PP Dinición d Procso Puntual PROCESOS ALEAORIOS DE POISSON PP I a. óms un instant cualquira como orign d la variabl timpo. Lláms t 0 a dicho instant. Supóngas qu los instants t, t,, postriors a t 0, caractricn la aparición d vntos. Por jmplo, los instants n qu abonados d una gran cntral tlónica lvantan su tubo para iniciar una llamada. S dirá qu s stá rnt a un procso puntual cuando la duración d cada uno d los intrvalos [t 0, t ], [t, t ], sté dada por un xprimnto alatorio (qu pud o no ir cambiando d intrvalo n intrvalo. t 0 t t t 3 t 4 t b. En orma rigurosa: Sa l intrvalo < t <. S dic qu s stá n prsncia d un procso puntual cuando, prvia la lcción d un valor t 0, s dtrmina una sucsión: t 0 t t ig. PP I.a tal qu cada intrvalo [t i, t i ] sa l rsultado d un xprimnto alatorio. En lo sucsivo, s llamará i a la variabl alatoria qu s asoci a la duración dl intrvalo [t i, t i ], (i,,. Como t i t i i, s tin qu ntoncs db sr: P( i < 0 0 i PP II Dinición d un procso stacionario d Poisson a. S llama procso stacionario d Poisson a todo procso puntual tal qu: º. odas las i san indpndints ntr sí. º. odas tngan una misma d D, s dcir qu: P( x P( x (x 3º. P( i > x + h / i > x P( i > h, x 0, h > 0, i 4º. P( i 0 0, i []
PP b. S analizarán un poco n l plano intuitivo las implicacions d sta dinición. A in d acilitar las cosas, s supondrá qu t, t,, son los instants n qu aparcn los vntos consistnts n qu los abonados d una gran cntral tlónica lvantan su tubo para iniciar una llamada. t i t i + x x h t x + h ig. PP II.a Supóngas (vr la igura PP II.a qu n l instant t i haya aparcido l vnto i. En s instant s inicia l intrvalo al cual corrspond la variabl i, y qu trminará n l instant t i qu corrspond a la aparición dl vnto i. Si partindo d t i s ha llgado a un instant t i + x sin qu haya aparcido n vnto i, la condición trcra d [] indica qu la probabilidad d qu no aparzca dicho vnto dntro dl próximo príodo d duración h no dpnd d x. Es dcir qu la probabilidad d suprvivncia dl intrvalo n curso (d no aparición d un nuvo vnto durant l próximo h s la misma a cualquir dad d dicho intrvalo. Por lo tanto, l hcho d qu hac mucho qu no haya aparcido un vnto no apura ni rtarda la aparición dl próximo. La condición trcra d [] indica qu las causas qu tindn a hacr aparcr vntos son inmutabls n l timpo. La condición cuarta implica qu P( i 0 0, y por lo tanto las causas antdichas son tals qu s tin una probabilidad nula d qu ocurran dos vntos simultánamnt (aunqu llo sa posibl. c. Ejmplos d nómnos ísicos qu constituyn (más o mnos aproximadamnt procsos stacionarios d Poisson son: - La ya citada iniciación d llamadas n una gran cntral tlónica. - La dscompostura d unidads n una lota d camions. - La llgada d clints a una stación d srvicio. - La isión d partículas radioactivas. - tc. d D d un procso stacionario d Poisson PP III a. La condición trcra indicada n [] d PP II stablc qu: P(i y como: > x + h i P(i > x > x P( i > h ; x 0, h > 0 []
PP 3 s tin qu: { i > x + h} { i > x} { i > x + h} P(i > x + h P( i > h ; x 0, h > 0 [] P(i > x P( i > x + h P( i > x P( i > h ; x 0, h > 0 Entoncs, como P( i x (x ; i: (x + h [ (x][ (h] (x (h + (x (h ; x 0, h > 0 (x + h (x + (h (x (h ; x 0, h > 0 ( x + h ( h [ (x] ; x 0, h > 0 [3] h h Supóngas una (x tal qu: ( h º. Lim c, c inito h 0 + h [4] º. (x dirnciabl para todo x > 0 Entoncs, hacindo h 0 + n [3] rsulta qu: d (x c [ (x] x > 0 dx Las solucions d sta cuación dirncial son: (x c x, x > 0 ; constant arbitraria [5] Para mpzar, pud probars qu n sta xprsión db sr c > 0, ya qu sólo así s tin qu Lim. x En sgundo lugar, n dicha xprsión db sr, pus d lo contrario s tndría qu Lim 0. Como admás sgún la condición cuarta d [] d PP II s x 0 (0 0, s tin qu si rsultaría qu (x no sría n x 0 continua por la drcha, n contradicción con una d las condicions qu db cumplir toda d D. Por lo tanto srá: (x c x ; c > 0 x > 0
PP 4 Como las condicions sgunda y cuarta d [] d PP II indican rspctivamnt qu todas las variabls tinn la misma d D, (x, y qu (x 0 para x 0, s tin ntoncs qu: P (i x ( 0 x cx para x 0 para x > 0 y c > 0 [6] b. Obsrvación: S acaba d probar qu toda d D corrspondint a un procso d Poisson, y qu cumpla con las condicions [4], ha d sr dl tipo indicado n [6]. Quda ntoncs la duda d si un procso d Poisson admit otro tipo d d D (qu no cumpla con las condicions [4]. Pud probars (con mucho trabajo qu n cto toda d D corrspondint a un procso d Poisson ha d sr orzosamnt dl tipo indicado n [6]. c. D [6] s dduc qu: 0 c. cx para x 0 para x > 0 y c > 0 [7] Entoncs: m x dx xc dx i ; i [8] 0 c por otra part: x dx x c dx 0 c y ntoncs : σ ; i [9] i c c c La xprsión d [8] indica qu conocido l valor mdio m d los intrvalos ntr vntos i quda dtrminada la constant c dl procso, con lo qu quda totalmnt spciicada la d D corrspondint al mismo. Al aumntar c disminuy m, y por lo tanto disminuy l valor d los intrvalos ntr i vntos, rsultando así qu aumnta la rcuncia d stos. Por lo tanto, la constant c s una mdida d las causas (inmutabls qu tindn a hacr qu aparzcan vntos.
PP 5 PP IV Variabl alatoria corrspondint a varios intrvalos conscutivos a. Sa i la variabl alatoria corrspondint al intrvalo [t i, t i ]. Sa i + la variabl alatoria corrspondint al intrvalo [t i, t i + ]. Etc. Póngas: Entoncs: P( i, i + x i, i + i + i + [] i, i+ x {( μ, η / μ + η } ( μ, η dμdη [] Como sgún la condición primra d [] d PP II s tin qu i y i + son indpndints, y como sgún [7] d PP III s: i i+ 0 c. cx para para x 0 x > 0 s tin qu: i, i+ ( μ, η i ( μ i+ 0 ( η c. cμ. cη para para μ 0 μ > 0 ó η 0 y η > 0 Entoncs, por []: i, i+ cμ cη P( i, i + x c dμ dη η μ + η x μ x cμ x μ cη c dμ c d cx η, para x > 0 μ 0 η 0 [3] y admás: i, i+ 0, para x 0
PP 6 Entoncs: 0 c. x. cx para x 0 para > 0 i, i+ x [4] b. D manra similar, si: i, i +, i + i + i + + i + i, i + + i + s tin qu: i, i+, i+ P( i + i + + i + x P( i, i + + i + x i, i+, i+ {( μ, η / μ + η x} + μ i ( μ, η dμ dη i, i + ( ( η dμ d η η μ + η x cx c c c c d d cx ( μ μ η μ η,para x > 0! η μ + η x μ [5] μ y admás: i, i, i+ x + ( 0, para x 0 d dond: i, i+, i+ c 0 ( cx! para para x 0 x > 0 [6]
PP 7 c. Continuando con l mismo algoritmo, si: i, i +,..., i + n i + i + +... + i + n (n + intrvalos s tin qu: i, i+ i+ n P( i, i +,..., i + n x P( i + i + +... + i + n x,..., y admás: cx n cx (..., para x > 0 n! [7] i, i,..., + x + i n ( 0, para x 0 d dond: i, i+,, i+ n... c 0 ( cx n n! para x 0 para x > 0 [8] d. Por [8] d PP III: m m i, i+,..., i+ n (i + i + +... + i + n m i n + + m +... + m (n + intrvalos i + i + n c [9] Por [9] d PP III, y por sr i, i +,..., i + n indpndints: σ i, i+,..., i+ n σ (i + i + +... + i+ n n + σ + σ +... + σ (n + intrvalos i i+ i+ n c [0]
PP 8 PP V Cantidad d vntos n un intrvalo ijo a. Sa l intrvalo ]α, β], abirto por la izquirda indicado n la igura PP V.a. Sa t i l instant n qu s produc l primr vnto postrior al instant α, lo qu implica qu t i sa antrior o coincida con α. t i t i α t i t i + t i + β t β α t i i i + i + i + i + + * i ig. PP V.a Si s llama * i a la variabl asociada a la duración dl intrvalo ]α, t i ] s tin qu: por condición trcra d [] d PP II P( * i > x P[ i > x + (α t i / i > (α t i ] P( i > x lo qu implica qu * i y i tngan una misma d D. Entoncs: P( * i + i + +... + i + β α P( i + i + +... + i + β α P( i, i +,..., i + β α i,i +,...i + (β α Vr [7] d PP IV [] b. Por otra part, si s llama X a la variabl alatoria corrspondint a la cantidad d vntos qu ocurrn n ]α, β] s tin qu: P(X + P(En ]α, β] s produzcan + ó mas vntos P(En ]α, β] trminn + ó mas intrvalos, +... (β α P( * i + i + +... + i + β α i i i+, Por [] Rsumindo: P(X + i, i+,... i+ (β α []
PP 9 Similarmnt:, P(X i i+,... i+ (β α [3] c. Entoncs, s tin (vr igura PP V.b qu: x α X > + β ig. PP V.b X > (X (X (X + y por lo tanto: P(X P(X P(X + Es dcir qu:, P(X i i+,... i+ (β α i i+,... i+ (β α, Por [7] d PP IV [ c( β α ] c( c( c( c( β α... (! c( c( c(... [ c( β α ] [ c( β α ] (! c( c( c( β α [ ] Rsumindo: c( cτ [ ] P(X Probabilidad d vntos n ] α, β ] cτ, sindo τ (β α [4] c. Esta s la misma distribución d Poisson vista n l capítulo BNP. Notar qu ahora ha aparcido por un camino totalmnt distinto dl paso al límit d una distribución binomial qu allí s mpló. Entoncs por lo visto n l capítulo BNP: m σ X cτ X, sindo τ (β α [5] d. Supóngas qu l vnto inmdiatamnt antrior al instant α haya ocurrido n l instant t i. Allí pus s inicia un intrvalo al cual corrspond la variabl i (vr igura PP V.a.
PP 0 Ocurrirá un vnto n l instant α si dicha variabl asum xactamnt l valor (α t i. Como i s una variabl continua, la probabilidad d qu sto ocurra s nula. Por lo tanto: Entoncs: P(Ocurra un vnto xactamnt n α 0 [6] P( vntos n [α, β] P[ vntos n [α, β] (Evnto n α Evnto n α ] P( vntos n [α, β] Evnto n α + P( vntos n ]α, β] [7] 0 por [6] y por [4] y [7] rsulta qu : P( vntos n [α, β] P( vntos n ]α, β] cτ [ ] P(X cτ, τ (β α [8] PP VI Aplicacions al cálculo d tamaños d stocs d rpustos PP VI. Ejmplo º (Est jmplo ha sido xtraído d la obra d M. Girault: Introduction aux procssus d Poisson. a. San 30 pustos d trabajo srvidos por 30 máquinas. S ha comprobado qu stas máquinas s dscomponn a intrvalos qu constituyn un procso d Poisson, sindo la mdia d dscompostura d 0 máquinas smanals. Cada in d smana s mandan a arrglar las máquinas dscompustas durant la smana, y s rcibn, adcuadamnt rparadas, las qu s habían dscompusto la smana antrior. S pid indicar l stoc d máquinas ncsario para tnr una probabilidad máxima d 0,0 d qu ningún pusto d trabajo qud ura d srvicio. b. Al in d cada smana, la cantidad d máquinas ura d srvicio s la cantidad d dscomposturas qu tuviron lugar n dos smanas, ya qu todavía no ringrsaron las máquinas qu vinn d sr rparadas durant la smana antrior. Si X s la variabl alatoria corrspondint a la cantidad d dscomposturas qu tinn lugar n l intrvalo: ]in d smana n, in d smana n + ] y si N s l stoc total d máquinas, lo qu pid l problma s hallar l mnor N tal qu: P(N X < 30 0,0 o, lo qu s lo mismo, l mnor N tal qu: P(X > N 30 0,0 []
PP c. Considrando por otra part qu X corrspond a la cantidad d vntos qu ocurrn n un intrvalo ijo, s tin por [7] d PP V qu: P(X > N 30 N 30+ [ cτ ] cτ sindo τ duración dl intrvalo [] El valor mdio d X s l valor mdio d las dscomposturas qu s producn n dos smanas. nindo n cunta qu, sgún los datos dl problma s dscomponn 0 máquinas smanals como promdio, s tin qu un rljo il d la ralidad srá ponr: m.0 0 [3] X Como por [5] d PP V s tin por otra part qu: m X cτ. [4] Rsulta ntoncs por [], [3] y [4] qu: P(X > N 30 N 30+ [ 0] 0 [5] Entoncs, por [] y [5] rsulta qu la solución dl problma consist n hallar l mnor N tal qu: P(X > N 30 N 30+ [ 0] 0 0,0 d. En la obra d. C. ry Probability and its nginring uss, páginas 465 a 467 stá tabulada la unción: v v ε ε En dicha tabla iguran los parámtros v, ε y v, pudiéndos con los valors d dos d llos cualsquira hallar l valor dl trcro. En l prsnt caso, ntrando con ε 0 y v 0,03475 (primr valor inrior a 0,0 cuando ε 0, rsulta v 3. Por lo tanto, db tomars: N 30 + 3 lo qu implica qu la cantidad d máquinas db sr:
PP N 60 máquinas PP VI. Ejmplo º a. S ha vndido un gnrador con garantía por cinco años. Una d sus parts, sujta a rotura, custa $,5 si s la abrica al mismo timpo qu l gnrador, y custa $ 4 si s la abrica spcialmnt. Las allas d dicha piza ocurrn a la Poisson, a razón d una cada 0 años como promdio. Si l gnrador s para por alta d rpustos durant l príodo d garantía, l abricant dbrá provrlo y admás pagar $ 0 d multa. S pid indicar cual s la cantidad d rpustos d dicha piza qu l abricant db provr junto con l gnrador para obtnr la altrnativa mas conómica. b. En st caso, si Y s la cantidad d roturas qu ocurrn n l intrvalo: Primr instant d la garantía s obtin por [7] y [5] d PP V qu:, Ultimo instant d la garantía P(Y ( cτ cτ [] m Y cτ. omando al año como unidad d timpo s tin qu: º. τ 5 º. Por [8] d PP III s: c m Valor mdio d los intrvalos ntr roturas y ntoncs s: c τ 0 5 0,5 0 y por [] rsulta qu: P(Y m Y 0,5 0,5 (0,5 [] c. Sa r la cantidad d pizas d rpusto abricadas al mismo timpo qu l gnrador. Sa Z la variabl alatoria corrspondint al gasto incurrido por l abricant n concpto d abricación d rpustos y multas.
PP 3 Entoncs, si Y r, s dcir si la cantidad d roturas s mnor o igual qu la cantidad d rpustos ntrgados junto con l gnrador s tin qu: r P(Z,5 r P(Y 0 Y r P( Y ; r [3] 0 Si Y > r, s dcir si hay más roturas qu l stoc inicial d rpustos, s tndrá qu: P[Z,5 r + ( r(0 + 4] P(Y, > r [4] Entoncs: m Valor mdio dl costo d rpustos y multas Z r +,5 r P(Z,5 r + [,5 + ( r(0 + 4 ] Por [3] y [4] r,5 r P Y 0 r + ( + [,5 + 4( r ] r P[Z,5 r + ( r(0 + 4] r P(Y r,5 r P( Y +,5 r P (Y + 4 P(Y 4 r P(Y 0 r + r + r +,5 r P (Y + 4 P(Y 4 r P(Y 443 0 r + r + 4 r,5 r + 4 P(Y P(Y 0 0 m Y 0,5 ; Vr [] 4 r P(Y r +,5 r + 4 r P ( Y + r P(Y 0 r + Rsumindo: m +,5 r 4 Z r P ( Y + r P(Y [5] 0 r + d. D las tablas d. C. ry pud obtnrs: P(Y, n página 458
PP 4 P(Y, n página 463 r + En primr lugar (d página 458: P(Y 0 0,60653 ; P(Y 0,3037 ; P(Y 0,0758 P(Y 3 0,063 ; P(Y 4 0,0058 y ntoncs: R r P( Y P (Y 0 r + m Z (por [5] 0 0 0,39347 0,3037 0,0906 4,05 0,45489 0,0438 3,385 3 0,4978 0,0075 4,549 4 0,4990 0,0007 6,0053 Con lo qu rsulta qu la solución mas conómica s provr dos rpustos junto con l gnrador (costo igual a $ 3,385.