo de uas reservas r es ere u 0% y u 4% feror e MCERL co T Erlag (,), respeco al modelo MCEXP co T exp ( 0,5 ). E la fgura 5 podemos observar como, para oros valores de la barrera, la probabldad e el modelo Erlag es sempre feror.
470 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ζ b, erlag ζ b, exp () r () r para f Fgura 5 z () z = e, c = 0,6 y b = 5,0,5. Esa relacó ere las probabldades de arruaros e el sguee sesro explca que la esperaza del momeo de rua sea muy superor e MCERL co T Erlag (,), respeco de MCEXP co T exp ( 0,5 ). CONCLUSIONES La dsrbucó que deerma el empo rascurrdo ere dos sesros cosecuvos ee ua gra flueca sobre el momeo de rua e ua carera de seguros o vda. El cocepo de modelos comparables os perme comparar modelos sempre que ega la msma E [ T ]. Las dferecas e los momeos de la varable aleaora momeo de rua ere modelos comparables so muy remarcables. E el rabao se demuesra como el recargo de segurdad promedo o os proporcoa ua explcacó sufcee de las dferecas. E cambo, la fucó esdad de rua, defda como la probabldad de que ras la ocurreca de u ses-
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 47 ro paredo de uas reservas r se produzca la rua e la ocurreca del sguee sesro, da ua explcacó sólda de las msmas. ANEXO I Asummos que los empos de erocurreca T, =, sgue ua dsrbucó Erlag() geeralzada, es decr, que cada T es la suma de varables aleaoras depedees expoecales co parámeros λ,..., λ cada uo, causado u "sub-sesro" de cuaía 0, ocurredo u sesro co fucó dsrbucó F e la ocurreca del -ésmo sesro. Cosderamos esados del proceso del resgo (empezado e el momeo 0 e el esado ), dode cada subsesro produce ua rascó al sguee esado y e el momeo de ocurreca del - esmo sesro sala al esado ora vez (ver Albrecher e al. (005)). Defmos ( u) φ como la rasformada de Laplace del momeo de rua del proceso de resgo e el esado =,...,. Teorema. S los empos de erocurreca T, =, sgue ua dsrbucó Erlag() geeralzada co parámeros λ,..., λ, la ecuacó íegro dfere- φ u es, cal para ( ) = δ + λ c φ u u = = 0 = co las sguees codcoes de cooro, ( u) λ φ ( u z) df ( z) λ [ F ( u) ] 0,, [0] k δ + λ c u φ ( u) u= b = 0, K =,..., [] λ u = Demosracó. Para 0 u < b, por u argumeo dferecal, recordado que ( λ d) es la probabldad de que o ocurra sesro e u d, para =,, - obeemos φ δd + δd ( u) = ( λ d) φ ( u + cd) e + λ dφ ( u + cd) e + θ ( d), [] y para =
47 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA φ δd ( u) = ( λ d) φ ( u + cd) e + λ d φ ( u + cd z) df ( z) λ de δd df u+ cd () z + θ ( d) u+ cd 0 e δd + [3] Eoces, por aproxmacó leal, dvdedo ere d, y hacedo d, a parr de [] y [3] obeemos, c φ u ( u) ( δ + λ ) φ ( u) + λ φ ( u) = 0, para =,..., + [4] c φ u ( u) u [5] 0 ( δ + λ ) φ ( u) + λ φ ( u z) df ( z) +λ [ F ( u) ] = 0, para = A parr de [4], despeado y sguedo u proceso recursvo, φ ( u) = = ( δ + λ ) c u φ λ ( u) [6] Podemos escrbr [5] como, u ( δ + λ ) c φ ( u) λ φ ( u z) df ( z) λ [ F ( u) ] = 0 [7] u Susuyedo [6] e [7], obeemos [0] Para 0 u = b usado u proceso aálogo para =,, - λ ( b) ( δ + λ ) φ ( b) 0 + φ = y comparado co [4] φ u ( u) = = 0 [8] u b
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 473 y para =, λ y comparado co [5] b φ = 0 ( b z) df () z + λ df() z ( δ + λ ) φ () b 0 φ u ( u) u b = b = 0 [9] A parr de [8] [9] y [6] obeemos la codcó de cooro []. Usado u méodo aleravo, L y Garrdo (004) obee ua ecuacó egro-dferecal equvalee para la fucó de Gerber-Shu. Aplcado rasformadas de Laplace a [0], obeemos, ϑ f () s = 0, [0] s () s φ () s + L () s λ φ () s f () s = sedo φ () s la rasformada de Laplace de φ ( u) y f () s la rasformada de Laplace de la fucó desdad de la cuaía del sesro f () z. L cuaías () s represea el polomo de grado - cuyos coefcees cluye las () ( u) φ u u () s = 0, = 0,...,, y ϑ y es el polomo de grado, ϑ () s = ( δ + λ cs). = A parr de [0] obeemos φ () s, φ () s = = ( ) () s λ ϑ f s () s λ f () s = L () s []
474 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Resrgmos a couacó el aálss al caso e que la fucó desdad de la cuaía de los sesros ee ua rasformada de Laplace racoal,es decr Qr () () s f s = dode Pr () s y Qr () s so polomos de grado r y (al meos) r- res- P s r () pecvamee s ceros comues. Para ese po de dsrbucó para la cuaía de los sesros, el deomador de [] ee +r ceros, a los que deomaremos s,...,s+ r,, y asummos que las raíces so reales y dsas. De lo comeado, coclumos que r de esos ceros se localza e el semplao egavo. Eoces, usado fraccoes parcales obeemos, r s u ( ) = α ( b) e u + φ [] = α so fucó de b, pero por comoddad escrbremos α. Los coefcees α se deerma a parr de u ssema de +r ecuacoes, eedo e cuea que las prmeras ecuacoes se obee a parr de [], y las r resaes susuyedo la esrucura de solucó [] y la rasformada de Laplace de la cuaía de u sesro e la ecuacó egro-dferecal cal. Observemos que los coefcees ( b) Asumedo el caso de u modelo Sparre Aderse co empos de erocurrecas Erlag(,λ) es decr ( = y λ = λ = λ ) la ecuacó íegro-dferecal para φ u es ( ) A parr de [], es fácl obeer u δ + λ c φ ( u) λ φ ( u z) df( z) λ [ F ( u) ] = 0, [3] u 0 f () s λ + c φ () 0 + ( c s c ( δ + λ) ) φ () 0 s φ () s = [4] ( δ + λ cs) λ f ( s) y asumedo ua dsrbucó de la cuaía del sesro co rasformada de Laplace racoal, obeemos r + = φ. [5] u ( u) = α ( b) e
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 475 A couacó aalzamos que sucede cuado la cuaía dvdual de los sesros sgue ua dsrbucó expoecal. Asumedo que f () z = γe, γz eoces f () s γ =. Obeemos las raíces s, =,,3, a parr de γ + s ( + λ cs) ( γ + s) λ γ = 0 Eoces la solucó de φ ( u) oma la forma, δ [6] 3 ( ) = φ u α e. [7] = s u Las dos prmeras ecuacoes obedas a parr de [] so 3 s α = e s b = 0 3 s b y s α e = 0 = 3 sb s α e = 0 y = 3 = s α e sb = 0. γz Para ecorar la ercera ecuacó, susumos [7] y f () z = γe e la ecuacó egro-dferecal [3], y resolvedo la egral, y eedo e cuea [6], obeemos eoces la ercera ecuacó, =. 3 α s + γ = ( ) γ Obeemos eoces u ssema de res ecuacoes que podemos resolver usado el Mahemaca para la obecó de α,,,3. S los empos de erocurreca T,, sgue ua dsrbucó expoecal, modelo MCEXP, es decr segú ua dsrbucó Erlag (, λ) podemos obeer la expresó a parr del Teorema como caso parcular de la dsrbucó geeralzada Erlag(). Así a parr de [0], para =, obeemos la ecuacó egrodferecal para la Trasformada de Laplace del momeo de rua e el MCEXP, co su codcó de cooro =
476 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ' ( δ + λ) φ ( u) cφ ( u) λ φ( u z) df( z) λ [ F( u) ] ( u) φ u u= b = 0. u 0 = 0 [8] Esa ecuacó se puede obeer ambé a parr de la ecuacó [.5] e L e al (003) para la fucó Gerber-Shu fuco. (Ver ambé Dckso ad Waers (004)). Para obeer el ssema que os perme hallar los coefcees, a parr de [], γz asumedo que f () z = γe, las raíces se obee a parr de cs + ( δ + λ cγ) s + δγ = 0. Eoces φ( ) = u α e. Para calcular α, susuye- su γz do φ ( u) = α e y f () z γe = las dos ecuacoes para obeer los = s u = e [8] obeemos α. = α ( s + γ) γ =. Así eemos ya REFERENCIAS ALBRECHER, H., CLARAMUNT, M.M AND MARMOL, M. (005). «O he dsrbuo of dvded paymes a Sparre Aderse model wh geeralzed Erlag() erclam me». Isurace: Mahemacs & Ecoomcs, 37:34-334. Cox, D.R. (96). «Reewal heory». Chapma ad Hall. Lodo. DE FINNETTI, B. (957). «Su u'mposazo alerava dell eora collecva delrscho». Trasacos of he XVh Ieraoal Cogress of Acuares II, 433--443. DICKSON, D.C.M AND HIPP, C. (00). «O he me o ru for Erlag() rsk processes». Isurace: Mahemacs & Ecoomcs, 9: 333-334. DICKSON, D.C.M, HUGHES, B. AND ZHANG, L. (003). «The desy of he me o ru for a Sparre Aderse process wh Erlag arrvals ad expoeal clams». Cere for Acuaral Sudes Research Paper Seres Nº. Uversy of Melboure. DE VYLDER, F.E. Y GOOVAERTS, M.J. (998). (998) «O a class of reewal rsk processes». Dscusso del arículo DICKSON,D.C.M. Norh Amerca Acuaral Joural : pp.60-73
INFLUENCIA DEL TIEMPO DE INTEROCURRENCIA ENTRE SINIESTROS EN LA SOLVENCIA... 477 DICKSON, D.C.M AND WATERS, H.R. (00). «The dsrbuo of he me o ru he classcal rsk model». ASTIN Bulle, 3: 99-33. DICKSON, D.C.M AND WATERS, H.R. (004). «Some opmal dvded problems» ASTIN Bulle, 34: 49-74. DREKIC, S. AND WILLMOT, G.E. (003). «O he desy ad momes of he me o ru wh expoeal clams». ASTIN Bulle, 3: -. GERBER, H.U. AND SHIU, E.S.W. (998). «O he me value of ru». Norh Amerca Acuaral Joural,, No : 48-78. LI, S. AND GARRIDO, J. (004). «O a class of reewal rsk models wh a cosa dvded barrer». Isurace: Mahemacs & Ecoomcs, 35: 69-70. L, S.X Ad Wllmo, G. E. (000). «The momes of me of ru, he surplus before ru, ad he defc a ru». Isurace: Mahemacs & Ecoomcs, 7: 9--44. LIN, S.X, WILLMOT, G. E. AND DREKIC, S. (003). «The classcal rsk model wh a cosa dvded barrer: aalyss of he Gerber-Shu dscoued pealy fuco». Isurace: Mahemacs & Ecoomcs, 33: 55-566. PARZEN, E. (97). «Procesos Esocáscos». Parafo. Madrd. REN, J. (005). «The expeced value of he me of ru ad he momes of he dscoued defc a ru he perurbed classcal rsk process». Isurace: Mahemacs & Ecoomcs, 37: 505-5. SPARRE ANDERSEN, E., (957). «O he collecve heory of rsk he case of coago bewee he clams». Trasacos XVh I. Cogress of Acuares II, New York, 9-9.
478 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA THE INFLUENCE OF INTEROCURRENCE TIMES IN THE SOL- VENCY OF NON-LIFE INSURANCE PORTFOLIOS ABSTRACT I hs paper, deparg from a Sparre Aderse (957) model modfed wh he roduco of a cosa dvded barrer, we aalyze he fluece of erocurrece mes he solvecy of he olfe surace porfolos. Wh he roduco of a cosa dvded barrer he occurrece of ru s sure. Therefore, we aalyze he me of ru, τ. I addo, we ake o accou he defo of comparable models ad, hrough a umercal applcao, we show ha he dsrbuo of he erocurrece mes bewee clams wo comparable models has a grea fluece o he me of ru. The average secury loadg ad he ru esy fuco allow us o expla he dfferece. Key words: rsk heory, geeralzed Erlag() dsrbuo, cosa dvded barrer, me of ru, Laplace rasform. AMS Classfcao: 9B30, 6P05, 60K05.