álss de velocdades. TEM: NISIS DE EOCIDDES. - INTRODUCCION. - NISIS GRFICO DE EOCIDDES..- olígoo de velocdades: método de las velocdades elatvas...- plcacó a ógaos deslzates...- Otos casos..- Método de los cetos statáeos de otacó...- Teoema de ohold-keedy o de los tes cetos...- ocalzacó de los c... - NISIS NUMERICO DE EOCIDDES..- Itoduccó...- Mecasmo de tes eslaboes...- Mecasmo bela-mavela..- lateameto geeal..- elocdades de putos del mecasmo...- elocdades de putos de defcó del mecasmo: paes...- elocdades de putos asocados a u eslabó. álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. -INTRODUCCION Hasta ahoa se ha ealzado el estudo del movmeto de los mecasmos, esto es, el cálculo de las dfeetes poscoes que ocupa los eslaboes e el espaco, e fucó del valo de ua vaable (que se ha deomado vaable de etada ó pmaa), así como de la tayectoa que descbe los putos del mecasmo ó putos asocados a sus eslaboes. Este tema se cetaá e la foma e que se ecoe estas tayectoas e fucó del tempo; es dec, se ealzaá el estudo de ua de las caacteístcas del movmeto de los putos de los eslaboes: e deftva, se aalzaá las velocdades de estos putos. aa ello, seá ecesao cooce como vaía co el tempo la vaable pmaa de mecasmo: se debeá cooce la velocdad de etada del eslabó moto del mecasmo. Como e el tema ateo, el estudo de velocdades se efocaá desde dos métodos dfeetes: po ua pate se ealzaá el estudo de velocdades a tavés de métodos gáfcos y po ota se estableceá las bases ecesaas paa pode acomete el estudo co métodos umécos de ga aplcacó e odeadoes. a coveeca de la aplcacó, a u caso coceto, de u método u oto debeá se elegda po el alumo e fucó de ua see de detemates que e cada caso debeá se evaluados; ete otos cabe destaca: - ofuddad equeda e el aálss. - ecsó exgda. - Rapdez ecesaa. - Dspobldad de heametas adecuadas. álss de velocdades. ag-
álss de velocdades..-nisis GRFICO DE EOCIDDES. os métodos gáfcos de cálculo de velocdades está basados e las elacoes geométcas exstetes ete las magtudes mecácas, po lo tato, es mpescdble paa u bue uso de estos métodos el coocmetos pevo de los coceptos cemátcos que ha sdo estudados e el cuso de "Mecáca", s los cuales la aplcacó de métodos gáfcos o tedía gú setdo..-olígoo de velocdades: método de las velocdades elatvas. E la fgua se muesta u eslabó geéco de u mecasmo del cual se cooce la velocdad de uo de sus putos, v, y la deccó de la velocdad de oto de sus putos, el puto. m decc¾ pepedcula a a b olo m Fg-. olígoo de velocdades de u eslabó geéco. Se desea calcula la velocdad del puto, y paa ello se utlzaá el método de las velocdades elatvas, esto es: v v + v demás se apovechaá el hecho de que la velocdad elatva del puto especto del puto, v, es pepedcula a la líea que ue los putos y del eslabó. Teedo esto e cueta, se pocedeá como a cotuacó se dca, obteédose como esultado el polígoo de velocdades mostado e la fgua. álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. a) Se elge u polo, O, que seá el oge de los vectoes de velocdad. b) Se taza a escala el vecto v. c) o el polo se taza ua ecta - segú la deccó de v. d) o el extemo de v se taza ota ecta m-m que sea pepedcula a la ecta. e) El puto de cote de m-m co -, detema el puto b del polígoo de velocdades; el vecto que va de O a b seá v y el que va de b a a seá v. o ota pate, la velocdad agula del eslabó seá: v ω plcado este método a u mecasmo, po ejemplo el de cuato eslaboes epesetado e la fgua, se podá ealza el aálss de velocdades del msmo. E este casó se supodá coocda la velocdad agula del eslabó O, ω. O W W C 4 W 4 O O b c C a C C C Fg-. álss gáfco de velocdades del mecasmo de cuato eslaboes. l coocese la deccó de v, y puesto que la velocdad del puto puede se calculada de medato medate: ω O ω O se actuaá como se ha dcado ateomete, teedo e cueta la elacó: v + E la fgua se muesta el polígoo de velocdades obtedo. álss de velocdades. ag-4
álss de velocdades. S se desea detema la velocdad de u puto cualquea asocado al eslabó (tal como el C e el ejemplo que se está desaollado), puesto que: + + C C C C + + C C C C y al se C pepedcula a C y C pepedcula a C, se tazaá po los extemos de y sedas pepedculaes a C y C espectvamete, y el puto dode tesecte seá el puto c buscado pues cumple co las dos expesoes vectoales ateomete plateadas...-plcacó a ógaos deslzates. Cuado se tata de aalza velocdades e el caso de que e el mecasmo apaezca ógaos deslzates, tales como pefles de uedas detadas, levas y guías móvles, apaece u caso de movmeto compuesto del puto. Su solucó medate la aplcacó de métodos gáfcos se desaollaá a cotuacó. E la fgua se muesta u mecasmo fomado po dos pefles que deslza uo sobe oto ( el eslabó se tomaá como coducto y el como coducdo). Y ω M M X Y' X' Fg-. Ogaos deslzates. álss de velocdades. ag-5
álss de velocdades. S se desea calcula la velocdad de otacó del ógao coducdo, sabedo que la del eslabó es ω, se opeaá de la sguete foma: a) Se detemaá los ejes fjos (udos a la bacada) X Y. b) Se examaá cuál es el sstema de efeeca móvl, y se elegá los ejes X e Y más coveetes e cada caso, asocados a uo de los eslaboes uesto que el movmeto del M puede cosdease como movmeto compuesto del puto: + ( M ) elat( ) ( M ) aas M Esta fómula puede smplfcase de la sguete foma: M M + M / Dode la velocdad del puto M peteecete al eslabó (velocdad de aaste del puto M, s se cosdea el sstema de efeeca móvl asocado al eslabó ) es coocda: ω M M Ua vez calculada esta velocdad se pocedeá tal y como se explcó ateomete pues la deccó de M es coocda (pepedcula a M ) y també la de M / que es la deccó del movmeto elatvo y debe se tagete a los dos pefles e el puto de cotacto (deccó de X e la fgua). E la fgua 4 se muesta el polígoo de velocdades coespodete al mecasmo que acaba de estudase. álss de velocdades. ag-6
álss de velocdades. decco X m M m M O a M M Fg-4. olígoo de velocdades del mecasmo de la fgua. o ota pate paa calcula la velocdad agula del eslabó coducdo, ua vez coocdo M es medato puesto que: ω M M Se deja como ejecco paa el alumo el cálculo de velocdades e el caso de mecasmos co guías móvles como el de la fgua 5, e el cual el eslabó moto es la mavela. M w 4 Fg-5. Mecasmo co guías móvles: mecasmo de tes eslaboes. álss de velocdades. ag-7
álss de velocdades...-otos casos. Exste casos e los que los métodos vstos hasta ahoa o so aplcables. Sempe que se tabaje co métodos gáfcos, se debeá teta busca elacoes geométcas ete las dfeetes magtudes cemátcas que pueda plasmase fáclmete de foma gáfca; así, e el ejemplo de la fgua 6 paa calcula la velocdad del puto se pocedeá como a cotuacó se detalla. uesto que C ω, se obtedá: C ω, peo també la velocdad del puto especto del puto es C ω C } C C ω C w x c W C 4 D c o C c p b CD + C C Fg-6. Cálculo de la velocdad del puto luego el puto se detemaá e la ecta bc del polígoo de velocdades medate la semejaza de tágulos mostada e la fgua..-método de los cetos statáeos de otacó. Se defe ceto statáeo de otacó (o de velocdades) de ua paeja de eslaboes como la ubcacó statáea de u pa de putos cocdetes, cada uo peteecete a uo de los dos eslaboes, paa los que las velocdades absolutas so guales. O de ota foma: paa los que la velocdad apaete de uo de los putos es ceo, tal y como la pecbe u obsevado stuado e el oto eslabó. álss de velocdades. ag-8
álss de velocdades. De foma más gáfca se podía dec que es el puto alededo del cual puede cosdease que uo de los eslaboes ga co especto del oto e u movmeto dado (co depedeca de s el oto eslabó pemaece fjo ó o). uesto que se ha adoptado el coveo de umea los eslaboes de los mecasmos, se desgaá los c... utlzado los úmeos de los eslaboes asocados a él: así el 4 se detfcaá como el ceto statáeo de otacó ete los eslaboes y 4. o ota pate, u mecasmo tedá tatos cetos statáeos de otacó como fomas dfeetes exsta de paea los úmeos de los eslaboes; así paa u mecasmo de eslaboes exstá: N cetos statáeos de otacó. ( )..-Teoema de ohold-keedy o de los tes cetos. Este teoema se utlzaá paa detema la poscó de los c... que o haya sdo detemados po smple speccó, atededo a la defcó de ceto statáeo de otacó. El eucado del teoema es el sguete: os tes cetos statáeos compatdos po tes cuepos ígdos e movmeto elatvo uo co especto del oto (esté ó o coectados), está sobe la msma líea ecta. aa demosta este teoema, se supodá (segú se muesta e la fgua 7) que el eslabó es estacoao y los y pvota sobe el eslabó fjo. o smple speccó y atededo, como se ha cometado ateomete, a la defcó de ceto statáeo de otacó, se localza de foma medata los c... y. álss de velocdades. ag-9
álss de velocdades. Fg-7. Teoema de los tes cetos. S se supoe que el puto es el c..., etoces, po defcó de c... las velocdades absolutas de y debeá se guales, y esta ccustaca sólo podá dase cuado el c... esté sobe la líea que ue y ( ya que sólo cuado esté localzado sobe dcha ecta podá las deccoes de y se cocdetes) co lo que queda demostado el teoema...-ocalzacó de los c... aa pode localza los cetos statáeos de otacó de u mecasmo, se pocedeá como se dca a cotuacó: a) Se calcula el úmeo de c... exstetes e el mecasmo: ( ) N b) Se ealza ua lsta de los cetos y se dbuja u polígoo co tatos vétces como eslaboes. c) o smple speccó, atededo a la defcó de ceto statáeo de otacó, se localza todos los c... posbles. d) Se aplca el teoema de Keedy paa detema la poscó de los estates. cotuacó se muesta ejemplos cometados de localzacó de c... paa dfeetes mecasmos de fecuete utlzacó páctca. álss de velocdades. ag-0
álss de velocdades. Ejemplo : eva co segudo osclate de caa plaa. w Fg-8. C... de u mecasmo de leva co segudo osclate de caa plaa. El c... debe esta sobe la ecta que ue las atculacoes. o ota pate, s cosdeamos fjo el eslabó (móvles y) la velocdad de sobe debeá tee la deccó dcada, po lo tato (po defcó de c..) el c... estaá sobe la pepedculadad a / tazada a pat del puto. Ejemplo : Mecasmo de cuato eslaboes. 4 w C 4 C 4 D 4 4 Fg-9. C... de u mecasmo de cuato eslaboes. Sobe la líea - 4 tee que esta el c... 4, peo també sobe - 4. o msmo ocue co el ceto statáeo de otacó y las ectas - y 4-4 (ó po defcó tee que se pepedcula a la deccó de y a la de C ). álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. Ejemplo : Mecasmo de bela-mavela co ueda y cemallea. 4 4 4 C D 4 4 Rodadua pua Fg-0. C... de u mecasmo de bela-mavela co ueda y cemallea. El c.. estaá sobe y sobe CD, pues so las ectas que ue los cetos statáeos de otacó - po ua pate y 4-4 po la ota. Sguedo el msmo azoameto el 4 se hallaá e el puto de teseccó de las ectas D y C. Ejemplo 4: Mecasmo de tes eslaboes. 4 4 4 C 4 4 Fg-. C... de u mecasmo de tes eslaboes. álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. uesto que el movmeto elatvo del eslabó sobe el es u deslzameto (taslacó) sobe este últmo, el c... estaá e el fto sobe la ecta pepedcula al eslabó. El c... estaá localzado e la teseccó de las ectas que ue los putos 4-4 y - (esta últma ecta seá la pepedcula al eslabó que pase po el puto ). De gual foma se localzaía el ceto statáeo de otacó 4. Ua vez detemados los c... se puede esolve poblemas a tavés de ellos teedo e cueta que j es u puto peteecete a los eslaboes y j, y que e el state cosdeado tee ua velocdad absoluta que es gual paa el puto peteecete tato a u eslabó como a oto. - NISIS NUMERICO DE EOCIDDES..-Itoduccó. Se ealzaá ua toduccó al aálss de velocdades po medo de métodos umécos, medate la ealzacó de ua see de ejemplos cocetos paa, posteomete, geealza...-mecasmo de tes eslaboes. E la fgua se muesta el mecasmo de tes eslaboes sobe el que se ealzó el estudo de poscó e el tema ateo. q R C Fg-. Mecasmo de tes eslaboes. álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. l platea la ecuacó vectoal de bucle ceado, po compoetes, se obtuveo las sguetes expesoes: cos - R cos q - C 0 se - R se q 0 a solucó obteda paa el poblema de poscó fue: se Rseq cos C + R cos q Rseq tg C + R cos q Rseq atg C + R cos q y ua vez calculado el águlo : R q.se se o C + Rcosq cos o lo tato se cooce los valoes de q, C, R, y, así como de &q, y se desea calcula la vaacó co el tempo de las vaables secudaas, esto es & y & : Devado el ateo sstema de ecuacoes especto al tempo, se obtee: & cos & se + R q& seq 0 & se + & cos R q& cosq 0 Sstema leal y homogéeo, e las vaables & y, & que puede expesase de foma matcal como se dca a cotuacó: cos se se & seq Rq& cos & cos q Dode la matz del témo de la zqueda de la ecuacó es la matz jacobaa: cos se se cos [ J ] Calculado la vesa de la matz J: álss de velocdades. ag-4
álss de velocdades. [ J ] [ J ] J adj cos se se cos luego: & & Rq& cos se se seq cos cos q & R R & ( cos seq + se cos q) ( se seq cos cos q) Rse q& R cos ( q) ( q) po lo tato: & q& R se & q& R cos ( q) ( q) & R se q& & R cos q& ( q) ( q) los cocetes & & q& y q& se los deomaá, e adelate, coefcetes de velocdad: K K & q& & q& ( )( q) R se( q) R ( )( q) cos( q) De foma que los coefcetes de velocdad paa ada depede de la velocdad de gua vaable, so que so úcamete fucó de la poscó del mecasmo. aa calcula la vaacó co el tempo de las vaables secudaas ( y e este caso) se multplcaa los coefcetes de velocdades po las velocdades del eslabó de etada ( &q e este caso), obteédose: & K & q & K q& álss de velocdades. ag-5
álss de velocdades...-mecasmo bela-mavela. E el mecasmo mostado e la fgua la vaable de etada es q (poscó agula de la mavela) y su vaacó tempoal &q (velocdad agula de la mavela). q Fg-. Mecasmo bela-mavela. lateado la ecuacó vectoal de bucle ceado se obtee: + + 0 o epesetada po compoetes: f cosq+ cos + cos 0 f seq+ se + se 0 as vaables secudaas seá e este caso y. Devado el sstema de ecuacoes especto del tempo: q& se q & se + & cos 0 q& cos q+ & cos + & se 0 y odeado témos: & se + & cos q & se q & cos + & se q & cos q álss de velocdades. ag-6
álss de velocdades. que foma u sstema leal y homogéeo e las cógtas & matcal quedaá: y &, que expesado e foma se cos cos & se & seq q& cos q sedo la matz del témo de la zqueda la matz jacobaa de f (, ). Su vesa seá: J J J puesto que el detemate de la matz jacobaa es: adj J se se cos cos cos ( ) y puesto que la matz adjuta de J es: [ ] J adj se cos cos se se obtedá la matz vesa: [ J ] se cos cos cos se ( ) uego, las velocdades de las vaables secudaas seá: & & q& se cos ( ) cos se cos q cos seq po lo tato, los coefcetes de velocdades tedá los valoes: & q& K seqse + cos q cos ( ) ( ) & K cos seq cos cos qse q& que opeado: álss de velocdades. ag-7
álss de velocdades. K cos( ) ( + ) ( q ) ( + ) q cos se K cos o lo tato, paa ua velocdad agula coocda del eslabó de etada, las velocdades de las vaables secudaas seá: & K q& & K q&.-lateameto geeal. Hasta ahoa, e los ejemplos estudados e el apatado ateo, paa ealza el cálculo de la velocdad de las vaables secudaas se ha devado, especto al tempo, cada ua de las ecuacoes esultates de platea la ecuacó vectoal de bucle ceado. De foma geeal, co depedeca de los bucles que fome el mecasmo, al platea la ecuacó de bucle ceado paa cada uo de los bucles del msmo, se obtedá ua see de ecuacoes co el msmo úmeo de cógtas que de ecuacoes plateadas. S paa u caso geeal, se supoe que el úmeo de ecuacoes es, esulta: M f f f f ( q,,,, ) ( q,,,, ) ( q,,,, ) 0 0 0 ( q,,,, ) 0 Dode las so vaables secudaas que o tee poque se sempe agulaes, y se supodá que q es la vaable de etada. Devado especto al tempo cada ua de las ateoes (teedo e cueta la egla de la cadea) se obtedá: álss de velocdades. ag-8
álss de velocdades. df dt df dt df dt M M dq d d d + + +... + 0 q dt dt dt dt dq d d d + + +... + 0 q dt dt dt dt dq d d d + + +... + 0 q dt dt dt dt df dq + dt q dt d d d + +... + dt dt dt 0 Expesoes que foma u sstema leal y homogéeo de ecuacoes co cógtas, sempe y cuado sea coocdas las devadas pacales de las fucoes de poscó, es dec, cuado el poblema de poscó haya sdo pevamete esuelto. Expesado el sstema e foma matcal: q dq q + M dt M M q O d 0 0 d dt M dt M M d M dt 0 Dode la pmea matz es la esultate de deva pacalmete especto la vaable pmaa q las dfeetes ecuacoes de poscó. a seguda matz es la matz jacobaa, que ya apaecó e el tema de aálss de poscoes. a tecea matz es la matz de las devadas especto el tempo de las vaables secudaas, esto es, la matz de las velocdades. De foma smplfcada, se puede expesa el sstema: álss de velocdades. ag-9
álss de velocdades. q q& + d dt [ J ] [] 0 uesto que lo que se quee calcula so las velocdades de las vaables secudaas, es dec: y como: se obtedá falmete: d dt d dt [& ] [ J ] q& q q [& ] q& [ J ] O expesado las velocdades e fucó de los coefcetes de velocdad: & [ K ] [ J ] I q& q.-elocdades de putos del mecasmo. Hasta el mometo se ha calculado las velocdades de las vaables que defe la poscó de cada uo de los bucles del mecasmo. eo, de foma geeal, o seá sólo estas velocdades las que esulte teesates paa ealza el estudo cemátco de los mecasmos, so també las velocdades de dvesos putos peteecetes a los eslaboes de los msmos. l gual que se hzo e el tema de "álss de poscoes ", se dstguá ete aquellos putos que defe el mecasmo (los paes) y los putos asocados a sus dfeetes eslaboes...-elocdades de putos de defcó del mecasmo: paes. E la fgua 4 se muesta pate de u mecasmo geéco. El poblema que se platea a cotuacó es el cálculo de las velocdades de putos como el y el C, supuesto coocdo el poblema de poscó y calculadas las velocdades de las vaables secudaas. álss de velocdades. ag-0
álss de velocdades. C c Fg-4. Cálculo de las velocdades de los paes. aa putos como el, se demostó e el tema ateo que su poscó vee dada po: x x + cos y y + se aa calcula la velocdad de este puto, bastaá co deva especto al tempo las ecuacoes ateoes: v x& x& & se x v y& y& + & cos y uesto que es u puto vaable, las devadas de su poscó especto al tempo seá ulas, po tato: vx x& & se v y& & cos y E el caso de putos como el C, que peteece a u eslabó que o está udo a la bacada, se obtuvo que su poscó vee dada po: x x + cos C C y y + se álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. Devado especto al tempo se obtedá: v x& x& & se Cx C v y& y& + & cos Cy C o susttuyedo las compoetes de la velocdad del puto po sus valoes: v x& & se & se Cx C v y& & cos + & cos Cy C Que de foma matcal puede se expesado como: C v v Cx Cy se cos se cos & &..-elocdades de putos asocados a u eslabó. E la fgua 5 se muesta u eslabó geéco de u mecasmo. Este se ue al eslabó ateo po medo del pa y al sguete po medo del. E este caso se debeá calcula la velocdad del puto de coodeadas (u p,v p ) efedas a los ejes de efeeca U- asocados al eslabó. y v u y p y v p u p x x p x Fg-5. elocdades de putos asocados a u eslabó. Cuado se ealzó el cálculo de poscó del puto, se vo que: álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. uesto que ( x&, y& ) velocdad del puto : x x + u cos v se y y + u se + v cos, devado especto al tempo la ateo expesó se obtedá la x& x& u & se v & cos y& y& + u & cos v & se uesto que el puto es u pa, y po tato puto de defcó del mecasmo, se cooce como calcula su velocdad y al se los demás témos coocdos queda calculada la velocdad del puto asocado al eslabó geéco del mecasmo. a expesó de la velocdad del puto, puede se fomulada de foma matcal como a cotuacó se dca: se + & cos cos u se v uesto que, efeecado a los ejes X-Y, es: ( u cos v se ) + ( u se + v cos ) j + j x y y como la expesó vectoal de la velocdad agula del eslabó es: ω & k se obtedá que la velocdad del puto especto del puto es: ω opeado: j k ω 0 0 & & + & j x y 0 y x susttuyedo x y y po sus valoes: álss de velocdades. ag-
álss de velocdades. ω & ( u se + v cos ) + & ( u cos v se ) j o po compoetes: ( ω ) & ( u se + v cos ) X v ( ω ) & ( u cos v se ) Y o e foma vectoal X Y se & cos cos u se v luego, como debeía espease: + álss de velocdades. ag-4
álss de velocdades. IIOGRFI: Título: TEORI DE MQUINS Y MECNISMOS. uto: Joseph E. Shgley. Edtoal: McGaw-Hll. Título: MECHNICS OF MCHINES. uto: Samuel Doughty. Edtoal: Joh Wley & Sos. Título: MECNIC DE MQUINS. uto: Ham, Came, Roges. Edtoal: McGaw-Hll. Título: CINEMTIC Y DINMIC DE MQUINS. uto:. de amadd. Edtoal: Seccó de ublcacoes ETSII de Madd. álss de velocdades. ag-5