Notas de Combiatoria Daiel Peazzi El Pricipio de Adició: Si se puede realizar ua acció A de formas distitas, y se puede realizar ua acció B de m formas distitas, y A y B so excluyetes, etoces el úmero de formas de realizar la acció A o B es + m. Ejemplo: Supogamos que ua adolescete tiee 3 pataloes distitos para poerse para ir a ua fiesta, y además, tiee 4 polleras. Etoces, tedrá u total de 3+4=7 formas distitas de cubrirse las pieras e esa fiesta. El Pricipio de Multiplicació: Si ua acció A puede realizarse de formas distitas, y ua accio B de m formas distitas, y A y B so idepedietes, etoces se puede realizar la acció A y B de m formas distitas. Ejemplo: Supogamos que la adolescete del ejemplo aterior ha decidido que irá a la fiesta de pataloes, y quiere ahora elegir ua blusa de etre las 5 que posee. Ella podrá, etoces, vestirse de 3.5=15 formas distitas. Estos pricipios parece fáciles, y lo so, pero ua buea parte de saber cotar cosiste e saber cuado usar uo y cuado el otro, o cuado iguo es aplicable. Obviamete, la geeralizació de los pricipios a más de dos accioes es trivial. Veamos alguos ejemplos más: 1 Supogamos que tiramos dos dados, uo blaco co putos egros, y otro egro co putos blacos, y queremos saber cuátas posibilidades teemos. El dado blaco tiee 6 formas distitas de caer, lo mismo el egro y supoiedo que o hay igú imá oculto o algua otra trampa la caída de u dado o afecta el otro. Por lo tato, teemos accioes idepedietes, y el total de posibilidades es 6.6=36. Ahora bie, supogamos que queremos calcular cuátas formas hay de arrojar los dados de maera tal que la suma de los dos sea 7. Etoces, las accioes NO so idepedietes y o podemos usar el Pricipio de Multiplicació. La forma de resolver este problema es la siguete: Las acioes posibles para el primer dado so que la cara superior idique u 1, u 2, etc. Cada ua de estas accioes determia automáticamete que úmero debe aparecer e el otro dado: si e el blaco aparece u 1, e el egro debo teer u 6 ; si u 2, u 5 ; etc. Por lo tato, hay sólo 6 posibilidades. Similarmete, supogamos que pidiéramos que o hubiera u doble. E este caso, el úmero e el dado blaco o determia absolutamete el úmero del dado egro, pero sí limita sus posibilidades: si sale 1 e el blaco, o puede salir 1 e el egro, por lo tato el dado egro tiee sólo 5 posibilidades e este caso. Así hay sólo 6.5=30 tiradas del dado si dobles. Observar que podríamos haber deducido esto tambié haciedo el siguiete razoamieto: si hubieramos pedido que haya dobles, 1
etoces el dado blaco determiaría el valor del egro si sale u 1 e el blaco, debe salir 1 e el egro, etc, por lo tato hay sólo 6 dobles. Así, hay 36-6=30 o dobles. Muchas veces, u problema combiatorio se resuelve mucho más fácil o icluso, es la úica forma de resolverlo pesado, como e este caso, e el complemeto, y sustrayedo el úmero obteido del total. 2 Veamos u ejemplo dode usamos los dos pricipios: Supogamos que u estudiate puede formar parte de 3 equipos distitos de volley, de 4 equipos distitos de hadball y de 5 equipos distitos de basquet, pero que o le es permitido formar parte de más de dos equipos. Cuátas posibilidades tiee? Aquí debemos usar primero el Pricipio de Adició, para dividir el problema e casos excluyetes. E este caso, los casos sería elige volley y hadball, elige volley y basquet y elige basquet y hadball. Luego, resolvemos cada caso usado el Pricipio de Multiplicació, pues el equipo que elija e volley, por ejemplo, o afectará el equipo que elegirá e basquet. Así, e el primer caso, teemos 3.4=12 posibilidades, e el segudo 3.5=15 posibilidades, y e el tercer caso, 4.5=20 posibilidades. Aplicado el Pricipio de Adició, teemos u total de 12+15+20=47 posibilidades. Permutacioes U permutació de los elemetos de u cojuto es simplemete u reordeamieto de ellos. Así, ua permutació de {1, 2, 3} es 123, otra es 312, etc. La preguta es: Cuátas permutacioes de u cojuto de elemetos existe? Esto se puede respoder fácilmete usado el Pricipio de Multiplicació: Como teemos elemetos, teemos etoces lugares o casillas, dode ubicarlos. Para la primera casilla, teemos elemetos posibles que podemos ubicar allí. Para la seguda, como ya ubicamos uo, sólo queda 1 posibilidades. Para la tercera, como ya ubicamos dos elemetos, sólo queda 3 posibilidades, etc. Así, obteemos: Proposició 1 El úmero de permutacioes de u cojuto de elemetos es 1 2... 3,2,1. Se puede demostrar esto tambié utilizado el pricipio de iducció. Al aparecer ta frecuetemete, el úmero 1 2... 3,2,1 se le llama el factorial de y se deota!. Arreglos Los arreglos so parecidos a las permutacioes, pero hay que ordear meos elemetos. U arreglo de u cojuto S de elemetos, tomados de r e r, es u ordeamieto de r elemetos de S. Deotaremos por A, r la catidad de arreglos 2
de u cojuto de elemetos tomados de r e r. El cálculo de A, r es muy parecido al de las permutacioes: Como ahora vamos a ordear sólo r elemetos, teemos sólo r lugares. Como podemos elegir cualquier elemeto de S para el primer lugar, teemos posibilidades. E el segudo, 1, y así sucesivamete hasta que lleamos los r lugares. Por lo tato: Proposició 2 A, r = 1... r + 1. Pruebas Combiatorias y No Combiatorias Cuado uo quiere ver de cuátas formas se puede realizar algo, existe lo que se llama pruebas combiatorias y pruebas o combiatorias. La diferecia a veces es sutil, y otras veces es bie clara. Ua clara prueba o combiatoria de algo, sería usar algua idetidad algebraica o aalítica para llegar a u resultado, mietras que ua prueba combiatoria cosiste e establecer ua biyecció etre lo que uo quiere cotar y algú otro objeto que sea más fácil de cotar. Veamos u ejemplo secillo. Supogamos que deseamos saber el úmero total de subcojutos de u cojuto dado A. Aalicemos ates al problema para casos e que A es pequeño. Supogamos primero que A es el cojuto vacío. El cojuto vacío sólo se tiee a sí mismo como subcojuto, así que el úmero buscado es 1. Bie, supogamos ahora que A tuviese sólo u elemeto, digamos A = {a}. Dado u subcojuto de A, o bie a perteece a él, o o, es decir, los subcojutos posibles so el vacío, y {a}. El úmero que buscamos es e este caso 2. Supogamos ahora que A tiee dos elemetos, i.e., A = {a; b}. Etoces, los subcojutos posibles so: ; {a}; {b}; {a; b}, es decir, el úmero que buscamos es 4. Pareciera ser que si A tiee elemetos, el úmero de subcojutos es 2. Veamos si podemos probar esto: Ua prueba o combiatoria típica sería por iducció: Sabemos que si = 0, 1, 2, uestra proposició es cierta. Supogamos que vale para el úmero atural 1. Sea ahora A u cojuto co elemetos. Escribimos A de la forma A = {a 1 ; a 2 ;... ; a } y cosideramos B = {a 1 ; a 2 ;... ; a 1 }. Como B tiee 1 elemetos, etoces por hipótesis iductiva B tiee 2 1 subcojutos. Deotemos estos subcojutos por C 1 ; C 2 ;... ; C 2 1. Sea ahora D u subcojuto cualquiera de A. Teemos dos posibilidades: o a D, o bie a D. E el segudo caso, resulta que D era e realidad u subcojuto de B, es decir, D es uo de los C i ś. E el primer caso, tomado E = D {a }, resulta que E es ahora u subcojuto de B, digamos igual a C i. Pero etoces D es igual a C i {a }. Así hemos probado que D debe ser algú C i, o algú C i uió {a }. Por lo tato, los subcojutos de A so C 1 ; C 2 ;... ; C 2 1; C 1 {a }; C 2 {a };... C 2 1 {a }. Pero esto dice que A tiee 2 1 + 2 1 = 2 2 1 = 2 subcojutos. Veamos ahora ua prueba combiatoria: Si A = {a 1 ; a 2 ;... ; a } y D A, etoces D queda determiado pos sus elemetos, es decir, sólo debemos decir cuáles a i s está 3
e D y cuáles o. Ahora, para cada a i, sólo teemos dos opcioes: o está o o está. Como la elecció de a i es idepediete de la de a j, por el Pricipio de Multiplicació teemos que hay u total de 2,2....,2 = 2 subcojutos. Así, hemos probado Proposició 3 El úmero de subcojutos de u cojuto de elemetos es 2. Como se puede apreciar, la prueba combiatoria es más corta, más fácil y más secilla de recordar y reproducir que la otra. Aplicació: e ua clase de 20 estudiates, se hará ua salida volutaria e grupo al teatro Sa Martí. Se desea saber cuátos posibles grupos o vacíos puede formarse. Ua forma de resolver este problema es a través de ua combiació de los Pricipios de Adició y Multiplicació. Primero dividimos el problema e casos disjutos: el grupo cosiste de u estudiate, el grupo cosiste de dos estudiates, etc. E el primer caso, teemos 20 posibilidades. E el segudo, teemos 20 posibilidades de escoger u alumo, y luego tedríamos 19 para escoger el segudo, pero deberíamos dividir por dos, puesto que si primero escogemos a Jua y luego a María, es lo mismo que escoger a María y después a Jua. Claramete los casos co más estudiates se complica más, y debemos aalizar 20 casos distitos. Si usamos e cambio lo aterior, observamos que sólo queremos saber cuátos subcojutos o vacíos hay e u cojuto de 20 elemetos. La respuesta es, etoces, 2 20 1 = 1,048,755 posibilidades!! El ejemplo aterior muestra que a veces podemos o querer calcular el úmero total de subcojutos, sio el úmero total de subcojutos de u determiado tamaño. Por ejemplo, si se hubiera requerido que el grupo de estudiates que va al teatro deba teer 12 estudiates. Defiició: Deotaremos por el úmero de subcojutos de tamaño de u cojuto de tamaño. Obteemos fácilmete: Proposició 4 =0 = 2 Prueba: Puesto que cada es igual a la catidad de subcojutos de elemetos de u cojuto de elemetos, y como estamos sumado e, resulta que la suma de la izquierda es igual a la catidad total de subcojutos de u cojuto de elemetos, lo cual hemos visto e la Proposició 3, es igual a 2. Podemos describir explícitamete estos úmeros: 4
Proposició 5 = A, =!.!!! Prueba: A, es igual a la catidad de arreglos de {1, 2,..., } tomados de e. Estos arreglos puede obteerse escogiedo primero los elemetos que vamos a ordear esto se hace e formas y luego ordeádolos e! formas. Por lo tato, A, =!, co lo cual obteemos la primera igualdad. La seguda se obtiee de la secilla observació A, =!, que se obtiee directamete de la! Proposició 2. Esta fórmula es la que se obtiee geeralmete al pricipio, y co la cual se prueba la mayoría de las propiedades de los úmeros, mediate pruebas algebraicas. Es absolutamete ecesario coocerla, para poder bridar u úmero cocreto a la solució de u problema, pero e este curso, si embargo, obtedremos las propiedades directamete de la defiició, mediate pruebas combiatorias e lugar de algebraicas. Esto permite recordarlas mejor, además de ver el porqué detrás de ua fórmula, que e ua prueba algebraica se pierde. La primera propiedad que veremos es la de simetría: Proposició 6 = Prueba: deota el úmero de subcojutos de elemetos de u cojuto de elemetos. Sea A u tal subcojuto. Etoces, el complemeto de A debe teer elemetos. Así, cada subcojuto de elemetos determia u úico subcojuto de elemetos, y por lo tato =. La siguiete propiedad es u famoso teorema: Proposició 7 Teorema del Biomio x + y = =0 x y. Prueba: Ua prueba ormal de este teorema sería por iducció, luego de haber deducido más propiedades de, y luego de u tedioso procedimieto algebraico. E cambio, si pesamos a x + y como el producto x + yx + y... x + y, y lo desarrollamos, veremos que obteemos ua suma de elemetos de la forma x y r. Observemos que como e el producto x + yx + y... x + y teemos factores, y de cada uo sale a lo sumo u x o a lo sumo u y pero o ambos, pero además, al meos u x o u y, teemos que la suma de los expoetes de x e y e cada producto x y r debe ser, es decir, r =. Lo úico que queda por verificar es cuátos factores de la forma x y teemos? podría, por ejemplo, obteer los x s de los primeros factores, o bie de los últimos, o bie del primero y de los últimos 1, etc.. Si umeramos los factores x+y e el producto x+yx+y... x+y, digamos, factor 1, factor 2, etc, veremos que lo que teemos que decidir es de cuáles factores obteemos los x s? ua vez decidido esto, los y s se debe obteer de los otros 5
factores. Etoces, decidir cuátos sumados de la forma x y hay es lo mismo que decidir de cuátas formas podemos escoger factores x + y de los cuales sacaremos los x s. Pero, teemos factores, de los cuales debemos elegir, por lo tato, el úmero de formas de hacerlo es. E ua prueba más tradicioal del teorema, la siguiete propiedad es ormalmete usada y por lo tato, probada ates del teorema del biomio. Es además, la propiedad fudametal para costruir los umeros, e el famoso Triágulo de Pascal e hoor a Blaise Pascal 1623-1662 quie realizó diversas ivestigacioes acerca de él e 1653. De hecho, Tartaglia ya lo coocía mucho ates que Pascal. Más aú, descoocido para los europeos, los chios ya lo coocía, y de hecho e Chia el triágulo se llama el triágulo de Yag Hui, quie lo descubrió e 1261. Dicho triágulo se costruye colocado u 1 y debajo de él otros dos 1 s. Cada ueva líea comieza y termia co 1 s, pero los elemetos e el iterior de la líea se forma sumado los dos elemetos e la líea superior a él que so adyacetes: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1.................. Para probar que los úmeros que se obtiee de esta forma so los úmeros biomiales, debemos probar la siguiete: Proposició 8 +1 = + 1 Prueba: Tomemos u subcojuto A de elemetos del cojuto {1, 2,...,, +1}. Teemos dos posibilidades: si + 1 A, etoces A es realmete u subcojuto de elemetos de {1, 2,..., }. Si + 1 A, etoces A { + 1} es u subcojuto de 1 elemetos de {1, 2,..., }. Viceversa, si teemos u cojuto de elemetos de {1, 2,..., }, lo podemos mirar como u subcojuto de elemetos de {1, 2,...,, + 1}, mietras que si teemos u subcojuto de 1 elemetos de {1, 2,..., }, agregádole el + 1, teemos u subcojuto de elemetos de {1, 2,...,, + 1} El teorema del biomio permite deducir alguas idetidades biomiales e forma o combiatoria, p.ej., la Proposició 4 se puede probar tomado x = y = 1 obteiedo: 2 = 1 + 1 = 1 1 = Otra fórmula que se puede obteer a partir del biomio, para quiees cooce derivadas, es tomar y = 1, obteiedo x + 1 = x, y derivar respecto de x, 6
obteiedo 1 + x 1 = x 1. Tomado ahora x = 1, teemos 2 1 =. Veamos cómo probar esto usado argumetos combiatorios: Proposició 9 = 2 1. Prueba: La suma de la derecha, usado los Pricipios de Adició y Multiplicació, es igual a la catidad de formas distitas de escoger u subcojuto de u cojuto de elemetos y luego marcar uo de ellos. Para cocretar, podríamos decir que teemos u cojutos de persoas, de las cuales hay que escoger ua comisió, de tamaño o especificado, y luego elegir u presidete de esa comisió. Ahora bie, esto tambié se puede hacer eligiedo primero al presidete etre todas las persoas, y luego eligiedo al resto de la comisió de etre las 1 persoas que queda, e 2 1 formas posibles, de acuerdo co la Proposició 3. La siguiete idetidad es muy famosa y o puede faltar e u curso de combiatoria: Proposició 10 Idetidad de Va der Mode m r = +m r Prueba: Ua prueba o combiatoria puede lograrse comparado los coeficietes de x r que se obtiee al desarrollar ambos miembros de la igualdad 1+x 1+x m = 1 + x +m. Ua prueba combiatoria, más corta, es como sigue: +m r es igual al úmero de subcojutos de r elemetos del cojuto {1, 2,..., + m}. Pero, u tal subcojuto tedrá ua catidad, digamos, de elemetos del cojuto {1, 2,..., }, y el resto, r, estará e {+1, +2,..., +m}. Así, para formar tal subcojuto, debemos elegir u, y luego elemetos de {1, 2,..., } e formas, y luego r elemetos de { + 1, + 2,..., + m} e m r formas. Por los Pricipios de Adició y Multiplicació, hay m r formas de hacer esto. La siguiete idetidad os dice lo que pasa si sumamos a lo largo de ua diagoal del Triágulo de Pascal: Proposició 11 Idetidad de Chu Shih-Chieh =r r = +1 r+1 Prueba: El úmero +1 r+1 es igual a la catidad de subcojutos de r + 1 elemetos de {1, 2,..., + 1}. Para formar u subcojuto A de r + 1 elemetos, primero, debemos decidir cuál es el mayor úmero que estará e A. Supogamos que j es tal úmero. Observemos que, como A debe teer r + 1 elemetos, j debe ser al meos r + 1. Etoces, como j + 1, j + 2,..., + 1 A, debemos costruir el resto de A co r elemetos tomados del cojuto {1, 2,..., j + 1}. Esto lo podemos hacer e j+1 r formas distitas. Así, teemos que +1 j+1 j=r+1 r = +1 r+1. Tomado = j 1 e la suma, obteemos el resultado. 7
Las sumatorias efectuadas hasta ahora so todas co sigos positivos. Veamos ua alterate: Proposició 12 1 = 0 Prueba: Ua prueba o combiatoria secilla se obtiee evaluado x = 1 + x e x = 1. Ua prueba combiatoria podría ser como sigue: Basta probar que el úmero de subcojutos de {1,..., } co ua catidad impar de elemetos es igual al úmero de subcojutos co ua catidad par de elemetos. Esto es obvio si es impar, puesto que si A tiee ua catidad par de elemetos, etoces el complemeto de A debe teer ua catidad impar de elemetos. Si es par, dividamos todos los subcojutos e dos clases: 1 a los que cotiee a y 2 a los que o. La catidad de subcojutos de la 2 a clase co ua catidad par de elemetos es igual a la catidad e la 2 a clase co ua catidad impar, puesto que ahora éstos so subcojutos de {1,..., 1}. Si A está e la 1 a clase, A {} es subcojuto de {1,..., 1}, así pues, la catidad de subcojutos e la 1 a clase co ua catidad impar de elemetos = la catidad de subcojutos de {1,..., 1} co ua catidad par de elemetos = catidad de subcojutos de {1,..., 1} co ua catidad impar de elemetos = catidad de subcojutos e la 1 a clase co ua catidad par de elemetos. 8