Univeridad Diego Portale Facultad de Ingeniería Intituto de Ciencia Báica Ecuacione Diferenciale er Semetre 6 Guia de ejercicio: Tranformada de Laplace Ejercicio : Calcule la iguiente tranformada de Laplace. L[t e t.. L[te 9t cot. i t < e 3. L[ft donde ft t i t < π cot i π t < 5π ent i t > 5π. L[en3tUt π 3. Ejercicio : Calcule la iguiente tranformada invera de Laplace. L [e +5 t.. L [ 3 3. L [ln. L [ + 3 t. 3 + t. +k [ 5. L t. +k [ 6. L ++ + 9 arctan t. t. Ejercicio 3: Uando la tranformada de Laplace, reuelva la iguiente ecuacione diferenciale o ecuacione integrale:. y t + y t yt te t, y y.. y +3y +y ft, y y donde ft 3. ty y t, y.. y t cot xyxdx + t, y. 5. y y δt, y, y. 6. y t + δt t cot uyudu { e t i t < i t
Solución: Ejercicio : Calcule la iguiente tranformada de Laplace. Do olucione: o L[t e t L[t + + 3 L[t e t d d L[e t d d + + 3. L[te 9t cot d d L[e9t cot Se tiene: L[e 9t cot L[cot 9 entonce L[te 9t cot d 9 d 8 + 8 3. Se tiene 9 9, 9 + 8+8 + 8 8 8 + 8 ft +e t Ut +cot e t Ut π+ent cotut 5π entonce L[ft L[ + e t Ut + cot e t Ut π + ent cotut 5π L[ + L[e t Ut L[Ut + L[cotUt π L[e t Ut π + L[entUt 5π L[cotUt 5π Se tiene: L[ L[e t Ut L[e t+ Ut e L[e t+ e e L[Ut e
L[cotUt π L[cot + π πut π e π L[cot + π e π L[cot e π + L[e t Ut π L[e t+π π Ut π e π L[e t+π e π e π L[e t e π e π L[entUt 5π [en L t + 5π 5π Ut 5π [ e 5π L en t + 5π [ e 5π L en t + π 5π e L [cot + L[en t 5π e + + L[cotUt 5π [co L t + 5π 5π Ut 5π [ e 5π L co t + 5π [ e 5π L co t + π 5π e L [cot L[en t 5π e + 3
Entonce: L[ft + e e e e π + e π e π 5π e + + + 5π e + + e e e e π + e π e π e 5π +. Ejercicio : L[en3tUt π 3 L[en3t + π 3 π 3 Ut π 3 e π π 3 L[en3t + 3 e π 3 L[en3t + π e π 3 L[en3t e π 3 3 + 9. L [e + 5 t L [ t Ut + 5 co 5t Ut. Calculo de L [ [ 3 + 3 t L 3 + 3 t. Oberve que + 3 7 + 7 Por una implificación en fraccione parciale, e tiene 3 7 + 7 A 7 + donde A + y B 7, entonce: 7 [ [ [ L 3 t L A + 3 t + L 7 Ae + 7t + Be 7t B + 7 B + 7 t
3. Calculo de L [ln 3 + 9 arctan + 3 F ln + + 9 arctan t. Definimo ln + ln 3 ln ln + + 9 arctan y ft L [F t. Bucamo ft. Derivando F tenemo F + 3 + 9 + Entonce L [F t e t + e 3t e t cot 9ent. La igualdad L[tft F da tft L [F t e t + e 3t e t cot 9ent lo que da. Calculo de L [ Definimo tambien ft t et + e 3t e t cot 9ent +k t. Definimo F, F +k. +k f t L [F t cokt y f t L [F t k enkt La relación L[f f t F F [ L + k t f f t k da +k cokt uenkudu Uamo la relación trigonometrica coaenb ena + B ena B, lo que da: cot uenudu k k enkt enkt udu tenkt [cokt uut u k tent k 5
5. De la mima manera que en el ejercicio anterior, e tiene: [ L t cokt u cokudu + k cokt + cokt udu t cokt [enkt uut u k t cokt + k enkt Ejercicio 3:. Se tiene, por linealdad de la Tranformada de Laplace: L[y t + L[y t L[yt L[te t Para calcular L[te t, uamo la formula L[e at ft F a, donde F L[ft, con ft t y a. Como F L[t, e tiene L[te t L[e t ft Notamo Y L[yt. Se tiene: F + + L[y t Y y y Y, L[y t Y y Y De ea igualdade deducimo que + Y + Como + + 6, deducimo que Y + + 6 Para calcular L [Y t debemo uar una implificación en fraccione parciale: + + 6 A + + 6 B + + C + D + 6
Para determinar la contante B podemo multiplicar la igualdad por + lo que da C A + + B + + + 6 + D + 6 Cuando, tenemo: lo que da 3 5 B B 5 Para determinar la contante C podemo multiplicar la igualdad por lo que da + + 6 Cuando, tenemo: A C + + + B + + D + 6 C 7 Para determinar la contante D podemo multiplicar la igualdad por + 6 lo que da + Cuando 6, tenemo: A D + + 6 + + D B + + C Para determinar la contante A podemo multiplicar la igualdad por lo que da Como lim + + + 6 A + + B + + C + D + 6 + + 6, lim + 7 A + + B + + C + D + 6 A+C+D
tenemo e decir: A + B + C A B C 7 + 8 5 Finalemente tenemo yt L [Y t 5 L [ t 5 [ + L + 5 e t 5 te t + 7 et e 6t. Para reolver y + 3y + y ft, uamo la tranformada de Laplace. Se tiene L[y + 3y + y L[ft por linealdad, L[y + 3L[y L[y L[ft Notamo Y L[yt. Se tiene: L[y Y y Y, L[y Y y y Y. Como ft e t e t Ut, e tiene Entonce e tiene por lo tanto F L[e t L[e t Ut L[et+ Ut e L[e t+ e + Y + 3 Y e + e + + 3 e + + t + [ 7 L t 8
Uamo una implificación en fraccione parciale: + A + B + C + Determinamo B multiplicando por y haciendo, lo que da B. Determinamo C multiplicando por + y haciendo, lo 5 que da C. Por fin, para determinar A, multiplicamo la igualdad 5 por, lo que da entonce lim + + A + B + C + A + lim + + B + C + Calculando cada limite, obtenemo que A + C, lo que da A C. Entonce e tiene 5 Y e + 5 + 5 + 5 + Calculando la tranformada de Laplace invera, e tiene [ yt L 5 + 5 + t 5 + [ e L e 5 + 5 + 5 + [ L 5 + 5 + t 5 + [ e L 5 + 5 + 5 + t t Ut La unica tranformada invera de Laplace que no aparece en la lita e 9
L [ t. Uamo el producto de convolución para calcular: [ [ L t L [ L exp expt te t e t u e u du e t du t L [ t Entonce tenemo yt 5 et + 5 tet + 5 e t + e 5 et t 5 et 5 e t Ut 3. ty y t. Uamo la tranformada de Laplace Por linealdad: Se tiene, notando Y L[y: L[ty y L[t L[ty L[y L[t L[ty d d L[y d d Y y y Y Y Entonce e tiene: lo que da L[y Y y Y L[t! 5 5 Y Y Y + 5 Y + 3 Y 7
E una ecuación lineal de primer orden que e ecribe Y +ay b donde a 3, b 7 Entonce Y e ad e 3 d 3 be ad d + C 3 7 e d d + C d + C 3 8 3 + C Por lo tanto 8 6 + C 3 [ 8 yt L + C t 8t5 + C 6 3 5!! t t5 5 + Ct. y t cot xyxdx + t, y. Primero obervamo que cot xyxdx co yt. Uando la tranformada de Laplace e tiene L[y L[co yt + L[t. Notamo Y L[y. Se tiene L[y Y y Y L[co yt L[cotL[y L[t 3 Y + Entonce e tiene Eo implica que Por lo tanto Y + Y + 3 3 + Y 3 Y + 6 + 6
Entonce yt L [ + 6 t t3 3 + t5 5. y y δt, y, y. Uando la tranformada de Laplace e tiene Notamo Y L[y. Se tiene L[y L[y L[δt. L[y Y y y Y. L[δt e. Entonce e tiene: lo que implica Y e Y + + e + e Entonce la olución e Se tiene yt L [ t + L [ [ L t e t Una implificación en fraccione parciale da e t + + entonce [ [ L e t L Entonce la olución e: e L [ e t e t Ut [ t L + e t t Ut L [ + yt e t + e t e t Ut t Ut
6. y t + δt t cot uyudu, y. Oberve que cot uyudu co yt, entonce la ecuación e ecribe y t + δt t co yt Uamo la tranformada de Laplace: L[y t + L[δt t L[co yt Notamo Y L[y. Se tiene L[y t Y y Y. L[δt t e t. L[co yt L[cotL[y Entonce Eo da: entonce Por lo tanto Y + e t Y. + + Y 3 + Y e t Y + e t 3 yt L [Y t [ L + e t t 3 [ L + t t 3 Ut t + t t Ut 3