Guí de cálculo Integrl Periodo Agosto-Diciembre Mestro: Gbriel Flores Sánchez gosto 7
ETAPA DE APERTURA Se pretende que en est etp de l secuenci, y trvés de l estrtegi: ejercicio vivencil, el lumno identifique y describ ls eperiencis y conocimientos previos, medinte: Actividd. Determin l derivd de ls funciones lgebrics que se indicn medinte el uso de los teorems respectivos. ETAPA DE DESARROLLO Desrrollo de sberes (Conocimientos previos): Se pretende que en est etp de l secuenci, el fcilitdor, medinte l técnics epositiv, desrrolle el nivel conceptul y estructur cognitiv en los lumnos, pr resolver decudmente ls ctividdes de conclusión y cierre de cuerdo : L diferencil Aprendizjes Describir gráficmente l diferencil de un función. Clculr por proimción el áre y volúmenes de figurs y cuerpos geométricos, plicndo el concepto de diferencil. Clculr por proimción ls ríces o potencis no ects, plicndo el concepto de diferencil. Determinr l diferencil de un función L diferencil de un función. En l práctic uno relizste cálculos pr obtener el incremento tnto del áre como del perímetro de un cudrdo, hor se te presentrá un form más sencill de obtenerlo utilizndo l derivd de un función, pr ello se bordrá el tem de l diferencil de un función y posteriormente se te proporcionrán lgunos ejemplos de su utilidd. L diferencil de un función (dy) en un punto ( o, y o ) es el incremento de l ordend medido sobre l tngente l curv representtiv en ese punto. Si f() es un función que represent un medid físic, su diferencil es un estimción del error bsoluto de dich medid. El error bsoluto es l diferenci entre el vlor proimdo y el vlor ecto. L diferenci entre l diferencil de l función dy, y el incremento de l función Δy, se le conoce como el error, el cul se visuliz en l siguiente gráfic:
Al observr l gráfic de l rect tngente trzd en el punto o, se tiene que el ángulo de inclinción es l rzón que eiste entre dy y Δ. El ángulo de inclinción de un rect equivle l pendiente de l rect tngente en el punto menciondo, este tem lo estudiste en Mtemátics y se epres como sigue: Ahor bien si se denot Δ como d, se obtiene: Despejndo dy se logr l form de obtener l diferencil de l función. Anteriormente se mencionó que pr resolver problems de incrementos, como el menciondo en l ctividd, er más sencillo de resolverlo con l diferencil, es por ello que se retomrá ese problem y se resolverá utilizndo l diferencil. Teorems sobre Diferenciles. Considerndo que l diferencil de un función es el producto de su derivd por l diferencil de l vrible independiente, se cept que cd fórmul de derivción (vists en l signtur de Cálculo Diferencil), le corresponde un diferencición que se detllrá continución.
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO A continución se presentn vrios ejemplos donde se clcul l diferencil de funciones, utilizndo ls fórmuls de diferencición. Ejemplos:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO. Ejercicio. Determin l diferencil de ls siguientes funciones. dy= (-)d
dy=( - - - - - )d dy=8cos( -8)d d= sec tn d 7
dy= 7 ( 8 +) 9 d APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Ejemplo. Tomndo en cuent que se trzó un cudrdo cuyo ldo mide uniddes. ) Si l longitud de sus ldos se increment medi unidd, cuánto se incrementrá su perímetro? Cundo se posee l cudrícul es sencillo contr de form direct el incremento del perímetro cundo son uniddes enters, pero cundo no lo son, se puede recurrir l diferencil, como se muestr continución. Se denominrá : L : como l longitud del ldo del cudrdo. P : es el perímetro del cudrdo. Considerndo que se solicit el incremento del perímetro, se epres l función correspondiente: P L Tomndo l fórmul de l diferencil dy = f ()d, justándol l notción de este problem, se epres: Donde: dp = P (L)dL dp signific el incremento del perímetro. P (L) es l derivd de l función perímetro. dl es el incremento de l longitud de su ldo. 8
Por lo tnto l tomr en considerción que l longitud del ldo se incrementó en un unidd y l derivd del perímetro, se obtiene: El perímetro se incrementó uniddes. b) Si l longitud de sus ldos se increment un curto de unidd, cuánto se incrementrá su áre? Se denominrá : L : como l longitud del ldo del cudrdo. A : es el áre del cudrdo. El áre del cudrdo se epres como: A = L L diferencil del áre qued de l siguiente form: Donde: da = A = (L)dL da signific el incremento del áre. A (L) es l derivd de l función áre. dl es el incremento de l longitud de su ldo. Al tomr en considerción que l longitud del ldo se incrementó en dos uniddes y l derivd del áre, se obtiene: El áre se incrementó. uniddes cudrds. Ejemplo. Obtener el vlor proimdo del incremento en el volumen de un cubo, cuyos ldos miden (o tienen un longitud de) m, considerndo un umento de. por ldo. Se hce un bosquejo del problem pr entender qué se está pidiendo. 9
El volumen originl del cubo es: Entonces el diferencil del volumen es: dv= L dl Entonces, dv represent el incremento de volumen y dl represent el umento del ldo, sí que sustituyendo los vlores se obtiene: Esto signific que el cubo umentó. m. Ejemplo. Hllr el vlor proimdo del volumen de un cáscr esféric de mm de diámetro eterior y mm de espesor. Primero se tiene que bosquejr el dibujo que represent el problem, pr entenderlo mejor. Se muestr l esfer: El volumen de l cáscr es l prte sólid de l esfer, l cul se visuliz como un incremento del volumen que ocup l esfer en su interior, por lo tnto, es lo mismo que obtener el incremento de volumen de un esfer de rdio inicil 99 mm con un umento de mm de rdio.
L fórmul del volumen de un esfer es: Sustituyendo los dtos se obtiene: El volumen de l cáscr es proimdmente de, mm Ejemplo. Al clentr un plc cudrd metálic de cm. de longitud, su ldo ument. cm. Cuánto umentó proimdmente su áre? Encontrr el umento de áre es lo mismo que encontrr el da. L fórmul del áre de un cudrdo es: A = L Donde L es l longitud uno de los ldos del cudrdo. Sustituyendo los dtos se tiene: da = LdL Por lo tnto, el áre present un umento de. cm Ejemplo. Al enfrir un plc cudrd metálic de cm. de longitud, su ldo disminuye un.%. Cuánto disminuirá porcentulmente su áre? Utilizndo diferencil de áre pr resolver el problem se tiene: El.% que disminuye equivle. cm, pr verificr esto se multiplic cm por..
Pr clculr cuánto disminuyó porcentulmente el áre, se tiene que dividir el diferencil del áre entre el áre inicil y multiplicrlo por cien. Por lo tnto su disminución porcentul se obtiene de l siguiente form: Si el ldo de l lámin disminuye el.%, su áre disminuye el.% Además de ls plicciones de l diferencil en el cálculo proimdo de incrementos, podemos clculr o determinr proimciones de rdicles. Ejemplo Utilizr el concepto de diferencil pr estimr el vlor de Solución. Sbemos que =. Por tnto, se necesit estimción pr el incremento de, desde 7. L diferencil en este cso es: Con = y d =, el vlor de dy es: Signific que un vrición de desde hst 7 ument el vlor de l ríz cudrd en proimdmente. uniddes. Por lo tnto: Ahor bien, se puede comprobr que (.) = 7. por lo que nuestr estimción está muy cercn l vlor indicdo en l ríz ACTIVIDAD DE DESARROLLO. Ejercicio. Resuelve los siguientes problems de plicción de l diferencil. L pred lterl de un depósito cilíndrico de rdio cm y ltur m, debe revestirse con un cp de concreto de cm de espesor. Cuál es proimdmente l cntidd de concreto que se requiere? Resp: 97cm =.97m
. Clcul el incremento del áre de un cudrdo cuyos ldos tienen un longitud de 7 m, considerndo que éstos umentron mm. Resp: mm =.m. Clcul el incremento proimdo del volumen de un cubo cuyos ldos miden 7. m, considerndo un umento de.7 m por ldo. Resp:.9m. Si l medid de l rist de un cubo es pulgds, con un posible error de. pulgds, estimr medinte diferenciles el máimo error posible cometido l clculr: ) El volumen del cubo. Resp:.9 p b) El áre del cubo. Resp:.p. Estimr el vlor de medinte diferenciles. Después comprr l estimción con el resultdo obtenido con un clculdor Resp:.
. Estimr el vlor de medinte diferenciles. Después comprr l estimción con el resultdo obtenido con un clculdor Resp:.987 ACTIVIDAD DE DESARROLLO. Ejercicio.- De mner individul. Complet l siguiente tbl y contest lo que se te solicit: ) Qué puedes decir de los resultdos que obtuviste en l tbl? b) Si sbes que l derivd de F() es l función f ()=, cómo es F()? c) Si sbes que l derivd de F() es l función f()= n n-, cómo es F()? ANTIDERIVADA Introducción En el trnscurso de tus estudios de bchillerto te hs ddo cuent que en Mtemátics se hbl de procedimientos inversos, en los cules se puede incluir ls operciones básics, sí como tmbién lgunos tems de álgebr, por ejemplo, en ls operciones básics, se identific l sum como el inverso de l rest, l multiplicción como el inverso de l división, l potencición como l invers de l rdiclizción y vicevers. Otro ejemplo que se puede observr es el de los productos notbles como lo inverso de l fctorizción y vicevers. En el curso de Cálculo Diferencil e Integrl trbjste con el concepto de derivd, en el cul derivste lguns funciones, no te hs preguntdo: cuál será el proceso inverso derivr un función? Es
decir, si se conoce l derivd de un función, cómo se puede conocer l función cuy derivd es l función que se conoce? Definición de ntiderivd. Un ntiderivd de un función f() es otr función F() que cumple: F () = f() Ejemplo. Al clculr l ntiderivd de l función f() = se obtiene F() =. L justificción de lo nterior es debido que F () =. Pero ést no es l únic ntiderivd que puede tener f() =, porque tmbién puede ser F() = +, debido que F () =. Esto signific que si se ñde culquier constnte F() =, se formrán un infinidd de funciones, ls cules serán l ntiderivd de f() =. Geométricmente se puede visulizr de l siguiente form: En l gráfic se observ vris funciones cudrátics que se diferencin entre sí debido que se desplz verticlmente dos uniddes cd vez, es decir se tiene: Tmbién se grficó l rect tngente en cd un de ells, cundo =; nótese que tods ls rects son prlels, es decir tienen l mism pendiente, por lo tnto, l ser l derivd de un función l pendiente de l rect tngente, se deduce que tods funciones nteriores tienen l mism derivd. En este cso F () = Como puedes observr, l ntiderivd de un función f() no es únic, y que se puede encontrr un infinidd de funciones cuy derivd será f(), sin embrgo, es importnte observr que tods ess funciones se diferencirán únicmente por un constnte, de tl form que en generl se dice que:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO. Ejercicio. Individulmente y de cuerdo l informción nterior. Determin l ntiderivd de ls siguientes funciones.
L integrl indefinid Aprendizjes Identificr ls propieddes básics de l integrl indefinid. Determinr l función originl prtir de su derivd. Clculr l integrl indefinid de funciones lgebrics. Clculr l integrl indefinid de funciones trscendentes. En el estudio del cálculo integrl es muy importnte que identifiques que dd l derivd de un función, encuentres l función originl, esto es, l ntiderivd o primitiv de l función, l cul le llmremos integrl indefinid. Pr diferencir l integrl definid de l integrl indefinid, ést no se le escriben los límites de integrción, sino que se le greg un c que signific constnte de integrción, f() se le llm integrndo y represent l vrible de integrción, l representmos con l siguiente Definición d Llmmos F un ntiderivd de f en el intervlo I, si F( ) f ( ) d en I, es decir, si F () = f() pr tod en I, esto es: f ( ) d F( ) c sí y sólo si F'( ) f ( ) Est definición se puede interpretr de l siguiente mner: Al integrr un función f() obtenemos como resultdo F(); si este resultdo se deriv obtendremos como resultdo l integrndo y demás nos sirve como comprobción. Propieddes básics de l integrl indefinid. Observ ls siguientes propieddes, ls cules debemos tomr en cuent pr el cálculo de integrles indefinids. Sí f es integrble y k es un número rel culquier, entonces kf es integrble. k f ( ) d k f ( ) d Sen f y g dos funciones integrbles, entonces: i) ii) f ( ) g( ) d f ( ) d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d g( ) d Un fctor constnte k puede escribirse ntes del signo de integrl, donde c es l constnte de integrción. 7
k d k d k c Regl de ls potencis pr integrles indefinids. d n n n Donde el eponente n es un número rcionl y n - En ls funciones trscendentes se encuentrn ls trigonométrics, ls eponenciles y ls logrítmics. Pr clculr este tipo de integrles se usn ls siguientes fórmuls de integrción. c sen u du cosu c cosu du sen u c tnu du ln secu c sec csc u du tnu c u du cotu c secu tnu du secu c cscu cot u du cscu c cot u du ln sen u c secu du ln secu tnu c csc u du ln cscu cotu c e u du e c du ln u c u u u du c ln u APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observ en los siguientes ejemplos cómo se plicn ls propieddes de l integrl indefinid. Vmos clculr l siguiente integrl indefinid d Pso : El es un constnte que se puede escribir fuer de l integrl. d Pso : Pr encontrr un ntiderivd de (o se l primitiv) plicmos l fórmul siguiente: d o se que: n d n n c d Pso : Se relizn ls operciones indicds y se obtiene finlmente el resultdo. d c c Pr relizr l comprobción de l integrl, se deriv el resultdo, esto es: 8
9 d c d c d d Recuerd que l derivd de un constnte es igul cero. Al simplificr se obtiene l integrndo. c d d Not: recuerd que l hcer mención de l ntiderivd o primitiv nos estmos refiriendo l integrl indefinid. Ahor vemos l plicción de ests propieddes en un función polinomil. Clcul l integrl indefinid d y reliz l comprobción. Pso : Se escribe l integrl, recordndo que l sum o rest de funciones es igul l sum o rest de ls integrles, esto es: d d d d d Pso : Los fctores constntes se escriben fuer de l integrl y se plic l fórmul de un potenci, como se muestr continución: d d d d d Pso : Se integr cd un de ésts. c d c d c d c d Pso : Se sustituyen los vlores, tomndo en cuent que c c c c c. c d Pso : Finlmente se simplific el resultdo. c d
Pr verificr el resultdo, se deriv el polinomio y se obtiene el integrndo. d d Simplificndo se obtiene: d d c c () Anliz los siguientes procedimientos pr clculr integrles indefinids trscendentes. Clcul l integrl indefinid sen d y reliz l comprobción. Pso : Este tipo de integrles se resuelven de form inmedit, por lo tnto: sen d cos c Pso : Se reliz l comprobción derivndo el resultdo. d d (cos c) d d cos d c d sen sen Ahor resuelve los siguientes ejercicios, plicndo ls propieddes de l integrl indefinid. ) Clcul l integrl 9 8 d y reliz l comprobción. b) Clcul l integrl cos d y reliz l comprobción.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO. I. INSTRUCCIONES: Anliz con tención cd uno de los siguientes epresiones y clcul ls integrles plicndo el método de integrción respectivo.. 7 d. 8 d. d. d. d. d 7. 9 d
8. d 9. d II. INSTRUCCIONES: Anliz ls siguientes epresiones y plicndo el procedimiento decudo, clcul ls integrles trscendentes.. ( e ) d. d. sec d. cos d sen. d 8. d
TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunt Respuest correct. c d 7 7. c d 8. c d 8 9. c d ) (. c d. c d 7. c d 9 9 8. c d 9. c d. c e d e. c d ln. c tn d sec. c d sen cos. c d cos sen. c d ln 8 8
Aplicción de l integrl. Aprendizjes Aplicr el método de sustitución l cálculo de integrles. Aplicr el método de integrción por prtes l cálculo de l integrl. I.- El método de sustitución o cmbio de vrible Consiste en sustituir l vrible por un nuev vrible; vemos el siguiente: Teorem: Se g un función derivble y supóngse que F es un ntiderivd de f. Entonces u = g(). f g( ) g'( ) d f ( u) du F( u) c F( g( )) Observ el siguiente ejemplo donde se plic este método. d.- Evlú l siguiente integrl: Pso : Se hce el cmbio de vrible, tomndo u, entonces l derivd de u es du d Pso : Se sustituyen estos vlores en l integrl, esto es: Observ que du d u du du d y en el integrndo sólo se tiene d, entonces d. Pso : Se plicn ls propieddes de l integrl; esto es, se escribe fuer de l integrl por ser c un constnte. d u du Pso : Se reliz l integrl, obteniendo lo siguiente: u du u c
u c u c u c Pso : Se hce el cmbio de vrible de u y se sustituye en el resultdo: d c por lo tnto: c Observ con detenimiento los siguientes ejemplos, donde se plicn los métodos de integrción y reliz los ejercicios propuestos..-evluremos l siguiente integrl indefinid plicndo el método de sustitución. Pso : Se tom como que l derivd de un constnte es cero. d u, entonces l derivd de u es du ( ) d, recuerd Pso : Observ que en l integrl están y d y l relizr el cmbio de vrible qued de l siguiente form: du d, du d Pso : Se sustituyen los vlores de u y du en l integrl, obteniendo de est mner el cmbio de vrible. d u du Pso : Cómo es un constnte, se plicn ls propieddes de l integrl y se coloc fuer de dich integrl este vlor, esto es: Pso : Se reliz l integrl. du u u du u u d c c u c
Pso : Se sustituye el vlor que se tomó como u y se obtiene el resultdo de dich integrl, esto es: d c c Ejercit tus conocimientos y plic este método de sustitución en l siguiente integrl. d II. Método de integrción por prtes: Resp: El método de integrción por prtes se bs en l integrción de l fórmul derivd del producto de dos funciones. Vemos el siguiente procedimiento pr obtener l fórmul de integrción por prtes: Se u = u() y v = v(), entonces: D u( ) v( ) u( ) v'( ) v( ) u'( ) Integrndo mbos ldos de l ecución se obtiene l siguiente epresión: u ( ) v( ) Despejndo l primer integrl tenemos: Sí dv v' ( ) d siguiente: y u( ) v'( ) d u ( ) v'( ) d u( ) v( ) v( ) u'( ) d v( ) u'( ) d du u'( ) d, entonces l ecución nterior se puede escribir de l form u dv u v v du L cul es l fórmul pr integrr por prtes. El éito de éste método, depende de l elección propid de u y dv, lo cul se consigue solmente con l práctic.
.- Pr plicr este método, vmos evlur l siguiente integrl: cos d Pso : Se escribe cos d como u dv ; entonces u y du d Pso : Si dv cos d, entonces, pr encontrr v se integrn mbos ldos, obteniendo: dv v sen c cos d, entonces Pso : Los vlores de mner: u, du, dv y v se sustituyen en l fórmul, quedndo de l siguiente cos d sen sen d L integrl de sen d cos c, sustituyendo este resultdo en l integrl nterior, se obtiene el resultdo. cos d sen cos c Recuerd que ls constntes de integrción están incluids en c..- Vmos resolver un ejemplo plicndo el método de integrción por prtes en l siguiente integrl. sen d Pso : Se tom como u ; l derivd de u es du d ; de est mner dv sen, entonces v es l integrl de sen v sen d cos c Pso : Con estos vlores se sustituyen en l fórmul udv uv vdu. send cos cos cos cos d d Pso : Observ que l integrl del ldo derecho otr vez se tiene que relizr por prtes, entonces se hcen los siguientes cmbios: 7
u du d dv cos d v sen c De est mner, l integrl cos d, qued de l siguiente mner: cos d sen send sen cos c Not: es importnte que Ls constntes c, c, y c se incluyen l finl del resultdo de l integrl pr no crer confusión con dichs constntes. Pso : Sustituyendo los vlores, se obtiene el resultdo de l integrl. send cos cos d cos sen cos c cos sen cos c Ejercit tus conocimientos y clcul l siguiente integrl: sen d Res: 8
ACTIVIDAD DE DESARROLLO. INSTRUCCIONES: Lee con tención los siguientes rectivos y resuelve lo que se pide. I.- Aplic el método de sustitución y evlú ls siguientes integrles, escribe tu desrrollo y l solución.. d. 9 d e. d e. d. sen cos d. 9 d 9
II.- Aplic el método de integrción por prtes y clcul ls siguientes integrles. 7. sen d 8. ln d 9. e d. cos d Número de pregunt TABLA DE COMPROBACIÓN Respuest correct u du du d d u 9 du d 9 d 9 u e du e d c du d 7 c du e d d
e d ln e e u du d c d c u sen du cos d u sen 9 d sen du d d ln 9 c du d 9 c u du d dv sen d v cos 7 sen d cos cos c 8 u ln du d dv d ln d ln c v Número de pregunt Respuest correct u du d dv e d v e e d e e d 9 L integrl del ldo derecho se reliz otr vez por prtes, esto es: u du d dv e v e d e c e u du d dv cos d v sen cos d sen cos c
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos y contest lo que se solicit, notndo el desrrollo y l solución. Pr resolver estos ejercicios cuents con novent minutos. I.- Aplic ls propieddes de l integrl indefinid y evlú l siguiente integrl.. 7 d. Encuentr un ntiderivd (primitiv) de l función: f ( ). Evlú l siguiente integrl indefinid. d. Evlú l siguiente integrl indefinid. tn d II.- INSTRUCCIONES: Aplic el método de sustitución y evlú ls siguientes integrles indefinids.. d d. cos
III.- Aplic el método correspondiente y clcul ls siguientes integrles indefinids. 7. e cos d CLAVE DE RESPUESTAS Número de pregunt Respuest correct 7 c F( ) c c ln sec c ó ln cos c ln c sen c 7 e cos sen c
III. Método de integrción de funciones rcionles (Método de epnsión en frcciones prciles). Un función rcionl es, por definición, el cociente de dos polinomios, por ejemplo: f ( ), g( ), h( ) 8 f ( ) Teóricmente culquier epresión rcionl se puede epresr como un sum de g( ) epresiones rcionles cuyos denomindores son potencis de polinomios de grdo menor o igul dos. L sum de F F... F se llm frcción prcil. f ( ) F F... g( ) r es l descomposición en frcciones prciles de F r f ( ) g( ) y cd F k Observ con detenimiento los siguientes psos pr obtener l descomposición en frcciones prciles de f ( ) g( ). Si el grdo de f() no es menor que el de g(), se reliz l división.. Epresr g() como un producto de fctores lineles p q o forms cudrátics irreducibles b c producto de y grupr los fctores repetidos pr que g() quede epresdo como un fctores distintos de l form negtivos.. Aplicr ls siguientes regls: ) Por cd fctor de l form m contiene q m un sum de m frcciones prciles de l form: b c p o bien n con m y n enteros no p q con m, l descomposición en frcciones prciles A A p q ( p q) Am... ( p q) m Donde cd numerdor Ak es un número rel.
b c b) Por cd fctor n descomposición, con n, donde b c es Irreducible, l en frcciones prciles contiene un sum de n frcciones prciles de l form: A b A b b c ( b c) An bn... ( b c) n Donde todos los A y b son números reles. k k I. El siguiente ejercicio se resuelve plicndo el método de epnsión en frcciones prciles. d Pso : Se fctoriz el denomindor, quedndo de l siguiente form. ( ) ( )( ) A Pso : Al fctor le corresponde un frcción prcil de l form, de l mism form, los B C fctores y ( ) les corresponden frcciones prciles de l form: ;, respectivmente; l descomposición en frcciones prciles tiene l siguiente form: Pso : Se multiplic por ( )( ) A B C mbos ldos de l iguldd y se obtiene lo siguiente: ( ) A( )( ) b( )( ) C( )( Simplificndo tenemos que: A( )( ) B( ) C( ) ( ) ver pso ) Pso : Los vlores de A, B y C pueden encontrrse sustituyendo por vlores que hgn que los fctores sen cero en l ecución ( ), es decir, en este cso, tom los vlores de:, - y +. Pr: () A ( )( ) B()( ) C()( ) Simplificndo se obtiene:
A Pr: ( ) A ( )( ) B( )( ) C( )( ) Simplificndo se obtiene: B Pr: () A ( )( ) B()( ) C()( ) Simplificndo se obtiene: C Pso : L descomposición en frcciones prciles es: ( )( ) Pso : Se integr y l sum de ls constntes, l denotmos como c ; de est form obtenemos el resultdo finl. d d d d ln ln ln c II. Aplic tus conocimientos y reliz l siguiente integrl, plicndo el método de frcciones prciles. d
ACTIVIDAD DE DESARROLLO III.- Aplic el método de frcciones prciles ls siguientes integrles.. d. d. d 7
Número de pregunt TABLA DE COMPROBACIÓN Respuest correct A B d ln ln c A B d ln ln c A B C d ln ln ln c EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos y contest lo que se solicit, notndo el desrrollo y l solución.. d CLAVE DE RESPUESTAS Número de pregunt Respuest correct ln ln ln c 8
Notción Sumtori Aprendizjes Describir l notción sumtori. Cálculo de términos con notción sigm en un sucesión. Clculr por proimción el áre bjo l curv, plicndo l notción sigm. Clculr por proimción el áre bjo l curv, plicndo el concepto de sum de Riemnn. Notción sumtori. Los números cuy sum se indic en un notción sigm pueden ser nturles, complejos u objetos mtemáticos más complicdos. Si l sum tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinit. Dd un sucesión: Ést se puede representr como l sum de los primeros términos con l notción de sumtori o notción sigm. El nombre de est notción se denomin de l letr grieg (sigm myúscul, que corresponde nuestr S de "sum"). L notción sigm es de l siguiente mner: L ecución nterior se lee l "sum de k desde uno hst n." L tetr k es el índice de l sum o vrible de l sumtori y se reemplz k en l ecución después de sigm, por los enteros,,,,,., n, y se sumn ls epresiones que resulten, con lo que resulte del ldo derecho de l ecución 9
ACTIVIDAD DE DESARROLLO Resuelve ls siguientes sums. Resp: Resp: 8 Resp: - Resp: 77/ Resp: Resp: 9 Resp:
CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN Arquímedes clculó el áre de un círculo por medio de proimciones sucesivs, inscribió rectángulos dentro del círculo, clculó el áre de cd rectángulo y sumó tods ésts. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que l sum de ls áres de los rectángulos se proimb cd vez más l áre del círculo. Pr un función, l ide intuitiv de continuidd es que l curv que represente l gráfic debe dibujrse con un trzo continuo, o se, que no teng sltos. Por ejemplo: se A el áre de un región limitd por el eje y l gráfic de un función no negtiv y = f(), l cul está definid en un cierto intervlo cerrdo, b, como se observ en l siguiente figur. El cálculo del áre A se llev cbo dividiendo dich áre en un determindo número de rectángulos, es decir, en n rectángulos sobre el intervlo, b. Lo nterior se represent en l gráfic siguiente: L gráfic nterior represent ls áres de los rectángulos, l cul es un proimción l áre rel. Generlmente dichs áres se representn en uniddes cudrds (u ). Como podrás observr, l sum de tods ls áres de los rectángulos son un proimción l áre bjo l curv, est áre se represent con l siguiente definición, donde el símbolo (sigm) indic un sum. Por lo tnto. Se f() un función continu en el intervlo cerrdo, b y f(), pr tod en el intervlo, b. Se define el áre bjo l gráfic en el intervlo como: A n k f ( k ) k I. De l fórmul nterior,, k y f ) k ( k, se representn en l siguiente gráfic.
Donde k represent el punto que será evludo por l función y ) ( k f represent l ltur del rectángulo, el vlor represent l bse de cd rectángulo. A prtir de l gráfic, se tienen ls siguientes condiciones: Al dividir el áre en n rectángulos, el ldo derecho de cd uno éstos, está representdo por k. L mplitud (bse del rectángulo) en cd uno de ellos es igul. L ltur del rectángulo construido bjo l curv se represent por: ) ( k f. Pr utilizr l fórmul de l definición., es conveniente relizr los siguientes psos: Pso : Divide el intervlo, b en n subintervlos, esto es: n b Pso : Hz que los k sen los ldos derecho de cd subintervlo. Si =, entonces pr efectur los cálculos se utiliz l siguiente fórmul: n b n b n b n b k k k b b n b n n n
Es importnte revisr l sustitución de los vlores, sí como sus signos y relizr correctmente ls operciones. Por otr prte el ultimo vlor de depende del vlor de n, por ejemplo si n =, entonces k debe clculrse hst n-, en est cso k Pr obtener l ltur de cd uno de los rectángulos f ), se sustituyen los vlores de,,... en l función. k Ls condiciones nteriores no siempre se stisfcen en l solución de problems. Por esto es necesrio generlizr los conceptos los siguientes csos:. ( k L función puede ser discontinu en lgunos puntos de, b. f() puede ser negtivo pr lgun en el intervlo, b. Ls longitudes de los subintervlos, El número k CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN k pueden ser diferentes entre sí. w puede ser culquier número en, k. Un prtición P de un intervlo cerrdo, b, es un descomposición culquier del intervlo, b en subintervlos de l form:,,,,,,,... n-, n Donde n es un número entero positivo y los k k son números tles que: =... n- n = b L longitud del k-esimo subintervlo k-, k, se denot por k k, es decir: k k k L prtición contiene n subintervlos, donde uno de éstos es el más lrgo, sin embrgo puede hber más de uno. L longitud del subintervlo más lrgo de l prtición se le llm Norm de l Prtición P y se denot por P. En l siguiente figur se observ un prtición del intervlo, b. =... k- k... n- n = b El siguiente concepto l sum de Riemnn, es llmdo sí en honor del mtemático B. Riemnn, y es un concepto fundmentl pr l definición de l Integrl definid. Se f un función definid en un intervlo cerrdo, b y se P un prtición de, b. Un sum de Riemnn de f pr P es culquier epresión R p de l form:
R p n k f ( w ) I.. k k donde w k es un número en el intervlo k-, k. L siguiente es l representción gráfic de l integrl definid. Ls flechs indicn donde se loclizn estos puntos. Observ en l gráfic que l ltur de los rectángulos está dd por l función evlud en el punto w k, o se f(w k ). Se debe tomr en cuent que un áre es positiv si está por rrib del eje y se le sign un signo menos ls áres que están por debjo del eje. Anliz el procedimiento con el cul se resuelven los siguientes ejemplos. Se l función f() = en el intervlo cerrdo -,, con n =. Pso : Se gráfic l función y se divide el intervlo -, en subintervlos. y - - - - - b n ( ) Pso : Al sustituir los dtos, se obtienen los siguientes resultdos:
n b Recuerd que el vlor de = = - n b 9 n b Es importnte revisr l sustitución de los vlores, sí como sus signos y relizr correctmente ls operciones. Por otr prte, el ultimo vlor de k depende del vlor de n, en este cso n =, entonces k debe clculrse hst el vlor de n-, en este ejercicio hst. Pso : Pr obtener l ltur de cd uno de los rectángulos ) ( k f, se sustituyen los vlores de y, en l función ) ( f ) ( f recuerd que: ) ( f 9 ) ( f Pso : Se sustituyen los vlores en l fórmul n k k k f A ) ( f f f A ) ( ) ( ) ( 9 A 7.9u 8 7 8 89 A Por lo tnto el vlor del áre es: A = 7.9 u.
Observ el siguiente procedimiento pr resolver otro ejercicio. Consider l función f ( ) 8, se P un prtición del intervlo cerrdo, en cinco subintervlos determindos por: =, =., =., =., = y =. Encuentr: ) L norm de l Prtición. b) L sum de Riemnn R p sí w =, w =, w =., w = y w =. Pso : Se gráfic l función f ( ) 8 y se indicn los puntos correspondientes w k. Se indicn los rectángulos de lturs f w ) pr k =,,, y intervlos. ( k y 8 - - 8 - - - -8 Pso : Se determinn ls bses de los rectángulos de l siguiente mner:...... Ést es l norm de l prtición P (Cntidd myor de los )
.. Pso : Se plic l fórmul vlores en l función. R p n k f ( w ) y se clculn los f w ), sustituyendo los k k ( k R p f ( w ) f ( w ) f ( w ) f ( w ) f ( w ) f () 8 f () 8 8 8 7. f (.) 8. 8..87 f () 8 8.. f (.) 8. 8. 7. Sustituyendo los vlores se obtiene: R R p p f ()(.) f ()() f (.)() f ()(.) (7.)(.) ()() (.87)() (.)(.) ( 7.)() por lo tnto R. u p f (.)() Ahor, tomndo en cuent el ejemplo nterior, resuelve el siguiente ejercicio. Se: f ( ) 8 clcul l sum de Riemnn R p de l función pr l prtición P de, en los cinco subintervlos determindos por: =, =., =, =., = y = ; w =., w =., w =., w =. y w = 7
Pso : Elbor l gráfic l función. Pso : Clcul los vlores de k y obtén l norm de l prtición P. Pso : Clcul los vlores f w ). ( k Pso : Aplic l fórmul R p n k f ( w ) y clcul l sumtori de Riemnn. k k 8
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 7. I. INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos, y contest lo que se solicit en cd uno de ellos. ) Se f ( ) en el intervlo cerrdo, con n =. I.- Clcul el áre A plicndo l definición. II.- Reliz l gráfic. ) Se f ( ) en el intervlo cerrdo, con n =. I.- Clcul el áre A plicndo l definición. II.- Reliz l gráfic. 9
) Se f ( ) en el intervlo cerrdo, con n = 8. I.- Clcul el áre A plicndo l definición. II.- Reliz l gráfic. II. INSTRUCCIONES: En cd uno de los siguientes ejercicios, los números ddos: (,,... n ) determinn un prtición P del intervlo cerrdo, b. ),, =, =., =., =.7, =. y = I.- Clcul los,,..., n II.- Clcul l norm P de l prtición. ),, =, =, =.7, =, =. y = I.- Clcul los,,..., n
II.- Clcul l norm P de l prtición. ) -,, = -, = -.7, = -, =., =.9 y = I.- Clcul los,,..., n II.- Clcul l norm P de l prtición. II. INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes ejercicios y contest lo que se solicit. 7) Aplic l definición. l siguiente función y clcul l sum de Riemnn. Se f ( ) en el intervlo cerrdo, dividido en subintervlos determindos por: =, =, =, = y =, si: w =., w =., w =. y w =.
8) Aplic l definición. l siguiente función y clcul l sum de Riemnn. Se ) ( f en el intervlo cerrdo -, dividido en los cutro subintervlos determindos por: = -, =, =, =, y =, si: w = -, w =, w = y w = 9) Aplic l definición. l siguiente función y clcul l sum de Riemnn Se 8 ) ( f en el intervlo cerrdo, dividido en los cutro subintervlos determindos por: =, =., =, =. y =, si: w =, w =, w = y w = TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunt Respuest correct I,,, ) ( n b b n f 7
9 7 7 () () f f f 9 9 9 u A II Número de pregunt Respuest correct I (), ) ( b n f 9 7 f f f 7 7 u A A -8 - - - - -
II Número de pregunt Respuest correct I,, 8,, ) ( b n f 7 7 7 - - -.. y
- - 8 - - 7 7 8 f f f f f f f 7 8 8 u A A II I.9...7....7.. -... II. P Número d pregunt Respuest correct
I.8.....7.7.7 II. P..9...9...7.7..7 II.7 P 7...., ) ( w w w w f ) (.) (.) (.) (.) 8 (.) (.). (.) f f f f () () 8() () u R p 8 ) (, ) ( w f w w w ) ( ) ( f () () f 8 () () f
R p f () () ( )() ()() (8)() ()() R p 79 u Número de pregunt Respuest correct f ( ) 8........, w w w w 9 f () 8 f () 8 f () 8 f () 8 9 R p 9 () () R p 7 u Sugerencis Si te equivocste en los rectivos, ó, revis con detenimiento los ejemplos resueltos. Si te equivocste en los rectivos, ó revis el libro de Swokowski, Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític, pág. 7. Si te equivocste en los rectivos 7, 8 ó 9 revis l definición. y consult el libro de Swokowski, p.p. 7
L Integrl Definid Aprendizjes Identificr ls propieddes de l integrl definid. Aplicr l noción de integrl definid l solución de problems. Aplicr el teorem fundmentl del cálculo en l solución de problems. L integrl definid puede interpretrse como el áre bjo l curv y en form equivlente como un límite. En el tem nterior se proimó el vlor del áre bjo l curv medinte sum de ls áres de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del áre determinr. Clculr l integrl definid plicndo ls sums de Riemnn, es bstnte tedioso y frecuentemente difícil. Pr hcerlo más simple, necesitmos desrrollr lguns propieddes de l integrl definid, ls cules se presentn con los siguientes teorems. Propieddes de l integrl definid. Teorem: Se f l función constnte, definid por, b, entonces: En donde: b : Represent el límite superior. : Represent el límite inferior. b f ( ) c pr tod en el intervlo cerrdo f ) d c d c( b b ( ) : Se le llm signo de integrción, el cul indic sum. f () : Se le llm integrndo. b f () : Se le llm integrl definid, que indic el límite de un sum. L representción gráfic de l función constnte y f ( ) c, es l siguiente: c b c d b f ( ) c (función constnte) 8
Teorem: Sí f es integrble en, b y k es un número rel culquier, entonces k f es integrble en, b y b k f ( ) d k b f ( ) d L conclusión del teorem nterior veces se enunci de l siguiente form: Un fctor constnte en el integrndo se puede scr del signo de l integrl. No está permitido scr fuer del signo de integrl epresiones en ls cules prece l vrible Teorem: Sí f y g son funciones integrbles en, b, entonces g b b f ( ) g( ) d f ( ) d f es integrble en, b b g( ) d y Teorem: Sí f es integrble en un intervlo cerrdo y sí, b y c son tres números culesquier en ese intervlo, entonces: c f ( ) d f ( ) d b c b f ( ) d Ls siguientes definiciones formn prte de ls propieddes de l integrl definid. Sí b y f es un función integrble en el intervlo cerrdo, b, entonces: b f ( ) d b f ( ) d f ( ) d Observ que l cmbir los límites de integrción, l integrl cmbi de signo; por otr prte si los límites de integrción son igules, result cero l integrl porque no hy áre pr clculr, sino que se trt de un punto. Teorem Fundmentl del Cálculo. Sí F es un ntiderivd de f, entonces: b f ( ) d F( b) F( ) 9
Este Teorem fue descubierto de mner independiente en Inglterr por Sir Isc Newton ( 77) y en Alemni por Gottfried Leibnitz ( 7). Es principlmente debido este descubrimiento que se les tribuye estos sobreslientes mtemáticos l invención del Cálculo Pr plicr el teorem fundmentl del cálculo, debemos recordr que un función continu es quell que se represent con un solo trzo o se sin despegr el lápiz. Por otr prte, un ntiderivd es un función que l derivrl ést se convierte en l función integrr, por ejemplo: l ntiderivd de es, porque si derivmos obtenemos: d d () APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observ cuiddosmente los psos pr resolver l siguiente integrl, utilizndo el teorem fundmentl del cálculo y hciendo uso de ls propieddes de l integrl definid. Clcul l integrl definid dd por l función f ( ) 9 en el intervlo cerrdo,. Pso : Dd l función se debe buscr un ntiderivd de ést, esto es: 9 si ést función se deriv, se obtiene l función originl. Pso : Se sustituye l función originl con el signo de integrl y se escriben los límites de integrción. 9 d Pso : Se plicn ls propieddes de l integrl definid. 9 d d d 9 d d 9 Pso : Se evlún ls integrles, sustituyendo el límite superior () menos el límite inferior (); estos vlores se sustituyen por l en l ecución nterior, de l siguiente mner: 9 () 9() () 9() = () ()
8 9 7 u Por lo tnto el vlor de l integrl es: 7 9 d u Siguiendo los psos nteriores resuelve el siguiente ejercicio. Clcul l integrl definid, dd l función Pso : Busc un ntiderivd de l función. f ( ) en el intervlo cerrdo,. Pso : Represent l función originl como un integrl, sustituyendo los límites de integrción. Pso : Aplic ls propieddes de l integrl. Pso : Evlú l integrl, sustituyendo primero el límite superior y restndo el límite inferior. Pso : Simplific y obtén el resultdo. Por lo tnto el vlor de l integrl es:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 8. I. INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes ejercicios y plic ls propieddes de l integrl definid y encuentr el vlor de ls siguientes integrles.. d. d. d II. INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes problems y contest lo que se solicit, notndo el desrrollo y l solución.. Se l función ( ) I.- Clcul el áre bjo l curv. f en el intervlo cerrdo,. II.- Reliz l gráfic.
. Se l función ( ) I.- Clcul el áre bjo l curv. f en el intervlo cerrdo,. II.- Reliz l gráfic.. Se l función f ( ), en el intervlo cerrdo,. I.- Clcul el áre bjo l curv. II.- Reliz l gráfic. III. INSTRUCCIONES: En los siguientes rectivos plic el teorem fundmentl del cálculo y clcul el vlor de ls siguientes integrles. 7. Cd l función en el intervlo cerrdo, f ( ) I.- Clcul el áre de l región comprendid por l función.. II.- Reliz l gráfic.
8. Dd l función f ( ) entre = y =. I.- Clcul el áre de l región comprendid por l función. II.- Reliz l gráfic. 9. Dd l función f ( ), entre = - y =. I.- Clcul el áre de l región comprendid por l función. II.- Reliz l gráfic. Número de pregunt TABLA DE COMPROBACIÓN Respuest correct d d () () u A u
9 7 u A u d d d d A Número de pregunt Respuest correct I () () d u A II y I 9 ) ( () d u A - 8 - - -
7 II y Número de pregunt Respuest correct I 8 8 u A d II y 7 I 8 d u A y II } - - - - 8 - - - - 8 - - -
Número de pregunt Respuest correct d d 8 8 8 A u y - - - - Número de pregunt 9 I Respuest correct 8
9 d d d 8 8 7 8 u A II y -8 - - - 8 - -