Métodos Numéricos SC 854 Auste a curvas c M Valezuela 007 008 7 de marzo de 008 1 Defiició del problema E el problema de auste a curvas se desea que dada ua tabla de valores i,f i ecotrar ua curva que se auste de la meor maera a los datos La curva está defiida e forma paramétrica, y se debe ecotrar los valores de sus parámetros para hacer que algua medida de error se miimice Auste a u poliomio mediate míimos cuadrados Supoga que se desea austar a u poliomio de la forma P a 1 + a 1 + a + a +1 i1 1 El problema de auste cosiste e ecotrar los coeficietes a i que haga que este poliomio se parezca lo más posible a los datos de acuerdo a algua defició de error Defiimos el error ε del poliomio e el puto como la diferecia etre el valor que toma el poliomio y el valor f,esdecir, ε f P Ahora defiimos el error cuadrático total ξ como al suma de los errores al cuadrado para todos los datos, esto es, ξ ε 3 f P +1 f 4 i1 f a 1 a 1 a 1 a a +1 5 dode N es el úmero de datos Mediate el método de míimos cuadrados se ecuetra los valores de los coeficietes a i que hace que se miimice el valor de ξ Para obteer el valor de los coeficietes a i para producir míimo error, derivamos el error cuadrático total ξ respectoacadacompoetedea e igualamos a cero: a +1 a f i1 f i1 1 0 6 0 7
Auste a curvas Métodos Numéricos SC 854 f i f i 04 100 5 050 43 00 50 55 60 400 N 5 05301 +00803 01981 07153 +1095 00198 3 +03909 1081 +14171 Figura 1: Eemplo de auste a ua recta, parábola, y cúbica a a 1 f i1 f i1 1 0 8 0 9 Multiplicado por 1/ y despeado f se obtiee lo siguiete: i1 i1 i1 1 i1 f 10 f 11 1 f 1 f 13 Ivirtiedo el orde de las sumatorias obteemos que i1 i+1 f 14 c M Valezuela, 007 008 7 de marzo de 008 Págia
Auste a curvas Métodos Numéricos SC 854 i1 i+1 f 15 i1 i1 i+1 1 i+1 1 f 16 f 17 El lado izquierdo de la primera ecuació puede epadirse de la siguiete maera: a 1 + a 1 + + a + a +1 1 18 i1 Las demás ecuacioes se epade de forma similar, y se obtiee lo siguiete: a 1 + a 1 + + a + a +1 N a 1 N + a + + a + a +1 a 1 N + + a N +1 + + a 3 + a +1 f 19 f 0 f 1 a 1 + a 1 + + a N + a +1 f Lo aterior es u sistema de +1 ecuacioes co +1 icógitas que so los coeficietes a i Epresado este sistema de ecuacioes e forma matricial obteemos lo siguiete: 1 N a 1 f a f 1 1 3 a 1 f 1 a +1 f que es lo mismo que N 1 +1 1 +1 1 1 a +1 a a a 1 f f 1 f dode todas las sumatorias so Estaúltima forma es la usual de epresar las ecuacioes que defie el método de míimos cuadrados para auste a u poliomio de orde f 4 c M Valezuela, 007 008 7 de marzo de 008 Págia 3
Auste a curvas Métodos Numéricos SC 854 Para austar a ua recta, es decir, P 1 a 1 + a,elsistemadeecuacioesesel siguiete: N a f a 1 f Para austar a ua parábola, es decir, P 3 a 1 + a + a 3, el sistema de ecuacioes es el siguiete: N a 3 f 3 a 3 f 4 a 1 f 3 Eemplo de auste a u poliomio Se quiere austar los datos de la figura 1 a poliomios de orde 1,, y 3 Para orde 1 se tiee 50 18 a 1005 5 18 859 a 1 4700 de dode se obtiee que por lo tato P 1 05301 +00803 Para orde se tiee a 50 18 859 18 859 436 859 436 300 05301 00803 a 3 a a 1 1005 4700 4801 6 7 de dode se obtiee que a 01981 07153 1095 8 por lo tato P 01981 07153 +1095 Para orde 3 se tiee 50000 18000 859000 4361960 18000 859000 4361960 301968 859000 4361960 301968 14687509 4361960 301968 14687509 688465078 de dode se obtiee que a 00198 03909 1081 14171 por lo tato P 3 00198 3 +03909 1081 +14171 a 4 a 3 a a 1 100500 470000 480150 13496405 9 30 c M Valezuela, 007 008 7 de marzo de 008 Págia 4
Auste a curvas Métodos Numéricos SC 854 4 Auste a fucioes o lieales Es posible austar a otras curvas que o so poliomios coviertiedo el problema e uo de auste a u poliomio Para austar a ua curva de la forma y ae b se toma el logaritmo atural de la ecuació aterior, l y b +la Comparado la epresió de l y co u poliiomio de primer orde, P 1 a 1 + a,y haciedo las sustitucioes P porly, a 1 por b, ya por l a teemos que el sistema de ecuacioes siguiette os da el valor de las costates b y a: N l a b De forma similar, para austar a ua curva de la forma y a b se toma el logaritmo de la epresió aterior l y b l +la l f l f Comparado co la epresió de P 1 a 1 + a, y sustituyedo a 1 por b, a por l a, y por l teemos el sistema de ecuacioes siguiete: N l l a l f l l 3 b l l f que os da los valores de las costates a y b 5 Eemplo: Auste a ua epoecial i 10000 15000 0000 3000 50000 f i 1379 07598 0761 0434 013 Austamos los datos ateriores a ua epoecial de la forma y ae b N l a l f b l f 31 Sustituyedo datos: 5 17 17 449 l a b 7183 111636 de dode l a 05136, y b 04163, es decir, y 16713 ep 04163 c M Valezuela, 007 008 7 de marzo de 008 Págia 5
Auste a curvas Métodos Numéricos SC 854 6 Eemplo de auste a a b i 10000 15000 0000 3000 50000 f i 47511 184011 54736 64999 38494 Auste los datos ateriores a la forma y a b N l l a l l b l f l l f Sustituyedo datos: 5 3871 3871 45881 l a b 158181 16036 de dode l a 1356, y b 3740, es decir, y 37645 3740 c M Valezuela, 007 008 7 de marzo de 008 Págia 6