6. Iervalos de cofiaa Curso 0-0 Esadísica Coceo de iervalo de cofiaa Se ha realiado ua ecuesa a 400 ersoas elegidas al aar ara esimar la roorció de voaes de u arido olíico.? Resulado Ecuesa Sí 0 ooros 80 Iervalos de cofiaa
3 Iervalos de cofiaa 0 Iroducció 0. B arox = 4 Iervalos de cofiaa - 0 de : Desejado P = ivel de COFIAZA -
+ ivel de cofiaa: - Tamaño Muesral Iervalos de cofiaa 5 Ejemlo 0 = = 400 0 0 ± 96 047 063 055 05 059 0 04 400 = 00 = 400 95 % 043 067 049 055 06 = 00 = 400 99 % Iervalos de cofiaa 6
7 Iervalos de cofiaa. ormal: Iervalo ara co coocido... x x 0 + - 0 x ± 8 Iervalos de cofiaa. ormal:iervalo ara co descoocido... s x s x S S 0 + s x ± - -
Disribució de Sude Z V Z 0 V Z V χ so ideediees 0 4-400 -300-00 -00 000 00 00 300 400 Iervalos de cofiaa 9 3. ormal: Iervalo ara... S = P χ i = i S χ S = χ s χ s χ χ χ χ Iervalos de cofiaa 0
EJEMPLO. La resisecia a la comresió de robeas de acero elegidas al aar es: 40 6 0 49 0 40 380 6040 4340 63 30 60 47 730 3 90 4 40 4 S 98 98 S x = 4 7 Iervalos de cofiaa 000 4-98 s = 4 4 4 4 7 98 4 7 + 98 99 % cofiaa: 348 67 98 000 χ 4 000 000 000 500 000 500 000 500 3000 3500 S 4S P407 s = 06 407 33 4S χ 33 = 099 4 06 33 99% cofiaa: 90 6936 χ 4 4 06 407 Iervalos de cofiaa
4. Poisso: Iervalo ara λ λ = λ λ λ P arox λ λ 0 0 λ λ λ Poisso λ - = λ λ λ λ + λ Iervalos de cofiaa 3 Tabla -Sude ν ν: grados de liberad g.l. EJEMPLO P 9 6 = 00 Iervalos de cofiaa g.l 00 05 00 005 005 00 0005 0005 000 00005 376 963 3078 634 706 38 63656 73 3889 636578 06 386 886 90 4303 6965 995 4089 38 3600 3 0978 50 638 353 38 454 584 7453 04 94 4 094 90 533 3 776 3747 4604 5598 773 860 5 090 56 476 05 57 3365 403 4773 5894 6869 6 0906 34 440 943 447 343 3707 437 508 5959 7 0896 9 45 895 365 998 3499 409 4785 5408 8 0889 08 397 860 306 896 3355 3833 450 504 9 0883 00 383 833 6 8 350 3690 497 478 0 0879 093 37 8 8 764 369 358 444 4587 0876 088 363 796 0 78 306 3497 405 4437 0873 083 356 78 79 68 3055 348 3930 438 3 0870 079 350 77 60 650 30 337 385 4 4 0868 076 345 76 45 64 977 336 3787 440 5 0866 074 34 753 3 60 947 386 3733 4073 6 0865 07 337 746 0 583 9 35 3686 405 7 0863 069 333 740 0 567 898 3 3646 3965 8 086 067 330 734 0 55 878 397 360 39 9 086 066 38 79 093 539 86 374 3579 3883 0 0860 064 35 75 086 58 845 353 355 3850 0859 063 33 7 080 58 83 335 357 389 0858 06 3 77 074 508 89 39 3505 379 3 0858 060 39 74 069 500 807 304 3485 3768 4 0857 059 38 7 064 49 797 309 3467 3745 5 0856 058 36 708 060 485 787 3078 3450 375 6 0856 058 35 706 056 479 779 3067 3435 3707 7 0855 057 34 703 05 473 77 3057 34 3689 8 0855 056 33 70 048 467 763 3047 3408 3674 9 0854 055 3 699 045 46 756 3038 3396 3660 30 0854 055 30 697 04 457 750 3030 3385 3646 40 085 050 303 684 0 43 704 97 3307 355 50 0849 047 99 676 009 403 678 937 36 3496 60 0848 045 96 67 000 390 660 95 33 3460 70 0847 044 94 667 994 38 648 899 3 3435 80 0846 043 9 664 990 374 639 887 395 346 90 0846 04 9 66 987 368 63 878 383 340 00 0845 04 90 660 984 364 66 87 374 3390 ifiio 084 036 8 645 960 37 576 808 309 39 00 05 00 005 005 00 0005 0005 000 00005 4
Tabla χ χ ν- ν: grados de liberad g.l. EJEMPLO Pχ 9 90 = 00 Iervalos de cofiaa g.l. 0995 0990 0975 0950 0500 0050 005 000 0005 00004 0006 00098 00393 0455 384 504 6635 7879 000 00 005 003 386 599 7378 90 060 3 077 05 06 035 366 785 9348 34 84 4 007 097 0484 07 3357 9488 4 38 486 5 04 0554 083 45 435 07 83 509 675 6 0676 087 37 635 5348 59 445 68 855 7 0989 39 690 67 6346 407 60 848 08 8 344 647 80 733 7344 55 753 009 95 9 735 088 700 335 8343 69 90 67 359 0 56 558 347 3940 934 83 048 3 59 603 3053 386 4575 034 968 9 473 676 3074 357 4404 56 340 03 334 6 830 3 3565 407 5009 589 340 36 474 769 98 4 4075 4660 569 657 3339 368 6 94 33 5 460 59 66 76 4339 500 749 3058 380 6 54 58 6908 796 5338 630 885 300 347 7 5697 6408 7564 867 6338 759 309 334 357 8 665 705 83 9390 7338 887 353 348 376 9 6844 7633 8907 07 8338 304 385 369 3858 0 7434 860 959 085 9337 34 347 3757 4000 8034 8897 083 59 0337 367 3548 3893 440 8643 954 098 338 337 339 3678 409 480 3 960 096 689 309 337 357 3808 464 448 4 9886 0856 40 3848 3337 364 3936 498 4556 5 050 54 30 46 4337 3765 4065 443 4693 6 60 98 3844 5379 5336 3889 49 4564 489 7 808 878 4573 65 6336 40 439 4696 4965 8 46 3565 5308 698 7336 434 4446 488 5099 9 3 456 6047 7708 8336 456 457 4959 534 30 3787 4953 679 8493 9336 4377 4698 5089 5367 40 0707 64 4433 6509 39335 5576 5934 6369 6677 50 799 9707 3357 34764 49335 6750 74 765 7949 60 35534 37485 4048 4388 59335 7908 8330 8838 995 70 4375 4544 48758 5739 69334 9053 950 0043 04 80 57 53540 5753 6039 79334 088 0663 33 63 90 5996 6754 65647 696 89334 35 84 4 830 00 6738 70065 74 7799 99334 434 956 358 407 0 8385 8693 9573 95705 9334 4657 5 5895 6365 5
Ejercicios rouesos Caíulo 6. Iervalos de cofiaa 6. Se ha omado valores de ua variable física que se suoe ormal resulado 30. 30.8 9.3 9 30.9 30.8 9.7 8.9 30.5 3. 3.3 8.5. a Cosruir u iervalo de cofiaa ara la media de la oblació al 95% de cofiaa. b Cosruir u iervalo de cofiaa ara la variaa de la oblació co el mismo ivel de cofiaa del aarado aerior. 6. E la lisa adjua se idica la edad y el área cieífica e que rece imoraes cieíficos de diversas áreas descubriero la eoría que les ha dado la fama. Cosruir co esos daos u iervalo de cofiaa ara la edad a la que los cieíficos realia su coribució más imorae: Galileo 34 asroomía Frakli 40 elecricidad Lavoisier 3 química Lyell 33 geología Darwi 49 biología Maxwell 33 ecuacioes de la lu Curie 34 radiacividad Plak 43 eoría cuáica Marx 30 socialismo cieífico Freud 3 sicoaálisis Bohr 6 modelo del áomo Eisei 6 relaividad Keyes 36 macroecoomía. 6.3 Ua muesra de esacioes de servicio de ua cadea de gasolieras roorcioa u igreso medio or ersoa al mes de 340 euros co ua desviació íica de 85 euros. Calcular u iervalo de cofiaa ara el igreso medio or rabajador e esa emresa. Calcular el úmero de esacioes que debemos esudiar ara que el iervalo ega ua amliud máxima de 500 euros. 6.4 Se ha escogido al aar 5 robeas de u deermiado acero cuya resisecia a la comresió se suoe que se disribuye ormalmee y se ha medido ésa e las uidades adecuadas habiédose observado los resulados siguiees 40.5 65.0 49.5.4 38. 60.4 43.4 6.35 3. 55.6 47.5 73. 35.9 45.5 5.4. a Esimar la resisecia media del acero y su variaa. b Hallar u iervalo de cofiaa del 99% ara la resisecia media. c Hallar u iervalo de cofiaa del 99% ara la variaa. d Cuáas robeas debería haberse uiliado e el esudio si se quisiera esimar la resisecia media del acero co ua recisió de ±6 uidades y ua cofiaa del 95%?. 6.5 Ua comañía de comida recociada desea laar al mercado u uevo roduco. Para coocer la aceació del mismo realia reviamee ua ecuesa ere 00 ersoas elegidas al aar de las que 37 maifiesa su disosició a comrarlo. Obeer u iervalo de cofiaa =0.05 ara la roorció de comradores oeciales de ese uevo roduco. Cúal debería ser el amaño muesral si se quisiera reducir la logiud del iervalo a la miad. 6.6 Se desea esimar la roorció de iños ere 0 y 4 años que se ecuera adecuadamee vacuados cora la oliomieliis. Si se quiere que la diferecia e valor absoluo ere la esimació fial y el verdadero valor de la roorció sea meor que 0.05 co robabilidad 0.95 Cúal es el amaño muesral míimo requerido?.
6.7 Ua roca luar es eviada a u laboraorio ara deermiar su ivel de radiacividad θ ivelquese mide or el úmero medio de arículas emiidas or hora. Desués de 5 horas el equio Geiger ha coabiliado u oal de 3.547 arículas emiidas. Aceado que el úmero de arículas emiidas sigue ua disribució de Poisso dar u iervalo co 95% de cofiaa ara el ivel de radiacividad de la roca. oa.- Uiliar que si Z iee disribució 0 eoces P Z.96 = 0.975. 6.8 Teiedo e cuea que si... es ua muesra aleaoria simle de ua variable aleaoria exoecial co fució de desidad fx = λ exλ x 0 λ > 0; el esadísico U =λ iee disribució χ dode = + + + ; resolver la cuesió siguiee: El iemo de fucioamieo de u equio elecróico es ua variable aleaoria co disribució exoecial. Se ha omado los iemos de fucioamieo hasa el fallo de 30 equios elegidos al aar obeiédose 6. 0 3 horas de media. Calcular u iervalo co 95 % de cofiaa ara la vida media de u equio. 6.9 E ua ceralia ha habido 80 llamadas durae las úlimas dos horas. Obega u iervalo de cofiaa ara la eseraa del úmero de llamadas or hora suoiedo que el úmero de llamadas durae u eriodo de duració T cualquiera sigue ua disribució de Poisso. 6.0 La velocidad de ua molécula segú el modelo de Maxwell es ua variable aleaoria co fució de desidad 4 fx = π 3 x ex x x 0 0 x 0. dode >0 es el arámero de la disribució y se verifica que E = y Var = 3 π 4 π. a Calcular el esimador máximo verosímil de y su variaa asióica. b Calcular el esimador or momeos de y la variaa de dicho esimador. c Para ua muesra de amaño =00 ara la que se verifica que 00 P x i = 34 yque 00 P x i = 339hallar u iervalo de cofiaa de co el 95% de cofiaa uiliado ambos esimadores. 6. Los úcleos radioucleidos del elemeo radiacivo Carboo 4 C 4 se desiegra aleaoriamee. El iemo que arda e desiegrarse cada radioucleido es ua variable aleaoria co disribució exoecial de media 8 7 0 3 años. a Si iicialmee había 0 radioucleidos obeer el úmero eserado de los radioucleidos si desiegrar al cabo de los 0.000 años. b Obeer ara la variable aleaoria úmero de radioucleidos si desiegrar al cabo de 0.000 años u iervalo que coega al valor de esa variable co robabilidad 0 95 e ierrear el resulado. i= i=
c Ua iea arqueológica ha esado eerrada durae 0.000 años al cabo de los cuales se ha observado 0 0 radioucleidos de C 4. Esimar or el méodo de los momeos el úmero iicial de radioucleidos y calcular la media y la variaa del esimador obeido. d Deermiar el iemo que debe rascurrir ara que el úmero de radioucleidos iiciales se reduca a la miad. 3