Ecuación e Schröinger En cuanto a onas electromagnéticas, ya vimos que su comportamiento está regio por las ecuaciones e Maxwell. También hemos visto que a una partícula con masa se le puee asignar una ecuación e ona. En tres imensiones: ( x, y, t ) mientras que en una imensión: t ) La función es en general compleja, y posee parte real e imaginaria. No es un vector, sino un escalar. En lugar e las ecuaciones e Maxwell, cuál es la ecuación que ebe satisfacer?. La respuesta es: la ecuación e Schröinger. La ecuación e Schröinger es, en tres imensiones h m y, one (x,y,, y E es la energía potencial a que está sometia la partícula. or lo general, esta energía es el tipo electrostática, por lo cual: y, t ) q v y, z E, one q es la carga e la partícula que se está consierano, y v(x,y, es el potencial electrostático que recibe icha carga, a causa e otras cargas. En una imensión, la ecuación e Schröinger se reuce a: h m y se llama ecuación e Schröinger uniimensional, epeniente el tiempo. Esto es porque es función no sólo e x, sino también e t. Aún escrita en una imensión, hallar las soluciones e esta ecuación iferencial puee tornarse complicao. ero too se facilita si la energía potencial E sólo epene e x, es ecir si E no varía con el tiempo: h m ( x) En este caso, la ecuación e Schröinger puee resolverse en os partes: una para la variable x (cuya solución epene el caso particular), y la otra para la variable t (ano esta última siempre la misma solución). ara emostrar esto, escribiremos (x, como proucto e os funciones: una epene solamente e x y la otra solamente e t: (1)
( x t ) Φ( x) τ ( t ), y reemplazamos la () en la (1): h Φ τ m ( x) Φ τ τ Φ Diviimos ambos miembros e la (3) por el proucto Φ τ: () (3) h 1 Φ m Φ ( x) 1 τ τ (4) En (4), hay una iguala e os funciones, una e x y una e t. Dicha iguala ebe cumplirse para too x y para too t. Solución: ambas son iguales a una constante, la cual posee imensiones e energía. La llamamos E: h 1 Φ m Φ 1 τ τ ( x) E (5) En este caso, la E resulta ser la energía total e la partícula consieraa, es ecir la suma e la energía cinética y la energía potencial E. Dao que la fuerza electrostática es conservativa, la E es una constante que no epene e x ni e t. La (5) son os ecuaciones iferenciales, escritas como si fuera una sola. La primera es sólo en la variable t : 1 τ τ La solución e (6) es sencilla: por tablas, caa vez que tenemos una ecuación iferencial e la forma: y y + x a la solución siempre es: y K e τ E 0 x / a + τ h je 0 one K es una constante que epene el caso a resolver. Aplicano esto en la (6), hallamos su solución como: (7) τ / h e jet en la cual hicimos K1. Esta es siempre la solución temporal, lo cual facilita mucho las cosas, ya que lo único que ebemos resolver en caa caso particular es la ecuación iferencial (8) en la variable x. La seguna ecuación iferencial que sale e la (5) es: (6) h 1 Φ m Φ x ( x) E
h Φ m x ( x) Φ E Φ (8) La (8) se llama ecuación uniimensional e Schröinger inepeniente el tiempo. En caa caso particular que nos toque, siempre que E no epena el tiempo, hallamos la solución e (8): Φ(x) y luego la multiplicamos por el factor (7). El proucto resulta ser. Corriente e probabilia En el curso e física, vimos que la corriente I poía expresarse como la integral e la ensia e corriente : I Σ r r A El área Σ puee ser abierta o cerraa. Si el área es cerraa, entonces encierra un volumen. En ese caso, la corriente total e cargas en toa la superficie Σ se prouce a costa e una isminución e la carga encerraa en el volumen. (9) A A Q ENC Σ A (Fig. 1) Es ecir: Σ one ρ es la ensia volumétrica e cargas. ero, e acuero al teorema e la ivergencia: Σ Combinano las os anteriores: De one: r r A r r A r ρ r Q r ENC ρ ρ (10) (11) (1) (13)
Es ecir, la ivergencia e es igual a la rapiez en que isminuye la ensia e carga. Esto es válio para too punto (x,y,z) y para too tiempo. En mecánica cuántica no se suele analizar lo que ocurre con las cargas, haciénoles un seguimiento e caa una como lo hace la mecánica clásica. En cambio, se trabaja con probabiliaes. Entonces, en lugar e tener cargas encerraas en un volumen, tenemos una probabilia r encerraa e encontrar una carga. Como toa probabilia, puee tener un valor e entre 0 (si es imposible que esté entro e ) y 1 (si es seguro que está entro e ). De qué nos sirve tener estas probabiliaes?. En que si hay muchas cargas en juego (igamos millones o más) los promeios terminan sieno la realia. or ejemplo, si hubiera una sola carga y la probabilia es e 0,6, entonces no sabemos si la carga está allí o no (sí que hay un 60% e probabiliaes e que sí esté). ero si hay 1.000.000 e cargas y la probabilia es e 0,6, entonces habrá una cantia muy cercana a 600.000 partículas encerraas en. Multiplicano ese número e cargas por la carga unitaria, se llega a saber la carga encerraa con suficiente precisión. Ahora, si lo que hay encerrao es una probabilia, entonces, hacieno una comparación con las ecuaciones (9) a (13) y la fig. 1, existirán las siguientes ualiaes: Caso e la carga eterminista Caso e la probabilia Carga encerraa Q ENC robabilia encerraa r Densia e carga ρ Densia e probabilia (x,y, Corriente I Corriente e probabilia I Densia e corriente Densia e corriente e probabilia En este caso, entonces, la ecuación ual con la (13) ebería ser: r y, (14) Si estamos en una sola imensión, la (14) quea simplemente: Cómo poemos calcular (x,?. La solución está en resolver el ejercicio 3 e la nueva guía 6. ara esto, escribimos la ecuación e Schröinger uniimensional epeniente el tiempo: h m Y luego la conjugamos. Conjugar es fácil: si aparece un número complejo en la forma binomial: (a+jb), el conjugao es (a-jb). Si aparece un número en formato polar: Ae jθ, el conjugao es Ae -jθ. En efinitiva, siempre se cambia j por -j!. Si hay una combinación e sumas, restas, prouctos, cocientes, exponenciales, etc., e varios números complejos, se cambia j por j en caa uno e los componentes e esa combinación. ero no siempre hay un número conocio. uee haber una constante, por ejemplo C, que se sabe que es compleja, pero no se conoce su valor exacto. En este caso, se inica su (15) (16)
conjugao meiante un asterisco: C. Y otras veces, se trata e funciones complejas, por ejemplo. En ese caso, se inica también su conjugao meiante. Si ahora nos tocara multiplicar C por C, nos a C. Y si multiplicamos la función por nos a. or qué es así?. orque si por ejemplo Cc 1 +jc, entonces Cc 1 -jc y por lo tanto CC( c 1 +jc )( c 1 -jc ) c 1 -jc 1 c +jc 1 c +c c 1 +c C. Ahora sí, estamos en coniciones e conjugar la (16), cuyo resultao es: h m (17) Ahora, observemos los miembros erechos en (16) y (17), cómo poemos manipularlos para obtener el término e erivaa e respecto el tiempo, como el e la ecuación (15)?. Hay que pensarlo!. Luego e operar algebraicamente, se llega a que la ecuación e la ensia e corriente e probabilia en una imensión es: h mj (18) Cómo usamos la ecuación (18)?. eamos un ejemplo: si cierta partícula con masa está representaa por: A e j ( kx Et / h) (ver ecuaciones y 7), entonces: A (en general la constante A es compleja). Reemplazano en la (18), nos a: hk m e A ( kx / h) j Et es ecir, es igual a p/m (velocia e la partícula), multiplicao por la ensia e probabilia A. Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representaa por: (19) A e j ( kx+ Et / h) (ver ecuaciones y 7), entonces: A e ( kx+ / h) j Et Reemplazano en la (18), nos a: hk m A (0)
Es ecir, la corriente e probabilia es negativa (partícula que viaja hacia x). Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representaa por: A e kx e jet / h (ver ecuaciones y 7), entonces: A e e kx jet / h Reemplazano en la (18), nos a: 0 (1) Los resultaos (19), (0), y (1) son conocios e memoria y se usarán ampliamente en la bolilla 7.