Cálculo Diferencial e Inegral - Funciones rascenenales. Prof. Farih J. Briceño N. Objeivos a cubrir Función logarimo y eponencial. Propieaes. Derivaa e inegración. Cóigo : MAT-CDI.5 Ejercicios resuelos Ejemplo : Hallar el conjuno solución en caa caso ln ln + < ln Solución : En primer lugar, buscamos el conjuno e efinición, el cual enoaremos por C ef, e la esiguala, para ello inercepamos los ominios e las epresiones involucraas La epresión ln iene senio si > 0 = 0, La epresión ln + iene senio si + > 0 = > =, La epresión ln iene senio si > 0 = > =, así C ef = 0,,, =, = C ef =, por las propieaes el logarimo naural, para oo,, enemos ln ln + < ln = ln < ln + aplicamos la función inversa el logarimo naural, la función eponencial naural, por ser esa una función creciene la esiguala se maniene ln < ln = e ln + < e ln = + + < resolvemos esa úlima esiguala + < = + < 0 = < 0 = + + + < 0 = + + < 0 enonces,,,, + + + + + + + eso implica que,,,. + + + + + + + Luego, la solución e la esiguala ln ln + < ln viene aa por C ef {, }, =, Ejemplo : Deermine el ominio e la función f = 4 ln e ln Solución : Tenemos que 4 iene senio si 0, ln iene senio si > 0, iene senio si 0
por lo ano, Para 4 ln, resolvemos la esiguala ln 0 = ln, para espejar aplicamos la función inversa e la función logarimo naural, es ecir, la función eponencial naural, por ser la función eponencial naural creciene, la esiguala se maniene, así e ln e = e = [e, Para ln, enemos que > 0 = 0,. Para e ln, observemos que resolver la no iguala e ln 0 es equivalene a buscar los valores e one la función eponencial naural y la función logarimo naural sean iguales, y ichos valores ecluirlos el conjuno e efinición, pero es conocio que ichas funciones no ienen punos en común, así, que la epresión e iene senio para oo en 0, ln Luego, el ominio e f es Domf f = [e, 0, = [e, Ejemplo : Hallar la primera erivaa e f = sen ln + log 4 Solución : Derivamos f = [sen ln + log 4] = [sen ln ] + [ ] [ log 4], one, Si y = sen ln, aplicamos logarimo a ambos laos e la iguala para obener y = sen ln = ln y = ln sen ln = ln y = ln ln sen, erivamos implicíamene, ln y = ln ln sen = y y = ln ln sen + ln ln sen = y y = [ ] ln sen + ln ln sen sen cos = y = y + ln co pero, y = sen ln, luego y = sen ln [ ] = sen ln ln sen + ln co Sea z =. observemos que esa es una composicón e funciones eponenciales e base y, así, su erivaa viene aa por z = = ln ln = ln ln Sea w = log 4, aplicamos logarimo naural a ambos laos y obenemos erivamos implicíamene, w = log 4 = ln w = ln log 4 = ln w = log 4 ln, ln w = log 4 ln = w w = log 4 ln + log 4 ln = w w = ln ln + log 4 [ ln = w = w ln + log 4 ] pero, w = log 4, luego w = log 4 [ = log 4 ln ln + log 4 ]
Finalmene, f = sen ln [ ln sen ] [ + ln co + ln ln log ln 4 ln + log 4 ] Ejemplo 4 : Inegre así, Solución : Es conocio que log 4 = ln ln 4 4 log 4 ln ln 4 = 4 log 4 ln ln 4 y ln 4 = ln, enonces, la inegral la poemos escribir como 4 4 ln 4 ln 4 ln ln ln 4 4 = = 4 4 ln 4 ln ln 4 4 log 4 ln ln 4 4 = 4 ln 4 5 = 4 ln 4 5 + C Finalmene 4 log 4 ln ln 4 = 45 5 ln 4 4 + C Ejemplo 5 : Demosrar la siguiene ienia Demosración : Es conocio que lo cual se puee escribir como, muliplicamos y iviimos por, es ecir, senh = e e senh = senh = e e senh = senh cosh = e e e e e + e = senh = e e e e e + e e e e + e = = = e e senh = senh cosh e + e = senh cosh, Ejercicios. Resuelva las siguienes ecuaciones. e + =. 7 =. ln = 4. ln + ln + = ln 5. + = 5 6. e ln4 7 + = 9 7. ln = 0 8. ln + + ln = 0 + 9. + = 8 0. ln 4 = 0. + ln = 0. ln + ln + = ln + 4. e ln = 4 4. e ln + = 0 5. ln e 7 = 9 6. ln + = ln 4 7. e 4 = 8. 8 ln = 0 9. e ln = 8 0. ln ln + 4 = ln. 4 +6 = 64. 64 ln = 0. + ln 4 = 0 4. ln ln + = 0 5. + = 5 6. e ln4 + = 7 7. ln e = 4 8. 5 + = 5
. Hallar y graficar el conjuno solución en caa caso. + 8. < 6. ln ln < 0 4. ln + 0 5. 7 6. 6 + ln > 0 7. e + e 0 8. ln + ln ln 9. > 4 0. ln 4 ln. e +6 e +4. ln + ln 4. e > 4. 8 ln < 0 5. 7. 5 > 5 < 7 6. ep ep 0 8. e + > 0 9. ln < 0 0. ln + 6 ln + 4. ln + ln + < ln 5. 0. ln < ln 4 4. 4 < 9 5. ln e +6 8 6. ln ln + + ln 7. ln ln + 4 ln 8. 4 9. + 4 8 0. ln ln 4 5. 5 + > 5. ln + + ln ln. Deermine el ominio e la función. f = ln. g = e +. h = ln + ln 4. g = + ln 5. f = e 6. f = ln ln + 7. h = ln 5 8. f = e ln e 9. f = + ln + 0. g = ln 9. g = e +. f = 4. f = ln e +. g = e +5+6 5 5. f = ln 6. f = e ln 7. f = 8. g = e ln 6 e 9. h = e 0. h = ln 9. g = ln. h = ln. f = e +5+6 4. l = e + 5. f = ln 6. f = ln 4 e 7. h = ln 5 e 4 8. g = 9. f = ln 0. g = ln 4 + ln. f = ln 8 ln ln 8. g =. f = ln ln ln 4
ln e 4. h = 5. f = ln 5 ln + 7 6. f = e 7. g = e + ln 9. h = 4 6 ln e + e +6 40. f = ep 4 8. g = 4. h = e ln + e + ln + 4. f = ln + 4. g = e ln 44. h = ln 4 + e + 4 + 45. g = 46. f = ln + e e + ln ln 4 ln 5 ln ln 5 47. f = 48. f = 49. f = ln 5 ln 4 ln 4 ln 4 4. Hallar la primera erivaa e las siguienes funciones usano erivación logarímica. f =. f =. f = sen 4. f = ln 5 + 5. f = 5 ln 6. f = sec 7. f = 9. f = 5 e csc ln 8. f = sen e e 5 + + 4 sen + 4 + 0. f =. f = 4 5 sen ln e cos ln. f = an cos an e sen. f = e sen ln cos co 4. f = 7 4 sen ln cos 5. f = + 4 5 8 + + sen 6. f = 4 an + an 4 + 4 7. f = + + ln + 4 sen 8. f = 4 e ln ln e e 4 e 4 9. f = ln 4 sec 5 ln cos 0. f = ep ln cos 6 sen ln 4 csc 5. f = ln 4 + 6 + 5. Demuesre que f = e ln e es una función ecreciene para > 0. 6. Derive impliciamene, y/, las siguienes curvas. e + y = 40 + e y. y + y = ln y. 5. 4 6 ln y = y4 6. e + e y = e 7. e y e = 4. e = y y + y sen y y = 8. 5e y = y 9. + y y = 0 0. y = 4 +. y + e y ln y + y = y 5
. ln e + y log y = ey. e +y + y = 4. an y e e y = 5. ln y ln = cosey 6. e e ln y + ln y = 7. ln y y ln = e y 8. 7. Deuzca la ecuación e la reca angene a la curva y = e y en el puno P, 0. 8. Consiere f = a a + fórmula para y = f. 9. Para las funciones aas a coninuación. f = e e. f = e + e Hallar 5. f = log log 5 y 5 y = y 4 para a fija, a > 0, a. Demuesre que f iene inversa y encuenre una e + e 6. f = e + e e e. f = e e e + e 4. f = a. Dominio e f b. Punos e cores c. Crecimieno. Decrecimieno e. Valores eremos f. Concavia g. Punos e infleión h. Asínoa horizonal i. Asínoa verical e e j. Asínoa Oblicua k. Grafica e la función f l. Eisencia función inversa m. Dominio e f n. Función inversa, si eise o. Grafica e la función f 0. La ecuación e = + evienemene iene una raíz, = 0. Demosrar que esa ecuación no puee ener ora raíz real.. Demuesre que e p q p < e q e p < e q q p, si p < q.. Demuesre que ln +, para 0. +. Demuesre que:. ln < si > 0. e > +, si 0. e > e si >. 4. Calcule el c para el cual se iene que ln c es igual a la peniene e la reca que pasa por, 0 y e,. 5. Deermine monoonía, valores eremos, concavia y punos e infleión e la función. h = ln. g = + ln 6. Graficar las siguienes funciones hacieno el analisis corresponiene. f =. f =. f = e 4. f = log + 5. f = 6. f = e 7. f = ep 9. f = ep + +. f = log 5 0. f = ln e. f = log +. f = e / 4. f = e / 8. f = ln ln 6
7. Encuenre el área e la región acoaa por y = e + e, y = 0, = ln 5 y = ln 5. 8. Encuenre el área e la región acoaa por y = e e, y = 0, y = ln. 9. Encuenre el área e la región acoaa por y = e e 0. Calcular las siguienes inegrales. 6.. 5. 0. 4. 9.. 7. 4. 46. 50. 54. 57. e. e + 7.. sen + cos sen 4 cos 4 + 4 e 99 ln. e, y = 0, = 8 y = 8. + e e 7 ln 4. 5 ln 5 log 8. ln 9. an. 6 / ln 6 e 4. 6. e 5. + +. 0. ln 4 4. e e + e 4. 7 47. e 7. ln 4 8. e e n log e. n ln 5 4 6. e e. a 7. a cos ln 4 sen + cos e 5. sen e 8. 9. 7 5 40. e e 5e + e + log log 4 log 5 44. 48. e e + e 5. e 5. log 55. 56. ln ln ln e arcan + ln + e 58. + 59. ln 7e 4 6 5. e 0. e co a ln sen a an 9.. 5e e ae m 8.. + e 4 e + ln e co ln sen 6. an sen 4. ln e sen 45. sec 49. ln sec + 4 arcan + 4 5. ln ln ln ln ln ln e + e 4e + ln a ln csc sen cos e sen e e sec cos e ln 5 60. 7 4 6. e 5 e 6. 5 6. sen + ln 7
64. 68. 7. 77. 8. log 5 65. cos sen sen + 5 + 7. 7 78. + 4 log 66. 4 ln ln 4 67. e 69. 5 + e 70. a 74. 7 7 + 5 + ln + 8. + 79. sec 75. ln 0 7 + 5 log 4 log 4 log 4 80. csc 76. e 8. 7. 5 e ln + + + ln 5 0 e e e + 84. 8 6 4 85.. Demuesre las siguienes ieniaes 0 86. e 4 e ln. senh = senh. cosh = cosh. cosh + senh = e 4. cosh senh = e 5. senh + y = senh cosh y + cosh senh y 6. cosh + y = cosh cosh y + senh senh y 7. coh = csch 8. anh + y = anh + anh y + anh anh y 9. sech = senh cosh 0. cosh = cosh + senh. senh = ± cosh +. cosh =. anh ln = + cosh 4. + anh anh = e 5. cosh + senh n = cosh n + senh n, one n es cualquier número real.. Si senh =, encuenre los valores e las oras funciones hiperbólicas en. 4. Si anh = 4, encuenre los valores e las oras funciones hiperbólicas en. 5 4. Uilice las efiniciones e las funciones hiperbólicas para enconrar los siguienes límies. lim anh. lim anh. lim senh 4. lim senh 5. lim sech 6. lim coh 7. lim coh 8. lim coh 9. lim csch 0 + 0 5. Demosrar que. 4. senh = cosh. cosh = senh. anh = sech csch = csch coh 5. sech = sech anh 6. coh = csch 8
6. Demosrar que la función seno hiperbólico es coninua y creciene en oo su ominio. 7. Demosrar que la función angene hiperbólico es coninua y creciene en oo su ominio. 8. Demosrar que la función coseno hiperbólico es coninua en oo su ominio, pero no es monóona en oo su ominio. Enconrar los inervalos en los cuales es creciene y los inervalos en los cuales es ecreciene. 9. Hallar las funciones inversas, si eisen, e. f = senh. f = cosh. f = anh 4. f = csch 5. f = sech 6. f = coh 0. Demosrar que. senh = +. cosh =. anh = 4. csch = + 5. sech = 6. coh =. Hallar la primera erivaa e las siguienes funciones. f = e senh. f = anh. f = cosh 4 4. f = cosh 4 5. f = e coh 6. f = sech 7. f = ln senh 8. f = anh e 9. f = cos senh 0. f = cosh. f = cosh. f = e anh cosh cosh. f = e cosh 4. f = ln senh 4 5. f = anh + ln 6. f = anh a 9. f = coh 7. f = csch 4 8. f = senh 9 + 0. f = coh 4 + +. f = anh 5. f = ln senh. f = senh 4. f = anh senh 5 5. f = ln anh 6. f = sech 7. f = senh anh 8. f = senh 9. f = cosh anh 0. f = ln coh csch. Deermine en qué puno e la curva y = cosh la angene iene peniene.. Si = ln sec θ + an θ, emuesre que sec θ = cosh. 4. Demosrar que una caenaria es cóncava hacia arriba en caa puno. 5. Calcular las siguienes inegrales. sech. senh. 6. anh 7. 4 + 8. anh 4. 9. coh 5. senh 0. senh + cosh 0 9
. 5. sech 4. csch 6. anh cosh 4 7. cosh 7. 0 senh 4. senh 8. senh 4 cosh anh ln cosh 9. senh 5 6. Enconrar el área e la región limiaa por la caenaria y = a cos, el eje y, el eje y la reca =, a one > 0. 7. Calcular el área bajo la gráfica e y = cosh en el inervalo [, ]. 8. Obenga el área e la región comprenia enre la gráfica e y = senh y el eje en [, ]. 9. Deermine el área e la región limiaa por las gráficas e y = cosh, y =, = y =.. Purcell, E. - Varberg, D: Cálculo con Geomería Analíica. Novena Eición. Prenice Hall.. Sewar, J.: Cálculo. Grupo Eiorial Iberoamericano. Bibliografía Cálculo Diferencial e Inegral - Funciones rascenenales. Úlima acualizacón: Enero 00 Prof. Farih Briceño e-mail : farih 7@homail.com 0