EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO º. El valor de se(x) puede obteerse mediate el desarrollo e serie de Taylor: (2i + ) i x se(x) = ( ) (2 i + )! 0 Si se desea evaluar el valor de se(e), siedo el úmero e = 2.7828..., co cuatro decimales sigificativos: a) Determia cuatos sumados () del sumatorio aterior debería cosiderarse para que la expresió: (2i + ) i x se(x) ( ) (2 i + )! 0 o se vea iflueciada por el error del método umérico. b) Procediedo por redodeo y co cuatro decimales sigificativos, determia el valor aproximado de se(e) utilizado el úmero de sumados determiado e el apartado aterior y evaluado el error cometido e cada sumado. c) Compara el valor aproximado obteido co el valor exacto de se(e), determiado el error absoluto y el error relativo cometidos. 2º. Siedo u la uidad de redodeo de u sistema F(s, m, M, 0), razoa la veracidad o falsedad de las siguietes afirmacioes: a) La aproximació por u úmero máquia de F(s, m, M, 0) de cualquier úmero real z tal que z < u o bie coduce a que z se asimila a 0. o bie produce error de uderflow. b) Si se trabaja co la técica de trucado y c m deota al meor úmero máquia estrictamete positivo y C M al mayor úmero máquia, puede represetarse por algú úmero máquia z o ulo todos los úmeros reales z tales que ( u) cm < z < (+ u) CM. c) Los errores relativos e la represetació de cualquier úmero irracioal que pueda aproximarse por u úmero del sistema decimal F(s, m, M, 0) so siempre los mismos. d) El úmero máquia positivo z aproxima a todos los úmeros reales que z z perteezca al itervalo, u + u
3º. Determia la expresió biaria (co al meos 8 dígitos biarios) del úmero que e base decimal es z 0 = 9.486 4º. Justifica la veracidad o falsedad de las siguietes afirmacioes: a) Todo úmero expresado e la base 0 co u úmero fiito de decimales puede represetarse e base 2 tambié co u úmero fiito de dígitos biarios decimales. b) Todo úmero expresado e la base 2 co u úmero fiito de dígitos biarios decimales puede represetarse e base 0 tambié co u úmero fiito de decimales. c) Siedo β u múltiplo etero de 2, todo úmero expresado e la base 2 co u úmero fiito de dígitos biarios decimales puede represetarse e base β tambié co u úmero fiito de dígitos decimales. d) Siedo α y β dos eteros positivos mayores que y tales que β>α, todo úmero expresado e la base α co u úmero fiito de dígitos decimales puede represetarse e base β tambié co u úmero fiito de dígitos decimales. 5º. Determia el valor e base 0 del mayor y el meor etero estrictamete positivos que se puede codificar e ua máquia que trabaje e código biario y destie 6 bits para represetar los úmeros eteros. 6º. Siedo b u úmero etero superior a, determia el úmero de úmeros máquia que existe e u sistema F(s, m, M, b). 7º. Utilizado la técica de expoete escalado y tomado como factor de escala el etero = 2 0, determia los límites etre los que puede variar los expoetes de los úmeros que se codifique co t = bits para la codificació de expoetes. 2
8º. Determia e base 0 el valor del meor úmero real positivo que produce error de overflow si se iteta codificar e u sistema biario F(2, -, 5, 2). Determia tambié el mayor real positivo que produciría error de uderflow 8º que se asimilaría al código reservado para el 0.). E ambos casos se cosiderará que se utiliza la técica de redodeo para aproximar u úmero biario por su correspodiete úmero máquia. 9º. Modifica el algoritmo desarrollado e el ejercicio resuelto º 5 para que actúe mediate trucado e lugar de mediate redodeo. 0º. Sea a 0 y b 0 los úmeros reales expresados e base 0 siguietes a 0 = 0., b 0 = 200.0. Obviamete a 0 b 0 = 20. Se pide: a) Obté la expresió e base 2 de a 0 y de b 0 (que la deotaremos por a 2 y b 2 respectivamete). b) Obté los úmeros máquia a 2 y b 2 del sistema F(7, -99, 99, 2) que, mediate redodeo, aproxima los úmeros a 2 y b 2. Determia los errores absolutos y relativos que se comete. c) Obté el úmero máquia a 2 b2 y compáralo co el úmero máquia del sistema F(7, -99, 99, 2) que aproxima al úmero que e base 0 se obtiee de la operació a 0 b 0. E todos los casos actúa mediate redodeo. d) Si realizar las correspodietes sumas, aaliza cómo se propagará el error (absoluto y relativo) si el cálculo de S = S a 2 se aproxima por = a. Particularízalo para = 200 y determia el valor de S 200. 2 e) Compara los resultados de los apartados c) y d) y extrae coclusioes. f) Realiza los apartados b), c), d) y e) utilizado aproximacioes por trucado. 3
º. Determia la expresió de la distacia etre dos úmeros máquia cosecutivos de u sistema F(s, m, M, 0). 2º. Demuestra que siedo u la uidad de redodeo de u sistema biario F(s, m, M, 2) se verifica que u es el úmero más pequeño para el que se verifica que el úmero máquia que aproxime a (+u) es distito de.0...0 2 0. 3º) Cosidérese u úmero estrictamete positivo del sistema de úmeros máquia F(s+, m, M, 0). Supogamos que tal úmero es: z = 0.d d 2...d s 0 e Respode justificadamete a las siguietes cuestioes: a) Cuál es la distacia etre el úmero máquia z y el úmero z?. b) Cuál es la distacia etre el úmero z y el úmero máquia más pequeño que sea superior al que es imediatamete superior al imediatamete superior a z?? z 4º) Si se utiliza la estrategia de redodeo, cuál es el úmero máquia del sistema F(4, -0, 0, 0) que se obtiee como potecia cuarta del úmero máquia que aproxima al úmero π?. Y cual sería el úmero máquia que 4 aproximaría a π?. 5º) Cuátos úmeros máquia del sistema F(4, -0, 0, 0) so estrictamete mayores que 03 y estrictamete iferiores que 237?. 6º) Cuatos úmeros máquia del sistema F(5, -0, 0, 0) so estrictamete mayores que 23 y meores que 8429?. 4
7º) Si se ordea de meor a mayor todos los úmeros máquia estrictamete positivos del sistema F(5, -6, 7, 0) cuál ocupa la tercera posició?. Y la posició 43297?. 8º) Ua calculadora opera co úmeros máquia biarios formados por matisas co bits (el primero de ellos para el sigo) y expoetes formados por 7 bits (el primero de ellos reservado para el sigo). Los úmeros reales co los que se desee trabajar e tal calculadora se verá redodeados para ser aproximados por uo de los úmeros máquia de la calculadora. De esta forma, el úmero a = 723.3 se verá aproximado e dicha calculadora por otro úmero máquia a*. Por otra parte se cosidera u úmero b que se represeta si error alguo por el úmero máquia b* cuyo código es el siguiete: Matisa: 0 0 0 0 0 0 0 0 Expoete: 0 0 0 0 0 0 Se pide que, etre las opcioes siguietes idiques cual recoge el error relativo etre el valor de (a+b) y el úmero máquia obteido al sumar (e biario) los úmeros a* y b*: a) 9.2... 0 5 b) 2.7... 0 4 c).00 d) 0.067... 9º) Si se ordea de meor a mayor todos los úmeros máquia estrictamete positivos del sistema F(5, -6, 7, 0) cuál ocupa la tercera posició? Y la posició 43297? 5