Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks Dynamc modellng of the Mtsubsh Movemaster RV-M1 seral manpulator usng SoldWorks A. Barraza 1, J.C. Rúa 2, J.L. Sosa 3, J. Díaz 4, E. Yme 5, J. Roldán 6 1 Ing. Mec., Unatlántco, Colomba, aljobaca@gmal.com; 2 Ing. Mec., Unatlántco, Colomba, juansel17@hotmal.com; 3 Ing. Mec., Unatlántco, Colomba, jlsosarodrguez@hotmal.com; 4 Dpto. Ing. Mec., Unv. George Mason, EEUU, jdazgon@masonlve.gmu.edu; 5 Ing. Mecatr., UTB, GIMAT, Colomba, eyme@untecnologca.edu.co; 6 Ing. Mec., Unatlántco, DIMER, Colomba, javerroldan@mal.unatlantco.edu.co Recbdo: dc 5, 2015. Aceptado: jun 15, 2016. Versón fnal: jun 15, 2016 RESUMEN Se presenta la aplcacón del prncpo energétco Lagrange-Euler para obtener el modelo matemátco de la dnámca del robot Mtsubsh Movemaster RV-M1. La determnacón de la ubcacón de los centros de masa de cada eslabón y las matrces de nerca se realza a partr de un modelo CAD generado con el software SoldWorks, en el cual se tuvo en cuenta los elementos nternos de cada eslabón con su materal y ubcacón. El modelo matemátco se usa para calcular los torques requerdos en una estratega de control de compensacón por gravedad, y se compara el efecto de las propedades obtendas con SoldWorks en la respuesta del robot con aquella obtenda utlzando parámetros reportados en lteratura exstente. Se lograron resultados satsfactoros en los errores del espaco de la tarea medante este enfoque, no expermental pero detallado, para determnar las propedades dnámcas de un robot usando un software muy común en los programas de Ingenería Mecánca de las unversdades colombanas. Palabras clave: dnámca, Movemaster RV-M1, robótca, SoldWorks. ABSTRACT Ths paper presents how the mathematcal model of the Mtsubsh RV-M1 robot dynamcs s obtaned from the applcaton of the Lagrange-Euler energy prncple. A SoldWorks CAD model of the robot was created, where the nternal elements materal and locaton were consdered for each lnk. Ths detaled CAD model was used n the attanment of the centers of mass and the nerta matrxes of each lnk. The gravty compensaton control law was smulated for the robot, and the mathematcal dynamc model was used to calculate the control torques. The results obtaned for the SoldWorks generated values were compared aganst those usng dynamc propertes n avalable lterature. Satsfactory results were obtaned n the workspace error by usng an approach that s very detaled although non-expermental, supported wth a software that s wdely used n the Mechancal Engneerng Programas of the Colomban unverstes. Keywords: dynamcs, Movemaster RV-M1, robotcs, SoldWorks. 1. INTRODUCCIÓN Debdo a las exgencas de caldad, segurdad y efcenca que se han gestado en los sstemas de produccón actuales, las ndustras han optado por mplementar tecnología para mejorar sus procesos. Uno de los avances tecnológcos ha sdo la ncursón de manpuladores robótcos en tareas repettvas de precsón y gran resgo para el ser humano [1], por lo que la Academa se ha apoyado en modelos que permtan la aplcacón de todos los conceptos que encerra la robótca. Para tal fn, el manpulador Mtsub sh Movemaster RV-M1 ha sdo amplamente usado como modelo para desarrollos teórco-práctcos, como se observa en [2; 3]. Dentro de estos conceptos fundamentales, un modelado dnámco detallado permte una mejor estmacón de las ganancas de las estrategas de control, y consecuentemente una mplementacón más senclla [4]. Son pocas las nvestgacones documentadas acerca del modelado dnámco explícto del manpulador RV- M1. En el año 2010, en [5], se presentó la smulacón del trabajo cooperatvo de dos manpuladores RV-M1. En [5], un modelo CAD fue generado en SoldWorks y Este artículo puede compartrse bajo la lcenca CC BY-ND 4.0 (https://creatvecommons.org/lcenses/by-nd/4.0/) y debe referencarse usando el sguente formato: A. Barraza et al, Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks, UIS Ingeneras, vol. 15, no. 2, pp. 49-62, jul-dc 2016,do:10.18273/revun.v15n2-2016004.
50 exportado al software especalzado [6] para crear un bloque ntegrado a Smulnk de Matlab. En el trabajo [5], se consderó cada elemento del robot como un sóldo, sn tener en cuenta la presenca de componentes nternos como servomotores, cables y bandas, entre otros, los cuales afectan la ubcacón de los centros de masa de los elementos, tal como se lustra en la fgura 1. Fgura 1. Componentes nternos del robot RV-M1. Fuente. Elaboracón propa. Este artículo nca con la descrpcón de la cnemátca del manpulador RV-M1, para luego presentar su modelado dnámco. Se presenta el desarrollo de un modelo dnámco en el cual las propedades de nerca de los elementos se hallaron medante un modelo CAD hecho en SoldWorks, que consdera la ubcacón exacta, geometría y materal de cada elemento nterno de sus eslabones. Esos valores fueron utlzados para almentar los parámetros de una planta en Smulnk de Matlab, de manera que se pudese smular una estratega de control. Se compara el desempeño de un únco controlador para dos modelos dnámcos: uno almentado con los valores hallados en este trabajo y, el otro, con las propedades utlzadas en [5]. Las smulacones presentadas permten la confrontacón teórca de los resultados. La relevanca de este trabajo se fundamenta en que los software especalzados, como [6], en casos como las smulacones de robots, no están comúnmente dsponbles como recurso de base para los programas de Ingenería Mecánca. Mentras que un software como SoldWorks es de amplo uso en tales programas para el desarrollo de dseño de maqunara. Al utlzar este software para el modelado de robots, se está amplando el campo de aplcacón de esta herramenta computaconal sn aumentar el costo de los proyectos relaconados. Como observan [7; 8; 9], un enfoque expermental para la dentfcacón de parámetros requerría de hardware especalzado para la A. Barraza, J.C. Rúa, J.L. Sosa, J. Díaz, E. Yme, J. Roldán dentfcacón de sstemas que permtan, por ejemplo, estmar parámetros adconales como la frccón en juntas o envejecmento del equpo. 2. METODOLOGÍA 2.1 Cnemátca de poscón del manpulador Movemaster RV-M1 Para que un manpulador realce una tarea específca, se debe establecer la poscón y orentacón de la herramenta y el posconamento relatvo de cada eslabón. La metodología a utlzar para establecer los parámetros de referenca entre elementos del robot, es la teoría unfcada de [10], la cual ha sdo mplementada con éxto en la cnemátca de manpuladores serales complejos, como el robot de ses eslabones [11], e nclusve en aplcacones espacales [12; 13]. De acuerdo con [14], los elementos trdmensonales se defnen usando ses parámetros cnemátcos, que se muestran en la fgura 2 y que son explcados a contnuacón. Vector de artculacón S : para juntas de rotacón es un vector untaro que defne la rotacón, sguendo la regla de la mano derecha. Vector del elemento a j: vector untaro perpendcular a ambos vectores S y S j, sentdo -j. Dstanca de artculacón S : dstanca entre los vectores a h y a j, medda a lo largo de S. Dstanca del elemento a j: dstanca entre S y S j, medda a lo largo de a j. Ángulo de artculacón θ : ángulo meddo con la regla de la mano derecha utlzando como base el vector de artculacón S, y barrdo de a h a a j. Ángulo del elemento α j: ángulo meddo medante la regla de la mano derecha utlzando como base en vector del elemento a j, y barrdo de S a S j. Los vectores de artculacón y del elemento, que se muestran en la fgura 2, establecen los sstemas coordenados asocados a cada elemento. El vector del elemento S defne la dreccón del eje z del sstema coordenado, z, asocado al elemento del manpulador. La dreccón del eje x es defnda por el vector a j, y para defnr un sstema coordenado cartesano derecho, la dreccón de eje y se encuentra por medo del producto (S a j )/ S a j. El subíndce F en el sstema coordenado fjo {x F-y F-z F} que aparece en la fgura 2(d) denota el elemento fjo a terra o marco nercal. En la tabla I se muestran los valores de los parámetros cnemátcos tomados de [15] e lustrados en la fgura 3. La poscón y la orentacón relatvas entre dos elementos se expresan medante una matrz de transformacón, de acuerdo con [14; 16]. Una matrz de transformacón, j T, se crea con la composon de la matrz de rotacón entre dos elementos consecutvos e j, j R, y del vector de poscón del orgen del marco de referenca del cuerpo j:
Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks 51 {x j-y j-z j}, vsto en el marco de referenca : {x -y -z }, P 0j, dspuestos como se presenta en la ecuacón 1. jt = [ jr 0 0 0 P0j 1 ] (1) La nomenclatura empleada genera una matrz de transformacón recurrente que relacona dos elementos consecutvos del robot e j, que está dada por la ecuacón 2, tomada de [14], donde c = cos(θ), s = sn(θ), cj = cos(αj), sj = sn(αj). jt = c j s j 0 a j s j c j c j c j s j s j S j s j s j c j s j c j c j S j [ 0 0 0 1 ] La matrz presentada en la ecuacón 2 permte plantear matrcalmente la cnemátca del manpulador para relaconar la poscón F P H, y orentacón de la herramenta respecto al marco de referenca fjo {x F-y F-z F}, que se observa en la fgura 4, por medo del producto matrcal F de la ecuacón 3, donde 1 T es la matrz de transformacón del prmer elemento en el marco de referenca, j T es la matrz de transformacón del elemento j en el elemento, 5 y H T es la matrz de transformacón de la herramenta ubcada en el últmo elemento del robot. (2) TABLA I PARÁMETROS DEL MANIPULADOR MOVEMASTER RV-M1 Dstanca de la artculacón [mm] Dstanca del elemento [mm] -- a 12 = 0 S 2 = 0 a 23 = 250 S 3 = 0 a 34 = 160 S 4 = 0 a 45 = 0 S 5 = 72 a 56 = 0 Ángulo de elemento [ ] α 12 = 90 φ 1 = * α 23 = 0 θ 2 = * α 34 = 0 θ 3 = * α 45 = 90 θ 4 = * -- θ 5 = * *: Varable, hallada en la cnemátca nversa Fuente. Elaboracón propa, datos tomados de [15]. Ángulo de artculacón [ ] H F T = T F 1 2 3 4 1 2 T 3 T 4 T 5 T T H 5 (3) La aplcacón recurrente de la ecuacón 2 para hallar las matrces F 1 T, 1 2 T, 2 3 T, 3 4 4 T, 5 T y 5 H T, al ser reemplazadas en la Ecuacón 3, generan la matrz de transformacón del robot Mtsubsh RV-M1 en el marco fjo, dada en la ecuacón 4. H F T c φ c 2+3+4 c 5 + s φ s 5 s = [ φ c 2+3+4 c 5 c φ s 5 s 2+3+4 c 5 0 c φ c 2+3+4 s 5 + s φ c 5 s φ c 2+3+4 s 5 c φ c 5 s 2+3+4 s 5 0 (4) c φ s 2+3+4 s φ s 2+3+4 c 2+3+4 0 δ 1 δ 2 δ 3 1 ] donde c φ=cos(φ 1), s φ=sn(φ 1), c 2+3+ =cos(θ 2+θ 3+ ), s 2+3+ = sn(θ 2+θ 3+ ), y δ 1 = c φ s 2+3+4 p z + c φ s 2+3+4 S 5 + c φ c 2+3 a 34 + c φ c 2 a 23, (5) donde p z es la dstanca de la herramenta hasta el qunto elemento, p z=102mm. δ 2 = s φ s 2+3+4 p z + s φ s 2+3+4 S 5 + s φ c 2+3 a 34 + s φ c 2 a 23 (6) δ 3 = c 2+3+4 p z c 2+3+4 S 5 + s 2+3 a 34 + s 2 a 23. (7) Fgura 2. Parámetros cnemátcos unfcados para la representacón del RV-M1 (a) dstancas (b) ángulos de junta (c) ángulos de elementos (d) ejes coordenados. Fuente. Elaboracón propa.
52 A. Barraza, J.C. Rúa, J.L. Sosa, J. Díaz, E. Yme, J. Roldán La orentacón de la herramenta es obtenda a partr de los nueve elementos (1,1) a (3,3) de la matrz de rotacón, j R, extraída de la Ecuacón 4, para expresar los ángulos del navegante conocdos como Roll-Ptch-Yaw (Guñada-Cabeceo-Alabeo) [16], a partr de la ecuacón 11 para el ángulo de guñada α, ecuacón 12 para el ángulo de cabeceo β y ecuacón 13 para el ángulo de alabeo, γ, los cuales son los ángulos que la herramenta ha rotado con respecto a los ejes del marco fjo x, y e z, respectvamente, donde r hk denota la componente de la matrz de rotacón. α = atan ( r 32 r 33 ) (11) Fgura 3. Dmensones prncpales del robot Mtsubsh Movemaster RV-M1. Fuente. Elaboracón propa con datos de [15]. β = asn(r 31 ) (12) γ = atan ( r 21 r 11 ) (13) 2.1.1 Cnemátca nversa de poscón. En la cnemátca nversa se deben hallar los ángulos de poscón de los elementos móvles del robot, conocdos los valores de la poscón y orentacón de la herramenta en el marco fjo. Es decr, se deben hallar los ángulos φ 1, θ 2, θ 3, θ 4 y θ 5, a partr de los elementos de la matrz en el lado derecho de la ecuacón 4. En este trabajo se adoptó del método matrcal expuesto en [17] para el robot RV-M1, el cual puede ser consultado para un detallado proceso de solucón. Medante el método de sucesvas premultplcacones de la ecuacón 3, en [17] se demostraron las expresones para los ángulos φ 1, θ 2, θ 3, θ 4 y θ 5, presentadas en las ecuacones 14 a 18, respectvamente. θ 2 = atan2 ( φ 1 = atan2(r 23, r 13 ) (14) Q, P 2 +Q 2 P P 2 +Q 2) ±cos 1 ( R P 2 +Q 2), (15) Fgura 4. Poscón F PH y orentacón de la herramenta {xh-yhzh} de la herramenta en el marco fjo {xf-yf-zf}. Fuente. Elaboracón propa. 2.1.1 Cnemátca drecta de poscón. La cnemátca drecta, es decr, hallar la poscón y orentacón de la herramenta a partr de los ángulos de junta conocdos y las dstancas de junta y ángulos, se resuelve de la sguente manera. El vector poscón de la herramenta, F P H, es extraído de los elementos (1,4), (2,4) y (3,4) de la matrz del lado derecho de la Ecuacón (4), para las componentes x, y e z, respectvamente, expresado medante la Ecuacón (10). δ 1 P F = [ δ 2 ] (10) δ 3 donde: P = (S 5 + p z )(r 13 c φ + r 23 s φ ) (r 14 c φ + r 24 s φ ), Q = (S 5 + p z )r 33 r 34, R = a 23 + a 34 c 3. θ 3 =, A2 +B 2 a 2 23 a34 2 ) a 34 c 2 2a 23 a 34 atan2 ( r 34+(S 5 +p z )c 2+3+4 a 23 s 2 a 34 s 2 c 3 donde: (16) θ 4 = atan2(s 4, c 4 ), (17) s 4 = c 2+3(r 14 c φ +r 24 s φ )+r 34 s 2+3 a 23 c 3 a 34 S 5 +p z, c 4 = s 2+3(r 14 c φ +r 24 s φ ) r 34 c 2+3 a 23 s 3 S 5 +p z. θ 5 = atan2(r 11 s φ r 21 c φ, r 12 s φ r 22 c φ ). (18)
Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks 53 2.2 Dnámca El modelo dnámco del RV-M1 fue desarrollado usando el método energétco de Euler-Lagrange, sugerdo para manpuladores serales, por cuanto no se requere encontrar las fuerzas de restrccón [16; 18]. El Lagrangano L dado por: n L = 1 q T Mq + m 2 =1 g T P c, (19) donde M es la matrz de masa del manpulador (tamaño 5x5 en este caso), q es el vector de razón de cambo de las coordenadas generalzadas dado por φ 1 θ 2 q = θ 3, (20) θ 4 [ θ 5 ] n es el número de coordenadas generalzadas n=5, m es la masa del elemento, g es el vector gravedad dado por la ecuacón 21 y P C es el vector del centro de masa del elemento, tomado de las poscones (1,4), (2,4) y (3,4) F de la matrz de transformacón T del centro de masa del elemento, desplazado una dstanca b a lo largo de la dreccón del vector del elemento, desde el orgen del marco de referenca local de cada elemento, expresadas en el marco fjo por las ecuacones 22 a 26. 0 g = [ 0 ] m (21) s 9.81 2 c φ s φ 0 b 1 c φ F s 1T = [ φ c φ 0 b 1 s φ ], (22) 0 0 1 0 0 0 0 1 donde c φ = cos(φ 1 ), s φ = sn(φ 1 ). c φ c 2 c φ s 2 sφ c φ c 2 b 2 F s 2T = [ φ c 2 s φ s 2 c φ s φ c 2 b 2 ], (23) s 2 c 2 0 s 2 b 2 0 0 0 1 c φ c 2+3 c φ s 2+3 s φ c φ A 1 F s 3T = [ φ c 2+3 s φ s 2+3 c φ s φ A 1 ], (24) s 2+3 c 2+3 0 A 2 0 0 0 1 donde c 2+3+ = cos(θ 2 + θ 3 + ), s 2+3+ = sn(θ 2 + θ 3 + ), A 1 = c 2 a 23 + c 2+3 b 3, A 2 = s 2 a 23 + b 3 s 2+3. c φ c 2+3+4 c φ s 2+3+4 s φ A 3 F s 4T = [ φ c 2+3+4 s φ s 2+3+4 c φ A 4 ], (25) s 2+3+4 c 2+3+4 0 A 5 0 0 0 1 donde A 3 = c φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 b 4 ), A 4 = s φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 b 4 ), A 5 = s 2 a 23 + s 2+3 a 34 s 2+3+4 b 4. s φ s 5 + A 6 c 5 s φ c 5 A 6 s 5 A 8 A 11 F c 5T = [ φ s 5 + A 7 c 5 c φ c 5 A 7 s 5 A 9 A 12 ], s 2+3+4 c 5 s 2+3+4 s 5 A 10 A 13 0 0 0 1 (26) donde A 6 = c φ c 2+3+4, A 7 = s φ c 2+3+4, A 8 = c φ s 2+3+4, A 9 = s φ s 2+3+4, A 10 = c 2+3+4, A 11 = c φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 (S 5 + b 5 )), A 12 = s φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 (S 5 + b 5 )), A 13 = s 2 a 23 + s 2+3 a 34 c 2+3+4 (S 5 + b 5 ). Para facltar la obtencón de las dervadas de la ecuacón 19, se expande el térmno de la energía cnétca ( 1 2 q T Mq ) como una suma escalar dada en la ecuacón 27. L = ( 1 n n M n 2 =1 j=1 j q q j) + =1 (m g T P c ) (27) Tomando las dervadas de q (q son las componentes del vector de coordenadas generalzadas, q, dado por la ecuacón 28) y q con respecto al tempo, t, del Lagrangano en la ecuacón 27 se obtene la ecuacón 29, donde τ es la fuerza o momento externo actuando sobre el elemento, C es el vector de acople de velocdad de cada elemento dado por la ecuacón 30 con G como el vector gravtaconal dado por la ecuacón 31. q = φ 1 θ 2 θ 3 θ 4 [ θ 5 ] n (28) τ = j=1 M j q j + C + G (29) n n M jk C = [ M j 1 j=1 k=1 q q k 2 q jq k] (30) n G = j=1 (m j g T J vj ) (31) La fla -ésma de los Jacobanos de velocdad del elemento j, J vj, está dada por la respectva columna de las flas 1 a 3 de la matrz Jacobano del centro de masa de cada elemento en el marco fjo, J CM1 a J CM5, generados a
54 partr de las matrces de transformacón presentadas en las ecuacones 22 a 26, generando las ecuacones 32 a 36. J CM1 = J CM2 = J CM3 = s φ b 1 0 0 0 0 c φ b 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0] [ s φ c 2 b 2 c φ s 2 b 2 0 0 0 c φ c 2 b 2 s φ s 2 b 2 0 0 0 0 c 2 b 2 0 0 0 0 s φ 0 0 0 0 c φ 0 0 0 1 0 0 0 0] [ (32) (33) s φ A 14 c φ A 15 A 16 0 0 c φ A 14 s φ A 15 A 17 0 0 0 A 14 A 18 0 0, (34) 0 s φ s φ 0 0 0 c φ c φ 0 0 1 0 0 0 0] donde A 14 = c 2 a 23 + c 2+3 b 3, A 15 = s 2 a 23 + s 2+3 b 3, A 16 = c φ (s 2+3 b 3 ), A 17 = s φ (s 2+3 b 3 ), A 18 = c 2+3 b 3. J CM4 = A 19 A 21 A 24 A 27 0 A 20 A 22 A 25 A 28 0 0 A 23 A 26 A 29 0, (35) 0 s φ s φ s φ 0 0 c φ c φ c φ 0 [ 1 0 0 0 0] donde A 19 = s φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 b 4 ), A 20 = c φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 b 4 ), A 21 = c φ (s 2 a 23 + s 2+3 a 34 c 2+3+4 b 4 ), A 22 = s φ (s 2 a 23 s 2+3 a 34 c 2+3+4 b 4 ), A 23 = c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + c 2+3+4 b 4, A 24 = c φ (s 2+3 a 34 c 2+3+4 b 4 ), A 25 = s φ (s 2+3 a 34 c 2+3+4 b 4 ), A 26 = c 2+3 a 34 + s 2+3+4 b 4, A 27 = c φ c 2+3+4 b 4, A 28 = s φ c 2+3+4 b 4, A 29 = s 2+3+4 b 4. J CM5 = A 20 A 22 A 25 A 28 0 A 21 A 23 A 26 A 29 0 0 A 24 A 27 A 30 0 0 s φ s φ s φ A 31, (36) 0 c φ c φ c φ A 32 1 0 0 0 A 33 ] [ A. Barraza, J.C. Rúa, J.L. Sosa, J. Díaz, E. Yme, J. Roldán donde A 20 = s φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 (b 5 + S 5 )), A 21 = c φ (c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 (b 5 + S 5 )), A 22 = c φ (s 2 a 23 +s 2+3 a 34 s 2+3+4 (b 5 + S 5 )), A 23 = s φ (s 2 a 23 + s 2+3 a 34 c 2+3+4 (b 5 + S 5 )), A 24 = c 2 a 23 + c 2+3 a 34 + s 2+3+4 (b 5 + S 5 ), A 25 = c φ (c 2+3 S 5 s 2+3 a 23 + c 2+3+4 b 5 ), A 26 = s φ (c 2+3 S 5 s 2+3 a 23 + c 2+3+4 b 5 ), A 27 = c 2+3 S 5 + s 2+3 a 34 + c 2+3+4 b 5, A 28 = c φ c 2+3+4 (S 5 + b 5 ), A 29 = s φ c 2+3+4 (S 5 + b 5 ), A 30 = s 2+3+4 (S 5 + b 5 ), A 31 = c φ s 2+3+4, A 32 = s φ s 2+3+4, A 33 = c 2+3+4. Se han obtendo expresones en el lado derecho de la ecuacón 37, donde M es la matrz de nerca, C es el vector de fuerza centrífuga y de Corols, G es el vector de pares gravtaconales. El térmno τ es la fuerza generalzada de momentos y cargas en las juntas. Se ha desprecado la frccón vscosa en las artculacones. Los térmnos q, q y q son vectores que representan la poscón (ver ecuacón 28), velocdad (ver ecuacón 20) y aceleracón (ver ecuacón 38) artcular del robot, respectvamente. τ = M(q)q + C(q, q )q + G(q) (37) φ 1 θ 2 q = θ 3 θ 4 [ θ 5 ] (38) 2.3 Determnacón de los parámetros dnámcos El conocmento de cada térmno en la ecuacón 37 mplca la expansón de la matrz de masa M dada por n M = [ (J T v m J v + 1 =1 J 2 ω T I J ω )], (39) donde J v es el Jacobano de velocdad del centro de masa del elemento, dado por las prmeras tres flas de la matrz Jacobano del elemento, presentado en las ecuacones 32 a 36; J ω es el Jacobano de velocdad angular del elemento -ésmo, tomado de las últmas tres flas de la matrz Jacobano del respectvo elemento, ecuacones 32 a 36; e I es la matrz de nerca del elemento -ésmo en el marco fjo, la cual se relacona con la matrz de nerca del elemento en su propo marco de referenca, a través de la expresón: I = F F T R I R, (40)
Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks 55 donde F R es la matrz de rotacón del elemento -ésmo en el marco fjo, la cual es tomada de los elementos (1,1) al (3,3) de la matrz de transformacón respectva de las ecuacones 22 a 26. Los valores de masa, m, para el modelo dnámco se toman drectamente de la nformacón proporconada por [15]: m 1 = 4.584kg, m 2 = 4.961kg, m 3 = 2.172kg, m 4 = 1.053kg, m 5 = 0.6kg. En lo que respecta a la nerca, un modelamento de cada elemento del robot podría ser un paralelepípedo de masa m como el mostrado en la fgura 5, con matrz de nerca en su marco de referenca dada por la ecuacón 41, donde las dmensones w, h y a son defndas en la fgura 5. I = [ m(w 2 +h 2 ) 12 0 0 0 m(h 2 +a 2 ) 12 0 0 0 m(a 2 +w 2 ) 12 ], (41) Fgura 5. Paralelepípedo y ejes centrodales. Fuente. Elaboracón propa. Fgura 6. Componentes nternos del robot (a) feneral (b) acercamento. Fuente. Elaboracón propa. Sn embargo, puesto que los eslabones del robot son pezas huecas con componentes nternos, tratando de obtener valores más confables de nerca, se generó un modelo CAD en SoldWorks para cada elemento tenendo en cuenta sus componentes: servomotores, bases, poleas y cables entre otros (ver fgura 6), asgnando el materal y masa correspondente a cada elemento. A contnuacón se utlzó la herramenta de SoldWorks Calcular propedades físcas para obtener las propedades de nerca en el marco centrodal de cada elemento. En la fgura 7 se lustran los resultados generados para el antebrazo (elemento 2), por ctar un ejemplo. Las propedades de todos los elementos son mostradas en la tabla II y estos valores son remplazados en la correspondente matrz de nerca del elemento mostrada en la ecuacón 42, donde I j denota el momento de nerca que relacona los ejes e j. I xx I xy I xz I = [ I yx I yy I yz ] (42) I zx I zy I zz TABLA II INERCIA DE LOS ELEMENTOS CON RESPECTO A SUS EJES DE ROTACIÓN GENERADOS CON SOLIDWORKS Inerca Hombro [kg-m 2 ] Ixx=0,08250219 Ixy=-3e-8 Ixz=1,8409e-4 Iyx=-3e-8 Iyy=0,08460189 Iyz=-5,459e-5 Izx=1,8409e-4 Izy=-5,459e-5 Izz=0,01109258 Inerca Antebrazo [kg-m 2 ] Ixx=0,07876122 Ixy=-3,3315e-4 Ixz=-1,69624e-3 Iyx=-3,3315e-4 Iyy=0,07933805 Iyz=-8,7074e-4 Izx=-1,69624e-3 Izy=-8,7074e-4 Izz=0,01213611 Inerca Brazo [kg-m 2 ] Ixx=0,02358052 Ixy=0 Ixz=1,25711e-3 Iyx=0 Iyy=0,2343418 Iyz=0 Izx=1,25711e-3 Izy=0 Izz=3,4191e-3 Inerca Muñeca [kg-m 2 ] Ixx=1,62923e-3 Ixy=0 Ixz=0 Iyx=0 Iyy=1,53621e-3 Iyz=0 Izx=0 Izy=0 Izz=8,9634e-4 Inerca Mano (Grp) [kg-m 2 ] Ixx=0,101940 Ixy=-8,9e-7 Ixz=0 Iyx=-8,9e-7 Iyy=1,13936e-3 Iyz=0 Izx=0 Izy=0 Izz=3,3047e-4 Fuente. Elaboracón propa. 3. RESULTADOS El manpulador RV-M1 pertenece al grupo de robots ndustrales tpo vertcal que se desplazan lbremente en su espaco de trabajo realzando movmentos sn nteractuar con el medo [15], deal para tareas cnemátcas como pntado, corte y soldadura [1]. Para este tpo de robots el control de poscón pura es adecuado [1], es decr, donde se requere que cada artculacón nce su
56 A. Barraza, J.C. Rúa, J.L. Sosa, J. Díaz, E. Yme, J. Roldán Fgura 7. Valores de nerca arrojados por SoldWorks para el antebrazo, elemento 2. Fuente. Elaboracón propa movmento en una poscón ncal de hommng para alcanzar exactamente una poscón fnal deseada. La ley de control escogda para smulacón de compensacón por gravedad es adecuada en este caso. Consderacones como que los actuadores del manpulador son deales y no modfcan el modelo dnámco han probado su efectvdad en la mplementacón de la ley de control [19] al combnarlo con ajuste tpo tunnng de las ganancas. Con esta consderacón de actuadores deales y asumendo que los eslabones son rígdos y sn frccón en sus unones, la dnámca del manpulador seral RV-M1 se puede modelar como la ecuacón 37. La fgura 8 lustra el esquema de la ley de control. El cálculo del par τ en la ecuacón 43 requere de una funcón vectoral no lneal en q y q, cuya representacón establece la ley de control [1] medante τ = K P e(t)+k D e (t)+g, (44) en donde se han ntroducdo las ganancas proporconal K P, y dervatva K D, ambas de tamaño 5x5 en este caso, las cuales tratan de llevar a cero los errores de poscón e, y de velocdad ė, defndos por las ecuacones 45 y 46, respectvamente. Las matrces de ganancas K P y K D son matrces smétrcas defndas postvas.
Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks 57 e(t) = q R (t) q(t) (45) e (t) = q R(t) q (t) (46) 15 (a), 15 (b) y 15 (c), respectvamente. Se apreca que, excepto para el error en la coordenada x, el error de poscón obtendo con el desarrollo presentado en este trabajo es menor al obtendo con los parámetros de [5]. Fgura 8. Estratega de control por compensacón por gravedad. Fuente. Elaboracón propa. Para lustrar la metodología propuesta, se ncluye una smulacón de la estratega de control de poscón de compensacón por gravedad, en la cual la herramenta del robot camba de una poscón ncal mostrada en la fgura 9 (a) a una poscón fnal mostrada en la fgura 9 (b). Los ángulos de poscón para cada junta se presentan en la fgura 10, para un tempo de smulacón de 1 segundo. Se dseñó un modelo en Smulnk para el control por compensacón por gravedad con el controlador mostrado en la fgura 11. La planta se smula creando un subsstema con el bloque Subsystem de Smulnk, especfcando los elementos del manpulador, las entradas de torque y salda de poscón y velocdad. Las propedades de nerca asgnadas a cada elemento fueron tomadas de la tabla II. Con los valores de las ganancas proporconal y dervatva establecdos en K P = dag([18, 56, 20, 40, 6])27 y K D = dag([2, 8, 5, 2, 1])8, respectvamente para un únco controlador, se comparan las saldas para cada modelo dnámco: uno con los parámetros dnámcos hallados en este trabajo, y el otro con los usados por [5]. Tales parámetros dnámcos son las ubcacones de los centros de masa, las masas de los eslabones utlzados y los elementos de las matrces de nerca. Las fguras 12 y 13 presentan los errores en los espacos artcular y de la tarea, respectvamente. Los errores en el espaco artcular son mostrados en la fgura 12 para los ángulos de poscón θ 2 para el hombro (a), θ 3 para el brazo (b), y θ 4 para el antebrazo (c). Se observa que en los tres casos el error de poscón angular es menor en la smulacón correspondente al modelo dnámco propuesto en este trabajo, denotado como Proposed model. Contnuando con el espaco de la tarea, la fgura 13 presenta los errores de poscón de la herramenta para las coordenadas x, y e z, en las fguras Fgura 9. Poscones (a) ncal y (b) fnal para la smulacón. Fuente. Elaboracón propa.
58 A. Barraza, J.C. Rúa, J.L. Sosa, J. Díaz, E. Yme, J. Roldán Fgura 10. Ángulos de poscón para la smulacón. Fuente. Elaboracón propa Fgura 11. Bloque en Smulnk del controlador de compensacón por gravedad. Fuente. Elaboracón propa.
Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks 59 Fgura 12. Comparacón del error en el espaco artcular para los elementos (a) segundo u hombro (b) tercero o codo (c) cuarto o muñeca. Fuente. Elaboracón propa.
60 A. Barraza, J.C. Rúa, J.L. Sosa, J. Díaz, E. Yme, J. Roldán Fgura 13. Comparacón del error de poscón en el espaco de la tarea para los ejes (a) x (b) y (c). Fuente. Elaboracón propa.
Modelado dnámco del manpulador seral Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks 61 Dado que úncamente el error para la coordenada x en el espaco de la tarea es menor con los parámetros de [5], los resultados en general se consderan satsfactoros. La explcacón para los errores más pequeños obtendos con este modelo, ben se puede atrbur al nvel de elaboracón del modelo CAD de cada eslabón móvl, ncluyendo sus elementos nternos 4. CONCLUSIONES Se presentó la determnacón de los parámetros dnámcos del robot Mtsubsh Movemaster RV-M1 usando SoldWorks con un modelo CAD que tuvo en cuenta los elementos nternos consttutvos de cada elemento del robot. Un modelo matemátco de la dnámca del robot fue desarrollado con base en el prncpo energétco Lagrange-Euler y usado para estmar el torque requerdo en la accón de control. La planta del robot fue smulada con el toolbox Smulnk, tambén almentada con los valores de ubcacón de los centros de masa, masas, y matrces de nercas obtendas. Se smuló la ley de control proporconal-dervatva de compensacón por gravedad, al pasar el robot de una poscón ncal a una fnal. La smulacón permtó la comparacón del desempeño del robot con otros parámetros prevamente reportados. En general, se puede colegr que tanto en el espaco artcular como en el de la tarea los errores son menores al utlzar los parámetros encontrados en este trabajo, producto de un modelo CAD de alto nvel de elaboracón y detalle. El mérto de este trabajo radca en que se utlzó un software no especalzado en dnámca de maqunara, se utlzó SoldWorks el cual es un software de Dseño de Maqunara, muy común en las Facultades de Ingenería. Como trabajo futuro nmedato se propone la smulacón de otras estrategas de control dnámco PID que permtan una comparacón más ampla de resultados y llegar a generalzar la mportanca de los parámetros encontrados. 5. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a la Vcerrectoría de Investgacones, Extensón y Proyeccón Socal de la Unversdad del Atlántco por los recursos empleados en la elaboracón de este proyecto. 6. REFERENCIAS [1] R. Kelly y V. Santbañez, Control de Movmento de Robots Manpuladores, 1ª ed. Madrd, España: Prentce Hall, 2003. [2] R. Kumar, P. Kalra y N. Prakash, A vrtual RV-M1 robot system, J. of Rob. and Comp.-Integ. Manuf., vol. 27, pp. 994-100, jun. 2011. DOI: http://dx. do.org/10.1016/j.rcm.2011.05.003 [3] C. Hamlton, Usng MATLAB to advance the robotcs laboratory, J. of Comp. Appl. n Eng. Edu., vol. 15, no. 3, pp. 205-213, Sep. 2007. DOI: 10.1002/cae.20143 [4] J. Crag, Introducton to Robotcs: Mechancs and Control, 2 nd ed. New York, USA: Addson-Wesley- Longman, 1989. [5] M. Bonlla, V. Parra y F. Ruz, Co-Smulaton of Cooperatve Robots Based on ADAMS, MATLAB and a Haptc Interface, en Congreso Anual de la AMCA, (Puerto Vallarta, Jalsco, Méxco), 2010. [En línea]. Dsponble en: https://goo.gl/5cdxrq [6] MSC Software Corp., CA, EEUU. Adams. The Multbody Dynamcs Smulaton Soluton. [En línea]. Dsponble en: http://www.mscsoftware.com /product/adams [7] M. Díaz et al, Identfcacón de parámetros dnámcos de robot paralelos a partr de la medcón del par y la poscón en los actuadores, Rev. Téc. Ing. Unv. Zula, vol. 32, no. 2, pp. 119-125, ago. 2009. [En línea]. Dsponble en: http://www.scelo.org.ve/pdf/rtfuz/v32n2/art04.pdf [8] C. Wang, X. Yu y M. Tomzuka, Fast Modelng and Identfcaton of Robot Dynamcs Usng the Lasso, ASME 2013 Dyn. Syst. and Control Conference, (Palo Alto, CA, EEUU), 2013. DOI: 10.1115/DSCC2013-3767 [9] W. Verdonck, J. Swevers y J.C. Samn, Expermental robot dentfcaton: Advantages of combnng nternal and external measurements and of usng perodc exctaton, J. Dyn. Sys., Meas., Control, vol. 123, no. 4, pp. 630-636, feb. 2001. DOI: 10.1115/1.1409936 [10] J. Duffy y J. Rooney, A foundaton for a unfed theory of analyss of spatal mechansms, Journ. of Eng. for Ind., Trans. ASME, vol. 97, no. 4, seres B, pp. 1159-1164, nov. 1975. DOI: 10.1115/1.3438718 [11] J. Duffy y C. Crane, A dsplacement analyss of the general spatal seven lnk, 7R mechansm, Mech. and Mach. Theory. vol. 15, pp. 153-169, dec. 1980. DOI:10.1016/0094-114X(80)90001-4 [12] C. Crane, J. Duffy y T. Carnahan, A knematc analyss of the space staton remote manpulator system, J. of Rob. Syst., vol. 8, no. 5, pp. 637-658, oct. 1991. DOI: 10.1002/rob.4620080505
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