Universidd Ncionl Autónom de Hondurs Fcultd de Ciencis Económics Guí de Ejercicios No. DET 85, Métodos Cuntittivos III PARTE : Propieddes de límites: No. Teorem Form de reconocerlo C C ite de un constnte ite de l función identidd ( m b) m b ite de un función linel 4 Pn ( ) es un polinomio Pn( ) Pn( ) ite de un polinomio en de grdo n 5 [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) ite de l sum de dos funciones 6 [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) ite de l rest de dos funciones 7 f ( g ) ( ) f ( ) g ( ) ite del producto de dos funciones 8 f ( ) f( ) ite del cociente de dos funciones g ( ) g ( ) n n ite de l n ésim potenci de un 9 [ f( )] f( ) función 0 n f ( )] n f( ) ite de l ríz n ésim de un función Ejemplo ilustrtivo : Evlúe 5 4 8 6 5 5 4 5 4 8 6 5 8 6 5 ( 5 4 ) ( 8 6 5) 5( ) 4( ) ( ) 8( ) 6( ) 5 8 7
En donde se plicron en form sucesiv el límite de l ríz n ésim de un función, el límite del cociente de dos funciones y el límite de un polinomio, pr, posteriormente clculr y simplificr. Ejemplo ilustrtivo : Evlúe 9 9 ( ) ( ) ( ) 6 Debido que l sustituir directmente se obtení l form indetermind 0, fue necesrio fctorizr y 0 simplificr puesto que 0 si. Luego se plicó el límite de un función linel. Ejemplo ilustrtivo : Evlúe 4 4 4 4 4 ( ) ( 4 ) ( ) 4 ( ) 4 4 4 0 ( 4 ) 4 0 4 4 4 Tmbién en este ejemplo, l sustituir directmente se obtení l form indetermind 0 0 por lo que fue necesrio rcionlizr el numerdor y simplificr y que 0. Luego se plicó en form sucesiv: El límite del cociente de dos funciones, límite de l sum de dos funciones, el límite de l ríz n ésim y de un función linel. EJERCICIOS: En los ejercicios del l 7 hlle el vlor del límite, y según se el cso indique los teorems de límites que utilizó. ) 4) 7) ( 5 9) ) (w 7w 5w 4) w ) 9 4 r r r 4 7 r r 4 5) 8) t t s 4 8 6t s 64 s 4 6) 9) z z z 4 4 s 6 s s
0) ) 5 6 6 6) AYUDA: Rcionlice el numerdor. 8) 9 79 ( ) PARTE : ites unilterles: 5 ) 5 4 ) 4 5 5) t 4) t 0 t 5 AYUDA: Rcionlice el denomindor. 8 8 7) AYUDA: Recuerde que ( b) ( b b ) - b. Tome 8, b 8 y rcionlice el numerdor. AYUDA: Rcionlice denomindor. Luego fctorice numerdor y simplifique. Ejemplo ilustrtivo : Determine los límites unilterles y bilterles en - y de l si< función f( ) si, si > ) f( ) ( ) ( ) b) f( ) ( ) c) Por tnto, f ( ) d) f( ) () 4 e) f( ) ( ) () 5 f ) Por tnto, f ( ) no eiste porque los límites unilterles son diferentes EJERCICIOS: En los ejercicios del l 6 hlle los límites lterles indicdos: si < ) Si f( ) si, hlle: si ) f ( ) b) f ( ) c) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) f ( ) tsit< ) Si gt (), hlle tsit ) g() t b) g() t c) t g t t () t
si 4 ) Si H( ), hlle 9 si> 4 ) H( ) b) H( ) 4 4 c) H( ) 4 w si w< 5) Si gw ( ) siw, hlle 9 wsiw> ) c) w w g( w) g w ( ) b) w g( w) PARTE : Propieddes de límites infinitos: 9 si 4) Si G ( ), hlle si > ) c) G G ( ) b) ( ) G ( ) 6) Si f( ) 9, hlle: ) d) f ( ) b) f ( ) e) f ( ) c) f ( ) f) f ( ) f ( ) Sen, c R, c 0. Supong demás que ( ) c y ( ) 0, Entonces ) f( ) Si c > 0 y g ( ) 0 trvés de vlores positivos de g(), entonces g ( ) b) f( ) Si c > 0 y g ( ) 0 trvés de vlores negtivos de g(), entonces g ( ) c) f( ) Si c < 0 y g ( ) 0 trvés de vlores positivos de g(), entonces g ( ) d) f( ) Si c < 0 y g ( ) 0 trvés de vlores negtivos de g(), entonces g ( ) Est propiedd sigue siendo válid si se sustituye por o. Ejemplo ilustrtivo : Si h ( ), evlúe: ) h ( ) b) c) h h ( ) ( ) ) Si tom vlores cercnos pero menores que ; por ejemplo,.9, el denomindor g() tom el vlor g(.9).9 0.. Es decir, g ( ) 0 trvés de vlores negtivos de g(). Además, c f( ) ( ) 5. Por tnto, según b), h ( ) 4
b) Si tom vlores cercnos pero myores que ; por ejemplo,., el denomindor g() tom el vlor g(.). 0.. Es decir, g ( ) 0 trvés de vlores positivos de g(). Además, c f( ) ( ) 5. Por tnto, según ), h ( ). c) Como h ( ) y h ( ), suele escribirse h ( ). Siempre que los límites lterles, conforme se proim, conduzcn límites infinitos de distintos signos, el límite bilterl se escribirá como infinito sin signo. Est convención es únicmente un form de notción. Los resultdos pueden visulizrse en l gráfic siguiente: Ejemplo ilustrtivo : Si h ( ), evlúe: ( ) ) h ( ) b) h ( ) c) h f ( ) c ( ) ( - ). El denomindor g() ( ) es siempre positivo pr culquier vlor de 0. Es decir, g ( ) 0 trvés de vlores positivos de g(). Por tnto, según c) se cumple: ) h ( ) b) h ( ) c) h ( ) Los resultdos pueden visulizrse en l gráfic siguiente: 5
EJERCICIOS: En los ejercicios del l, evlúe los límites infinitos indicdos: ) 4) 7) 0) ) w 0 w w 9 ( ) 5) 8) ) 4 ) w w 6) 0 w 9 0 PARTE 4: Propieddes de límites l infinito: 6 9) ) w 0 0 w w 9 4 ) n 0 Si n es culquier entero positivo, entonces: b) n 0 Ejemplo ilustrtivo : Evlúe los límites ), b) 0 ) 00 0 b) 00
Ejemplo ilustrtivo : Evlúe los límites ) 4, b) 4 si 0 si 0 Se debe tener en cuent que. Es decir, si < 0 si < 0 ) b) 4 4 4 4 0.5 4 0 4 4 4 4 4 4 0.5 40 4 4 EJERCICIOS: En los ejercicios del l 5, evlúe los límites l infinito indicdos: ) 4) 7) 0) ) z z 9 z 8 4 ) 5) 8) ) z 4 z w 6) w w 4w 9 9) z 9 w 4w 9 ) ( ) ) ( ) 4) 4 9 5) 5 PARTE 5: Asíntots horizontles y verticles: Ejemplo ilustrtivo : Encuentre ls síntots horizontles y verticles de gráfic de l función g. g ( ) y dibuje l 7
g ( ) g ( ) Por tnto, y es un síntot horizontl g ( ) g ( ) Por tnto, es un síntot verticl Ejemplo ilustrtivo : Encuentre ls síntots horizontles y verticles de dibuje l gráfic de l función f. f( ) 4 y f( ).5 4 f( ).5 4 y.5, y.5 son síntots horizontles f( ) 4.5 f( ) 4.5 0.5, 0.5 son síntots verticles EJERCICIOS: En los ejercicios del l 4, encuentre ls síntots horizontles y verticles de l gráfic de l función definid por l ecución dd y trce l gráfic. ) 4) 7) f( ) f( ) f( ) 4 0) f( ) ) 5) 8) f( ) f( ) f( ) ) f( ) ) 6) 9) f( ) ( ) f( ) 4 f( ) ) f( ) 8
) f( ) 4) f( ) PARTE 6: Continuidd de un función en un número: Se dice que l función f es continu en el número si y sólo si se stisfcen ls condiciones siguientes: ) f() está definid o eiste, b) f ( ) eiste, c) f ( ) f ( ) Si f ( ) eiste y no se cumplen ls condiciones ) o c), se dice que f tiene un discontinuidd removible (o evitble) y se puede redefinir f pr obtener un función continu en el número. En el cso de que f ( ) no eiste se hbl de un discontinuidd esencil(o inevitble). Ejemplo ilustrtivo : Determine si f( ) 9 99 0 f () 0 no está definid. 9 es continu en. Por tnto, f no es continu en. Observe que 9 f( ) ( )( ) ( ) 6 Por tnto, f tiene un discontinuidd removible y se puede redefinir f, que l llmremos g, de tl mner que g es un función continu en. Es decir, g() 6 y g g 9 si g ( ). 6 si Observe que ( ) 6 (). Como g stisfce ls tres condiciones de continuidd, g es un función continu en. En g se h tpdo el orificio que eistí en f cundo. 9
Ejemplo ilustrtivo : Determine si si f( ) si > es continu en. Se observ que l gráfic de f no tiene ni sltos ni orificios, por lo que intuitivmente se puede concluir que f es un función continu en todos sus puntos. Utilizndo l definición podemos comprobr, que en efecto, f es continu en. ) f( ) ( ) b) f( ) ( ) ( ) c) f f( ) ( ) f f ( ) ( ). ( ) si < Ejemplo ilustrtivo : Determine si f( ) es continu en. 4 si L gráfic de f present l form siguiente: 0
Podemos ver que l gráfic de f tiene un slto en. Por tnto, f es discontinu en ese número. Ahor lo comprobremos, f() por lo que se cumple l condición ) de continuidd. Los límites lterles, como puede comprobrse viendo l gráfic de l función f, son diferentes: f( ) ( ), f( ) (4 ) 4. Luego, l ser los límites unilterles diferentes, f y demás, se trt de un discontinuidd esencil. ( ) no eiste. Por tnto, f es discontinu en EJERCICIOS: En los ejercicios del l, determine si l función es continu en el punto especificdo. En cso de ser discontinu clsifíquel como removible o esencil. Si l discontinuidd es removible, redefin l función de tl form que l nuev función se continu en el punto ddo. ) 4) 7) 0) f( ) si, si f ( ) si0, si > si f( ), si t sit < f () t 0 sit, > t sit ) 4 f( ), 4 5) f( ), 0 ) 6) 4 8 f( ), 9 si f( ), 0 si si 8) f ( ), 9) f( ) 4, si si ) f( ), 5 si > ) f ( ), PARTE 7: Ts de cmbio promedio y derivd: Si y f() es un función de. ls vribles e y reciben, respectivmente, los nombres de vrible independiente y vrible dependiente. Es decir, cd vlor que le dmos (vrible independiente) obtenemos un vlor correspondiente de l vrible y (vrible dependiente). Por ejemplo, si y C() 00 es l función del costo totl de un empres, donde y represent el costo en lempirs y ls uniddes producids. Si se producen 0 uniddes, entonces y 00 (0) 00 0 0 lempirs. Luego,
producir 0 uniddes le cuest l empres 0 lempirs. Hciendo el mismo cálculo, producir l empres 00 uniddes le cuest 00 lempirs y producir,000 uniddes le cuest,00 lempirs, etc. El incremento en l vrible independiente se simboliz y se define por:, donde y son dos vlores ddos. En tnto que el incremento en l vrible dependiente y se simboliz por y y se define por: y y y, donde y f( ) y y f( ) Como, entonces otrs fórmuls pr y son: y f( ) f( ) y y f( ) f( ) L ts de cmbio promedio (TCP) que signific l rzón de cmbio de l vrible dependiente y, l efectur cmbios en l vrible independiente. se define por: y y y f( ) f( ) f( ) f( ) TCP Gráficmente se interpret como l pendiente de l rect secnte que ps por los puntos P y Q, donde P (, f( )) y Q (, f( )). L derivd de l función f en, simbolizd por f '( ), se define por: f '( ) f ( ) f( )
f '( ) se interpret como l pendiente de l rect tngente l gráfic de l función y f ( ) en el punto cuy bscis es. Cundo 0 ( El incremento de se hce cd vez más pequeño) l ts de cmbio promedio se convierte en l ts de cmbioinstn táne en el punto cuy bscis es. Ejemplo ilustrtivo : L función de demnd de un producto está dd por p 96 Si l producción se increment de 9 49 uniddes, encuentre: ) El incremento de y p, es decir, y p. lempirs. b) L ts de cmbio promedio TCP. ) 49 9 40 uniddes p p( 96 96 ) p( ) p(49) p(9) 49 9 b) 96 96 96 96 6 48 lempirs. 7 6 p 4(8) TCP 40 5(8) 4 8 0.8 lempirs. 5 0 Ejemplo ilustrtivo : Clcule l derivd de f( ) 4. f( ) f( ) [( ) 4( ) ] ( 4 ) f '( ) ( ) 44 4) f '( ) ( ) 4 4 4 ) f '( ) ( ) 4 ( 4) f '( ) f '( ) ( 4 ) 0 4 4 Ejemplo ilustrtivo : Clcule l derivd de f ( ).
f( ) f( ) f '( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) f '( ) 0 Ejemplo ilustrtivo 4: Clcule l derivd de f( ). f( ) f( ) ( ) f '( ) ( ) ( )[( ) ] f '( ) ( )[( ) ] ( ) [( ) ] f '( ) ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] f '( ) ( )[( ) ] ( )[( ) ] f '( ) ( )[( ) ] ( )[( ) ] f '( ) ( )[( 0) ] ( )( ) ( ) EJERCICIOS: En los ejercicios del l 6, determine los incrementos y l ts de cmbio promedio: ) f( ),, 0. ) f( ),, 0. ) 4) f( ), 5, 5 5) f( ),, 0.5 ( ) f() t t, t, t 0.5 6) f ( ) 7, de t 5) (Propgción de un epidemi) L cntidd de persons fectds por ciert epidemi está dd por l fórmul: 000 Pt () t, tddoendís 999 e ) Determine el incremento en el número de persons fectds cundo t cmbi de 0 0 dís. b) Cuál es l ts de cmbio promedio cundo t cmbi de 0 0 dís? c) Después de un tiempo lrgo, qué puede concluir respecto l número de persons fectds. 4
6) (Función de ingreso) L función de demnd de un producto está dd por p 96 lempirs. L función de ingreso se define por R() p. Si l producción se increment de 9 49 uniddes, encuentre: ) El incremento en el ingreso. b) L ts de cmbio promedio TCP. 7) (Función de costo) Si l función de costo de un empres está dd por: C() 0.0 0 0,000 lempirs. Determine el incremento y l ts de cmbio promedio cundo l producción se increment de 90 00 uniddes. En los ejercicios del 8 l 6, utilice l definición de derivd pr clculr f (). 8) f( ) 5 6 9 9) f ( ) 0) f( ) ) f ( ) 5 ) f ( ) 4 ) f( ) 4) f( ) 5) f( ) 6) f( ) PARTE 8: Regls de Diferencición (potencis, sums, rests, productos y cocientes): No. Función Derivd Form de Recordrl f( ) C, C R f '( ) 0 L derivd de un constnte es 0. f ( ) f '( ) L derivd de l función identidd es. n f( ), n R n f( ) n L derivd de un potenci es el producto del eponente por l potenci con el eponente disminuido en. 4 f( ) C g( ), C R f '( ) C g'( ) L derivd de un constnte por un función g es el producto de l constnte por l derivd de l función g. 5 n f( ) C, C R n f( ) nc Combinción de regls y 4. 6 f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) 7 f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) 8 f ( ) g( ) h( ) f '( ) g( ) h'( ) g'( ) h( ) L derivd de un sum es l sum de ls derivds L derivd de un rest es l rest de ls derivds L derivd de un producto es: el producto de l primer por l derivd de l segund más l derivd de l primer por l segund. 5
No. Función Derivd Form de Recordrl L derivd de un cociente es: el producto del denomindor por l 9 f( ) g( ) h ( ) g'( ) g ( ) h'( ) f '( ) derivd del numerdor menos el h ( ) [ h ( )] numerdor por l derivd del denomindor y, tod est diferenci, divid por el cudrdo del denomindor. Ejemplo ilustrtivo : Ejemplo ilustrtivo : 4 Si f ( ) 5 8 7 4,hllr f '( ). f '( ) 0 4 4 4 Si f ( ), hllr f '( ). / / / f( ) / / / f '( ) ( ) / / Ejemplo ilustrtivo : 5 Si f ( ) (7 4 ), hllr f '( ). 4 4 f( ) 5 (7 4 ) ( ) ( ) ( ) 4 4 5 f '( ) 5 (4 4) 9 0 (7 4 ) 4 4 f '( ) 4 70 0 6 6 40 80 4 60 94 f '( ) 60 94 4 Ejemplo ilustrtivo 4: Si f ( ) 4,hllr f '( ). f '( ) ( )( 4) ( 4 )( ) ( ) f '( ) 4 4 4 4 6 8 8 0 8 ( ) ( ) EJERCICIOS: En los ejercicios del l 9, clcule f '( ). ) 4) ) f ( ) f( ) 5 6 9 5) f ( ) ( )( 7 ) ) 4 f( y) ( y y ) y 6) y 6 () 4 t 5 t 4 5 f t f( ) ( 4)
7) f ( ) ( 5)(4 ) 8) f () t 5 4 ( t t ) 9) f( w) ( w w) w w 4 0) V() r π r ) f( ) ) f( ) ) f( ) 4 4 6 5 5 7 4) f( ) 5) f( ) 6) f( w) w 7) f () r ( r ) 8) f( ) ( ) w 9) f( ) PARTE 9: Derivd de l función compuest (Regl de l Cden): No. Función Derivd Form de Recordrl L derivd de un función compuest f ( ) g( h( )) f '( ) g'( h( )) h'( ) f ( ) g( h( )) es: g'( h( )) multiplicd f '( ) g'( u) u', u h( ) por h'( ) (l derivd intern o el rgumento de g) L derivd de l función [ u ( )] n es: el f ( ) [ u( )] n n f '( ) n[ u( )] u'( ) eponente n por l potenci [ u ( )] n multiplicd por u'( ) (l derivd intern) Ejemplo ilustrtivo : Si f( ), hllr f '( ). / f( ) ( ) / / f '( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ejemplo ilustrtivo : Si f( ) hllr f '( ). 9 ( )( ) ( )( ) f '( ) 0 ( ) 9 9 f '( ) 0 0 ( ) ( ) 9 9 9 0 0 ( ) 0( ) f '( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 7
EJERCICIOS: En los ejercicios del l 9, clcule f '( ). ) 5/6 f( ) ( ) ) 4) f ( ) 5) 7) 0) f( ) f( ) 4 8) ) / / ) f() s ( s ) ( s ) f( ) 6) 4 5 f( ) f( z) ( z z ) 9) y f( y) 4 ) y 9 f( ) ( ) f( ) 4 f( w) ( w w ) / PARTE 0: Derivds de Funciones Eponenciles y Logrítmics: No. Función Derivd Form de Recordrl ( ) f e f '( ) e L derivd de l función eponencil es sí mism. f ( ) ln( ) u( ) f( ) e f '( ) L derivd de l función logrítmic es el inverso de. u( ) f ( ) e u'( ) L derivd de e u ( ) es eponente. L derivd de ln[ ( )] de u, u'( ), y ( ) 8 u( ) e por l derivd del 4 f ( ) ln[ u( )] u'( ) u es el cociente entre l derivd f '( ) u ( ) u, es decir, u'( ) / u( ). 5 f ( ) f '( ) ln( ), > 0 L derivd de l función eponencil de bse es si mism por el logritmo nturl de l bse. 6 f ( ) log ( ) L derivd de l función logritmo de bse es el f '( ) log e inverso de por log. e 7 u( ) f( ) u( ) f '( ) u'( ) ln( ) L derivd de u ( ) es u ( ) por l derivd del eponente, u'( ), por el logritmo nturl de l bse. 8 f ( ) log u( ) u'( ) f '( ) log e u ( ) L derivd de log u ( ) es el cociente '( ) / ( ) u u por log. e Observción: Le dremos prioridd ls cutro primers regls, pues l otrs solo difieren en los fctores constntes: ln( ) ylog. e No. Propieddes de los eponentes Propieddes de los logritmos y y e e e ln( ) ln( ) ln( y) e e y y e ln ln( ) ln( y) y ( e ) y e y y ln( ) yln( )
No. Propieddes de los eponentes Propieddes de los logritmos 4 0 e ln( ) 0 5 e e ln(e) ln( ) 6 e ln(e ) Ejemplo ilustrtivo : Si f( ) ln, 5 hllr f '( ). / f( ) ln ln ln( ) ln( 5) 5 5 f '( ) f '( ) ( ) ( 5) ( ) 5 e e Ejemplo ilustrtivo : Si f( ), hllr f '( ). e e e e f( ), e e ( e e )( e e ) ( e e )( e e ) f '( ) ( e e ) f '( ) ) ( e e ) ) ) ) ( e e ( e e ) ( e e ( e e ) 4 f '( ) f '( ) ( e e ( e e 4 Ejemplo ilustrtivo : Si ( ) ln e f 4 e, hllr f '( ). 4 4 f( ) ln( e ) ln( e ) 4 4 4e 4e f '( ) 4 4 e e EJERCICIOS: En los ejercicios del l, clcule f '( ). ) 4 f( ) ln( ) ) 4 5 f( ) ) e f( ) ln[ln( )] 4) f( ) ee 5) f( ) ln 4 6) f( ) ( ) e 9
ln( ) ln( ) 7) f( ) 8) f( ) 9) e 0) ( ) ( )ln( ) f e ) 4 f( ) log ( ) ) ln( f( ) ( ) e 4 5 f( ) ) PARTE : Aplicciones geométrics y económics: Ejemplo ilustrtivo : Hlle l ecución de l rect tngente l gráfic de l función f( ) en el punto (5, ). f '( ) f '(5) m (5) 9 y y m( ) 5 y ( ) 5 y 5 y 4 y Ejemplo ilustrtivo : Un fbricnte estim que cundo se producen uniddes de un rtículo, el costo totl será C() 4 5 lempirs y que ls uniddes se venderán cundo el precio se p 8 lempirs por unidd. ) Utilice l función de costo mrginl pr clculr el costo de producir l unidd 5. Cuál es el incremento en el costo cundo se produce un cmbio de producción de 4 5 uniddes, es decir, cuál es el costo rel de producir l unidd 5? C'( ) C '(5) 4 (5) 4 4 Lempirs () 5 () 4 [ 5 4() 5 5] [ 4 4() 4 5] 50 7 Lempirs C C C C b) Hlle l función de ingreso pr el rtículo. Luego, utilice l función de ingreso mrginl pr clculr el ingreso derivdo de l vent de l unidd 0
5. Cuál es el ingreso rel derivdo de l vent de l unidd 5 (o incremento en el ingreso l umentr ls vents de 4 5 uniddes)? R( ) p ( 8 ) 8 R'( ) 8 R '(5) 8 ( 5) 8 Lempirs () 5 () 4 [ 8() 5 5 ] [ 8() 4 4 ] 5 96 9 Lempirs R R R R c) Hlle l utilidd socid con l producción de uniddes. Trce l función de utilidd y determine el nivel de producción donde se mimiz l utilidd. Cuál es l utilidd y l utilidd mrginl en ese nivel óptimo de producción? 8 4 5 4 5 U( ) R( ) C( ) ( ) ( ) Como l gráfic de l utilidd es un prábol que bre hci bjo, el nivel b 4 4 4 óptimo ocurre en el vértice, es decir, 6. ( ) 4 4 De est mner, l utilidd se mimiz cundo se venden 6 uniddes l precio de p 8 8 6 lempirs. L utilidd será, entonces 6 6 4 6 5 67 U () () () lempirs. U'( ) 4 4, por lo tnto, l utilidd mrginl en 6 uniddes es U '( 6) 4( 6) 4 0. CUANDO LA UTILIDAD ES MÁXIMA, LA UTILIDAD MARGINAL ES CERO. Ejemplo ilustrtivo : Si C() 4 9 es l función de costo totl pr un producto. ) Hlle el costo promedio y el costo promedio mrginl del producto. Costo promedio: Costo promedio mrginl: 4 9 C( ) 4 9 C '( ) 9
b) En que nivel de producción el costo promedio mrginl es igul 0? 9 9 C '( ) 0 0 9 0 ± Pero como debe ser positivo,. Luego, el costo promedio mrginl es igul 0 cundo. c) En que nivel de producción el costo promedio es igul l costo mrginl? 4 9 Costo promedio: C( ) 4 Costo mrginl: C'( ) ( 4 9)' 4 9 9 4 4 9 C() C'() ± Nuevmente, como debe ser positivo,. Luego, el costo promedio es igul l costo mrginl cundo. 9 PODEMOS CONCLUIR QUE EL COSTO PROMEDIO ES MÍNIMO CUANDO ES IGUAL AL COSTO MARGINAL. Ejemplo ilustrtivo 4: Si f '( ), diseñe un tbl de vlores pr comprr l ts de cmbio promedio y f '( ) cundo, 0. 5, 0., 0. 0, 0. 00. f ( ) f( ) ( ) ( ) TCP ( ) ( ) TCP f '( ) Ts de cmbio promedio f '( ) 0.5 4.500 4 0. 4.00 4 0.0 4.00 4 0.00 4.00 4
Resuelv los ejercicios de plicción siguientes: PODEMOS CONCLUIR QUE CUANDO ES BASTANTE PEQUEÑO, LA TASA DE CAMBIO PROMEDIO Y LA DERIVADA DE f SON APROXIMADAMENTE IGUALES. ) Encuentre l pendiente de l tngente l curv y (4 5) ( 7 4) en (, ). ) Encuentre l ecución de l rect tngente l curv 6 y en el punto (, ). ) Encuentre l ecución de l rect tngente l curv y (4 5) ( 7 4) en el punto (, ). 4) (Consumo y horro mrginl) Pr Estdos Unidos (9 94), l ecución de consumo se estimó por l ecución: C 0.67 I.. Encuentre l propensión mrginl l consumo y l propensión mrginl l horro. Sugerenci: C S I de donde o bien. 5) (Consumo y horro mrginl) Supong que l función de consumo está dd por C I. Encuentre l propensión mrginl l consumo y l propensión mrginl l horro cundo I 9. 6) (Costo mrginl) Si l ecución de costo totl de un fbricnte está estimd por l ecución: 5 C ( ) 5000. Encuentre l función de costo mrginl. 7) (Ingreso mrginl) Si l ecución de demnd del producto de un fbricnte es: Encuentre l función de ingreso mrginl y evlúel cundo 45. dc di ds di ds di dc di 000 p. 5 8) (Ingreso mrginl) Si p 0.5 450 es un ecución de demnd, encuentre l función de ingreso mrginl. 9) (Ingreso mrginl) Si R() (0 0.) es un función de ingreso totl, encuentre l función de ingreso mrginl. 0) (Costo mrginl) Si C ( ) 00.. es un función de costo promedio, encuentre el costo mrginl cundo 00. ) (Costo mrginl) Se estim que l función de costo totl de un plnt de energí eléctric es: C ( ) 6. 68 0. 5 0. 0049, 0 90, donde es l producción totl en 8 hors (como porcentje de l cpcidd) y C es el costo totl del combustible en dólres. Encuentre l función de costo mrginl y evlúel cundo 70. ) (Utilidd mrginl) Si l ecución de demnd del producto de un fbricntes es: p,000 y l función de costo se estim en C() 0. Encuentre l utilidd mrginl cundo: ) p 600. b) p 800. c) 50. d) 500 /. e) 550 /.