Ecuación para cirquitons n ínas d transmisión con carga éctrica discrta. K. J. Candía Dpartamnto d Ectrónica, Univrsidad d Tarapacá, Arica, Chi Emai: kchandia@uta.c Rsumn En sta Chara s mustra un mcanismo d anáisis para studio d circuitos cuánticos a scaa nanométrica. S incorpora a prsncia d carga discrta o cua modifica as cuacions usuas d os circuitos studiados, incrmntando a compjidad dbido a a aparición d términos no inas. Finamnt s prsnta hamitoniano para una ína d transmisión con carga discrta, admás s pantan as cuacions d moviminto finaizando con a prsntación d a cuación para os cirquitons. 1
Introducción Hac agún timpo a posibiidad d construir circuitos cada vz más pquños ra cosa d cincia ficción. Hoy, gracias a avanc d a tcnoogía, ya s posib construir circuitos microscópicos o incuso gar a circuitos d scaa nanométrica. La cincia ncargada d construir circuitos o dispositivos a sa scaa s conoc como nanocincia. La construcción d dichos circuitos hac posib soñar con a construcción d dispositivos qu monitorn stado d saud d as prsonas, os cuas srán impantados n curpo a través d torrnt sanguíno, pro admás d imaginar a ampia varidad d apicacions qu a nuva tcnoogía pud tnr, dbmos también raizar as siguints prguntas Cómo vamos a studiar stos circuitos?, Srán váidas as mtodoogías utiizadas n os circuitos macroscópicos?, Ocurrirán nuvos fnómnos físicos n dichos sistmas?, tc. Para studiar sistmas d scaa microscópica utiizar mcánica cuántica surg como una atrnativa. En sta chara nos rfrirmos a circuitos cuánticos L-C con carga discrta y admás studiarmos a ína d transmisión, n a cua ncontrarmos a cuación para os cirquitons. Circuitos L-C con carga discrta E circuito L-C s quizás uno d os más studiados dbido a su simpza y anaogía con osciador armónico. A studiar un circuito n ámbito macroscópico a carga éctrica s considrada como un continuo, o cua no s cirto ya qu a carga stá cuantizada, s dcir qu a carga s mútipo d aguna carga mnta (a carga d ctrón), o antrior obiga a considrar st factor. En mcánica cuántica usuamnt s studian sistmas sin disipación, razón por a cua no tratarmos sistmas con rsistncias, admás utiizarmos formaismo d Hisnbrg n cua s considra qu tanto a carga y fujo son opradors dpndints d timpo (matrics d dimnsión infinita vntuamnt), sta forma d anáisis s quivant a trabajar n cuadro d Schrödingr con a savdad d qu n formaismo d Hisnbrg s considra qu os obsrvabs, s dcir, os opradors son os qu voucionan con timpo, mintras qu n cuadro d Hisnbrg s considra qu son os vctors, os cuas rprsntan stado d sistma, os qu voucionan con timpo. En a figura 1 s mustra circuito L-C: Figura 1: Circuito L-C
E oprador hamitoniano para un circuito L-C [1] s prsnta a continuación: ˆ Qˆ = φ + (1) L C La ración d conmutación sta dada por [ Qˆ, ˆ] φ = iiˆ. Dado qu fujo y a carga son opradors (matrics), tinn asociado vaors propios y vctors propios. Admás como a carga stá cuantizada podmos suponr qu s cump a siguint ración: dond q s a unidad d carga mnta, a carga d ctrón. Qˆ n = nq n () Pasando a rprsntación d fujo obtnmos a cuación para dtrminar as funcions propias d oprador carga: dϕ( φ) i = nq ϕ( φ) (3) dφ Las funcions propias d oprador carga stán dadas por ϕ( φ) = ϕ 0 con n un númro ntro. E término magnético d hamitoniano stá dado por: inq φ ˆ Tˆ φ = (4) L Dbmos tnr n considración qu a pasar a rprsntación d carga, habituamnt oprador fujo actúa d a siguint manra: φˆ i (5) q La xprsión antrior s váida si a carga fus continua, ugo s ncsario scribir sa drivada como una difrncia finita, sto rprsnta un punto d conficto ya qu no xist una manra única para rprsntar a a drivada []. S utiizará difrncias finitas n punto mdio para rprsntar, pro db qudar caro qu s soo una cción, xistn muchas otras. E oprador fujo n rprsntación d carga quda d a siguint manra: ϕ ϕ ˆ +1 i (6) q φ 3
E término cinético, n rprsntación d carga s: ˆ ϕ T L + 1 + ϕ q 1 ϕ (6) Si dfinimos f mustra a continuación: ( φ ) = ϕ s pud rscribir término cinético, cua s iq φ ˆ q T sn ( φ) (7) Lq D o antrior podmos rscribir oprador hamitoniano d un circuito L-C: q Qˆ sn ˆ = φ + Lq C (8) Cab dstacar qu a discrtización d a carga provoca qu hamitoniano sa compicado ya qu no s tinn términos simps para oprador d fujo, n caso sin carga discrta término corrspondint a fujo ra cuadrático, n caso d carga discrta s tin una función sinusoida a cuadrado, sin mbargo, a ración d conmutación ntr Q ˆ y φˆ s sigu mantnindo. La cuación para a corrint s cacua sgún a rga d Hisnbrg n dond ˆ 1 Q = [ Qˆ, ]. Raizando dicho cácuo s obtin o siguint: i ˆ q Q = sn φˆ (9) Lq La cuación para a variación d fujo, a qu stá dada por ˆ 1 φ = [ ˆ, φ ] s mustra a i continuación: ˆ Qˆ φ = (10) C Las antriors cuacions son no-inas, sta no inaidad s producida por a insrción d a discrtización d a carga. D as cuacions antriors s obtin qu: 4
ˆ q φ = sn ˆ φ LCq (11) S obtin una cuación crrada para fujo, dond φ ˆ rprsnta votaj tanto n a inductancia como n condnsador. Línas d transmisión con carga discrta Las ínas d transmisión son circuitos muy studiados n ingniría, stos prmitn a modación d mdios d comunicación n ámbito d as rds d comunicación, admás prmitn modar ínas d distribución n caso d a ingniría éctrica. En física as ínas d transmisión rprsntan una cadna d osciadors acopados, s podría pnsar n modar una cadna d ADN u otra configuración. Figura : Lína d transmisión En st caso studiarmos a ína d transmisión (Figura ) con carga discrta para o cua nunciamos su rspctivo oprador hamitoniano [3]: Lq q ˆ 1 φ + C = sn + 1 ( Qˆ Qˆ ) (1) En hamitoniano, índic rprsnta númro d a cda, Qˆ s a corrint n a inductancia d a cda y φˆ s fujo n dicha inductancia. La rga d conmutación para os opradors carga y fujo s mustra a continuación n a cuación (13): [ Qˆ, ˆ φ ] = iiˆ δ (13) s s En st caso a part cinética d hamitoniano no s cuadrática n φ dbido a a prsncia d carga discrta. Las cuacions d moviminto srán as siguints: Q ˆ q sn φˆ = Lq (14) 5
ˆ 1 φ [ ˆ ˆ ˆ = Q + 1 + Q 1 Q ] (15) C Las cuacions antriors rprsntan a corrint d a inductancia y a variación d fujo con rspcto a timpo. Combinando as cuacions (14) y (15) s tin o siguint: ˆ φ q sn ˆ φ q + sn ˆ φ q sn ˆ φ = + 1 1 LCq (16) Esta cuación rprsnta os modos normas d d propagación, s dnomina cuación d Cirquitons [3]. Esta cuación s muy compja para tratar d rsovra n forma anaítica, por o cua s db intntar buscar soucions stacionarias con fin d apicar métodos prturbativos. Rfrncias [1] You-Quan Li and Bin Chn, Phys. Rv. B 53, 407 (1996) [] J. C. Fors, Europhys. Ltt. 69, 116 (005) [3] J. C. Fors, Phys. Rv. B, 64, 35309 (001) 6