TEMA 5: FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 5: FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD 5. Funciones reales PÁGINA. Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa para almacenar un líquido colorante con un volumen de 500 c m. Las cajas tienen la base cuadrada. Llama a la longitud del lado de la base encuentra una función que indique los metros cuadrados de latón necesarios en función de. El volumen de la caja será área de la base por la altura a Pero este volumen es de 500 c m De ahí que: 500 a a 500 Ahora tenemos que calcular la superficie de las cinco caras de la caja de latón. superficie de la base: superficie de las caras laterales: a 500 500 Por último, la superficie total será: f 4 500 Tareas 9--; todos los ejercicios que faltan de la página. 5. Operaciones con funciones PÁGINA 4 Dadas las funciones f g 9 Calcula el dominio la epresión de la funciones: a. f g f g f g 9 9 9 Tendremos problemas cuando el denominador sea cero: 9 0 9 9 Estos dos números reales ha que quitarlos pues anulan el denominador. Por otro, sólo podemos hacer raíces cuadrada de números positivos o cero: 0 Para estos valores de si puedo calcular Conclusión: Domf R/,

Tareas 9--; todos los ejercicios que faltan del 4. 5 Escribe las siguientes funciones como composición de funciones elementales: b N sine e sine sine Tenemos las siguientes funciones: f e g sin h De esta forma resulta que N hgf h g f Tareas 9--: todos los ejercicios que faltan del 5 5. Límites de una función en un punto PÁGINA 5 6 Audándote de la calculadora, obtén los siguientes límites: h) En esta función ocurre que para, el denominador se hace cero. Hacemos una tabla de valores próimos a.. 0. 0. 0 60. 0. 00. 00. 00 600. 0. 000. 000. 000 6000.. 9. 9. 9 57. 0. 99. 99. 99 597. 0. 999. 999. 999 5997. 0 Deducimos de la tabla que: Por tanto no eiste el pues los límites por la izquierda por la derecha no coinciden.

Tareas 0--; todos los ejercicios que faltan del 6 7 Escribe una posible epresión para una función f, definida a trozos que cumpla: b) f f f 5 Te valdría cualquier función que siendo continua tenga un agujero en el punto, ; para el valor tomaría el valor 5. f if 5 if 6 5 4-5 -4 - - - 4 5 - - - -4 La recta tendría un agujero en, B. Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 7 8 Calcula si eisten, f if f f 4 if 4 5 if 4 pintamos una semirecta siendo f la función:

Tabla de valores - - 0 4 pintamos un trozo de la parábola - Tabla de valores 0 0 4 7 4 pintamos una semirecta 5 Tabla de valores 4-7 6-7 Teniendo en cuenta la gráfica de la función va a ser: 40 0 0 0-0 -8-6 -4-4 6 8 0-0 -0-0 -40 f pues f f son iguales 4

4 f no eiste pues 5.4 Límites infinitos f 5 4 7 4 4 f 4 7 son distintos PÁGINA 6 9 Calcula los siguientes límites: c c.) e 0 Pues en el numerador tenemos valores positivos cada vez más próimos a mientras que en el denominador tenemos valores negativos cada vez más pequeños. a. c.) e 0 Pues en el numerador tenemos valores positivos cada vez más próimos a mientras que en el denominador tenemos valores positivos cada vez más pequeños. e no eiste pues los límites laterales son distintos. a. c.) 0 Observa su gráfica: Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 9 Tareas 0--: 0 5.5 Límites en el infinito PÁGINA 7 Calcula los siguientes límites: d ln Cuando el denominador se va haciendo más grande, el cociente se va haciendo más pequeño por lo que al aplicarle el ln nos van saliendo cada vez valores más grandes en número con el signo negativo. Recordamos que: ln e En nuestro caso es ln 0 a e a 0, pero esto último se consigue sólo cuando el eponente es negativo cada vez maor. Debes de saber que e e 0, es decir, nos acercamos a valores próimos a cero por la derecha. Observa su gráfica: 5

Tareas 04--: todos los ejercicios que faltan del. OTRA FORMA DE HACERLO. ln ln ln 0 ln ln ln Calcula los valores de a para que: a a a a a a a a a a a a 0 0 a a a a a a a a a a a a Tenemos que a a a a 6 a a 6 0 a Ecuación de º grado completa con b c 6 a b b 4ac 4 6 a 5 5 6 5 4 Tareas 04--: problema de la página 7. 5.6 Cálculo de límites EJERCICIOS DE LA PÁGINA 9 4 Calcula f en los siguientes casos:. d 4 4 4 4 0 0 indeterminación 4 4 4 Tareas 04--: todos los ejercicios que faltan del 4. 4 a 5 6

5 Calcula estos límites. e c f 0 e e 0 pues e 40 0 00 80 60 40 0-5 -4 - - - 0 4 5. Se ve claramente que según los valores de aumentan las alturas se van haciendo maores. Tareas 04--: todos los ejercicios que faltan del 5. 6 Calcula estos límites. Si dan lugar a indeterminaciones, indica de que tipo son resuelvelas. b f INDETERMINACIÓN!!!!! 4 Finalmente: 4 9 5 5 0 4 0 0 0 4 4 j Finalmente: indeterminación!!!!!!! 0 7

Tareas 0--0: todos los ejercicios que faltan del 6 5.7 Continuidad en un punto en un intervalo. Gráficas de algunas funciones elementales 00 50 00 50-5 -4 - - - 0 4 5 00 50 00 50 log -5-4 - - - 0 4 5 8

0 0-4 5 6 7 8 9 0-0 log 0 0-4 5 6 7 8 9 0-0 sin.0 0.8 0.6 0.4 0. -5-4 - - - 4 5-0. -0.4-0.6-0.8 -.0 tan 9

-5-4 - - - 4 5 - - csc cosecante -5-4 - - - 4 5 - - Ejercicios página 7 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, especificando en su caso el tipo de discontinuidad. b f Recordemos que if if if 0 if 0 0 0 Sabemos que: Vamos a trabajar por separado las desigualdades obtenidas: b. 0 Esto ocurrirá cuando se de una de estas dos posibilidades: 0 0 0 conclusión 0

0 0 0 conclusión 0 b. 0 Esto ocurrirá cuando se de una de estas dos posibilidades: 0 0 0 conclusión vacio 0 0 0 conclusión 0 Finalmente la función queda definida a trozos de la siguiente forma: if 0 f if 0 if Atención, esta función está definida en R Vamos a representar los trozos: if 0 Para ello hacemos una tabla de valores: si 0 0 0 0 si 5 0. 4 si 4 4 4 4 7 if 0 0. 57 4 Para ello hacemos una tabla de valores: si 0. 5 0. 5 0. 0. 5 si 0. 5 si. 5. 5 5. 0. 5 if Para ello hacemos una tabla de valores: si. 5. 5. 5 7. 0 si 6 6 6. si 9 9 9. 5 0 - -4 0 0.4 0.6 0.5.5 0. 0.5 5.5 6 9 7.5

0 5 0 5-0 -8-6 -4-4 6 8 0 Podemos decir que por ahora la función es continua en R 0,. En estos puntos hemos de estudiar la continuidad: continuidad en 0? f0 f? 0 f0 0 0 0 f eistirá si eisten los límites laterales: 0 f 0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 Entonces, como los dos límites laterales coinciden, se tiene que f 0 0 Como se cumple que f0 f, entonces f es continua en 0 0 continuidad en? f f? Nunca será continua en pues no eiste f dado que el denominador es cero. Por otro lado hemos de estudiar los límites laterales: f 0 f 0 Como estos dos límites laterales son iguales es f No se trata de una discontinuidad de salto finito ni de salto infinito, sencillamente se pierden por arriba sin llegar a tocarse nunca. Tareas --: todos los ejercicios que faltan del 7: 8:9 5. 8 Teoremas relacionados con la continuidad PÁGINA EJERCICIOS 0 Demuestra que la ecuación 5 0 tiene alguna solución real. Vamos a intentar aplicar el teorema de Bolzano. Definimos la función f 5 Esta función, por ser polinómica es continua en todo R. Hemos de determinar un intervalo cerrado de la recta real donde la función en los etremos tenga distinto signo. Calculamos f5 5 5 5 5 56 Calculamos f 5 Como en el intervalo cerrado, 5 la función es continua con habrá un punto c donde fc 0 f5 0 f 0, por el Teorema de Bolzano,

Tareas 4-0-0: todos los ejercicios que faltan de la página,. Ejercicios finales del tema 5 Sean las funciones f a b g c. Determina a, b c sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos,, 0 Para la función f se cumple que: f f 0 a b 7 a b a b a b 0 4 a b a b 0 Como se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas lo resolvemos por el método de reducción restando en columna: a 6 a 6 Sustituimos este valor de a para hallar el correspondiente valor de b: b b La función f Para la función g se cumple que: g g 0 c c 0 La función g La situación gráficamente sería: 4 c c 0 c 4 c Tareas 4-0-0: ejercicios 6,7 8 Escribe las siguientes funciones como composición de funciones elementales: d) D e sin 5 5 sin 5 sin 5 e Las funciones elementales son: f 5 sin 5 g sin h j e Por lo tanto D j h g f Tareas 5-0-0: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Sea f :

a) Calcula la función f f. b) Catalina asegura que f f 0, Gloria afirma que f f no eiste. Quién de las dos tiene razón? a) f f ff f b) Gloria tiene razón pues nos quedaría f f 0 0 no tiene sentido. 0 Calcula la función inversa de: b) f 5 Se cumple que f f f f Ha que hallar la epresión analítica de f Hacemos 5 Desjamos la en función de : 5 5 Definimos f 5 Comprobación: f f? f f f f f 5 5 5 f f? f f ff f 5 5 5 5 5 5 5 Una función su inversa son simétricas con respecto a la bisectriz de los cuadrantes º º. Tareas 5-0-0: todos los ejercicios que faltan del 0 Tareas 5-0-0: La función f 8 no está definida para. Con auda de la calculadora, obtén el 4 límite f Calculamos los límites laterales: f 4

Consideramos la tabla siguiente: Entonces f f 8 4. 9. 9 8. 9 4. 99. 99 8. 99 4. 999. 999 8. 999 4. 95 6. 99 5. 999 8 4.. 8. 075 6 Consideramos la tabla siguiente:. 4. 0. 0 8. 007 5. 0 4. 00. 00 8. 000 8. 00 4 Entonces f Conclusión f pues los límites laterales coinciden. 4 Si a f a g 5, calcula: f f) a 9 g 5 5 Tareas 5-0-0: todos los ejercicios que faltan del 4: 5 Dibuja en cada caso una gráfica para una posible función que se comporte de la siguiente manera cerca de. e) f f no está definida f f no eiste if sin if -5-4 - - - 4 5 - - - -4-5 Tareas 6-0-0: todos los ejercicios que faltan del 5 9 Calcula los límites siguientes: -6 5

f) 4 4 4 Tareas 6-0-0: todos los ejercicios que faltan del 9 40 Dibuja posibles gráficas para estas cuatro funciones de forma que cumplan estos dos requisitos cada una: f d) f f -0-8 -6-4 - 4 6 8 0-5 -0-5 -0 Tareas 6-0-0: todos los ejercicios que faltan del 40 4 Calcula los siguientes límites: b) Debemos de racionalizar! Así podemos aplicar a ba b a b Tareas 6-0-0: todos los ejercicios que faltan del 4 4 Calcula estos límites. No olvides estudiar los límites laterales. d) 5 6 4 4 5 6 4 4 4 4 0 8 4 6 0 0 indeterminación. Por lo tanto, es raiz del polinomio del numerador del denominador. Aplicamos la regla de Ruffini al numerador al denominador: d.) 5 6 d.) 4 4 5 6 6 0 RESTO 4 4 4 0 RESTO Se retoma el límite de la siguiente forma: 5 6 4 4 6

Hemos de estudiar los límites laterales: 0 0 5 6 4 4 0 Como los límites laterales son distintos no tenemos el límite. Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del 4 4 Calcula los siguientes límites: a) 8 8 9 0 0 indeterminación Racionalizamos!!!!! 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 8 8 8 8 Indeterminación!!!!! Hemos de racionalizar por el numerador denominador: 8 8 8 8 8 8 8 9 9 0 8 8 9 8 8 8 9 6 Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del 4. Tareas -0-0:44 45 Calcula todos estos límites: 4) 9 9 9 0 0 Tareas -0-0:,,,5,6 del 45 7) 5 Tareas -0-0: 8 del 45 0) 90 9 9 90 0 9 9 0 indeterminación Racionalizamos!!! 90 9 9 9 90 9 90 9 9 9 90 9 9 9 90 0 6 0 0 0 0 0 7

indeterminación Podemos aplicar la regla de Ruffini en 90 : 90 9 9 90 0 0 resto 90 0 9 Finalmente: 90 90 0 9 9 9 9 9 9 0 9 9 0 9 9 6 4 Tareas -0-0: 9,, ) 5 5 8 4 6 Esto se puede hacer pues al sustituir la por el valor al que tendemos no tenemos problemas de indeterminación. Tareas -0-0: 4,5,6,7,8 9) 0 0 0 0 Tareas -0-0: 0,, ) 0 0 0 4) 0 0?????? Tareas -0-0: 5,6 7) 5 indeterminación!!! Racionalizar: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Tareas -0-0: 8,9,0,,,,4,5,6 46 Analiza la representación gráfica de la función f calcula: f if 0 if if if 0 if 4 0 if 4 5 8

5 4-4 5 6 - a) f b) f c) f no eiste f f 4 d) f 4 e) f f) f g) f h) f4 no eiste De los puntos donde se ha calculado el límite, cuáles dan continuidad en dicho punto? Sólo tenemos continuidad en 5 Estudia la continuidad de las funciones siguientes: c) f Como se trata de una fracción algebraica (es decir, un cociente de polinomios), habrá problemas si el denominador es cero. Busquemos esos problemas!!!!!! 0 Por lo tanto, la función, por ahora, es continua en R. Por otro lado, se ve claramente que al sustituir por cualquiera de estos dos valores,, no se produce una situación distinta de, por lo que no eiste la función en esos puntos nunca podrá, por 0 tanto, ser continua en ellos. 9

-5-4 - - - 4 5 - - e) f ln Por la epresión de f, su Domf R 0,, en palabra, todos los números positivos. Dado un número positivo no ha problemas al elevarlo al cuadrado quitarle su logaritmo neperiano, por lo tanto la función es continua en todo su dominio. ln 0 8 6 4 0 8 6 4 0 4 5 Tareas -0-0: todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas -0-0:5,5,54 55 Calcula k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos. f if 5 4 k if 5 Se trata de una función definida a trozos. Es un trozo de parábola (en los puntos del plano tales que 5 una recta (en los puntos del plano tales que 5. Hemos de hacer que la parábola la recta coincidan sobre 5. Indudablemente, por ahora, la función es continua en R 5. Hemos de estudiar los límites laterales en 5 : f 5 5 5 4 f 4 k 4 5 k 0 k 5 5 Ha que forzar 4 0 k k 4 Para este valor de k se cumple que f f 5 5 0

5 f 4 f5 la función es continua en 5 f if 5 4 4 if 5 50 40 0 0 0-0 -8-6 -4-4 6 8 0 Tareas -0-0:56,58 57 Calcula los valores de a, b R para que la función: f a if 0 if 0 b if sea continua en todo punto. Se traza de una función definida a trozos que por las epresiones que dan en cada trozo cumple por ahora que es continua en R 0, 57.) Continua en 0? f f0? 0 Tal como la tenemos definida, hemos de calcular primero los límites laterales. 0 f a 0 a a 0 f 0 0 indeterminación Racionalizamos!!!! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 La continuidad nos pide que estos dos límites laterales sean iguales: a Por otro lado, f0 0 Luego la función es continua en 0 57.) Continua en? f f?

Tal como la tenemos definida, hemos de calcular primero los límites laterales. 0 f f b b b Como queremos continuidad en, los límites laterales han de ser iguales: b Por otro lado, f Luego la función es continua en Conclusión: if 0 f if 0 if -5-4 - - - 4 5 - - - -4 Tareas 4-0-0:59,60 6 Demuestra que la ecuación 5 5 0 tiene alguna solución real. Habremos de emplear el Teorema de Bolzano. Definimos la función g 5 5 Se trata de una función polinómica por lo que es continua en todo R. Hemos de encontrar un intervalo cerrado de R en cuos etremos la función tome valores de distinto signo. Tanteamos con: 0 g0 0 5 0 0 5 5 0 g 5 5 5 0 Resumiendo: g es continua en 0, tomando valores de distinto signo en los etremos del intervalo cerrado. Por el Teorema de Bolzano ha un c 0,, donde gc 0, es decir, la ecuación polinómica anterior tiene una solución real en el intervalo cerrado 0,. 5 5

70 60 50 40 0 0 0-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8.0..4.6.8.0..4 Tareas 4-0-0: 6,6 64 El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora, la siguiente función indicará en cada momento (t, medido en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en la lista de espera. t 8t 50 if 0 t 0 Pt 8t 00 if 0 t 0. 4t a) Confirma que dicha función es continua que, por tanto, no presenta un salto en t 0 Pt P0? 0 Hemos de calcular los límites laterales: Pt 0 0 t 8t 50 0 8 0 50 70 Pt 8t 00 8 0 00 70 0 0 0. 4t 0. 4 0 Por otro lado, P0 0 8 0 50 70 Como las tres son iguales, podemos concluir que la función es continua en t 0 b) Por mucho tiempo que pase, a qué porcentaje no se llegará nunca? Tenemos que calcular: Pt 8t 00 8t 0. 4t 8 0. 4t 0. 4 0. 8 4 95. 0 Nunca se llegará al 00% Tareas 4-0-0: 65,66 67 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I 8 6000 mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse, en este caso, mediante la función G 44 000 700000 donde, en ambas funciones, representa la cantidad de unidades vendidas. Determina: a) La función que define el beneficio anual en euros. B I G 8 6000 44 000 700000 6 4 000 700 000 b) La cantidad de unidades que han de ser vendidas para que el beneficio sea máimo. Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo pues el coeficiente de,6, es negativo. El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: cua primera coordenada es b a En nuestro caso es 4000 750 unidades 6 Entonces B750 6 750 4 000 750 700 000 800 000 euros