UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. 1 DEFINICION: Si A es un punto en R n r es un numero positivo, entonces la BOLA ABIERTA B ( A; r ) se define como el conjunto de todos los puntos P de R n tales que la distancia del punto P al punto A es menor que r, es decir P A < r. En R 1 una bola abierta corresponde a un intervalo abierto. ( ) En R una bola abierta corresponde al interior de un disco. En R una bola abierta corresponde al interior de una esfera. DEFINICION: Si A es un punto en R n r es un numero positivo, entonces la BOLA CERRADA B A; r ] se define como el conjunto de todos los puntos P de R n tales que la distancia del punto P al punto A es menor o igual que r, es decir P A r. En R 1 una bola cerrada corresponde a un intervalo cerrado. [ ] En R una bola cerrada corresponde al interior de un disco junto con su frontera. DANIEL SAENZ C Página 1
En R una bola cerrada corresponde al interior de una esfera junto con su frontera. DEFINICION. Sea f una función de n variables la cual esta definida en alguna bola abierta B ( A ; r ) ecepto posiblemente en el punto A mismo. Entonces el limite de f( P ) cuando P se aproima a A es L se escribe f ( P) L si A para cualquier >, no importando que tan pequeño, eiste un > tal que f( P ) L siempre que < P A. DEFINICION: Si f es una función de dos variables la cual esta definida en cualquier disco abierto B ( (, ) ; r ) ecepto posiblemente en el punto (, ) mismo, entonces f, L, si para cualquier >, no, importando que tan pequeño, eiste un > tal que f(, ) L siempre que <. (,, f(, ) ) (,, ) DANIEL SAENZ C Página
PROPIEDADES DE LOS LIMITES EN DOS VARIABLES Los limites de las funciones en dos variables, cumplen las mismas propiedades que los limites de las funciones en una variable. Es decir: Si L M son dos números reales f, L, ;, siguientes reglas son validas: a) Regla de la suma:, b) Regla de la resta:, c) Regla del producto,,,, d) Regla del producto por un escalar, e) Regla del cociente,,, g, M,, entonces las f, g, L M f, g, L M f, g, L M k f, k L f g f) Regla de la potencia:, sea un numero real.,,,, L M ; M n f, m n L m, siempre que m n L EJEMPLO: Encontrar los siguientes limites:,,1 5,,1 5,,1 1 1 5 1 1 1 DANIEL SAENZ C Página
9 16 5 5,,,,1,,,,,,,, DANIEL SAENZ C Página
5 ACTIVIDAD: ENCONTRAR LOS SIGUIENTES LIMITES. 5,,, 1,1, 1,1 1 1 1 1 5,,,, 5 Ln, 1,1,,,,,, LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS PARA LA NO EXISTENCIA DE UN LIMITE. Si una función f(, ) tiene diferentes limites a lo largo de dos traectorias diferentes cuando (, ) tiende a (, ), entonces, f,, no eiste. Ejemplo:,, encuentre Para encontrar el limite de la función buscamos dos traectorias de acercamiento al punto (, ). DANIEL SAENZ C Página 5
6 Sea S 1 La traectoria de acercamiento a través de la recta = : Luego:,,,, a lo largo de 1 Sea S la traectoria de acercamiento a través de la parábola =.,,,, a lo largo de 1 Como la función tiene limites diferentes a lo largo de las dos traectorias, se tiene que,, no eiste. EJEMPLO : Encuentre,, Sea S la familia de curvas de acercamiento a través de las parábolas = k,.,,, k, a lo largo de k k k k k k 1 k DANIEL SAENZ C Página 6
7 El limite anterior depende del valor que tenga k. así : Si (, ) se acerca a (, ) a través de la parábola =, el valor de k = 1 el limite es:,, a lo largo de 1 11 1 Pero si se acerca a través de la parábola =, el valor de k = el limite es:,, 1 5 a lo largo de Con lo que el,, traectorias. no eiste de acuerdo a la prueba de las dos ACTIVIDAD: DETERMINE LOS SIGUIENTES LIMITES APLICANDO LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS.,,,,,,,,,,,, DANIEL SAENZ C Página 7