UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 009- TIPO DURACIÓN MÁXIMA.5 HORAS JUNIO 7 DE 009 NOMBRE. Ua muestra aleatoria del porcetaje de algodó e ua tela utilizada para elaborar camisetas está represetada e la tabla de distribució de frecuecias Clase L if L sup Fr i Fr s x i f i f i * F i F i * 3.5 33.3 3.45 33.35 3.9 4 0.4 4 0.4 33.4 34. 33.35 34.5 33.8 8 0.9 0.343 3 34.3 35. 34.5 35.5 34.7 0.343 4 0.686 4 35. 36.0 35.5 36.05 35.6 6 0.7 30 0.857 5 36. 36.9 36.05 36.95 36.5 0.057 3 0.94 6 37.0 37.8 36.95 37.85 37.4 3 0.086 35.000 35 a) Trazar el histograma de frecuecias relativas. b) Calcular las medidas de tedecia cetral y trazar el polígoo de frecuecias co las medidas obteidas. c) Trazar la ojiva de frecuecias acumuladas relativas. 5 Putos Resolució a) El histograma es Histograma de frecuecias relativas Frecuecia relativa 0.400 0.300 0.00 0.00 0.000 3.9 33.8 34.7 35.6 36.5 37.4 Marcas de clase b) El polígoo de frecuecias y las medidas de tedecia cetral so: La media está defiida por m m * i i i i i = i = x = xf = xf sustituyedo se tiee 8 7. x= xi fi = ( 3.9)( 4) + + ( 37.4)( 3) = = 37.777 35 35 35 i= La mediaa es el valor que divide a la muestra e dos partes iguales, etoces realizado ua iterpolació PyE_ EF_TIPO_009-
4 m = = = 3.333 35.5 34.5 0.9 co la ecuació de ua recta dado u puto y la pediete, se tiee y = 3.333( x 34.5) co ( x, 7.5), sustituyedo: 7.5 = 3.333( x 34.5) 5.5 x = + 34.5 3.333 x = 34.663 La moda es la marca de clase co mayor frecuecia, etoces x mo = 34.7 O bie, se puede obteer como a xmo = Lmoif + cmo a+ b a= fmo fmo b= fmo fmo+ dode f es la frecuecia absoluta que cotiee a la moda. mo c es la logitud de la clase que cotiee a la moda. mo L es el límite iferior de la clase que cotiee a la moda. moif sustituyedo e la expresió aterior, se tiee 4 xmo = 34.5 + ( 0.9) 4+ 6 x = 34.6 mo Froteras La posició de las medidas de tedecia cetral, so xmo < x < x 34.6 < 34.663 < 37.777 Fi 34.5 x 7.5 35.5 4 PyE_ EF_TIPO_009-
Como se observa e la gráfica. Frecuecia relativa 0.4 0.3 0. 0. 0 Polígoo de frecuecias relativas 3.0 3.9 34.6 < 34.663 < 37.777 33.8 34.7 35.6 36.5 37.4 38.3 Marcas de clase c) La ojiva es Ojiva Frecuecia acumulada relativa 0.8 0.6 0.4 0. 0 3.45 33.35 34.5 35.5 36.05 36.95 37.85 Frotera superior. U miorista vede dos tipos de patallas plaas de LCD, la experiecia demuestra que tiee la misma demada. Cuatro clietes etra uo tras otro a la tieda y solicita patallas plaas. a) Describir el espacio muestral del experimeto aleatorio. b) Sea A el eveto que represeta, al meos dos clietes prefiere ua patalla plaa del mismo tipo. Sea B el eveto que represeta, exactamete dos clietes prefiere ua patalla plaa del mismo tipo. Calcular P( AB ) y P ( BA ) 5 Putos Resolució Sea el eveto que represeta a las patallas plaas de LCD del tipo I. Sea el eveto que represeta a las patallas plaas de LCD del tipo II. a) El espacio muestral del experimeto aleatorio es,,,,,, S =,,,,,, b) Los evetos tiee los putos PyE_ EF_TIPO_009-3
,,,,,, A = = S,,,,,, B =,,,,, { } Las probabilidades asociadas so: P( A) = P( S) =, ( ) P( A B) P( B) P( A B) = = = P( B) P( B) P( A B) P( B) 3 P( B A) = = = P( B) = P( A) 8 6 3 6 8 P B = = 3. Supógase que el error e la temperatura de reacció, e grados Celsius, para u experimeto de laboratorio cotrolado, es ua variable aleatoria co fució de desidad x ; < x< fx ( x) = 3 0 ; e otro caso a) Obteer la fució de distribució que muestra el comportamieto acumulado. b) Usar el resultado del iciso (a) para calcular la probabilidad de que el error e la temperatura de reacció sea mayor de 0 [ C] 0 Putos Resolució Sea X la v.a. que represeta el error e la temperatura de reacció, e [ C]. a) La fució de distribució que muestra el comportamieto acumulado dado que es variable cotiua, es x FX ( x) = fx ( t) dt sustituyedo x x 3 3 FX ( x) = t dt = t x ; x 3 3 3 = + < < 9 etoces la fució de distribució que muestra el comportamieto acumulado es 0 ; x 3 FX ( x) = x ; x 9 + < < ; x b) Se pide calcular P( X > 0), etoces F ( x) = P( X < x) = P( X x) X sustituyedo P( X > 0) = FX ( x) = P( X x) 3 8 P( X > 0) = FX ( 0) = 0 9 + = = 9 9 PyE_ EF_TIPO_009-4
4. Se sabe que el tiempo e miutos que ua secretaria habla por teléfoo, es ua variable aleatoria co fució de desidad t 40 f () C e ; t 0 T t = > 0 ; e otro caso a) Calcular el valor de C para que la fució sea de desidad. b) Obteer la variacia del tiempo e miutos que la secretaria habla por teléfoo. c) Calcular la probabilidad de que ua secretaria hable más de 0 miutos por teléfoo. 5 Putos Resolució Sea T la v.a. que represeta el tiempo e miutos que ua secretaria habla por teléfoo. Se tiee que T es ua v.a. co distribució expoecial, esto es T Exp λ = C = 40 a) De lo aterior c = 40 por lo tato, la fució es t e 40 ; t > 0 ft () t = 40 0 ; e otro caso b) El tiempo promedio es la media de la variable aleatoria expoecial, etoces E( T) λ = 40 [ mi] 40 La variacia de la variable aleatoria está dada por ( ) ( ) Var T = = = 40 = 600 mi λ 40 PT> 0, etoces se usa propiedades de la fució expoecial c) Se pide calcular ( ) ( ) ( 0) 40 4 λt PT> 0 = e = e = e 0.779 5. Dos líeas de producció maufactura cierto tipo de artículos deportivos. Supógase que la producció (e cualquier día dado), es de la siguiete forma, sea X la variable aleatoria que represeta el úmero de artículos deportivos producidos e la líea I y, Y la variable aleatoria que represeta el úmero de artículos producidos e la líea II, la distribució de probabilidad cojuta es f XY (x,y) y 0 3 0 0 0.04 0. 0.09 x 0.0 0.4 0. 0.4 0.07 0.06 0.06 0.05 a) Calcular la probabilidad de que e la líea I se produzca más artículos deportivos que e la líea II. Obteer la probabilidad de que se produzca e total tres artículo deportivos. b) Determiar la fució margial del úmero de artículos producidos e la líea I. c) Cuál es la fució de probabilidad codicioal, dado que se produce dos artículos e la líea I. PyE_ EF_TIPO_009-5
d) E promedio cuátos artículos se espera sea producidos e la líea II, si se sabe que e la líea I se produce dos. 0 Putos Resolució a) Se pide calcular P ( X > Y), etoces P( X > Y) = fxy (,0 ) + fxy (,0) + fxy (,) = 0.0 + 0.07 + 0.06 = 0.5 Se pide obteer P ( T = 3 = X + Y), sustituyedo PT ( = 3= X+ Y) = fxy ( 0,3) + fxy (,) + fxy (,) PT ( = 3) = 0.09 + 0.+ 0.06 = 0.36 b) La fució margial para el úmero de artículos producidos por la líea I, está defiida por f X ( x) = fxy ( x, y) y sustituyedo x 0 f x 0.5 0.5 0.4 X ( ) c) La fució codicioal, dado que se produce dos artículos e la líea I, está dada por fxy (, y) ; fx ( X = ) > 0 f ( Y X = ) = f X ( X YX= = ) 0 ; e otro caso sustituyedo fyx Y 0 3 ( Y X ) 0.9 0.50 0.50 0.08 = = d) E promedio cuátos artículos se espera sea producidos e la líea II, si se sabe que e la líea uo se produce dos. Por lo tato se pide el valor esperado, del iciso aterior E Y X = = y f ( Y X = ) ( ) YX= y sustituyedo E( Y X = ) = ( )( 0.50) + ( )( 0.50) + ( 3)( 0.08) =.374 Se espera ua producció de dos artículos deportivos e la líea II, dado que e la líea uo se produce dos. 6. Las calificacioes de u exame de colocació que se aplicó a estudiates de primer año de ua uiversidad al sur del D.F., durate los últimos cico años está distribuidas aproximadamete de forma ormal co ua media de 74 y ua variacia de ocho. Cosidera que la variacia ocho es ua valor válido de la variacia si ua muestra aleatoria de 0 estudiates, quiees realiza tal exame de colocació este año, obtiee u valor de la variacia de S = 0? 5 Putos Resolució Sea X la v.a. que represeta la calificació de u exame de colocació. X Normal μ =74, σ = 8 ( X X ) PyE_ EF_TIPO_009-6
y x y Se pide calcular si es válida la variacia de la muestra, S = 0, etoces P( S > 0 8 σ = ) trasformado e distribució Ji cuadrada, co 9 grados de libertad, usado calculadora ( ) S ( 9)( 0) ( 9)( 0) P > = P Χ (,9) > = P( Χ (,9 ) > 47.5) 0.000303 α α σ 8 8 Usado tabla de la distribució Ji cuadrada, co 9 grados de libertad y abscisa 47.5 P ( Χ ( α,9) > 47.5) < 0.00 Es muy poco probable que la variacia muestral sea de 0, etoces o es válido. 7. Se realizó u estudio para determiar los efectos de o dormir e la capacidad de las persoas para resolver problemas secillos. La catidad variaba de 8,, 6, 0 a 4 horas si dormir. Cico persoas participaro e el estudio. Se dio a cada persoa, después de u periodo específico si dormir, u cojuto de problemas secillos de sumar y se registro el úmero de errores. Se obtuviero los siguietes resultados úmero de 8 0 4 6 errores, y ( ) úmero de horas si dormir, ( x) 8 6 0 4 a) Determiar la recta apropiada de míimos cuadrados para estos datos. b) Trazar el diagrama de dispersió y la recta del iciso (a). 0 Putos Resolució a) El ajuste de los datos a u modelo lieal de regresió por el criterio de míimos cuadrados está dado por ŷ= ˆ β ˆ 0+ βx dode ˆ β = y ˆ β x 0 ˆ SSxy β = SSxx realizado los productos y las sumas, se tiee de dode SS SS xi i= ( 80) xx = x i = = i= 5 xy i i i= x y x y xy 8 8 64 64 64 0 44 00 0 6 4 56 96 4 0 400 44 40 4 6 576 56 384 Suma: 80 60 440 760 03 440 60 xi y i ( 80)( 60 i= i= ) = x y = 03 = 7 5 PyE_ EF_TIPO_009-7
sustituyedo ˆ SSxy 7 β = = = 0.45 SSxx 60 para calcular los promedios, se tiee x= xi = ( 80 ) = 6 i = 5 y y= yi = ( 60 ) = i = 5 sustituyedo ˆ β = 0.45 6 = 4.8 0 ( )( ) por lo tato el modelo lieal de regresió es yˆ = 0.45 x+ 4.8 b) El diagrama de dispersió y la recta del iciso (a) so Diagrama de dispersió Núm. de errores 0 5 0 5 0 y = 0.45x + 4.8 R = 0.8 7 7 Núm. de horas si dormir PyE_ EF_TIPO_009-8