MTEMÁTCS RUEBS DE CCESO L UNVERSDD DE OVEDO.- MTRCES Y DETERMNNTES.- MODELO DE RUEB roduco de mrices: concepo. Condiciones pr su relición. Es posible que pr dos mrices B no cudrds puedn eisir B B?. b Si C, D E son res mrices cudrds de igul dimensión les que CD CE, Se puede segurr que D E? or qué?. Ron ls respuess. Dds dos mrices B, de dimensiones m n n p, respecivmene, B será un nuev mri, de dimensión m p, que se define del siguiene modo: B b r que dos mrices puedn muliplicrse, el número de fils de l segund h de ser igul l de columns de l primer. En generl, cundo dos mrices no cudrds B son de dimensiones m n n m respecivmene, podemos segurr que eisen B B. b Si CD CE, no siempre podemos segurr que D E. Unicmene podemos hcerlo, cundo l mri C dmi invers C - ; en ese cso, muliplicndo por l iquierd en l iguldd inicil, resul que: C - CD C - CE D E que C - C mri idenidd..- JUNO 99 Define rngo de un mri. b Un mri de res fils res columns, iene rngo res; Cómo puede vrir el rngo si quimos un column?. Si suprimimos un fil un column, odemos segurr que el rngo de l mri resulne se?. Ron ls respuess B c donde El rngo de un mri, es el máimo número de fils o columns linelmene independienes que podemos enconrr. Dicho de oro modo: es el orden del menor no nulo más grnde que de ell se puede erer. b Si el rngo de l mri es res, los res vecores column son linelmene independienes. Si quimos un column, los dos vecores column que quedn, seguirán siendo linelmene independienes, luego el rngo de l mri que resul l suprimir es column, es dos. hor bien, si quimos un fil un column, no podemos segurr que el rngo se dos. Vemos un ejemplo: si en l mri Quiásemos l úlim fil l úlim column, l mri resulne no endrí rngo dos, sino uno., c n i b j
.- SETEMBRE 99 Dd l ecución: Se pide: i Ronr que es polinómic de grdo menor o igul que res. ii Obener, sin desrrollr el deerminne, sus soluciones. Ron ls respuess. i Resndo l primer fil ods ls demás por supueso dejándol ell f, obenemos l siguiene ecución equivlene l nerior: Como se r del deerminne de un mri ringulr, pr su desrrollo, bs con muliplicr los elemenos de l digonl principl. L ecución que resul es: -, que es un ecución polinómic de grdo. ii Sin más que cmbir los signos de los res fcores l ecución es equivlene resul: - cus ríces son evidenemene, ;..- JUNO 99 i roduco de mrices: definición, condiciones pr su relición. Siendo, B, C mrices Que condiciones deben cumplir p, q, r pr que ls operciones que se indicn coninución puedn ser efecuds cul es el orden de l mri resulne? : CB b B C ii Siendo B con B mrices cudrds de orden, Deben ser necesrimene B?. Ron ls respuess. M m n, B M n p C M q r i r l primer pre, ver ejercicio. En cuno l segund: El produco CB, sólo podrá efecurse cundo q n r. L mri resulne en ese cso, será de dimensión m p. b r que pued efecurse B C, h de ser n q p r. L mri resulne, será m r ó bien m p. ii ueso que l mri es cudrd su deerminne es disino de cero, dmie invers. Muliplicndo por l iquierd, nurlmene, por es mri invers en l epresión que nos dn:
concluimos que B. B.- SETEMBRE 99 i Definir rngo de un mri eplicndo cd concepo que inerviene en l definición. ii Se un mri cudrd de orden res, cuo rngo es dos. Se lerrá el rngo de dich mri si los elemenos de un de ls columns se les sumn los correspondienes de or de sus columns?. Ron l respues. i Ver ejercicio. ii Desde luego, si en el deerminne de l mri le summos un column or column, el deerminne sigue vliendo lo mismo es decir, cero. El rngo de l nuev mri por no, no es res; l cuesión es si será dos o uno. Vemos que h de seguir siendo necesrimene dos. Sen u, v, w los res vecores column de l mri. Supongmos que hemos sumdo l primer column, l ercer. Los vecores column de l nuev mri, serán: u w, v w. Vemos que si enre u, v, w h dos vecores linelmene independienes el ercero depende de los oros dos, enre u w, v, w, ocurre lo mismo. Disingmos res csos:.- u v son linelmene independienes w αu βv con α, β R vemos que en ese cso, u w v, son linelmene independienes. En efeco, si no fuese sí, serí: u w v con R es decir, que: u αu βv v α u β v u v no son linelmene independienes, lo cul conrdice nuesr suposición inicil..- v w son linelmene independienes. En ese cso, no h nd que decir..- u w son linelmene independienes v αu βw con α, β R. Vemos que en ese cso, u w w, son linelmene independienes. En efeco, si no fuese sí, serí: u w w con R es decir, que: u w u w no son linelmene independienes, lo cul conrdice nuesr suposición inicil..- JUNO 99 plicndo ls propieddes de los deerminnes sin desrrollr, ni plicr l regl de Srrus responder ls siguienes preguns: i Cómo vrirá el deerminne de un mri cudrd de orden, si se muliplic cd uno de sus elemenos por i j? ii L mri de orden con i j, iene invers? es el elemeno de l mri, pereneciene l fil i column j. i Se El deerminne de un mri cudrd de orden. Si cd elemeno de ese deerminne lo muliplicmos por i j, obenemos ese nuevo deerminne:
L cuesión es: Qué relción hbrá enre esos dos deerminnes?. En ese úlimo deerminne, mulipliquemos l primer fil por l segund por, con el fin de que desprecn los denomindores. En consecuenci pueso que cundo se muliplic un fil de un deerminne por un número, el deerminne qued muliplicdo por ese número, el deerminne B, h queddo muliplicdo por por. En consecuenci: De donde se conclue inmedimene que B. El deerminne, no vrí. iil mri de l que nos pregunn si iene invers, es: Bsrá ver si su deerminne es cero o no. hor bien, como l úlim fil es combinción linel de ls neriores C C C C, el deerminne por no l mri, no iene invers..- SETMBRE 99 plicndo ls propieddes de los deerminnes sin uilir l regl de Srrus, clculr rondmene ls ríces de l ecución polinómic: Enuncir ls propieddes uilids. B B
-. or no, l ecución, se conviere en: - cus ríces son: riple - clremos los psos ddos en el desrrollo del deerminne:.- l primer, segund ercer columns, les resmos l cur.- l úlim fil, le summos l primer..- Desrrollmos el deerminne por l primer column..- l ercer fil le summos l primer..- Desrrollmos por l primer column..- l segund fil le summos l primer..- Desrrollmos por l primer column..- JUNO 99 Dds ls mrices i verigur pr qué vlores de eise lgun mri, que cumpl: N M. ii Tiene senido hblr de l eisenci de l mri invers de MN, pr odo R?. Si eise pr, hllrl. denomos con N l rspues de N i Si eisiese es mri, deberí ser un mri. Y h cumplirse que: Muliplicndo ls mrices e igulndo, obenemos ls siguienes ecuciones: En consecuenci, r, eise un mri Que verific: N M ii Es mri endrá invers sólo, cundo su deerminne se disino de cero. Vemos cuándo es cero. N M. ; ; MN 9 9
Cundo no vlg, es mri dmie invers. r el cso, será: 9.- SETEMBRE 99 i Si es un mri l que, Se deduce que? En cso firmivo, probrlo, en cso negivo, proponer un ejemplo clrorio. ii Si, demosrr que es inversible, clculr en función de, su invers. iii robr que si B B B, enonces. mri unidd i Se l mri. mpongmos que : Desrrollndo es ecución mricil, obenemos el siguiene sisem de ecuciones: or no, un solución sencill pr ese sisem, serí: ; Es decir, que hemos enconrdo un mri que no es l mri denidd, que verific:. or supueso, h más, pero con enconrr un, nos bs. ii Es decir, que es inversible su invers es. iisi B B B, podemos concluir que: como B B B como B B l derech por si muliplicmos B 9 9 MN MN