CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Existen vris forms de presentr lo que intuitivmente entendemos por un curv. Vemos un ejemplo. Ddo p 0 R 2 y R > 0, l circunferenci de centro p 0 y rdio R es el lugr geométrico de los puntos del plno ddo por: S 1 (p 0, R) := {p R 2 / d(p, p 0 ) = R}. Si p 0 = (x 0, y 0 ) y clculmos l distnci en coordends, entonces los puntos de S 1 (p 0, R) son los pres (x, y) R 2 que cumplen l ecución implícit o crtesin: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Si hor dividimos l ecución nterior por R 2, y usmos que si 2 + b 2 = 1 entonces = cos t y b = sen t pr cierto t R, entonces los puntos (x, y) S 1 (p 0, R) se pueden describir como: x = x 0 + R cos t, y = y 0 + R sen t, t R. Ests dos igulddes proporcionn uns ecuciones prmétrics de S 1 (p 0, R): en función del prámetro t R describimos todos los puntos (x, y) S 1 (p 0, R). En prticulr, si definimos l plicción α : R R 2 como α(t) := (x 0 + R cos t, y 0 + R sen t) pr cd t R, entonces α(r) = S 1 (p 0, R) y decimos que α es un prmetrizción de S 1 (p 0, R). De este modo un mism curv (l circunferenci S 1 (p 0, R)) se puede presentr de diferentes mners. 1. Definiciones y ejemplos En este tem seguiremos el enfoque prmétrico pr definir l noción de curv, pues es el que más rápidmente permite plicr herrmients nlítics pr estudir propieddes geométrics locles (este enfoque y se h empledo en Topologí cundo se hn estudido espcios rcoconexos o rcos homotópicos). Nuestro primer objetivo es conseguir un definición decud de curv como objeto unidimensionl suve. Vemos un primer proximción. Definición 1.1. Un curv (prmetrizd diferencible) en R 3 es un plicción diferencible α : I R 3 definid sobre un intervlo bierto I R. Si expresmos α en componentes como α(t) = (x(t), y(t), z(t)), l diferencibilidd de α signific que x, y, z C (I) (unque pr csi tod l teorí que desrrollremos es suficiente con regulridd C 3 ). L vrible t se llm prámetro de α. El vector de R 3 ddo por: α (t) := (x (t), y (t), z (t)) = d α(t + h) α(t) dt α(t) = lím t h 0 h se llm vector tngente o velocidd de α en t. El vector de R 3 ddo por: α (t) := (x (t), y (t), z (t)) = d2 dt 2 α(t) t se llm celerción de α en t. L trz o imgen de α es el subconjunto de R 3 siguiente: α(i) := {α(t) / t I}. Diremos que α es un curv pln si existe un plno fín P R 3 tl que α(i) P.

2 CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Not 1.2. 1. Nuestro concepto de curv es físico: l plicción α represent l mner en l que se mueve un objeto en el espcio en función del tiempo. Esto incluye no solmente l tryectori recorrid (l trz) sino tmbién el modo en que dich tryectori se recorre (por medio de l velocidd, l celerción,...,etc.). En este tem nos interesrán ls propieddes geométrics de l trz de un curv (cntiddes que no dependen de l form de recorrerl). 2. Nótese que un curv es un plicción y no un conjunto de puntos. De hecho, un curv no está determind por su trz, esto es, dos curvs distints pueden tener l mism trz. Sen α, β : R R 3 ls curvs dds por α(t) := (t, 0, 0) y β(t) := (t 3, 0, 0). Es clro que α(r) = β(r) = {(x, y, z) R 3 / y = z = 0} pero α β. Esto signific que estmos recorriendo l mism tryectori (el eje x de R 3 ) de dos mners diferentes: α recorre dich tryectori velocidd constnte, mientrs que en β ni l velocidd ni l celerción son constntes. 3. Se P un plno fín. Fijemos un punto p 0 P y un bse ortonorml {u, v} en P. Si α : I R 3 es un curv pln con α(i) P, entonces α(t) = p 0 + λ(t) u + µ(t) v, pr cierts funciones λ, µ : I R que son diferencibles, pues λ(t) = α(t) p 0, u y µ(t) = α(t) p 0, v. Así, α determin un curv diferencible α : I R 2 dd por α(t) := (λ(t), µ(t)). Recíprocmente, si α : I R 2 es un curv en R 2 dd por α(t) := (λ(t), µ(t)), l plicción α : I R 3 definid por α(t) := p 0 + λ(t) u + µ(t) v es un curv en R 3 con α(i) P. De lo nterior se sigue que tod curv pln puede identificrse con plicción diferencible α : I R 2. El concepto ddo de curv es tn generl que todví no se just nuestro objetivo de representr mtemáticmente figurs suves unidimensionles. Vemos lgunos ejemplos que reflejn cierts ptologís que debemos corregir. Ejemplo 1.3. 1. (Curvs constntes). Si p 0 R 3 y definimos α : R R 3 como α(t) := p 0 pr cd t R, obtenemos un curv con α(r) = {p 0 }. 2. (Curvs que no son suves). Aunque un curv es un plicción diferencible α : I R 3, su trz α(i) puede presentr puntos en los que l curv no es suve, es decir, no hy un rect fín que proxime bien l curv. Consideremos l curv α : R R 2 dd por α(t) := (t 3, t 2 ). Se prueb enseguid que α(r) = {(x, y) R 2 / y = x 2/3 }, que es l gráfic de l función f : R R definid por f(x) := x 2/3. Nótese que f (0) = y f +(0) = +, lo que implic l inexistenci de rect fín tngente en el punto α(0) = (0, 0), ver Figur 1. Nótese tmbién que α (0) = (0, 0). Figur 1. Un curv diferencible cuy trz no es suve. Estos problems se resuelven con l noción de curv regulr. Definición 1.4. Un curv α : I R 3 es regulr si su vector tngente cumple α (t) 0 pr cd t I. En tl cso, l rect fín tngente α en t es l rect fín de R 3 dd por: α(t) + L(α (t)) = {α(t) + λ α (t) / λ R}. Nótese que est rect proxim l trz de α pr puntos α(t + h) con h próximo 0, pues: [ ( lím α(t + h) α(t) + h α (t) )] [ ] α(t + h) α(t) = lím h α (t) = 0, h 0 h 0 h

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO 3 grcis l definición del vector tngente α (t). Not 1.5. 1. Si pensmos en ls curvs como conjuntos de puntos C R 3 entonces trbjremos con quells que son trzs de curvs regulres. Esto grntiz l existenci de rects fines tngentes, cuy evolución sobre l curv nos yudrá estudir como l curv se dobl. Además, culquier prmetrizción regulr de C será un herrmient nlític útil pr relizr este estudio (clculo de rects fines tngentes y normles, curvturs,...,etc). 2. Puede ocurrir que un conjunto de puntos C R 3 se l vez l trz de dos curvs, siendo un de ells regulr y l otr no. Por ejemplo, l prábol pln C := {(x, y) R 2 / y = x 2 } puede prmetrizrse por medio de ls curvs α, β : R R 2 con α(t) := (t, t 2 ) (regulr) y β(t) := (t 3, t 6 ) (no regulr). Esto signific que β no es un prmetrizción decud de C (no se puede empler β pr clculr l rect fín tngente en el origen). Físicmente estmos recorriendo C de dos mners distints: en un de ells l velocidd nunc se nul y en l otr sí. Cundo estudiemos el concepto de reprmetrizción veremos cómo evitr este problem. Ejemplo 1.6. 1. (Rects fines). Ddo un punto p R 3 y un vector v R 3 con v 0, l rect fín p + L(v) se puede prmetrizr medinte l curv α : R R 3 dd por α(t) := p + tv. Nótese que α es regulr, pues α (t) = v pr cd t R. Diremos que α es l prmetrizción fín de l rect p + L(v). 2. (Circunferencis). Ddo un punto p 0 R 2 y un número R 0, l curv pln α : R R 2 definid por α(t) := p 0 + R (cos t, sen t) es regulr y su trz es l circunferenci S 1 (p 0, R ). Nótese que α recorre S 1 (p 0, R ) en sentido ntihorrio. 3. (Grfos diferencibles plnos). Si I R es un intervlo bierto y ϕ C (I), el grfo de ϕ es el conjunto G(ϕ) := {(x, y) R 2 / y = ϕ(x)}. Es obvio que G(ϕ) = α(i), donde α : I R 2 se define como α(t) := (t, ϕ(t)), pr cd t I. L curv α es regulr y su rect fín tngente en t 0 tiene como ecución crtesin y ϕ(t 0 ) = ϕ (t 0 ) (x t 0 ). Nótese que en l definición de G(ϕ) estmos emplendo ϕ pr originr un grfo y = ϕ(x). De form nálog podrímos generr un grfo x = ϕ(y), que estrí prmetrizdo por l curv regulr β : I R 2 dd por β(t) := (ϕ(t), t) pr cd t I. 4. (Hélices circulres de eje verticl). Sen (x 0, y 0 ) R 2 y R, Q R {0}. Definimos un curv α : R R 3 por α(t) := (x 0 +R cos t, y 0 +R sen t, Q t). Es inmedito que α es regulr, pues l tercer coordend de α (t) nunc se nul. L trz α(r) se llm hélice circulr de eje verticl. L proyección ortogonl de α sobre el plno horizontl z = 0 prmetriz l circunferenci de centro (x 0, y 0, 0) y rdio R. L tercer coordend de α es linel, y l distnci entre dos puntos consecutivos de α(r) que están sobre l mism rect verticl es el número 2π Q, que se llm pso de l hélice. Así pues, R control l nchur horizontl de l hélice, mientrs que Q control l nchur verticl. Además, el signo de Q determin el sentido verticl en el que se recorre l hélice. En generl llmremos hélice circulr culquier subconjunto de R 3 que resulte de plicr un movimiento rígido un hélice circulr de eje verticl. Ejercicio 1. Probr que ls hélices circulres de eje verticl no son curvs plns. Demostrr tmbién que tods ls rects fines tngentes formn un ángulo constnte con l dirección verticl (0, 0, 1) (es por ello que el eje z se llm eje de l hélice). A diferenci de lo que ocurrirá cundo estudiemos superficies, ls trzs de nuestrs curvs regulres pueden tener utointersecciones, lo que desde el punto de vist físico signific que un objeto ocup l moverse l mism posición en dos momentos diferentes. Ejemplo 1.7 (Curv que se cort sí mism). L curv pln α : R R 2 dd por α(t) := (t 3 4t, t 2 4) es regulr. Es fácil probr que α no es inyectiv: de hecho, α(t 1 ) = α(t 2 ) si y sólo si t 1, t 2 { 2, 2}. El punto de utointersección es (0, 0), en el que l trz tiene dos

4 CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Figur 2. Un hélice circulr de eje verticl. rects fines tngentes socids los instntes t = ±2. Cd un de ests rects proxim bien loclmente l trz pr instntes cercnos l t correspondiente. Figur 3. Un curv regulr que se cort sí mism. Dd un curv α : I R 3 es evidente que α(i) crecerá de utointersecciones si y sólo si α es inyectiv. Aunque esto implic que α : I α(i) es biyectiv, no es cierto en generl que α : I α(i) se un homeomorfismo (es decir, que α : I R 3 se un embebimiento). En el siguiente ejercicio dmos un ejemplo. Ejercicio 2 (Folium de Descrtes). Definimos l curv pln α : ( 1, + ) R 2 dd por: ( 3t α(t) := 1 + t 3, 3t 2 ) 1 + t 3. Demostrr que α es inyectiv pero no es un embebimiento. Figur 4. Un curv inyectiv que no es embebid. Ejercicio 3. Probr que ls curvs 1, 3 y 4 del Ejemplo 1.6 son embebids. En el cso de 2, probr que l restricción de α los intervlos ( π, π) y (0, 2π) es embebid. Cuáles son ls trzs de ests restricciones?

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO 5 2. Reprmetrizción de curvs Sbemos que dos curvs distints pueden tener l mism trz. Nos plntemos hor bjo qué condiciones dos curvs α : I R 3 y β : J R 3 cumplen que α(i) = β(j). Es sencillo comprobr que, si esto se cumple, entonces existe un plicción φ : J I tl que β = α φ, es decir, β(s) = α(φ(s)) pr cd s J. A priori l función φ no tiene por qué ser diferencible (por ejemplo, si α(i) = β(j) = {p 0 } bst tomr como φ culquier función). En cso de ser φ diferencible tenemos que β (s) = φ (s) α (φ(s)) por l regl de l cden. De est relción vemos que, unque α fuese regulr, podrí ocurrir que β no lo fuese si φ se nul en lgún instnte s J. Esto explic el fenómeno que observmos en l Not 1.5. Pr poder deducir que β es regulr si lo es α necesitmos imponer que φ (s) 0 pr cd s J, lo que equivle que φ : J φ(j) se un difeomorfismo entre intervlos de R. Definición 2.1. Se α : I R 3 un curv. Llmmos reprmetrizción de α cd curv β = α φ, donde φ : J I es un difeomorfismo entre intervlos de R que llmremos cmbio de prámetros. Diremos que l reprmetrizción es creciente o positiv (resp decreciente o negtiv) si φ (s) > 0 (resp. φ (s) < 0), pr cd s J. En ests condiciones se sigue que β es regulr si y sólo si α es regulr. Además, se cumple que β(j) = α(i). De l definición nterior concluimos que l reprmetrizr un curv estmos recorriendo l mism tryectori de un modo distinto (nótese l influenci del cmbio de prámetros en l expresión de l velocidd) pero conservndo el crácter nulo o no de l velocidd. Así pues, en l Not 1.5 tenemos dos curvs α y β con l mism trz de modo que β no es un reprmetrizción de α. En este tem nos interesrá estudir cntiddes geométrics locles de ls curvs que no cmbien (slvo quizás un signo) por reprmetrizciones. Ejemplo 2.2. Se α : R R 3 dd por α(t) := p + tv y φ : R R el difeomorfismo φ(s) = 2s. Entonces β := α φ es un reprmetrizción positiv de α. Se tiene que β(s) = p + (2s)v, pr cd s R. Nótese que α (t) = v pr cd t R, mientrs que β (s) = 2v pr cd s R. Ejemplo 2.3 (Cmbio de sentido). Se α : (, b) R 3 un curv. Definimos su cmbio de sentido α : ( b, ) R 3 por α (s) := α( s). Es obvio que α = α φ, donde φ : (, b) ( b, ) es el difeomorfismo decreciente φ(s) := s. En prticulr, α es un reprmetrizción decreciente de α, por lo que α (( b, )) = α((, b)). El efecto que est reprmetrizción tiene es el de recorrer l mism tryectori en sentido contrrio. Nótese demás que α (s) = α ( s), por lo que el módulo de l velocidd se conserv. 3. Longitud de un rco de curv En est sección estudiremos un primer invrinte geométrico pr curvs. Se α : I R 3 un curv y [, b] I. Queremos medir el rco de l trz de α comprendido entre α() y α(b), es decir, nos preocup clculr l longitud de α([, b]). Pr ello seguiremos un proceso similr l que conduce l noción de áre encerrd por el grfo de un función continu. Geométricmente, prece clro que si considermos poligonles que se poyn sobre puntos de α([, b]) entonces l longitud de ests poligonles es un proximción de l longitud de α([, b]) que será más precis cuntos más puntos teng l poligonl. Sen p, q R 3. Se llm segmento determindo por p y q l conjunto: [p, q] := {(1 t) p + t q / t [0, 1]} = {p + t (q p) / t [0, 1]}. Si p = q entonces [p, q] = {p}. Si p q, los puntos de [p, q] son los de l rect fín p + L( pq) comprendidos entre p y q. Es nturl definir l longitud del segmento [p, q] como el número L([p, q]) := d(p, q) = q p.

6 CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Se α : [, b] R 3 un curv continu y P un prtición de [, b], es decir, un fmili finit { = t 0 < t 1 <... < t n = b}. Los puntos α(t k ) con k = 0,..., n determinn un poligonl [α(t k), α(t k+1 )], que se poy en l trz de α, y cuy longitud está dd por: L(α, P ) := L ( [α(t k ), α(t k+1 )] ) = α(t k+1 ) α(t k ). Nótese que L(α, P ) es un proximción, en generl muy inexct, de l longitud de α([, b]). Obvimente L(α, P ) 0. Además, de l desiguldd tringulr se sigue que si P 1 y P 2 son dos prticiones de [, b] con P 1 P 2, entonces L(α, P 1 ) L(α, P 2 ). Prece intuitivo que cuántos más puntos teng P, más cercno l vlor desedo estrá L(α, P ). Todo esto motiv l siguiente: Definición 3.1. Si α : [, b] R 3 es continu, definimos l longitud de α en [, b] como: L b (α) := sup{l(α, P ) / P es un prtición de [, b]}. Es obvio que L b (α) 0. Tomndo P = {, b} se deduce que L b (α) L(α, P ) = α(b) α(), lo que muestr que los segmentos de rect tienen longitud mínim entre tods ls curvs continus con los mismos extremos. El siguiente ejercicio reflej que l longitud de un rco de curv continu puede ser infinit. Ejercicio 4. Se α : R R 2 l plicción definid por: { (t, t cos(π/t)), t 0, α(t) = (0, 0), t = 0. Demostrr que α es un curv continu y que L 1 0(α) = +. El siguiente resultdo muestr que ls curvs con regulridd C 1 tienen longitud finit en intervlos compctos. Además, podemos clculr ls longitudes medinte integrción. Lem 3.2. Si α : I R 3 es un curv diferencible (bst con que se C 1 ) y [, b] I, entonces L b (α) < + y se cumple que: (3.1) L b (α) = α (t) dt. Demostrción. Vemos primero que L b (α) α (t) dt < +. Como α es C 1 y [, b] es compcto, entonces l función α (t) está cotd en [, b]. Así, l integrl de l derech en (3.1) es finit. Por otro ldo, dd culquier prtición P = {t 0 < t 1 <... < t n } de [, b], se tiene que: tk+1 L(α, P ) = α(t k+1 ) α(t k ) = α (t) dt tk+1 α (t) dt = α (t) dt, t k t k donde hemos usdo l regl de Brrow y propieddes básics de integrción. Como l cot obtenid es independiente de l prtición deducimos que L b (α) α (t) dt < +. Nos qued probr que, de hecho, se d l iguldd. Por definición de L b (α) es suficiente con ver que, ddo ε > 0, existe un prtición P de [, b] tl que α (t) dt L(α, P ) < ε. Relizremos lgunos cálculos previos que nos fcilitrán l prueb. Pongmos α(t) := (x(t), y(t), z(t)). Se P = {t 0 < t 1 <... < t n } culquier prtición de [, b]. Como α : I R 3 es C 1 podemos plicr el teorem del vlor medio ls funciones x, y, z : [t k, t k+1 ] R. Así, pr cd k = 0,..., n 1, existirán c k, d k, e k [t k, t k+1 ] tles que: x(t k+1 ) x(t k ) = x (c k ) (t k+1 t k ), y(t k+1 ) y(t k ) = y (d k ) (t k+1 t k ), z(t k+1 ) z(t k ) = z (e k ) (t k+1 t k ).

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO 7 En consecuenci, tenemos: α(t k+1 ) α(t k ) 2 = ( x(t k+1 ) x(t k ) ) 2 + ( y(tk+1 ) y(t k ) ) 2 + ( z(tk+1 ) z(t k ) ) 2 = ( x (c k ) 2 + y (d k ) 2 + z (e k ) 2) (t k+1 t k ) 2. Definimos l función f : I 3 R como f(t 1, t 2, t 3 ) := x (t 1 ) 2 + y (t 2 ) 2 + z (t 3 ) 2, donde I 3 = I I I. Nótese que f(t, t, t) = α (t). L ecución de rrib se expres como: pr cd k = 0,..., n 1 y, por tnto: α(t k+1 ) α(t k ) 2 = f(c k, d k, e k ) 2 (t k+1 t k ) 2, (3.2) L(α, P ) = f(c k, d k, e k ) (t k+1 t k ). Por otro ldo, como l función α (t) es continu en [t k, t k+1 ], el teorem de l medi pr integrles nos segur que existe u k [t k, t k+1 ] tl que t k+1 t k α (t) dt = α (u k ) (t k+1 t k ), pr cd k = 0,..., n 1. Como consecuenci: (3.3) α (t) dt = tk+1 α (t) dt = α (u k ) (t k+1 t k ) t k = f(u k, u k, u k ) (t k+1 t k ). A prtir de ls ecuciones (3.3) y (3.2), se tiene que: (3.4) α ( (t) dt L(α, P ) = f(uk, u k, u k ) f(c k, d k, e k ) ) (t k+1 t k ). Fijemos ε > 0. Nótese que f : I 3 R es continu y, por tnto, f : [, b] 3 R es uniformemente continu por ser [, b] compcto. Así, existe δ > 0, tl que si (t 1, t 2, t 3 ), (s 1, s 2, s 3 ) [, b] 3 y t i s i < δ pr cd i = 1, 2, 3, entonces f(t 1, t 2, t 3 ) f(s 1, s 2, s 3 ) < ε/(b ). Ahor elegimos culquier prtición P = {t 0 < t 1 <... < t n } de [, b] tl que t k+1 t k < δ, pr cd k = 0,..., n 1. Nótese que (c k, d k, e k ), (u k, u k, u k ) [, b] 3 con c k u k < δ, d k u k < δ y e k u k < δ, por lo que f(c k, d k, e k ) f(u k, u k, u k ) < ε/(b ), pr cd k = 0,..., n 1. Sustituyendo est informción en (3.4) llegmos : α (t) dt L(α, P ) f(uk, u k, u k ) f(c k, d k, e k ) (tk+1 t k ) < ε, lo que concluye l demostrción. Ejemplo 3.3. 1. Ddos p R 3 y v R 3 con v 0, definimos α : R R 3 por α(t) := p + tv pr cd t R. Nótese que, ddos, b R con b, se tiene que α([, b]) = [α(), α(b)]. Como cbrí esperr se cumple que: L b (α) = α (t) dt = v (b ) = α(b) α() = L ( [α(), α(b)] ). 2. Sen p 0 R 2 y R 0. Definimos α : R R 2 como α(t) := p 0 + R (cos t, sen t). Sbemos que α(r) = S 1 (p 0, R ). Nótese que en [0, 2π] l curv α d un vuelt complet S 1 (p 0, R ) comenzndo en p 0 + R (1, 0). Así, l longitud de S 1 (p 0, R ) se puede clculr como: L 2π 0 (α) = 2π 0 α (t) dt = 2π 0 R = 2π R.

8 CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Observemos que en [0, 4π] l curv α d dos vuelts complets S 1 (p 0, R ). Es por ello que L 4π 0 (α) = 4π R. Esto muestr que dos curvs pueden tener l mism trz y diferente longitud. 3. Se I un intervlo bierto de R y ϕ C (I). Definimos α : I R 2 como α(t) := (t, ϕ(t)), que prmetriz el grfo G(ϕ). Entonces, ddo [, b] I, se tiene que: L b (α) = α (t) dt = que es l expresión conocid pr l longitud de un grfo. 1 + ϕ (t) 2 dt, 4. Ddos x 0, y 0 R y R, Q R {0}, l hélice α(t) := (x 0 + R cos t, y 0 + R sen t, Q t) cumple: L b (α) = α (t) dt = R 2 + Q 2 (b ). Aunque el segundo ejemplo muestr que l longitud de un curv no depende exclusivmente de su trz, se trt de un concepto geométrico en el sentido de que no cmbi por reprmetrizciones ni por movimientos rígidos del espcio euclídeo. Lem 3.4. Se α : I R 3 un curv y [, b] I. (i) Si φ : R 3 R 3 es un movimiento rígido y definimos β := φ α, entonces L b (β) = L b (α). (ii) Si φ : J I es un difeomorfismo entre intervlos biertos de R y definimos β := α φ, entonces L d c(β) = L b (α), donde [c, d] = φ 1 ([, b]). Demostrción. Probemos (i). Si φ(p) = φ(p) + b = A p + b con A O(3) y b R 3, entonces β(t) = A α(t) + b pr cd t I. De este modo β (t) = A α (t) = φ(α (t)), de donde: L b (β) = β (t) dt = φ(α (t)) dt = α (t) dt = L b (α), donde en l tercer iguldd se h usdo que φ es un isometrí linel de R 3. Probemos (ii). Nótese que β (s) = φ (s) α (φ(s)). Por tnto: L d c(β) = d c β (s) ds = d c β (φ(s)) φ (s) ds = α (t) dt, donde en l últim iguldd hemos empledo el teorem de cmbio de vrible. Not 3.5. Y hemos observdo que l longitud de un curv no sólo depende de su trz, pues dos curvs pueden tener l mism trz y distint longitud. Podemos dr un explicción físic de este fenómeno. Imginemos que queremos movernos de A B siguiendo un tryectori fijd de 1km. Si durnte el tryecto prmos y dmos mrch trás, luego volveremos recorrer hci delnte prte del cmino, y l llegr B hbremos recorrido más de 1km. Esto no ocurre si nunc volvemos trás, independientemente de lo rápid o lentmente que nos movmos hci delnte. Esto es el reflejo físico de que l longitud es invrinte por reprmetrizciones: como el cmbio de prámetros es un difeomorfismo, l reprmetrizr un curv recorremos l mism tryectori de form distint pero sin volver un prte del cmino y recorrid. A continución, y con crácter complementrio, probremos que los segmentos de R 3 son ls únics curvs de menor longitud entre tods quells con los mismos extremos. Necesitremos un lem previo. Lem 3.6. Se ϕ : [, b] R un función continu. Entonces: ϕ(t) dt ϕ(t) dt,

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO 9 y, si se d l iguldd, entonces ϕ(t) 0 pr cd t [, b] o ϕ(t) 0 pr cd t [, b]. Demostrción. Se cumple que ϕ(t) ϕ(t) ϕ(t) pr cd t [, b]. Por l monotoní de l integrl, deducimos que: ϕ(t) dt ϕ(t) dt ϕ(t) dt, lo que nos d l desiguldd buscd. Además, si se d l iguldd, entonces: lo que implic que: ϕ(t) dt = ± ϕ(t) dt, ( ϕ(t) ϕ(t)) dt = 0. Como ϕ es continu y el integrndo es siempre no negtivo se lleg que ϕ(t) ϕ(t) = 0 pr cd t [, b], es decir, ϕ(t) = ±ϕ(t) pr cd t [, b]. En el primer cso ϕ(t) 0 pr cd t [, b]. En el segundo ϕ(t) 0 pr cd t [, b]. Proposición 3.7. Sen p, q R 3 con p q, y α : I R 3 un curv con α() = p y α(b) = q pr ciertos, b I. Entonces: (i) L([p, q]) L b (α). (ii) Si L b (α) = L([p, q]), entonces α([, b]) = [p, q]. (iii) Si α es regulr, entonces L b (α) = [p, q] si y sólo si α es un reprmetrizción de l prmetrizción fín del segmento [p, q]. Demostrción. Se u := (q p)/ q p, que es un vector unitrio de R 3. Por l desiguldd de Cuchy-Schwrz se tiene que: (3.5) α (t), u α (t), y se d l iguldd si y sólo si α (t) = λ(t) u, pr cierto λ(t) R. Utilizndo (3.5), el lem previo, y el teorem fundmentl del cálculo, llegmos : L b (α) = α (t) dt α (t), u dt α (t), u dt b = α(t), u dt = q p = L([p, q]). Esto prueb (i). Además, si se d l iguldd, entonces se d l iguldd en l primer desiguldd de rrib, lo que implic que: ( α (t) α (t), u ) dt = 0. Por continuidd, se produce l iguldd en (3.5) pr cd t [, b]. Así, existe λ : [, b] R tl que α (t) = λ(t) u pr cd t [, b]. Tomndo producto esclr por u se sigue que: λ(t) = α (t), u, por lo que λ es un función diferencible. Por otro ldo, tmbién se tiene que dr l iguldd en l segund de ls desigulddes de l cden de rrib, es decir: λ(t) dt = λ(t) dt.

10 CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES El lem previo implic que λ(t) 0 pr cd t [, b] o λ(t) 0 pr cd t [, b]. Por último, el teorem fundmentl del cálculo nos dice que: t t ( t ) α(t) = α() + α (s) ds = p + λ(s) u ds = p + λ(s) ds u, pr cd t [, b]. Si definimos ξ : [, b] R como: ξ(t) := t λ(s) ds, entonces ξ es un función diferencible en [, b] que demás es monóton, y que ξ (t) = λ(t) pr cd t [, b]. Así ξ([, b]) es el intervlo cerrdo y cotdo de extremos ξ() y ξ(b). Como α() = p y α(b) = q entonces ξ() = 0 y ξ(b) = q p, u = p q. Se deduce por tnto que α([, b]) = {p + hu / h [0, p q ]} = [p, q]. Esto prueb (ii). Supongmos finlmente que α es regulr y L b (α) = L([p, q]). Como α (t) 0 pr cd t [, b] entonces λ(t) 0 pr cd t [, b]. Así ξ : [, b] [0, p q ] es un difeomorfismo y, clrmente, α = β ξ, siendo β : [0, p q ] R 3 l prmetrizción fín de [p, q]. 4. Curvs prmetrizds por el rco En Geometrí Diferencil es útil disponer de curvs que, demás de ser regulres, cumpln un propiedd de normlizción que será práctic pr probr que ciertos vectores sobre l curv son unitrios o que cierts funciones sobre l curv se nuln. Definición 4.1. Un curv α : I R 3 está prmetrizd por el rco (p.p..) si se cumple α (t) = 1 pr cd t I (velocidd esclr constnte y unitri en cd instnte). Obvimente tod curv p.p.. es regulr. Nótese que si α está p.p.. y [, b] I entonces L b (α) = α (t) dt = b, lo que justific l terminologí empled. Así, el poder prmetrizr por el rco un curv simplific sustncilmente el cálculo de ls longitudes de sus rcos. Es obvio que no tod curv está p.p.. Como est propiedd es físic, result nturl preguntrse si dd culquier curv α : I R 3, existe un difeomorfismo φ : J I entre intervlos biertos de R tl que β := α φ se un curv p.p.. Es decir, nos plntemos si tod curv se puede reprmetrizr por el rco. Vemos un condición necesri que α debe cumplir pr que sí se. Clculndo l velocidd de β(s) = α(φ(s)), tenemos que: (4.1) β (s) = φ (s) α (φ(s)), s J. Si β (s) = 1 pr cd s J entonces α (φ(s)) 0 pr cd s J, es decir, α es regulr. Enseguid veremos que est condición necesri es tmbién suficiente. Desde un punto de vist físico esto es obvio, pues bst justr l velocidd del objeto que se mueve (siempre y cundo ést no se nul) de modo que l tryectori se recorr uniformemente velocidd unitri. Proposición 4.2. Se α : I R 3 un curv regulr. Existe un difeomorfismo creciente φ : J I entre intervlos biertos de R tl que l reprmetrizción β : J R 3 dd por β := α φ es un curv p.p.. Pr motivr l construcción del cmbio de prámetros φ tommos módulos en (4.1) y vemos que φ (s) = α (φ(s)) 1. Teniendo en cuent l regl de derivción de l invers de un función, bst tomr φ := ψ 1, con ψ : I R un función que cumpl ψ (t) = α (t). Vemos l demostrción con detlle.

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO 11 Demostrción. Fijdo I, definimos ψ : I R como: (4.2) ψ(t) := L t (α) := t α (u) du. Como α : I R 3 es diferencible, entonces el integrndo es un función continu. Así, el teorem fundmentl del cálculo nos segur que ψ C 1 (I) con ψ (t) = α (t) pr cd t I. Ahor, como α es regulr, entonces α (t) 0 pr cd t I. Esto implic que ψ : I R es diferencible (C ) por ser el módulo de un función vectoril que no se nul. Además, ψ (t) > 0 pr cd t I, por lo que ψ : I R es estrictmente creciente y, por tnto, inyectiv. Denotemos J := ψ(i). Se tiene entonces que J es un intervlo bierto de R (por continuidd, conexión y monotoní) y que ψ : I J es biyectiv. Además, como ψ (t) 0 pr cd t I, l regl de derivción de l invers del cálculo nos segur que φ := ψ 1 : J I es diferencible. Tenemos entonces que φ : J I es un difeomorfismo. Como (ψ φ)(s) = s pr cd s J, derivndo y plicndo l regl de l cden llegmos ψ (φ(s)) φ (s) = 1 pr cd s J. Despejndo φ (s) tenemos: φ 1 (s) = ψ (φ(s)) = 1 α, s J. (φ(s)) En prticulr, φ : J I es un difeomorfismo creciente pues φ > 0 en J. Por último, si llmmos β := α φ, entonces β es un curv diferencible, y por (4.1) se tiene que: β (s) = α (φ(s)) α, s J. (φ(s)) Así, β (s) = 1 pr cd s J, lo que concluye l demostrción. Not 4.3. L prueb nterior nos proporcion un mner práctic de reprmetrizr por el rco un curv regulr. Debemos hcer dos coss. L primer es clculr l función que prece en (4.2). Est función es un difeomorfismo ψ : I J. En segundo lugr debemos clculr ψ 1 : J I. Entonces llmremos φ := ψ 1 y tendremos que β := α φ está p.p.. Esto sólo se podrá desrrollr eficzmente en ejemplos pr los que semos cpces de clculr ψ (un integrl) y φ (l invers de un función). Ejemplo 4.4. Se p 0 R 2 y R R con R 0. L curv α(t) := p 0 + R (cos t, sen t) cumple α (t) = R ( sen t, cos t), por lo que es regulr. Además, α (t) = R pr cd t I, de donde α será p.p.. si y sólo si R = 1. Cundo R 1 podemos reprmetrizr α por el rco siguiendo l técnic de l proposición previ. Tomndo = 0, se prueb enseguid que ψ(t) := L t 0(α) = R t y que φ : R R viene ddo por φ(s) := s/ R. Concluimos que l curv β : R R 2 dd por β(s) := α(φ(s)) = p 0 + R (cos(s/ R ), sen(s/ R )) es un reprmetrizción por el rco de α. Ejercicio 5. Ddos x 0, y 0 R y R, Q R {0} consideremos l hélice α : R R 3 dd por α(t) := (x 0 + R cos t, y 0 + R sen t, Q t). Demostrr que α es regulr y obtener un reprmetrizción por el rco de α. Nos podemos plnter hor l siguiente cuestión: dd un curv regulr α : I R 3, cuánts reprmetrizciones por el rco de α existen? A priori hy infinits, y que si φ : J I es un difeomorfismo que cumple est función, entonces φ(±s + b) tmbién l cumple. No es difícil probr que ést es de hecho l únic posibilidd: dos reprmetrizciones por el rco de α son igules slvo un eventul cmbio de sentido y un trslción en el prámetro. Un últim observción. En l myorí de los desrrollos teóricos y ejercicios sucesivos sumiremos que α es un curv p.p.. Aunque prezc restrictivo, esto no supone pérdid de generlidd respecto de un curv regulr culquier. Esto se debe l proposición que hemos probdo y l hecho de que nos interesrán siempre propieddes que no dependn de reprmetrizciones.