Modelo de Hotelling Mtilde Mchdo Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling Modelo de Hotelling Considermos un ply. En cd extremo de l ply hy un vendedor de heldos. unque venden los mismos heldos los consumidores no son indiferentes entre los dos. Prefieren comprr l vendedor que est ms cerc. Hy costes de trnsporte. Reinterpretcion de distnci, por ejemplo: Cereles pueden tener mucho zucr o poco. Podemos ordenr todos los cereles en un line de dulzor (ply). Consumidores tienen gustos (loclizciones) diferentes pr el dulzor y si no hy diferencis de precios prefieren comprr los cereles cercnos su gusto. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling
El modelo:. Un ciudd linel se sient en el intervlo [0,]. Los consumidores están distribuidos uniformemente l lrgo de este intervlo. 3. Hy empress, loclizds cd extremo de ese intervlo que venden el mismo bien. L unic diferenci entre ls empress es su loclizción. 4. ccoste de unidd del bien 5. t coste de trnsporte por unidd de distnci l cudrdo. Este coste es soportdo por los consumidores cundo eligen un empres o l otr. Represent el vlor del tiempo, gsolin, etc. 6. Los consumidores tienen demnds unitris o comprn unidd o ningun {0,} Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 Grficmente Ms de consumidores dz z 0 0 0 0 x Loclizción de l empres Loclizción de l empres Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 4
Los costes de trnsporte del consumidor x: De comprr en l empres son tx De comprr en l empres son ( x) t Definmos s como el excedente bruto del consumidor (es decir su máxim disponibilidd pgr) y supongmos que es lo suficientemente grnde pr que el mercdo esté cubierto, es decir pr que todos los consumidores del intervlo puedn comprr. L utilidd de cd consumidor es por tnto dd por: us-p-td donde d represent l distnci l empres más cercn. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 5 Tommos ls loclizciones de ls empress como dds y compiten en precios.. En primer lugr hy que buscr ls curvs de demnd pr cd un de ls empress. Un vez encontrds ls curvs de demnd podemos escribir el problem de cd empres que es encontrr el precio que mximiz su beneficio. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6 3
El consumidor indiferente entre comprr en l tiend o se situ en se define como el punto donde Ux ( ) Ux ( ) s p t s p t( ) p + t p + t( ) p + t p + t+ t t t p p + t Comprn Comprn p p + t t Si (p -p ) el consumidor indiferente se mueve hci l derech, es decir ument l demnd de l empres y disminuye l demnd de l empres Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 7 Un vez que sbemos cul es el consumidor indiferente podemos definir ls funciones de demnd de ls empress y. p p + t D( p, p) dz z 0 t 0 p p + t p p + t D( p, p) dz z t t L demnd de l empres por ejemplo depende positivmente de l diferenci de precios (p -p ) y negtivmente de los costes de trnsporte. Si ls dos empress colocn el mismo precio p p entonces se reprten el mercdo en prtes igules (el consumidor indiferente se situ en ½). Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 8 4
Decimos que el mercdo está cubierto cundo el consumidor indiferente quiere comprr, es decir: p p + t s p t 0 t Los beneficios de ls empress son: ( ) ( ) Π ( p, p ) p c D ( p, p ) p c p p + t t Π > Not: (precios) complementos estrtégicos: 0 p p (curv de rección es positivmente inclind) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 9 El problem de l empres, por ejemplo, es: ( ) ( ) Mx Π ( p, p ) p c D ( p, p ) p c p Π p p + t ( p c) p t t CPO: 0 0 p p + t t p + t+ c p p + t+ c 0 p Como el problem es simétrico p p p* * * * p + t+ c p t+ c * p p t+ c Curv de rección de l empres Cundo t0 volvemos ertrnd p*c; Π*0 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 0 5
Un vez que tenemos los precios de equilibrio podemos clculr tods ls cntiddes de equilibrio: * * * * D( p, p) * * * * * D( p, p) D( p, p) ( ) ( ) * * * * * Π Π p c D t+ c c x Not: cunto myor es t más diferencido está el bien desde el punto de vist de los consumidores, myor es el poder de mercdo, los clientes que están más cerc están más cptivos porque les sle muy cro irse hst l otr empres. Esto permite umentr el precio de equilibrio y los beneficios. Cundo t0 (no hy diferencición) volvemos ertrnd Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling t Observciones: Cd empres sirve medio mercdo D* D* / L prdoj de ertrnd desprece p p >c Un umento de t implic más diferencición de productos. Por lo tnto ls empress compiten con menos vigor y obtienen beneficios myores. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6
Grficmente: p +tx p +t(-x) p t+c p t+c 0 ½ El consumidor compr l vendedor que le slg más brto incluyendo el coste de trnsporte Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 Como vrin los precios cundo vrí l loclizción de y? Si 0 y hy máxim diferencición Si ˆx Todos los consumidores comprrán l que teng el precio más brto, volvemos ertrnd, p p c y Π Π 0. El consumidor x pg l totlidd de: p + t( x xˆ ) i Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 4 7
Cso Generl: Vmos tener periodos: En el primer periodo ls empress seleccionn loclizción ˆx (o lo que es lo mismo ls propieddes de su producto) En el segundo periodo ls empress compiten en precios dd su loclizción Se resuelve hci trás. Empezmos por el segundo periodo. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 5 Empezmos por el segundo periodo. Suponemos que l empres está loclizd en un punto (donde [0,]) y l empres está loclizd en (-b) ˆx (donde (-b) [0,]) Not: L máxim diferencición serí con 0; y -b (es decir b0) l minim diferencición (sustitutos perfectos) serí con -b +b. De nuevo hy que primero encontrr el consumidor ˆx indiferente que es quel donde: Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6 8
El consumidor indiferente p + t( ) p + t( ( b)) ( ) p + t + t tx p + t + t( b) t( b) t b p p + t( b) t (( ) ) p p + t( b) t p p + t b t( b ) t( b ) p ( )( p b b+ ) ( ) ( ) p p ( b + ) p ( p b ) ( ) t( b ) + t b b t b + + + Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 7 Grficmente p +t(x-) p p 0 -b Mercdo cutivo de Mercdo cutivo de Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 8 9
Ls demnds son: ( ) ( ) ( b ) p p D( p, p) + + t b ( b ) p p D( p, p) t( b ) p p b + + t( b ) p p b + + b t b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 9 Interpretción de ls funciones de demnd: si p D( p, p) + consumidores cutivos, su izquierd ( b ) mitd de los consumidores entre y -b b D( p, p) + b si p p p mitd de los consumidores entre y -b ( ) consumidores cutivos, su derech b p p D( p, p) + + t( b ) sensibilidd de l demnd frente l diferenci de precios Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 0 0
. Encontrr ls funciones de rección ( ) Π ( ) (, ) ( ) + + b p p Mx p c D p p p c p t( b ) Π ( b ) p p CPO: 0 + + + ( p c) 0 p t( b ) t( b ) p ( b ) p + c + + ( t b ) ( t b ) p ( b ) p + c + + t( b ) t( b ) t p t( b ) + ( b ) p + c Función de rección + Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling. Encontrr ls funciones de rección ( ) b p p Mx Π ( p c) D( p, p) ( p c) b + + p t( b ) Π CPO: 0 p ( b ) p p b+ + + ( p c) 0 t( b ) t( b ) ( b ) p p + c b + + 0 t( b ) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling
. Encontrr ls funciones de rección (cont.) ( ) b p + c p + c b b+ + + + + 0 t( b ) t( b ) ( b ) 3p + 3c b + b+ + + 0 4( t b ) 4 3p 3c b 3 + + 4( t b ) 4( t b ) 4 4 4 t( 3 + b ) ( b ) p c+ 3 b b c+ t( b ) + y p c+ t( b ) + 3 3 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3. Encontrr ls funciones de rección (cont.) * b * b p(, b) c+ t( b ) + y p(, b) c+ t( b ) + 3 3 Los precios son máximos cundo l diferencición es máxim (b0; p p c+t) y minimos cundo l diferencición es minim (+b (mism loclizción) y p p c) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 4
3. er periodo, elección simultne del producto (es decir decisión de loclizción y b). Los beneficios son: ( ) ( ) Π * * * (, b) p(, b) c D(, b, p(, b), p(, b)) * * * (, b) p(, b) c D(, b, p(, b), p(, b)) Π * * * * Se sustituye p( b, ), p( b, ), D( b, ), D( b, ) y nos quedmos con un función solmente de y b. Scmos ls CPO como siempre. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 5 3. er periodo, elección simultne del producto(cont.) * * b p p b Π ( b, ) c+ t( b) + c 3 + + t( b) * * b pero p p t( b) 3 lo que simplific: b b b+ Π ( b, ) t( b) + + 3 b+ t b 3 3 8 3+ b 3 b+ 3 6 ( ) ( ) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 6 3
3. er periodo, elección simultne del producto(cont.) ( ) ( 3 b+ ) Mx Π (, b) t b 8 Π ( b, ) ( 3 b+ ) 3 b+ CPO: t + t( b) 8 8 t + 8 + t ( b+ )( + b+ ) < 8 ( ) ( 3 b ) ( 3 b ) ( b) * 3 3 0 0 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 7 3. er periodo, elección simultne del producto(cont.) ( ) ( 3 + b ) Mx Π (, b) t b b 8 Π ( b, ) ( 3+ b ) ( 3+ b ) CPO: t + t( b) b 8 8 t ( 3+ b ) ( 3 b ) ( b) 8 + t ( + b )( + b+ ) < b b 8 * * 3 3 0 0 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 8 4
Conclusión: Ls empress se colocn en los extremos, eligen máxim diferencición. Pr l empres por ejemplo, un umento de (movimiento hci l derech) tiene un efecto negtivo y otro positivo Tiene un efecto positivo (efecto demnd) porque moviendose hci l centro l empres increment su cuot de mercdo (dd l estructur de precios) Tiene un efecto negtivo (efecto competenci) l moverse hci l centro l empres gener myor competenci (menos diferencición entre los productos) Si los costes de trnsporte son cudráticos el efecto competenci es más fuerte que el efecto demnd y ls empress prefieren máxim diferencición. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 9 L solución socilmente óptim es l que minimiz los costes de trnsporte y serí /4 y -b3/4. Por tnto desde el punto de vist socil hy demsido diferencición del producto. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 30 5
Si cbe l plnificdor socil eligir ls loclizciones y b tiene que seleccionrlos de mner mx el excedente socil. Excedente del consumidor x es: s-t(x-) -p si compr en s-t(x-(-b)) -p si compr en Por cd consumidor el vendedor gn p -c empres p -c empres Los precios son pur trnsferenci entre consumidores y productores, el excedente totl socido l consumidor x es: s-t(x-) -p +p -c s-t(x-) -c si compr en s-t(x-(-b)) -p +p -c s-t(x-(-b)) -c si compr en Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 Pr sber el mximo socil tenemos que derivr el consumidor indiferente: s t( ) c s t( ( b)) c ( ) ( ( b)) + + ( b) ( b) ( b) ( b) [ b ] ( b) ( b )( b+ ) ( b+ ) mitd de l distnci entre y -b ( b ) Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 3 6
El monopolist tiene que mx el beneficio socil que es lo mismo que minimizr los costes de trnsporte b+ b Min t( s) ds+ t( s ) ds+ t(( b) s) ds+ t( s ( b)) ds b, 0 b+ b comprn comprn 0 b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 33 b+ b Min t( s) ds+ t( s ) ds+ t(( b) s) ds+ t( s ( b)) ds b, 0 b+ b comprn comprn ( s) ( s ) ( b s) ( s ( b)) Min + + b, 3 3 3 b+ 3 0 b+ 3 3 3 b 3 3 3 3 3 b b b Min + + + b, 3 3 3 3 b Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 34 7
L CPO: 3 3 3 3 b b b Min + + + b, 3 3 3 3 b 0 3 0 4 ( b ) 0 () 3 b 0 b 3 0 4b ( b ) 0 () b 3 ()-(): 4 4b 0 b b lo que sustituyiendo en () implic que: * * 3 4 ( ) 0 4 ( ) 0 4 4 + 4 0 ;( b ) 4 4 Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 35 L conclusión básic del modelo de Hotelling es el principio de diferencición: ls empress quieren diferencirse lo máximo posible pr disminuir l competenci en precios. Por veces puede que hy fuerzs que se oponen l diferencición y que incluso pueden llevr diferencición mínim: ) Ls empress pueden querer estr donde está l demnd (i.e. en el centro) ) En cso de usenci de competenci en precios (por ejemplo por que los precios están reguldos) puede llevr ls empress loclizrse en el centro y reprtirse el mercdo medis. Economí Industril - Mtilde Mchdo L Ciudd Linel El modelo de Hotelling 36 8