División: Pr, E R, * O, -;-, ḇ o /. (que se lee " dividido " o " sore ") denot l número.( - 1). Not: -;- no está definido cundo = O. ORDEN ENR Existe un suconjunto de R, denotdo R + Y cuyos elementos son llmdos números reles positivos, que stisfce los siguientes xioms: Si,ER+,entonces +ER+ y ER+ Si E R Y * O, entonces E R + o - E R + pero no ms coss. (Si - E R + se dice que es negtivo). A prtir de los xioms nteriores, dmos significdo los símolos> (myor que) y < (menor que), sí: Pr, E R, > (o < ) signific que - es positivo, es decir, que - E R + Nótese que > O signific que es positivo, y que < O signific que es negtivo. Los símolos ~ (myor o igul que) y ~ (menor o igul que) tienen el siguiente significdo: ~ (o ~ ) SI > o = Hechos importntes Si E R Y * O, entonces > O. Pr todo E R, se tiene que ~ O. Como 1* O,entonces 1=1 > O, esto es 1> O. Pr,, c E R, se tienen ls siguientes propieddes: o Si < y < c,entonces < c.
o Si ~ Y ~ c, entonces ~ c. o Si ~ Y < c, entonces < c. o Si > Y > c, entonces > c. Si, E R, se stisfce un y sólo un de ls siguientes firmciones: =, < o >. Pr,, CE R, se tienen ls siguientes propieddes: o Si <, entonces + c < + C. El recíproco tmién es cierto, es decir, SI +c < +c, entonces < (se otiene sumndo - c mos ldos de l desiguldd). o Si ~, entonces + c ~ + C. El recíproco tmién es cierto. o Si < Y c > O, entonces c < c. o Si ~ Y c > O, entonces c ~ c. o Si < Y c < O, entonces c > c. Por ejemplo, <5 pero (-3»5(-3), porque -6>-15. o Si ~ Y c < O, entonces c ~ c. o Si > O, entonces - < O. o Si < O, entonces - > O. 1 o Si > O, entonces > O. 1 o Si < O, entonces < O. o Si > O, entonces > O Y > O, o, < O Y < O. El recíproco tmién es cierto, esto es, si > O Y > O, o, < O Y < O, entonces > O. o Si < O, entonces > O Y < O, o, < O Y > O. El recíproco tmién es cierto. o Si ~ O, entonces ~ O Y ~ O, o, ~ O Y ~ O. El recíproco tmién es cierto. o Si ~ O, entonces ~ O Y ~ O, o, ~ O Y ~ O. El recíproco tmién es cierto. o Si > O, entonces > O Y > O, o, < O Y < O. El recíproco tmién es cierto. o Si ~ O, entonces ~ O Y > O, o, ~ O Y < O. El recíproco tmién es cierto. o Si <, siempre existe c E R tl que < c <. Por ejemplo, c = + es tl que + < <. Por tnto existen infinidd de números entre y, pues tmién, + e c+ estnn., etc. Aún más, se puede estlecer un correspondenci iunívoc entre los números reles que hy entre y Y todo el conjunto de los números reles R. Est correspondenci está sugerid en el siguiente diujo: 3
-f(--------4)---+1 Segmento ierto de extremos y R (Se curv el segmento hciendo coincidir con. Se trzn segmentos desde donde coinciden hst l rect rel R. Siempre hrá dos puntos de corte: uno del segmento curvdo y otro de l rect rel. De hí se infiere l correspondenci iunívoc. Así por ejemplo, entre 0.1 y 0. hy tntos números reles como los que hy en l rect rel R) Axiom de completitud o de continuidd de los Números Reles Existe un correspondenci iunívoc entre el conjunto de los números reles R y el conjunto de puntos sore un rect: I I I I I I I I I 11 I IR -7-6 -5-4 -3 - -1 o 1 -/3 3 4 5 6 7 J e 1T.J=1.414... ;.[j=1.73... ; e =.718... ; 1t = 3.141... y se stisfce el siguiente xiom: Sen A y B suconjuntos no vcíos de R tles que ~ pr cd E A y cd E B. Entonces existe CE R tl que ~ c y c ~, culesquier sen E A Y E B. Tmién se tienen ls siguientes propieddes: Si <, existe h > O tl que + h =. No existe número rel tl que x ~ pr todo número rel x. Esto signific que el conjunto de los números reles R no es cotdo superiormente. No existe número rel tl que x ~ pr todo número rel x. Esto signific que el conjunto de los números reles R no es cotdo inferiormente. Si x E R stisfce O~ x < E pr todo E > O, dee ser x = o. (En efecto, como x ~ O, si fuese x > O, como x < E pr todo E> O, serí en prticulr x < x, lo que contrdice que x = x). 4
Lo nterior signific que el único número rel no negtivo que es tn pequeño como uno quier es el O, es decir, el único infinitesiml no negtivo en R es el cero. Est propiedd se utiliz cundo es dificil pror directmente que dos expresiones y en R son igules, prondo que, por ejemplo, se stisfce O~ - < e pr todo e > O Y concluyendo entonces que - =O, es decir, =. Areviciones: Si < y < c, se revi < < c. Sí ~ y < c, se revi ~ < c. Algunos suconjuntos especiles de R N = {1,,3,... }: Conjunto de los números nturles. z = {., - 3, -, - 1, O, 1,,3,... }: Conjunto de los números enteros. Q = { m/n: m, n E Z y n::f- O }: Conjunto de los números rcionles. 1 = { E R: no es rcionl C ~ Q) }: Conjunto de los números irrcionles. Se tiene que N e Z e Q e R y que Q u 1 = R. Ejemplo: ±, -~EQ; 1,13, e, 7t E I Operciones con frccionrios o querdos (propieddes que se desprenden de los primeros xioms) 1. ~+~ = + c c c. 1 3 1+3 4 Ejemplo: - + - = -- = - = 1 444 4 3/4. ~ + ~ = d + c d d 5
MA TEMÁTlCAS BÁSICAS 1l L,.,.,-,---L._--l1 ~I.-..I..l.-l-'---J...--'---l 1I3 = 16 1/ = 3/6 3. ~~=~ d d. I I (IXI) I Ejemplo: -- = --= 43 (4X3) 1 I 1I (1I4XIl3) =1I1 curt prte de UJt tercio = UJt docevo. 1 I (X3) Ejemplo: +- =-+- =--= 6 3 I 3 (IXI) /(1I3) = 6 dos wriddes dividids en tercios d seis 5. - (- ) = ; ( -1 t = siempre que *- ü. 6. (- )=-()=(-); - =_ = siempre que *-ü. - 7. - (+)=-- ; (t l =- 1-1 siempre que *- ü y *-ü. ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES ( ± l = ± + (±)3 = 3 ± 3 + 3 ± 3 ( + X - ) = ( + X - + 1/ )= 3 + h 3 6