Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 Opción A Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Sea la función f ( ) = 4 a. Estudiar su continuidad y derivabilidad. b. Dibujar su gráfica. c. Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y f ( ) OX. ( ) 4 si 4 8 si 4 f ( ) = f ( ) = 4 si > 4 8 si > 4 =, las rectas =, = 5 y el eje Las dos ramas de la función son parábolas, con lo que sabemos que son continuas y derivables en todos los puntos salvo quizás en =4. Estudiemos, en ese punto, la continuidad y derivabilidad de la función. lim f = lim 8 = 4 4 f ( 4) = ; lim f ( ) = f ( 4) = lim f ( ) f ( ) es 4 4 lim f = lim 8 = + + 4 4 continua en = 4 f es continua R ( 4 + ) ( 4) 8( 4 + ) ( 4 + ) ( 8) f h f h h h h f ( 4) = lim = lim = lim = lim ( h 8) = 8 h h h h h h h ( 4 + ) ( 4) ( 4 + ) 8( 4 + ) ( + 8) f h f h h h h f + ( 4) = lim = lim = lim = lim ( h + 8) = 8 + + + + h h h h h h h f 4 f 4 f no es derivable en = 4 + Vamos a representar gráficamente la función teniendo en cuenta que está compuesta por dos trozos de parábolas. y = corta al eje OX en los puntos y 8, 4, y = 8 4 tiene un máimo en el punto,8 la gráfica se correspondería con la parábola de trazo rojo y = corta al eje OX en los mismos puntos y 8, 4, y = 4 8 tiene un mínimo en el punto, 8 la gráfica se correspondería con la parábola de trazo azul La gráfica de f ( 4, + ) la representamos en negro y se obtiene a partir de la primera parábola en el intervalo en (,4] y de la segunda IES Pedro de Tolosa [] Matemáticas II
Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 El área pedida se corresponde con la zona coloreada 4 5 4 5 A = 8 d + 8 d = 4 4 4 + = 8 5 8 = 64 + 64 = 6 4 Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Calcula: sen a) lim b) ln ) d c d + π ( sen ) ( cos ) ( cos ) ( cos ) sen sen sen sen cos sen cos sen = = ( L Hopital ˆ ) = = = π π π cos sen π sen a) lim lim lim lim b) ( ln ) d = ( ln ) ln d ( ln ) ln d = = = = ln u ( ln ) du d u = ln du = d dv = d v = dv = d v = = ( ln ) ln ( ln ) ln d C = + + 4 c) d = d d = d d = ln ln ( + ) + C + + 4 + 4 A M A M + N ( A + M ) + N A + = + A =, M = = + = N = + + ( + ) A = N = IES Pedro de Tolosa [] Matemáticas II
Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Se consideran las curvas se cortan en un punto (, ) y = e y a =, donde a es un número real con < a <. Ambas curvas y con abscisa positiva. Hallar a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde = hasta = es igual a la encerrada entre ellas desde = hasta =. Se trata de encontrar el valor de " a" para que A = A = ( ) = = A a d a a = ( ) = = A a d a a a entonces a = a + a a = Ejercicio 4. (Puntuación máima: puntos) Sea la función f ( t) = t + e sen g = f t dt. Calcula Se define la función lim g sen g = f t dt g = f t dt = cos según el teorema fundamental del cálculo integral g ( ) = cos = sen + e + e g ( ) g ( ) cos entonces lim = ( L Hopital ˆ ) = lim = lim = = sen + e + sen IES Pedro de Tolosa [] Matemáticas II
Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 Opción B Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Sea la función f ( ) = sen( 4) + 7. Demuestra que la función derivada f ( ) una raíz real en el intervalo (, 4 ). sen sen posee al menos f es una función continua y derivable enr por ser suma y producto de funciones continuas [ ] = y derivables; en particular f es continua en,4 y derivable en, 4 y además f f 4 f f = 4 + 7 = 7 4 = 6 + 7 = 7 entonces estamos en las condiciones del teorema de Rolle por lo que podemos concluir que eiste,4 tal que f = f posee, al menos, una raiz en el intervalo,4. ( ) en el intervalo [ ] También puede resolverse aplicando el th. de Bolzano a f,4 Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Dada la parábola y = 4, se considera el triángulo rectángulo T r formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la parábola en el punto de abscisa = r, con r >. T r tenga área mínima. a. Hallar r para que b. Calcular el área de la región limitada por la parábola, su tangente en el punto de abscisa =, y el eje vertical. Calculemos la recta tangente a la parábola en el punto = r ( 4 ), tg 4 punto de tangencia P = r,4 r ; y = m = y r = r r y r = r r r y = r + r + tg cortamos la recta con los ejes de coordenadas = a = rtg OY a = (, r + 4) y = r + r + 4 y = r + 4 b = rtg OX b =, y r r 4 r = + + El triángulo T r tiene por base b y por altura a IES Pedro de Tolosa [4] Matemáticas II la función área será A r r = r, A( r) = 4r + 4 ( r + 4) ( r + 4)
Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 ( + ) ( + ) 6 4 4 4 r r r Busquemos el mínimo de la función área ; A ( r) = ; A ( r) = 6r r ( r + ) ( r + ) = ( r + )( r ) = r = r = ± como r > el área del triángulo es mínima cuando r = 6 4 4 4 4 4 4 4 La recta tangente a la parábola en el punto y = + 5 (,) es el área pedida es la región sombreada A ( 5) ( 4 ) ( ) A = + d = + d = = + = Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Calcula: 4 + 5 5 ) + ) lim + 6 + a d b 5 5 + 6 8 a) d 6 ( ) d + = 7 6 + = = = 6 6 = 6 5 4 5 + 4 + 5 6 6 + b) lim = ( dividiendo todo por 6 ) = lim = = + + 6 + + + 6 IES Pedro de Tolosa [5] Matemáticas II
Eamen de cálculo diferencial e integral /4/9 Ejercicio 4. Se considera la función (Puntuación máima: puntos) ( ) f = 4 + a. Calcula las asíntotas, los puntos etremos y esboza la gráfica de f ( ). b. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f ( ) y la recta de ecuación ( ) 4 + 5y 5 =. ( ) 4 + 4 4 + 4 4 + lim = lim = lim = y = es asíntota horizontal 4 + 4 + 4 + ( 8 4)( 4 + ) 8 ( 4 4 + ) ( 4 + ) ( 4 + ) R, ( 4 ) La función f = no tiene asíntotas verticales puesto que Dom f = + no tiene asíntota oblicua f = 6 4 = ; f = 6 4 = = ± f > en = hay un mínimo, ( 4 + ) ( 4 + ) 8( 6 4) 96 8 f ( ) = = ; 4 ( 4 + ) ( 4 + ) f < en = hay un máimo, f ( ) corta a los ejes en los puntos (, ) y, ; f ( ) = ( 4 ) = ; en =, =, = hay puntos de infleión. Dibujamos las gráficas y calculamos el área pedida. ( ) + 5 4 ln5 5ln5 4 5ln5 4 A = d d 5 ln 4 A = + = = = 5 4 5 5 5 ( ) + 4 4 4 8 d = d = d = d d = ln 4 + + + + + 4 4 4 4 IES Pedro de Tolosa [6] Matemáticas II