Universidd Diego Portles Primer Semestre 7 Fcultd de Ingenierí Instituto de Ciencis Básics Asigntur: Ecuciones Diferenciles Lbortorio º 9 Métodos con series de potencis. Soluciones en series cerc de puntos ordinrios. Puntos singulres y regulres. Método de Frobenius. Csos ecepcionles. Objetivo generl Anlizr, resolver y grficr soluciones de ecuciones diferenciles, de primer y segundo orden, que pueden obtenerse medinte el empleo de series de Potencis. Construir progrms pr l clculdor clsspd 3, que puedn utilizrse pr simplificr cálculos demsidos lrgos y tediosos, que precen en el desrrollo de series de potenci. Objetivos específicos Resolver ecuciones diferenciles, de primer y segundo orden, usndo series de Potenci. Anlizr y resolver ecuciones diferenciles, usndo el método de Fobenius. 3 Construir progrms que permitn reducir el tiempo que demor resolver ecuciones diferenciles, usndo series. Actividdes º de ctividd Contenido Serie de potenci en ecuciones diferenciles de primer orden Serie de potenci en ecuciones diferenciles de segundo orden 3 Método de Frobenius El lumno desrrollrá ctividdes propuests Metodologí En ls ctividdes siguientes usremos series pr resolver ecuciones diferenciles de primer y segundo orden con l yud del comndo Define. Tmbién, usremos los progrms ejem y SerieP que permiten generr los coeficientes de l serie solución. El progrm SerieGr y l subrutin el progrm Serie permit obtener y grficr ls soluciones prticulres. El progrm Indicil que sirve pr encontrr l ecución indicil y resolverl. El progrm Frobe junto l subrutin CoefP permite hllr N de los
coeficientes de l serie de potencis en l vecindd de un punto singulr regulr de un ecución de l form P ( ) y Q( ) y R( ) y si se conocen ls ríces r y r de l ecución indicil. (Método de Frobenius) Actividd : Resolver, usndo series de potencis, l ecución diferencil Solución: y y. Se y y. Reemplzndo en y y, obtenemos:. Escribimos l epresión nterior, como: Simplificmos l epresión obtenid: ( ) [ ( ) ]. L ecución nterior se verific, sólo si, y ( ). Es decir, y,,,, 3... De quí obtenemos:.,,, y 3 5. Estos vlores pueden obtenerse de l siguiente mner:
Reemplzndo en y, obtenemos:... y. Observe que:... / e Por lo tnto, l solución de l ecución diferencil dd, es: / Ce y, con C. Obvimente: Comprción gráfic de ls soluciones Pr comprr, usmos C, por convenienci. Qué comentrios puede deducir de est observción? 3 5
Cómo podrí resolver l ecución diferencil y e y? L clculdor no entreg el resultdo esperdo. Actividd : Resolver l ecución de segundo orden y y y (es un form prticulr de l ecución de Hermite). Solución: Se y y y ( ). Sustituyendo ests series en l ecución diferencil dd se tiene: En donde: ( ). ( ) ( )( ) y ( ) ( ). Combinndo ls series en l ecución diferencil dd, y simplificndo, se obtiene: [( )( ) ( ) ]. Hciendo: ( )( ) ( ),,,, Se obtiene l fórmul de recurrenci: ( ),,,, ( )( ) Pr :. Pr : 3. Pr :. 3 3 Pr 3: 5. Pr :,. 5 5 3 Estos vlores pueden obtenerse de l siguiente mner:
3 5 L solución generl de l ecución diferencil dd, puede escribirse como:.... 3 y Recuerde que y(), () y Cuál es el intervlo de convergenci de l serie solución? Escribiendo ( ),,,, como ( )( ) (n ) n n, n,,, y plicndo el criterio de l rzón. (n )(n ) n lim n n n n Así, l serie solución converge pr tod. (n ) lim, pr tod. n (n )(n ) L solución pr, se muestr en l figur djunt.
Actividd 3: Utilice l clculdor pr mostrr que l solución generl de l ecución y y y, se puede escribir medinte l siguiente serie de potencis : Solución 3 5 L A L 3 3 5 y A i i i i i i i i i Buscmos l solución en form de serie:,, ( ) reemplzmos ests sums en l ecución ( ) y A y ia y i i A i i i i i A i ia i A i i i i y hcemos el cmbio de vrible i n i n en l primer de ls sums: n n n n n An na n A n n n n ( )( ) Reunimos los coeficientes de igules eponentes ( )( ) ( ) n n n An n An, de donde obtenemos l siguiente relción de recurrenci: An ( n )( n ) An ( n ) An An, n. n L figur muestr un progrm que permite generr los coeficientes de l serie, un vez conocid l relción de recurrenci. Note que el progrm contiene el prámetro N que indic el número de veces que se plic l relción de recurrenci. Los dos primeros coeficientes A y A son indetermindos y el progrm los incluye por defecto, por tnto el número de coeficientes obtenidos l plicr el progrm es. Ls figurs y 3 muestrn el uso del progrm pr. L serie qued en l form: 3 5 y A A A A A A L 3 8 5 O de otr mner: 3 5 y A L A L 8 3 5 Figur Figur Figur 3
Actividd : Construy un progrm que permit obtener y grficr, medinte el comndo Define, l n m ( ) función de Bessel J ( nm,, ).!( n)! Solución: L función de Bessel se muestr continución: Gráfic de l función de Bessel J (,,) J (,,3) Actividd 5: Construy un progrm que permit obtener y grficr ls soluciones prticulres, es decir ddos los vlores específicos pr los coeficientes y, de l ecución y P y Q y por medio de series de potencis en l vecindd del diferencil ( ) ( ) punto ordinrio.. Con el propósito de estudir gráficmente l convergenci de l serie obtenid considere l ecución diferencil y y, con ls condiciones iniciles y ( ), ( ) y Obteng su solución medinte serie de potenci con el progrm confecciondo y grfique pr vlores crecientes de. Eplique los resultdos. Solución. El progrm SerieGr se muestr en el recudro. Este progrm utiliz como subrutin el progrm Serie que se muestr en l figur 5. Observe que este último progrm us los prámetros P, Q, N y devuelve un list T con N coeficientes de l sum prcil y que serán empledos por el progrm SerieGr pr construir un
DelVr P,Q,,b,T,T,sp,B,Z,D,U Input P, "P" Input Q, "Q" Input N, "N>3" Input,"" Input b,"" Serie(P,Q,N) T b T sp For To N spt[] ^(-) sp Net ClrGrph ClerSheet SetSimulGrph On DefultSetup ClrGrph Input B,"Xmin","ViewWindow" Input Z,"Xm","ViewWindow" Input D,"Ymin","ViewWindow" Input U,"Ym","ViewWindow" Wit ViewWindow B,Z,,D,U, GTSelOn GrphType "y" Print "Sum Prcil:" Print sp Define y()sp DrwGrph DelVr P,Q,,b,T,T,B,Z,D,U iniciles y ( ), ( ) polinomio y grficrlo. Pr plicr el progrm l ecución diferencil debe escribirse en l form y P y Q y. Ls condiciones iniciles ( ) ( ) determinn los dos primeros coeficientes. Tenemos que y y. ( ) y ( ) Conocemos, por otros métodos que l solución generl de l ecución y y está dd por: y Acos Bsin. Pr obtener l solución prticulr que stisfg ls condiciones iniciles dds debemos escribir: ( ) y Acos B sin A ( ) y B cos B. Por tnto l solución prticulr es y sin. En generl no siempre es posible hllr ls soluciones de ecuciones Figur 5 diferenciles con yud de funciones elementles, es en estos csos donde el método de ls series de potenci es útil. Vmos utilizr l ecución y y con ls condiciones y, cuy solución prcil conocemos pr estudir l convergenci de l serie obtenid medinte el progrm SerieGr. Dtos que deben ingresrse l progrm SerieGr : P Q N>3 5 Xmin 9.5, Xm 9.5, Ymin., Ym. Figur El resultdo obtenido se muestr en l figur Repitiendo este procedimiento pr los vlores 7 y 9 se observ un convergenci de l sum prcil l función y sin,
que es l solución prticulr de l ecución diferencil y y, con ls condiciones y, ( ) iniciles ( ) y. (Ver figurs 7-9) Figur 7 Figur 8 Figur 9 Al plicr el método de series de potenci en l vecindd de un punto ordinrio, estmos encontrndo l serie de Tylor de l solución desrrolld en l vecindd de dicho punto. L figur, muestr el resultdo prcil pr N 9 y l correspondiente serie de Tylor pr l función y sin en l vecindd de. Note que el resultdo, l plicr el progrm, qued gurddo en l vrible sp que podemos mnipulr en futuros cálculos o gráficos. Figur Actividd : Construy un progrm pr encontrr l ecución indicil y resolverl, en el cso de soluciones medinte series de potenci en l vecindd de un punto singulr regulr de ecuciones en l form: P y Q y R y ( ) ( ) ( ). Utilice el progrm pr clculr ls ríces de l ecución indicil de l ecución diferencil. Solución. Vmos suponer que es un punto singulr regulr de l ecución P y Q y R y P y multiplicmos por ( ) ( ) ( ). Obtenemos:. Dividimos l ecución por ( ) Q( ) ( ) ( ), donde p( ) y q ( ) P ( ) y p y q y ( ) ( ) R P
F r r r pr q. L ecución indicil se determin medinte l relción ( ) ( ) Donde p lim p ( ) y q limq ( ) fórmuls se muestr en el recudro.. El progrm Indicil, que us ests. Ls ríces de l ecución indicil pr l ecución y y ( ) muestrn en l figur y se DelVr P,Q,R,p,r,q,S Input P, "P" Input Q, "Q" Input R, "R" lim( Q/P,,) p lim(^ R/P,,) q solve(r (r-)p rq,r) S PrintNturl S, "Rices" DelVr P,Q,R,p,r,q Figur ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUM O. Construy un progrm pr hllr N de los coeficientes de l serie de potencis en l vecindd de un punto singulr regulr de un ecución de l form P ( ) y Q( ) y R( ) y si se conocen ls ríces r y r de l ecución indicil. (Método de Frobenius). Utilice el progrm con N5 términos de l solución generl de l ecución: y y y. ( ) Solución: En el recudro de más bjo se muestr el progrm Frobe que permite clculr l solución de un ecución de l form P ( ) y Q( ) y R( ) y medinte un serie de potencis en l vecindd de un punto singulr regulr (Método de Frobenius). Note que el progrm debe plicrse dos veces, un por cd ríz de l ecución indicil. El progrm utiliz l subrutin CoefP (ver figur ) l que se le introducen dos prámetros: un polinomio y su grdo, y devuelve un list (contenid en l vrible T ) con los coeficientes del polinomio. y y y por el método de Frobenius,. Pr resolver l ecución ( ) Tommos P, Q, R y encontrmos ls ríces de l ecución indicil medinte el progrm Indicil. Pr est ecución obtenemos r y r.
Utilizmos hor el progrm Frobe con l primer de ls ríces, r y N5. El resultdo se muestr en l figur 3. DelVr P,Q,R,N,p,q,r,T Input P, "P" Input Q, "Q" Input R, "R" Input N, "Número de términos" Input r,"riz Ec. Indicil" tylor( Q/P,,N) p tylor(^ R/P,,N) q CoefP(p,N) T Tp DelVr T CoefP(q,N) T Tq DelVr T (-)Tp[] Tq[] FI {} T For n To N su For To n- sut[] ((r) Tp[n-]Tq[n-]) su Net ugment(t,{-su/(fi (rn))}) T Net res For j To N rest[j] ^(j-) res Net PrintNturl ^(r) res,"serie de Potencis" Figur Figur 3 Pr l segund ríz r el resultdo se muestr en l figur. L solución generl puede escribirse en l form: Figur y A K B K 3 8. Encuentre términos de l solución medinte el método de Frobenius pr ls ecuciones:
. 3y y y Solución: Usndo el progrm Indicil encontrmos ls ríces buscds r y r. Aplicmos 3 hor, pr cd ríz el progrm Frobe. b. y y ( ν ) y (Ecución de Bessel) Solución Emplemos el progrm Indicil y obtenemos dos ríces