DFARN -- FFI DINÁMICA DE LOS SISTEMAS A CANTIDAD DE MOVIMIENTO Para una partícula: Cantdad de ovento de una partícula: p v Cantdad de ovento del sstea: p p v d( v F + F Para el sstea (suando para todas las partículas : d( v d dp dp : R F v R puesto que: ΣΣ F A- CENTRO DE MASAS x + x Para dos asas: x x + x,, x Conunto de partículas: x x En general r r y y z z Masa contnua: x y z x d y d z d Centro de asas: Puede stuarse en él la resultante de los pesos de las partículas del sstea producendo el so oento que la resultante de los oentos de cada uno de los pesos (ver prera fgura
DFARN -- FFI DINÁMICA DE LOS SISTEMAS A- TEOREMA DEL CENTRO DE MASAS dr dr d d p p v r r v p v I I dp d( v dv R a R a La resultante de las fuerzas exterores es gual al producto de la asa del sstea por la aceleracón del centro de asas. Conservacón de la cantdad de ovento: dv s : R v cte B MOMENTO CINÉTICO Respecto de un punto fo O : Moento cnétco de una partícula: L r x v Moento cnétco del sstea: L L r x v B- TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO dl dr L r x v d x x v v + r dr x v [ v x v ] (porque v es paralela a v dv r x r x ( F + F r x F + r x F pero r x F porque para cada dos opuestas: r x F + r x F r x F + r x F r x ( F + F dl r x F N N La dervada del oento cnétco respecto a un dl punto fo es gual al oento de las fuerzas exterores respecto de dcho punto N
DFARN -- FFI DINÁMICA DE LOS SISTEMAS 3 B- CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO dl S N L cte B-3 Movento de rotacón en torno a un ee fo: MOMENTO CINÉTICO RESPECTO AL EJE DE IRO (oento áxco Moento respecto al ee: Le Le L L r v sen π r ωr r ω I ω (con I r L L ( I ω Iω L Iω donde I r e e para un conunto de partículas y I ρ d para una asa contnua con ρ dstanca de cada eleento de asa al ee. Se denona oento de nerca respecto al ee. Por tanto, en la rotacón: dle d( Iω Teorea del oento cnétco: Ne Iα Ne Iα Conservacón de L e : s dl e Ne Le cte B-4 Movento relatvo al centro de asas: se stúa un observador en el centro de asas trasladándose con la velocdad de éste. r r + r,, v v + v v + v arr L r x v r x v + r x v r x v + r x v + r x v L r x v + L L r x v + r x v ya que: ( r x v r x v, porque r donde: L r x v Prer teorea de Köng: El oento cnétco L de un sstea respecto a un punto fo es gual a la sua del oento cnétco, respecto a ese punto, de toda la asa stuada en el centro de asas ás el oento cnétco relatvo al centro de asas L
DFARN -- FFI DINÁMICA DE LOS SISTEMAS 4 B-5 TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO (relatvo al centro de asas: dl d[ r x v ] dl dl dl N [ r x F ] + [ r x Σ F ] + [ v x v ] + [ r x Σ F ] + dl N [ r x Σ F ] Σ[ r x F ] [ r x Σ F ] Σ[ r x F ] [ Σ r x F ] Σ [ r x F ] N,, dl N Sendo N el oento resultante de las fuerzas exterores respecto al c. de. C ENERÍA CINÉTICA DEL SISTEMA Ek v C- TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERIORES E INTERIORES Para una partícula: R F + + F,, dw ( F dr + ( F dr Para el sstea: dw dw F dr + F dr En general el trabao de las fuerzas nterores no es nulo. Pero s el sstea es rígdo sí lo es, ya que: ( F dr + ( F dr ( F dr ( F dr F dr cosϕ F dr cosϕ F v cosϕ v cosϕ porque las proyeccones de v y de v sobre la línea son guales s el sstea es rígdo. Sstea rígdo: W ( F dr C- TEOREMA DE LA ENERÍA CINÉTICA Para cada partícula: dw dek En el sstea: dw dw de d( E de k k k W E E E k k k Para un sstea rígdo: ( F dr v v
DFARN -- FFI DINÁMICA DE LOS SISTEMAS 5 C-3 REDUCCIÓN AL CENTRO DE MASAS: º TEOREMA DE KÖNI E v ( v + v v + ( v v + v k v ( v v dr d dr ( v v v ( v v ( v ( r v v E k energ. cn. relatva al c. de. E v + E k k La energía cnétca del sstea es la sua de la energía de la la asa total stuada en el centro de asas ás la energía del ovento relatvo respecto al centro de asas. S el sstea es rígdo, el ovento relatvo al c.de. es una rotacón. Así: Ek v ω r ( r ω I ω D EXPRESIONES AUXILIARES PARA EL CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA D- Relacón entre oentos de nerca respecto de ees paralelos, s uno de ellos pasa por el c. de. Moento de nerca I respecto a un ee (EE y oento de nerca respecto a otro ee paralelo al anteror I pero que pasa por. r D r r r ( D + r [ D + r + ( r D] + r r pero: E ( + í + I r D r D I I I + D DFARN -- FFI DINÁMICA DE LOS SISTEMAS 6
D- Relacones entre oentos de nerca respecto de ees, respecto de planos y respecto de puntos. Defncones: Respecto de un ee Respecto de un punto Respecto de un plano e ρ Jo d Jxy z I ρ x + y ρ x + y I J + J z yz xz El oento de nerca respecto de un ee es gual a la sua de los oentos de nerca respecto de dos planos perpendculares cuya recta de corte es el ee consderado. d x + y + z,, d x + y + z J J + J + J o yz xz xy El oento de nerca respecto de un punto es gual a la sua de los oentos de nerca respecto de tres planos perpendculares entre sí cuyo punto de corte es el punto consderado.