ANALISIS DEL BIENESTAR DE UN CONSUMIDOR

ANALISIS DEL BIENESTAR DE UN CONSUMIDOR EJEMPLOS, APLICACIONES Y NUMEROS INDICES Contacto: Mª Covadonga De la Iglesa Vllasol Departamento de Fundamentos del Análss Económco I Unversdad Complutense de Madrd cv@ccee.ucm.es

INTRODUCCIÓN MEDIDAS DEL ANÁLISIS DEL BIENESTAR: EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR VARIACIÓN EQUIVALENTE VARIACIÓN COMPENSADA NÚMEROS INDICES: INDICES DE CANTIDADES, INDICES DE PRECIOS INDICE DEL COSTE DE LA VIDA

INTRODUCCION INTRODUCCIÓN La fgura central de la teoría de la demanda de los benes es el consumdor. En un mercado compettvo la demanda de un ben se defne como la eleccón óptma para el agente, dadas sus preferencas entre los benes, para unos precos y renta determnados. La relacón de preferenca defnda sobre, sendo = ( 1,,... N ), = 1,..N Relacón completa Relacón smétrca Relacón transtva Relacón contnua Relacón Monótona Relacón estrctamente convea X = R N +, verfca los aomas:

INTRODUCCION U() S M representa la renta del consumdor y es la funcón de utldad que representa sus preferencas, el consumdor raconal elge la combnacón o cesta de benes óptma. A contnuacón, y a modo de resumen se especfcan las relacones entre las funcones asocadas en el problema de eleccón del consumdor:

INTRODUCCION PRIMAL Ma U() sa : p M Mn DUAL p sa : U( ) U RESOLVEMOS DEMANDAS ORDINARIAS MARSHALLIANAS M ( p,m ) DEMANDAS COMPENSADAS HICKSIANAS H ( p,u ) FUNCION INDIRECTA DE UTILIDAD M ( ) V(P,M ) = U (p,m ) FUNCION DE GASTO H G(p,U) = p. (p,u) ECUACION DE ROY V(p,M ) M p ( p,m ) = V(p,M ) M ( ) ( ) M M H (p,m ) = p,g( p,u) = ( p,u) H H M (p,u) p,v(p,m) (p,m) TEOREMA DE HOTELLING ( p,u ) H = G(p,U ) p = =

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR MEDIDAS DEL ANÁLISIS DE BIENESTAR EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Medda muy utlzada del cambo en el nvel de benestar ocasonado por cambos en los precos, prncpalmente en el análss coste-benefco. La medda fue formulada en 185 por el ngenero francés Duput, como una medda del benestar generado por la construccón de un puente, y que srvera de base para defnr el subsdo adecuado. Duput partía de consderar que la mayoría de las personas estarían dspuestas a pagar un preco mayor por la utlzacón del puente que el que realmente termnaban pagando. Marshall retoma el concepto y lo defne como la dferenca entre el mámo gasto que un consumdor está dspuesto a realzar por adqurd el ben y el que realmente efectúa.

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR De esta forma, es una medda apromada de la varacón en el grado de benestar del consumdor, que es eacta cuando las preferencas son paralelas (CUASILINEALES) y el efecto renta sobre el ben cuyo preco varía es nulo, es decr, cuando la demanda marshallana y hcksana para dcho ben concden. A partr de la demanda marshallana de un ben (p,m) = M M [ p = p( )], la curva de demanda en térmnos nversos, refleja la máma dsponbldad a pagar por cada undad adconal consumda de un ben por parte de los consumdores. S la curva de demanda tene una pendente negatva, el preco que los consumdores estarían dspuestos a pagar por cada undad adconal se reduce cuando se ncrementa la cantdad consumda. Sn embargo, como los consumdores pagan un únco preco por todas las undades compradas, obtenen un ecedente que es la suma de las dferencas entre lo que estarían dspuestos a pagar por cada undad y dcho preco.

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Gráfcamente, este ecedente concde con el área stuada entre la funcón de demanda y el preco de venta hasta la cantdad demandada. Así, para un preco p y una cantdad, el ecedente, EC, se calcula como: y gráfcamente: = M EC( p ) p( )d p p dsponbldad a pagar EXCEDENTE BRUTO gasto EC p gasto p () O

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR p ap 1 S el preco varía y pasa de, la varacón en el ecedente del consumdor, VarEC, mde la varacón en el grado de benestar del consumdor: p 1 VarEC = EC(p 1 ) EC(p 1 ) M M M 1 1 = (p )dp = EC = p( )d + (p p ) p j j 1 Gráfcamente: p VarEC p p 1 p () O 1

VARIACION COMPENSADA VARIACION COMPENSADA La varacón compensada (VC) asocada a un cambo en el 1 preco de p se defne como la renta con que habría que ap compensarle al consumdor (darle o qutarle, respectvamente, en el caso de un aumento o una dsmnucón del preco) para obtener el nvel de utldad ncal U a los nuevos precos. Es decr, en el caso de una subda de precos habría que darle una renta gual a la VC para mantener la utldad ncal a pesar del cambo en los precos: 1 1 p 1 G( p,u ) p H VC G( p,u ) G( p,u ) = dp = ( p,u )dp p p p por Hotellng

VARIACION EQUIVALENTE VARIACION EQUIVALENTE La varacón equvalente (VE) asocada a un cambo en el preco 1 de p se defne como la renta con que habría que ap compensarle al consumdor (qutarle o darle, respectvamente, en el caso de un aumento o una dsmnucón del preco) para dejarle con el nvel de utldad fnal U 1 a los precos ncales. Es decr, en el caso de una subda de precos, necestaría un desembolso gual a la VE para encontrase tan satsfecho como antes de la subda de los precos. 1 1 1 p 1 1 1 G( p,u ) p H 1 VE G(p,U ) G(p,U ) = dp = (p,u )dp p p p por Hotellng

Gráfcamente vemos la dferenca entre los dstntos conceptos : p p p 1 H (p,u ) A E H 1 (p,u ) B D es un ben normal M H M d d M d = 1 dp dp dm < < M H d d dp dp > < M dp dp d d H M (p,m ) 1 1 VC = p < AE p 1 p : VE = p BDp < VE > VarEC > 1 VarEC = p AD p > Nótese que la varacón en el nvel de benestar lleva el msmo sgno que la varacón del ecedente del consumdor, y el sgno contraro a la VC y la VE. VC

UTILIDAD PRACTICA El concepto de VE se utlza, a menudo, para medr las alteracones de benestar ocasonadas por las mposcones ndrectas. Por ejemplo, supongamos que se mpone un gravamen de cuantía t por undad consumda del ben, y el preco que paga el consumdor sube hasta p+t. S se le devuelve la recaudacón mpostva, el consumdor estaría mejor o peor que antes de que se establecera la mposcón ndrecta?. S el consumdor estuvera peor sería porque el mpuesto ndrecto mpone un gravamen superor a la cuantía del mpuesto en sí. A este eceso de gravamen (EG) se le llama deadweght loss. Veámoslo

Para solo dos benes,, k, s solo se grava el ben, la restrccón presupuestara nos queda: (p + t) + p = M p + p = M t k k k k, ˆ ˆ S las demandas tras el gravamen son, k, cuando los precos pasan de p 1 =, la pérdda del benestar que ap p + t epermenta el consumdor puede calcularse como: 1 VE G( p,u ˆ ) G( p,u ˆ ) S al consumdor se el devuelve la recaudacón mpostva, la dferenca entre la VE y dcha recaudacón sería una medda del eceso de pérdda de benestar ocasonada por el gravamen, es decr, EG = VE tˆ T ˆ = t

Por tanto: 1 EG = VE tˆ = G( p,u ˆ ) G( p,u ˆ ) tˆ = M G( p,u ˆ ) tˆ M EG= M tˆ G(p,U) ˆ = p (p,u) ˆ p (p,u) ˆ Gráfcamente: X A H 1 H I = 1, I = 1, RB recta ncal RB 1 recta con mpuesto Recta que determna ˆ G( p,u ) Recta que determna p H (p,u) ˆ VE EG ˆ S E RB 1 RB X 1

EJEMPLO DE CALCULO S las preferencas de un consumdor venen representadas por la funcón de utldad Cobb-Douglas, U(, ) = 1 1 1. Hallar la funcón de demanda marshallana y hcksana de ambos benes.. Hallar la funcón ndrecta de utldad y la funcón de gastos. S los precos de los benes y la renta del consumdor son, respectvamente, p 1 =p =1, M=1, y se establece un mpuesto sobre el consumo del ben 1 de,5 undades monetaras, 3. Calcular la gananca o pérdda de benestar producda por la mposcón. 4. S al consumdor se le devuelve la recaudacón del mpuesto, calcular s este un ecedo de gravamen.

RESOLVEMOS: 1) y ) Para calcular el equlbro resolvemos el problema Ma U( 1, ) = 1, 1 s.a. p11 + p = M Al ser regulares las preferencas el consumdor, las condcones de prmer orden de este problema son dy dy p1 = = p = p d d p U p + p = M 1 1 RB 1 1 1 S resolvemos este problema en forma paramétrca, obtendremos las funcones de demanda marshallanas M M M = = p p M 1 1

Y susttuyendo en la funcón de utldad obtenemos la funcón ndrecta de utldad: M M M M M V(p 1,p,M) = 1 = = p p 4p p 1 1 Para hallar las funcones de demanda hcksanas resolvemos el problema dual o ben a partr de la funcón ndrecta de utldad dervamos la funcón de gasto y aplcamos el teorema de Hotellng: S resolvemos el problema dual tenemos: Mn p11 + p, 1 s.a. U( 1, ) = 1

Las condcones de prmer orden de este problema son: dy dy p1 = = p = p d d p U RB U(, ) = 1 1 1 1 1 S resolvemos este problema en forma paramétrca, obtendremos las funcones de demanda hcksanas: 1/ 1/ Up M Up1 = = p1 p H 1, sendo la funcón de gasto: 1/ 1/ Up Up1 G( p 1,p,M ) = p11 + p = p1 + p = ( p1pu ) p1 p H H 1/

Nótese que s de la funcón ndrecta de utldad obtenemos la funcón de gasto y aplcamos el teorema de Hotellng, tendríamos, gualmente, las demandas hcksanas: M G V(p 1,p,M) = = G = (p1pu) 4pp 4pp 1 en equlbro 1 M= G;V= U 1/ G( p 1,p,U ) ( p1p U ) Up 1 = = = p1 p1 p1 1/ G( p 1,p,U ) ( p1p U ) Up1 = = = p p p 3) S los precos de los benes y la renta del consumdor son, respectvamente, p 1 =p =1, M=1, y se establece un mpuesto sobre el consumo del ben 1 de,5 undades monetaras, la pérdda de benestar la podemos calcular a través de la Varacón compensada (VC) o equvalente (VE). 1/ 1/ 1/

Susttuyendo en las funcones de demanda obtendas los valores de renta y precos, tenemos el consumo de equlbro del consumdor, y la utldad obtenda en esta stuacón: 1 1 1 = = 5; = = 5; U ( 5, 5) = 5. 5= 5 1 1. Tras la mposcón ndrecta sobre el ben 1, su preco pasa a ser: p 1 = 1 p1 + t = 1 +, 5 = 1, 5, y el nuevo equlbro será: 1 1 1 1 1 1 = = 4; = = 5; U ( 4, 5) = 4. 5 = 15, 1. Como consecuenca de dcha mposcón ndrecta, el consumdor epermenta una pérdda de benestar, U 1 < U, que medmos a partr de la VC y VE:

1 1/ / VC G(p,U ) G(p,U ) = ( 1, 5. 1. 5) ( 1. 1. 5) = = 111, 8 1 = 11, 8 M = 1 renta que habría que darle al consumdor para que tras el mpuesto pueda segur obtenendo la utldad ncal. 1 1 1 1/ / VE G( p,u ) G( p,u ) = 151 (,.. ) 11 (.. ) = = 1 89, 4 = 1, 6 M = 1 renta que el consumdor estaría dspuesto a entregar para no verse oblgado a pasar a la stuacón fnal

Alternatvamente, tenemos que: 1/ 1 p 1 1, 5 H 1 1 1/ 1/ 1, 5 VE = = = = 1 ( p,u )dp1 dp1 p 1 1, 6 p1 1 1 p1 Nótese que tanto la VC como la VE son postvas, pues muestran la pérdda de benestar. La recaudacón dervada de la mposcón ndrecta es u.m., y el eceso de gravamen, EG, será: t 1 = 54,. = 1 EG = VE t ˆ = 1, 6 1 =, 6 EG = p ( p,u ˆ ) p ( p,u ˆ ) = H 1 H I = 1, I = 1, ( 1/ 1/ ) = ( 1. 4 + 1. 5) 1( ) + 1( ) = 9 89, 4 =, 6

. NUMEROS INDICES NUMEROS INDICES INTRODUCCION S conocemos el consumo de un ndvduo en períodos de tempo dstntos, y queremos analzar la varacón del consumo de un período de tempo a otro, utlzamos números índces. S denotamos con b al perodo de tempo base, y con t a algún otro período de tempo, sendo la senda de consumo observado: período b b perodo b+1 b+1 - - - - perodo t t S las varables observadas son cantdades físcas, la comparacón entre las dstntas cestas de consumo nos determna dcha evolucón, al ser undades comparables. El índce a construr sería: t b 1,

. NUMEROS INDICES El problema surge cuando, y esto es lo normal en el trabajo empírco, la nformacón observada no son cantdades físcas, sno valores, para lo cual se defnen los índces de cantdades y/o precos de Paasche o Laspeyres. INDICES DE CANTIDADES Sean p b, p b+1,, p t los precos de X en cada período de tempo ( b, b+1...t), y por tanto la senda observada es: período b p b b perodo b+1 p b+1 b+1 - - - - perodo t p t t Para comparar los valores o consumos en una undad monetara (, o $, etc), ha de hacerse a los msmos precos, es decr a los del año base o los del año t, para lo cual se defnen los sguentes números índces.

. NUMEROS INDICES INDICE PAASCHE DE CANTIDADES P N t t t t p p = 1 t b N p t b p = 1 = = índce de cantdades, donde la ponderacón son los precos p t INDICE LASPEYRES DE CANTIDADES L N b t b t p p = 1 b b N p b b p = 1 = = índce de cantdades, donde la ponderacón son los precos p b

. NUMEROS INDICES P,L > 1( < 1) En ambos casos, s el índce ndca que el valor del consumo medo entre los perodos aumenta (dsmnuye), pero qué podemos decr de la varacón del nvel de benestar? Veámoslo: De forma smplfcada consderamos dos úncos benes, 1, : S P t t t t p11 + p t t t t t b t b = > 1 p11 + p > p11 + p t b t b p + p 1 1 Aplcando la teoría de la Preferenca revelada, podemos afrmar que t y b son cestas factbles en la stuacón fnal (precos p t ). S elgó la cesta t, pudendo haber elegdo la cesta b, decmos que t > b, es decr la cesta t se revela preferda a la cesta b. El consumdor está mejor en la stuacón fnal: el benestar del consumdor aumentó

. NUMEROS INDICES S P t t t t p11 + p t t t t t b t b = < 1 p11 + p < p11 + p t b t b p + p 1 1 Aplcando la teoría de la Preferenca revelada, podemos afrmar que en la stuacón fnal (precos p t ), cuando el consumdor elgó t, la cesta b no es factble No podemos afrmar nada sobre la evolucón del nvel de benestar del consumdor S b t b t p1 1 + p b t b t b b b b L = > 1 p1 1 + p > p1 1 + p b b b b p + p 1 1 Aplcando la teoría de la Preferenca revelada, solo podemos afrmar que en la stuacón ncal (precos p b ) t no es una cesta factble. No podemos hacer nnguna consderacón sobre la varacón en el nvel de benestar del

. NUMEROS INDICES S b t b t p1 1 + p b t b t b b b b L = < 1 p1 1 + p < p1 1 + p b b b b p + p 1 1 Aplcando la teoría de la Preferenca revelada, podemos afrmar que t y b son cestas factbles en la stuacón ncal (precos p ). S elgó la cesta b, pudendo haber elegdo la cesta t, decmos que b > t, es decr la cesta b se revela preferda a la cesta t. El consumdor está mejor en la stuacón ncal: el benestar del consumdor dsmnuyó

. NUMEROS INDICES INDICES DE PRECIOS Son medas ponderadas de los precos, y se construyen de una forma semejante a los índces de cantdades vstos: INDICE PAASCHE DE PRECIOS P P N t t t t p p = 1 b t N p b t p = 1 = = índce de precos, donde la ponderacón son las cantdades t INDICE LASPEYRES DE PRECIOS L p N t b t b p p = 1 b b N p b b p = 1 = = índce de precos, donde la ponderacón son las cantdades b

. NUMEROS INDICES P,L > 1( < 1) En ambos casos, s el índce, dado que los precos p p en el numerador y denomnador son dstntos, no permten realzar comparacones en térmnos de la teoría de la preferenca revelada n afrmar cual ha sdo la evolucón del nvel de benestar. Para poder decr algo más defnmos el índce de gasto: INDICE DE GASTOS N t t t t p = 1 b b N b b = 1 p M = = p p Cocente entre el gasto fnal e ncal S, de nuevo, consderamos dos úncos benes, 1,, comparamos los índces de Paasche y Laspeyres con el de gasto:

. NUMEROS INDICES t t t t t t t t p 1 1 + p p 1 1 + p b b b b b t b Pp > M > p 1 1 + p > p1 + p p t b t b b b b b + p p + p 1 1 1 1 M b t 1 Aplcando la teoría de la Preferenca revelada, podemos afrmar que t y b son cestas factbles en la stuacón ncal (precos p ). S elgó la cesta b, pudendo haber elegdo la cesta t, decmos que b > t, es decr la cesta b se revela preferda a la cesta t. El índce de Paasche es mayor que el de gasto (renta): El consumdor dsfruta de un mayor nvel de benestar en la stuacón base: el benestar del consumdor dsmnuyó

. NUMEROS INDICES b t b t t t t t p 1 1 + p p 1 1 + p t t t t t b t Lp < M < p 1 1+ p > p1 + p p b b b b b b b b + p p + p 1 1 1 1 t M b 1 Aplcando la teoría de la Preferenca revelada, podemos afrmar que t y b son cestas factbles en la stuacón fnal (precos p t ). S elgó la cesta t, pudendo haber elegdo la cesta b, decmos que t > b, es decr la cesta t se revela preferda a la cesta b. El índce de Laspeyres es menor que el de gasto (renta): El consumdor dsfruta de un mayor nvel de benestar en la stuacón fnal: el benestar del consumdor aumentó En el resto de los casos no podemos afrmar nada sobre la evolucón del benestar.

X MEDIDAS DEL ANALISIS DEL BIENESTAR. NUMEROS INDICES Gráfcamente: L Analzamos una subda de p 1 consderamos p como NUMERARIO y A P RB b recta ncal RB t recta con mpuesto Recta que determna p b Recta que determna p b t t t b RB 1 RB X 1

. NUMEROS INDICES Como sabemos: L t b p OL = = p OA p b b S la renta se ndca según L p, podríamos mejorar el benestar al poder pasar a una curva de ndferenca superor Lp sobreestma el coste de mantener el msmo nvel de benestar P t t p OA = = p OP p b t S la renta se ndca según P p, no le permtría obtener el nvel de utldad ncal Pp subestma el coste de mantener el msmo nvel de benestar al aumentar el preco Como M no camba, = = 1 OA M OA

. NUMEROS INDICES INDICES VERDADEROS DEL COSTE DE LA VIDA S conocemos la funcón de gasto, podemos defnr los índces verdaderos del coste de la vda, es decr, el índce de la varacón compensada y varacón equvalente. Para mantener el nvel de utldad U b nomnal debería varar en: a los precos p t, la renta t b b b G( p,u ) VC IV(U ) = IVC(U ) = = +1 b b b b G(p,U ) G(p,U ) Para consegur el nvel de utldad U t a los precos p b,, la renta nomnal debería varar en: t t t t G( p,u ) VE IV(U ) = IVE(U ) = = +1 b t b t G(p,U ) G(p,U )

. NUMEROS INDICES S Comparamos estos conceptos gráfcamente, tenemos: X L V Analzamos una subda de p 1 y consderamos p como NUMERARIO A RB b recta ncal RB t recta con mpuesto Recta que determna (p b, t ) Recta que determna G(p b,u t ) Recta que determna (p t, b ) P W t b Recta que determna G(p t,u ) RB b t RB X 1