Matemáticas
Sesión No. 0 Nombre: Integrales Contetualización En esta sesión trabajaremos con el cálculo integral, nuestro objetivo es definir la anti derivada y la integral indefinida de una función diferencial así como aplicar algunas fórmulas básicas de integración. También aprenderemos a utilizar el teorema fundamental del cálculo que es una de las aplicaciones principales de la integral para el cálculo de áreas por debajo de una curva. Etraído de: http://knoji.com/images/user/cropped%0integral%0function().jpg sólo para fines educativos.
Introducción al Tema En la sesión anterior se trabajó el cálculo diferencial. Diferenciamos una función y obtuvimos otra función que era su derivada. El cálculo integral se ocupa del proceso inverso. Dada la derivada de una función se debe de encontrar la función original. La necesidad de hacer esto surge de manera natural. Por ejemplo, podemos tener una función de velocidad en función del tiempo y queremos encontrar la función de posición a partir de ella. Al trabajar el cálculo integral nos encontramos con las siguientes interrogantes: Qué es una integral indefinida? Qué es la constante de integración? Cuál es la diferencia entre la integral indefinida y la definida?
Eplicación Definición de integral indefinida. Una anti derivada de una función f, es una función F tal que F () = f() o en forma equivalente, en notación diferencial: df = f() d. Por ejemplo: D ( ) = y D ( -) = Tanto la primera epresión como la segunda son las anti derivadas de, es claro que como la derivada de una constante es cero, C es también la anti derivada de para cualquier constante C. Así, tiene un número infinito de anti derivadas. Por lo tanto se concluye que: Dos anti derivadas cualesquiera de una función difieren solo en una constante. Forma general de la integral indefinida: f ( ) d = F( ) C ; Donde: El símbolo se llama símbolo de integración, f() es el integrando; d es parte de la notación integral e indica la variable a integrar y C es la constante de integración. Cálculo de integrales Ahora se darán algunas fórmulas de integración básica para el cálculo de esta operación. Formulas básicas de integración:. kd = k C K es una constante
n n= cualquier número ecepto el n. d = C n -.. e d = e C n n n Donde k es una constante y n es. k d = k = k C n cualquier número real ecepto el -. d = d ln C Solamente cuando n= -. = m C n m m n n m 6. d = d = n Ejemplos: Resuelve las siguientes integrales Regla Resultado. d kd = k C C. 7 n d n d = C n 7 = 7 8 8 C. 6 d n k d = k n n = k C n 6 = 6 =. 6 e e d = e C 6 e C
. ( ) d 7 Aquí se deberán aplicar la regla, y 6 para este polinomio, ya que se integra termino por término C C 9 9 7 7 7 Aplicación de integrales Una de las principales aplicaciones de la integral es el uso del Teorema fundamental del calculo que es utilizado para calcular el área por debajo de una curva representada por una función f() en un intervalo determinado. Definición del teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b] y F es cualquier anti derivada de f en el intervalo, entonces = b a a F b F d f ) ( ) ( ) ( Es importante que entienda la diferencia entre una integral definida y una integral indefinida. La integral definida es un número definido como el límite de una suma. Ejemplo: encontrar ( ) 6 d Integremos cada uno de los términos que forma la epresión: = d d d 6 6 Simplificando nos quedara la siguiente anti derivada:
6 6 En esta epresión haremos las evaluaciones de los límites de la integral, recordemos que estos valores son - y, primeramente se sustituirá por el valor de 6 = () ( ) 6() = 7 9 8 = 8 Ahora haremos el mismo proceso pero con el valor de - 6 = ( ) ( ) 6( ) = 6 = Ahora ya para finalizar se realiza la resta de estos dos procesos: 8 = 8 = 96 = 8
7 Conclusión Una anti derivada o integral de una función f es una función F tal que F () = f(). Dos anti derivadas cualesquiera de f difieren cuando mucho en una constante. La anti derivada más general de f se llama integral indefinida de f y se denota f ( ) d. Así que, f ( ) d = F( ) C Las fórmulas que se nos dan son para calcular distintas anti derivadas, se deben de utilizar de manera apropiada identificando primeramente la forma que se tiene para integrar. Una de las principales aplicaciones de la integral es el teorema fundamental del cálculo, su uso principal es para calcular el área por debajo de la curva que se tiene de la función F() en un intervalo [a, b]. En la siguiente sesión iniciaremos nuestro aprendizaje en las matemáticas financieras a través de los temas de interés simple y compuesto.
8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Integral indefinida. Recuperado el día de abril del 0 de: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html Ejercicios resueltos de integrales indefinidas inmediatas. Recuperado el día de abril del 0 de: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd97/problemas/--p-inm.html Teorema fundamental del cálculo. Recuperado el día de abril del 0 de: http://www.cs.buap.m/~fjrobles/teofun.pdf Video donde se eplica el concepto de anti derivada Recuperado el día de abril del 0 de: http://www.youtube.com/watch?v=rh6pynfq Recuperado el día de abril del 0 de: https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definiteintegrals/indefinite_integrals/v/antiderivatives-and-indefinite-integrals Video que eplica el teorema fundamental del cálculo: Recuperado el día de abril del 0 de: http://www.youtube.com/watch?v=rqv70-xc7e Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éito.
9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las integrales, calcula lo siguiente:. ( ). d. ( ) d d Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma.
0 Bibliografía Haussler, E. (997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. Méico, Méico. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.