Dpto. de Físic 1 Nomre: Curso: GUÍA DE VECTORES 3 E. M. electivo Mgnitudes o Conceptos Esclres: En el estudio de l Físic encontrmos conceptos o mgnitudes tles como: el tiempo, ms, crg eléctric, tempertur, energí, etc., que quedn completmente crcterids l indicr un cntidd o vlor numérico l unidd de medición. Ej. Ms, m = 4 kg; Longitud, l = 15 m; tempertur, t = 5 C, etc. Al trjr en el conteto de l Físic clásic no reltivist, con mgnitudes de este tipo, usmos el álger de los números reles, lo que está de cuerdo con los eperimentos. Dichs cntiddes se llmn mgnitudes esclres Mgnitudes vectoriles o Conceptos Vectoriles: Tmién en Físic encontrmos otros conceptos que pr determinrlos completmente, se requiere conocer demás de su mgnitud o tmño, su componente direccionl, estos conceptos oedecen regls diferentes de ls cntiddes esclres. Dichos conceptos se llmn mgnitudes vectoriles. Ejemplo de conceptos vectoriles son: i) Desplmiento ii) Velocidd iii) Acelerción iv) Fuer v) Torque vi) Intensidd del cmpo eléctrico, etc. Ls cntiddes vectoriles se representn gráficmente medinte un tro dirigido (vector geométrico) Los vectores geométricos están crcteridos por un mgnitud o módulo, un dirección un sentido. El vector geométrico de origen O etremo A se represent geométricmente sí: O Simólicmente el vector geométrico de origen O termino A se not OA o ien por OA = Oservción: Todo vector geométrico qued determindo por tres elementos: i) Módulo ii) Dirección iii) Sentido A I) Módulo: Corresponde l longitud del tro dirigido que represent l vector. El módulo del vector OA =, se not: IOAI, I I o.
Dpto. de Físic III) Sentido: Est ddo por l orientción del tro. AsÍ, por ejemplo el sentido del vector es de O hci A. II) Dirección: Está dd por l rect que lo contiene o por un prlel culquier l mism. Así por ejemplo l dirección del vector OA = está dd por l rect L 1 que lo contiene o por l rect L que es prlel L 1. O A Oservción: L 1 L El módulo es siempre un número positivo. Si el módulo es cero, quiere decir que el origen del vector coincide con su término, es decir, el vector se reduce un punto por tnto no puede hlrse propimente de vector, pr fcilitr muchs operciones que veremos ms delnte, se dice que se trt del vector nulo o vector cero, se represent por 0. No h que confundirlo con el número cero, que no es un vector. A ecepción del vector nulo, todos los demás tienen dirección, sentido módulo ien determindos. Iguldd de vectores Definición: Se dice que dos o más vectores son igules si tienen igul módulo, dirección sentido Vectores inversos u opuestos Definición: Se dice que dos vectores son inversos, cundo tienen el mismo módulo l mism dirección, pero distinto sentido. Por ejemplo, los vectores - son inversos. - Operciones vectoriles En est guí se nlirn ls siguientes operciones vectoriles: Adición Producto de un vector por un esclr Producto punto Producto cru Adición Pr sumr dos o más vectores estos deen ser de l mism clse o tipo, el vector resultnte es otro vector que pertenece l mism clse de los vectores sumdos.
Dpto. de Físic 3 Propieddes de l dición de vectores Sen los vectores, c de l mism clse o tipo c propiedd de clusur propiedd conmuttiv ( ) c ( c) propiedd socitiv 0 propiedd del neutro ditivo ( ) 0 propiedd del inverso ditivo Pr sumr dos vectores gráficmente se puede usr dos métodos, el del prlelogrmo el del polígono. Método del prlelogrmo: Pr sumr dos vectores lires que se encuentrn en el mismo plno, se trsldn siguiendo l líne hst un origen en común O, después se procede construir un prlelogrmo se tr un digonl desde el origen hst el vértice opuesto. Est digonl es el vector resultnte de l sum por lo que tiene su origen tmién en O. Ejemplo: Si se dese sumr los vectores origen común; es l sum de e de l figur, mos se trsldn hst un = O O Este método se puede utilir pr sumr más de dos vectores, pero se dee ir sociándose de dos en dos, por lo que en lgunos csos es conveniente usr el método del polígono. Método del polígono (triángulo): Este método consiste en fijr un origen trsldr el primer vector sumr ese punto coincidiendo su inicio con el origen fijdo, después se procede trsldr los vectores uno continución del otro, el vector resultnte o sum tiene tmién su inicio en el origen fijdo su término en el etremo del último vector sumdo. Ejemplo: Pr sumr los vectores, c de l figur, se fij un origen continución se diuj finlmente c. L sum c d. O... d c c
Dpto. de Físic 4 Sustrcción Definición: L diferenci de dos vectores,, se define como l sum ( ), donde semos que es el vector inverso de. Por ejemplo, en l figur está representd l diferenci Producto de un vector por un esclr (Ponderción de un vector) Definición: L ponderción de un vector consiste en multiplicr un vector con un esclr. Cundo se ponder un vector el resultdo es un vector, el cul no necesrimente es de l mism clse que el vector originl. Se llm producto de un vector por un esclr k, l vector que tiene l mism dirección que, el módulo es igul l producto entre k por el módulo de, el sentido es igul l de si k es positivo. Si es un vector se ponder por el esclr, se otiene el vector con l mism dirección sentido de el módulo igul dos veces l módulo de, (ver figur) Propieddes del producto de un vector por un esclr (m n) = m (n ) m ( + ) = m + m (m + n) = m + n 1 = Vectores fijos un sistem de referenci Componentes de un vector. L proección ortogonl de un vector sore un rect es un cntidd que se denomin componente del vector (es un esclr). Este se determin como l mgnitud del segmento de l rect, comprendido entre dos rects perpendiculres ell (L), que psn por el origen el término del vector. L En l figur djunt L es l componente horiontl de
Dpto. de Físic 5 Vector en el plno crtesino Un vector puede definirse en un plno de coordends crtesino, conformdo por dos línes perpendiculres denominds ejes. El eje horiontl se denomin scis usulmente se represent por l letr, el eje verticl se denomin ordend se represent por l letr. f 0 El diujo muestr un vector diujdo en el primer cudrnte de este plno. ( 1 o ) es l componente del vector sore el eje. e ( 1 - o) es l componente del vector sore el eje. 0 f Vector en función de sus componentes crtesins Considere un vector lire en el plno X-Y, de modo tl que puede representrse con su origen en el origen del sistem de coordends crtesino cuo termino es el pr ordendo ( ; ), en este cso, el vector se fij un origen de un sistem de referenci, por lo que si un vector que se encuentr en un plno crtesino, este se puede representr medinte un pr ordendo, es decir: ; ) ( 1 1 Sus componentes rectngulres o crtesins dn origen dos vectores ficticios, que llmremos vectores componentes,, tl que sumdos tengn como resultdo el vector Vectores componentes: Sum de vectores en función de sus componentes Supongmos dos vectores en el plno X-Y, con ; ) ( el vector ( ; ), l sum de los dos vectores se otiene como l sum lgeric de ls componentes de los vectores, es decir, R R ; R ), tl que: ( ; ) + ( ; ) = (( ) ;( )) (
Dpto. de Físic 6 O tmién: R ( ) R ( ) L rest es nálog l sum, sólo que corresponde un sum con inverso, es decir: = ( ) Multiplicción de un esclr por un vector Se un esclr un vector en el plno X-Y, con resultnte el que se otiene de l siguiente form: = ( ) = ( ) por lo tnto; R = ) (, siendo R el vector Notción polr Consideremos un vector en el plno de coordends crtesins, como se muestr en l figur L dirección del vector se indic medinte el ángulo (θ) que se form entre el semieje positivo el vector. L mgnitud del vector corresponde l módulo del vector, es decir. Por lo tnto pr epresr un vector se requiere el módulo de él l componente direccionl epresd medinte el ángulo. Lo nterior corresponde l descripción en un plno. = ;θ θ L notción nterior recie el nomre de vector polr ;θ corresponden ls coordends polres de Determinción de ls componentes rectngulres Ls componentes rectngulres del vector en un plno, se pueden determinr usndo ls relciones trigonométrics de coseno seno, oteniéndose ls siguientes epresiones: cos (Componente de en el eje ) sen (Componente de en el eje ) Por lo tnto el vector qued epresdo medinte sus componentes rectngulres de l siguiente form: = ( cos ; sen )
Dpto. de Físic 7 Ejemplo: Se = 5 ; 37, encuentre sus componentes rectngulres cos, reemplndo los vlores se tiene: 5 cos37 = 5 0,8 4 sen, reemplndo los vlores se tiene 5 sen 37 = 5 0,6 3 Resp:. = (4 ; 3) Determinción de ls coordends polres de un vector. Si se requiere otener ls coordends polres del vector determinr el módulo del vector el ángulo θ., se dee El módulo del vector se otiene medinte el teorem de Pitágors: el ángulo θ se otiene medinte el rcotngente de él, es decir: θ = rctg Ejemplo: o tmién θ = tg -1 Ddo el vector (8 ; 6). Encontrr sus coordends polres., reemplndo los vlores se tiene: 8 6 10 θ = tg -1 reemplndo se tiene que: θ = tg -1 8 6 θ = 38,9º Resp.: 10; 38,9º Not: Es recomendle diujr previmente el vector en el plno crtesino pr ser en que cudrnte se encuentr pr epresr el ángulo correctmente, que este siempre se mide prtir de l referenci.
Dpto. de Físic 8 Vectores unitrios El vector unitrio es un vector que siempre tiene tmño igul l unidd. En l figur se represent un vector c un vector unitrio ĉ ( c tongo), mos vectores tiene igul dirección sentido, pero ĉ tiene tmño igul un unidd, es decir ĉ = 1 El vector unitrio sirve pr definir l dirección sentido de un vector, que l ponderr el vector unitrio por un esclr, se otiene el vector finl o requerido, es decir: c = c ĉ Y ĉ c L Si se quiere conocer el vlor del vector unitrio, este se otiene dividiendo el vector por su respectivo módulo. c ĉ = c X Ejemplo: Ddo el siguiente vector diujdo en un plno crtesino, determine: i Ls componentes rectngulres de : ii El módulo de iii El vector unitrio de 1 i. El vector - 4 tiene origen en el punto O= (-;1) su termino en el punto T = (4;4), por tnto si lo fijmos l Sistem de coordends X/Y su vlor será, termino del vector menos su origen, por lo tnto el vector tendrá; origen O = (0;0) termino el punto T = (6;3) 4 ii) El módulo del vector se otiene con el teorem de Pitágors: = 6 3 = 45 iii) El vector unitrio de se otiene con l siguiente epresión = (6;3) 45 = [ 6 3 ; ] 45 45 Cundo se trj en un sistem de coordends ortogonl (,, ) se definen los siguiente vectores unitrios î (1;0;0) ; ĵ (0;1;0) k (0;0;1), lo nterior signific que estos vectores se encuentr uicdos en cd uno de lo eje, î en, ĵ en el eje, k en el eje, (ver figur) î k ĵ i j k 1 î ĵ k
Dpto. de Físic 9 Producto punto o producto esclr Con est operción se tomn dos elementos del conjunto de los vectores medinte l operción punto se sle de este conjunto se ps l conjunto de los reles, oteniéndose como resultdo un esclr. El producto punto o producto esclr entre dos vectores, en su notción se represent medinte un punto ( ). El producto punto entre dos vectores se otiene multiplicndo los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que se form entre ellos, es decir: = cos θ; Al efectur un nálisis gráfico del producto esclr, se conclue que el producto punto corresponde l multiplicción de dos tros, l mgnitud del primer vector por l proección del segundo vector sore el primero θ El tmño de vector es l proección del vector sore tiene un vlor cos θ, por lo que l efectur el producto punto o producto esclr se est multiplicndo el tmño de dos tros el resultdo es un esclr. Propieddes del producto punto: (conmuttivo) ( c) c (Distriutividd) m ( ) = (m ), donde m es un cntidd esclr. Determinción del producto esclr en form nlític Sen dos vectores epresdo en coordends rectngulres con = (, ) = ( ; ; ) en este cso l operción producto punto o esclr se define de l siguiente form = + + ; donde el resultdo es un esclr. Ejemplo: Se = (3; 1) = (4; 4) dos vectores uicdos en el plno X/Y, el producto: = 3 4 + 1 4 =1+ 4 = 16 Producto vectoril o producto cru El producto vectoril de los vectores es un operción definid en el lger vectoril como resultdo es otro vector ( ) perpendiculr l plno formdo por los vectores. Ddos los vectores, se represent geométricmente el producto vectoril como: θ
Dpto. de Físic 10 Su módulo se determin como: Determinción del producto cru en form nlític Si k j i,, k j i,, Pr otener el producto vectoril epresdo en form nlítico, es decir, trvés de sus componentes, deemos desrrollr el siguiente determinnte: = k j i = k j i Pr determinr l dirección sentido del vector ( ) se utili un regl llmd regl de l mno derech, que consiste en colocr l mno derech etendid lo lrgo del primer vector (según figur), en este cso del vector, luego se cierr l mno girndo los dedos hci el otro vector, en este cso hci, l estirr el pulgr este nos indic l dirección el sentido de ( ) Propieddes del producto vectoril = - = 0 c c sen Oservción: Mtemáticmente, el producto vectoril de los vectores, tiene un módulo igul l áre del prlelogrmo formdo por los vectores. Are = se ltur = sen Por lo tnto: Are = En generl: h= sen θ re θ θ
Dpto. de Físic 11 Ejemplo: Ddos los vectores ( i 3 j 5k ) u ( 3 i 8 j 5k ) u. Determine: ) ) el módulo de c) el ángulo que formn los vectores entre sí (ángulo menor) ) = i 3 j 3 8 k 5 5 = (3 5 8 5) î ( 5 5 3) ĵ + ( 8 3 3) k = ( 5 î + 5 ĵ +7 k ) u ) = ( 5) (5) (7) u = 6,44 u c) Determinción del ángulo Si sen sen (I) Donde: 3 5 3 8 5 = 6, u = 9,9 u Reemplndo en l ecución I, se tiene: 6,44 sen = 0,431 6, 9,9 1 sen 0,431 θ = 5,53º
Dpto. de Físic 1 Guí de Aplicciones Vectores 1) Ls componentes rectngulres de un vector v son: v = 1u v =5u. Determine el módulo dirección del vector v respecto del eje ) Si l componente de un vector m en el eje es m = 3.88 l dirección del vector es 40. Determine..) Módulo del vector.) Ls coordends rectngulres del etremo del vector si su origen es (0,0) 3) Ddo un vector d de módulo igul de 13 u de longitud que form un ángulo de.6º con el eje medido en sentido positivo, Cuáles son sus componentes? 4) Un vión despeg en un ángulo de 30 con l horiontl. L componente horiontl de su velocidd es 150 km/hr. Cuánto vle l componente verticl de su velocidd? 5) Un ote motor se dirige l norte 0 km/h, en un lugr donde l corriente es de 8 km/h en l dirección Sur 70 Este. Encontrr l velocidd resultnte del ote. 6) Un crtero vij: 1/ km l Este, 1/4 km l Norte, 3/4 km l Noroeste, 1/ km Sur, 1 km l Suroeste. Determine el desplmiento resultnte del crtero el vlor del ángulo, con respecto l eje de referenci (). 7) Un nddor v crur perpendiculrmente un río cu corriente tiene un rpide de 3 km/h Si el nddor v rón de 10 m/min, Cuál es el módulo de su velocidd resultnte? 8) Tres vectores de igul clse están orientdos como se muestr en l figur, donde =0u, 45, = 40u, c = 30 u; 315. si se efectú l sum entre los tres vectores, encuentre:.) ls componentes rectngulres del vector resultnte R..) l mgnitud dirección del vector resultnte. 9) Ddos los siguientes vectores:: = 30;0, = 40;10, c = (; 3), d =(;- 5) c Efectué el producto punto el producto cru entre los vectores.).) c.) c d c 10) Ddos los vectores, c de l mism clse, se sumn entre sí. Determine ls componentes del vector c, pr que el vector resultnte se cero. R: c = (-10; 3) 11) Se tienen los vectores m m i m j, n 8 ; 135º p ( ; 5). Al sumr estos vectores se otiene el vector resultnte R 10; 37º.. Determine el vector m. R. m 18i 3 j 1) Del prolem nterior, determine l dirección de m R: θ = 9,47º c -6 5-8 16
Dpto. de Físic 13 13) Un homre un joven tirn de un frdo que se encuentr sore el suelo, plicndo fuers de 100 N 80 N de módulo respectivmente. Si l fuer que plic el joven es prlel l suelo ls fuers formn entre ells un ángulo de 37º. Clculr l fuer resultnte sore el frdo. R: 170,9 N; 0,55º 14) Dos fuers se plicn sore un cuerpo en el mismo punto. Siendo F1 3N; 60º vlor tiene l fuer resultnte sore el cuerpo? R: (6,5 î +,6 ĵ ) N F 5 ; 0º. Qué N 15) En un ote se intent crur perpendiculrmente un río cu corriente tiene un velocidd 15 km/h hci el Este. Si el ote sle del emrcdero con un velocidd constnte de 0 km/h hci el Norte. Cuál es l velocidd resultnte del ote, con relción l emrcdero? R: 5 km/h; E 53,13º N 16) Se tienen dos vectores de módulos 600 N 800 N l efectur l sustrcción entre ellos se otiene un vector resultnte de 1000 N, qué vlor tiene el ángulo formdo por ellos? R: 90º 17) En el esquem se muestrn tres vectores uicdos en un sistem de coordends crtesins con sus respectivos módulos. Clcule el módulo del vector resultnte. R: 5 4 37º 10 3 18) Sore un rgoll fij en l pred, se plicn dos fuers, según figur. Cuál es el módulo de l fuer resultnte? R: 70 N 50 N 70º 50 º 30 N 19) El ángulo entre dos fuers es 74º, cd fuer tienen módulos igules de 5 N. Clcule el módulo de l fuer resultnte. R: 40 N 0) El torque es un mgnitud físic vectoril que se define como r F, siendo r el vector posición en cuo etremo se plic un fuer F. Si un cuerpo se le plic un fuer F ( 5 i j ) N en un posición r = ( 6 i 8 j ) m. Clculr: ) r F ) r F c) el ángulo que formn r F R: ) 8 k N m ) 8 N m c) θ = 31,9º