Álgebr Selectividd 4-11 1 Cundo el ño 18 Beethoven escribe su primer Sinfoní, su edd es diez veces mor que l del jovencito Frnz Schubert. Ps el tiempo es Schubert quien compone su célebre Sinfoní Incomplet. Entonces l sum de ls eddes de mbos músicos es igul 77 ños. Cinco ños después muere Beethoven en ese momento Schubert tiene los mismos ños que tení Beethoven cundo compuso su primer Sinfoní. Determinr el ño de ncimiento de cd uno de estos dos compositores (.5 puntos) Not: Solmente se clificrán los resultdos obtenidos mtemáticmente, no los derivdos de los conocimientos histórico-musicles del exminndo. (Junio 4) Se el sistem x + 3 + z = 5 x + z = + z = Se pide clsificrlo según los vlores del prámetro (1.5 puntos) resolverlo si en lgún cso es comptible indetermindo (1 punto). (Junio 4) 3 Se el sistem homogéneo de ecuciones x + z = x + z = x + z = ) Determinr el vlor o vlores del prámetro pr que el sistem teng soluciones distints de l nul (1.5 puntos). b) Resolver el sistem pr el vlor o vlores de hlldos en el prtdo nterior (1 punto). (Septiembre 4) 4 Determinr un mtriz cudrd X que verifique AX + XA = 1 3 3 siendo A = 1 1 ( puntos). Luego nlizr si l mtriz es inversible, en el cso de serlo clculr su mtriz invers (.5 puntos). (Septiembre 4) 5 Ev, Mrt Susn son tres jóvenes migs que se comprometen leer el Quijote este verno. Cd un por seprdo en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de págins cd dí hst terminr l obr. Ev leerá dirimente 5 págins más que Mrt ést 6 págins más que Susn. Por ello Ev terminrá l obr dos semns ntes que Mrt ést 3 dís ntes que Susn. Se pregunt cuál es el totl de págins que tiene l versión de l inmortl obr cervntin que leen ests migs. (.5 puntos). (Junio 5) 6 L tern (,, ) es siempre solución del sistem independientemente del vlor del prámetro. x + z = x + z = x + z = ) Indicr pr qué vlores del prámetro l citd tern es l únic solución del sistem. (1.5 puntos). b) Indicr lgún vlor del prámetro, si existe, pr el cul el sistem teng lguns soluciones distints de l nul mostrr ests soluciones. (Not: Si se encuentrn vrios vlores del prámetro cumpliendo l condición pedid, pr responder est cuestión bst tomr uno solo de ellos). (1 punto). (Junio 5)
7 A, B C son tres ciuddes que formn un triángulo de mner que entre cd dos de ells h un crreter rect que ls une. Se sbe que si se v de A B dndo l vuelt por C se hce un recorrido tres veces mor que si se v directmente de A B. Asimismo si pr ir de A C se d l vuelt por B el recorrido es el doble que si se v directmente de A C. Clculr ls distncis entre ls tres ciuddes sbiendo que l sum de ls tres distncis es igul 1 kilómetros (.5 puntos). (Septiembre 5) 8 Estudir según el vlor del prámetro λ, el sistem de ecuciones λx + + z = 1 x + λ + z = λ x + + z = λ resolverlo si en lgún cso es comptible indetermindo (.5 puntos). (Septiembre 5) 9 Se considern ls mtrices A = 1 λ 1 3 1 1 1, B = λ donde λ es un número rel. ) (1.5 puntos) Encontrr los vlores de λ pr los que l mtriz AB tiene invers. b) (1 punto) Ddos b números reles culesquier, puede ser el sistem A comptible determindo con A l mtriz del enuncido? (Junio 6) x z = b b b 1 Se l mtriz A = b b b b ) (1.5 puntos) Sin utilizr l regl de Srrus, clculr el determinnte de dich mtriz. b) (1 punto) Estudir el rngo de A en el cso en que b = -. (Junio 6) 11 L lig de fútbol de un cierto pıs l juegn 1 equipos doble vuelt. Este ño, los prtidos gndos vlín 3 puntos, los emptdos 1 punto los perdidos puntos. En ests condiciones, el equipo cmpeón de lig obtuvo 7 puntos. Hst el ño psdo los prtidos gndos vlín puntos el resto igul. Con el sistem ntiguo, el ctul cmpeón hubier obtenido 5 puntos. Cuntos prtidos gno,empto perdió el equipo cmpeón?. (.5 puntos) (Septiembre 6) 1 Teniendo en cuent que desrrollrlo b c p q r x z 3 3b 3c + p b + q c + r x + + b z + c = 7 clculr el vlor del siguiente determinnte sin (Septiembre 6) 13 Considerr el sistem linel de ecuciones en x, z x + 3 + z = 5 mx + z = m z = m ) (1 punto) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene solución únic.
Clculr dich solución pr m =1. b) (1 punto) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene infinits soluciones. Clculr dichs soluciones. c) (.5 ptos) Estudir si existe lgún vlor de m pr el cul el sistem no tiene solución. (Junio 7) 14 (.5 puntos) Un cjero utomático contiene 95 billetes de 1, 5 euros un totl lmcendo de euros. Si el número totl de billetes de 1 euros es el doble que el número de billetes de, verigur cuntos billetes de cd tipo h.. (Junio 7) 15 Dds ls mtrices 3 1 1 A =, I = 8 3 1 det( A ) = det( A) ) (,5 puntos) Comprobr que ( ) b) (1 punto) Estudir si pr culquier mtriz ( M ) det( M ) = det( ) b M = c d de orden se cumple que c) (1 punto) Encontrr l relción entre los elementos de ls mtrices M cudrds de orden que stisfcen det( M + I) = det( M ) + det( I) (Septiembre 7) α β 1 k t 16 Sen A = α B = 1 k 1 ) (.5 puntos) Estudir pr qué vlores de α β l mtriz A tiene invers. b) (1 punto) Clculr A 5. c) (1 punto) Hllr l mtriz invers de B. (Septiembre 7) 17 ) (1,5 puntos) Sen A, B, I ls mtrices: 1 1 6 3 4 1 A = 1 1, B = 3 1, I = 1. 1 4 1 5 1 Estudir si existe lgún vlor de λ R pr el cul se stisfg ( A λ I) = B. b) (1 punto) Teniendo en cuent que (Junio 8) x z 1 = 1, determinr el vlor de 1 1 3 x 1/ 4 4 4 z 1/ 1 18 (,5 puntos) Ddo el sistem x + 3 z = 4 x + + z = x + = + x z = Discutirlo según los vlores de, resolverlo cundo se comptible. (Junio 8) b 19 (,5 puntos) Hllr un mtriz X = de orden tl que c d 1 3 1 1 1 A X A = B siendo A = B = 1 1 (Septiembre 8)
1 1 1 ) (1 punto) Probr que b c = ( b ) ( c ) ( c b) b c x + + 3z = b) (1,5 puntos) Hllr l solución del sistem de ecuciones que demás x + 4 + 9z = stisfce que l sum de los vlores correspondientes cd un de ls incógnits es 4. (Septiembre 8) 1 ) [1,5 puntos] Discutir resolver en función de los vlores del prámetro m el sistem linel b) [1 punto] Teniendo en cuent que determinr el vlor del determinnte x + + z = 1 mx + m + m z = 1 mx + m + m z = 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 (Junio 9) ) [1,5 puntos] Dd l mtriz 1 A = 1 1 1, clculr l invers de l mtriz A n b) [1,5 puntos] Estudir pr qué vlores del prámetro α R, existe un único polinomio P (x) = + bx + cx que stisfce P () = α, P (1) =, P (-1) =. (Junio 9) 1 A =, I = b c 1 de orden. Hllr l relción entre los prámetros, b c pr que se verifique que A -1 = I - A. b) [1 punto] Clculr, en función de los vlores del prámetro k, el rngo de l mtriz 1 1 B = 1 1 3 (Septiembre 9) 5 1 k 3 ) [1,5 puntos] Sen ls mtrices 4 ) [1,5 puntos] Resolver el siguiente determinnte sin utilizr l regl de Srrus: b) [1,5 puntos] Pr M b c + c b c + b + c b c + b 1/ 3/ 4 = 1 1/ con n N. (Septiembre 9)
5 ) Estudir pr qué vlores de el determinnte de l mtriz nulo. Pr = 3, obtener el determinnte de l mtriz A. (1,5 puntos) b) Sen ls mtrices (1 punto) (Junio 1) 1 1 A = 3 6 ) Estudir pr qué vlores de x, l mtriz invers de A = 1 1 1 B =. Clculr el rngo de ( AB )T. 3 1 x 5 x es no coincide con su opuest. (1,5 puntos) b) Dos hermnos de tercero curto de primri ibn cmino del colegio con sus mochils crgds de libros todos del mismo peso. Uno de ellos se lmentb del peso que trnsportb el otro le dijo: De qué te quejs? Si o te cogier un libro, mi crg serí el doble que l tu. En cmbio si te dier un libro, tu crg igulrí l mí Cuántos libros llevb cd hermno? (1 punto) (Junio 1) 7 ) Discutir resolver cundo se posible el siguiente sistem linel: (1,75 puntos) x + = x + + z = 1 + z = 1 b) Existe lgún vlor del prámetro pr el cul el vector nterior? (,75 puntos) (Septiembre 1) 1 se solución del sistem 8 Dd l mtriz cosα senα A = senα cosα β ) Estudir si existen vlores de α β pr los cules l mtriz A se simétric. Será l mtriz B = A A T igul l mtriz identidd en lgún cso? (1 punto) b) Rzonr cuál es l relción entre el determinnte de A el de B. (,75 puntos) c) Discutir resolver cundo se posible el sistem 9 ) (1,5 puntos) Estudir pr qué vlores de α l mtriz x 1 B = 1 z 1 (,75 puntos) (Septiembre 1) 1 A = α + 1 1 α 1 α + 1 rngo máximo. b) (1,5 puntos) Siendo A -1 l invers de l mtriz A, clculr, pr α = -1. (Junio 11) tiene
3 ) (1 punto) Sen ls mtrices cosα senα A = senα cosα Estudir qué vlores de α β hcen que se ciert l iguldd ( ( A) ) ( A) ( B) det det det + 1 = cosα senα B = β senα cosα b) (1,5 puntos) Utilizr ls propieddes de los determinntes pr clculr el vlor de 3 4 31 Se l mtriz + 3 b + 4 c + 3 d + 4 con, b, c, d R (Junio 11) α 1 A = α ) (,75 puntos) Clculr el determinnte de l mtriz (A A T ) con A T l trspuest de A. b) (,75 puntos) Estudir pr qué vlores del prámetro α se stisfce l ecución 4 A A T + α = con A = det(a). c) (1 punto) Obtener l invers de A cundo se posible. (Septiembre 11) 3 (,5 puntos) Utilizr ls propieddes de los determinntes pr obtener los vlores de b que stisfcen simultánemente ls ecuciones + b 1 b 1 = + b 3 b = (Septiembre 11) Not: En l págin web Mtemátics en tu mundo podéis encontrr un recopilción de exámenes de selectividd desde el ño 1994. H colecciones de problems resueltos grupdos por bloques temáticos. El en lce es http://ctedu.es/mtemtics_mundo/pau/pau.htm