Capítulo 11 Dinámia de sólidos Todos los modelos estudiados hasta ahora suponían que los sólidos deformables se enuentran, en todo instante, en equilibrio uasi-estátio. Esto quiere deir que, aunque éstos se deforman en ada instante debido a las soliitaiones que atúan sobre ellos, las fuerzas ineriales son despreiables frente a las propias de la deformaión, por lo que no se onsideran (de otra forma, que la energía inétia es muho menor que la energía potenial). En multitud de problemas prátios estos no es así y las fuerzas debidas a la ineria del ontinuo ha de tenerse en uenta. Esto ourre siempre que las fuerzas se aplian de forma rápida, omo en las estruturas sometidas a terremotos, en los sólidos sometidos a impato, o en los que se mueven on altas aeleraiones. En todas estas oasiones las fuerzas ineriales deben de inorporarse a las euaiones del modelo, ambiando la naturaleza del problema de ontorno y las ténias neesarias para su resoluión. 11.1. Euaiones de la dinámia de sólidos Las euaiones que gobiernan la dinámia de sólidos deformables son la extensión al ontinuo de las leyes de Newton para la meánia de partíulas. Si, omo en el apítulo 2, se impone el equilibrio de antidad de movimiento en una región R ualquiera se obtiene R f dv + @R\ t da + @R[ t da = d dt R a dv, (11.1) siendo la densidad del uerpo y a = ü, la aeleraión. Empleando el prinipio de Cauhy, se puede demostrar la generalizaión de la euaión (2.32) para problemas dinámios que es div + f = a. (11.2) 219
220 Meánia de sólidos, I. Romero El planteamiento ompleto de un problema dinámio onsiste en enontrar el ampo de desplazamiento u = u(x,t)queverifia div + f = ü en! = ˆ(") " = grad s u n = t en t u(x, 0) = u o (x) u(x, 0) = v o (x) (11.3) Los ampos u 0 y v 0 son, respetivamente, el desplazamiento y la veloidad iniial. Como en el aso de los problemas estaionarios, las euaiones del equilibrio dinámio se pueden esribir también en forma débil dando lugar a una expresión dinámia del prinipio de los trabajos virtuales. Este india que el ampo de desplazamientos en equilibrio dinámio es el que verifia "[w]dv + a w dv = f w dv + t w ds (11.4) para ualquier variaión admisible de los desplazamientos w. Esta euaión es la base del álulo dinámio de estruturas. 11.2. Energía inétia La energía inétia es la parte de la energía que se almaena en un uerpo debido a que sus puntos tienen una antidad de movimiento. Su definiión deriva diretamente de la definiión de meánia lásia y por tanto K = 1 u 2 d. (11.5) 2 El siguiente resultado demuestra que la potenia que se aplia a un uerpo deformable desde el exterior se transforma en energía inétia y el una potenia interna que es la que realizan las tensiones sobre la tasa de las deformaiones. Teorema 11.2.1. (Teorema de las fuerzas vivas) En un uerpo deformable sometido a fuerzas externas ( f, t), la potenia externa se transforma en potenia interna y en ambiar la energía inétia, es deir, f u dv + t u da = "[ u]dv + dk. (11.6) dt t Demostraión. La demostraión del teorema de las fuerzas vivas es inmediata a partir de la euaión (11.4), si más que esoger w = u. t
Capítulo 11. Dinámia de sólidos 221 k Figura 11.1: En una onda plana, el ampo de desplazamientos tiene valor onstante en planos ortogonales al vetor de onda k. 11.3. Ondas planas Las soluiones más senillas de la euaión dinámia de los uerpos deformables son las ondas, desplazamientos que se repiten de forma periódia. Estas ondas se lasifian según la relaión entre su direión de propagaión y de desplazamiento. Por ejemplo, una onda uyo frente se mueve de forma radial desde un punto de origen se llama una onda esféria. En el aso de un medio elástio, infinito y sin ninguna fuerza volumétria existen soluiones que son ondas planas, es deir, desplazamientos de la forma u(x,t)=a sin(k x t) (11.7) El vetor a es el vetor de desplazamiento y se onoe a vees on el nombre de vetor de polarizaión, el vetor unitario k es el vetor de onda y se onoe omo la veloidad de propagaión. Estas soluiones orresponden a ampos de desplazamiento que tienen la direión a y que son onstantes en todos los planos perpendiulares a k, repitiéndose de forma periódia a lo largo de k (véase la figura 11.1). Cuando el medio es isótropo e infinito, sólo hay dos tipos de ondas planas que pueden ser soluión del problema ompleto, a saber: a) Si a es paralelo a k, entones = p ( +2µ)/ y se llaman ondas primarias u ondas de tipo p. También se llaman ondas longitudinales aunque esta última denominaión puede llevar a equívoo. b) Si a es perpendiular a k, entones = p µ/ y la soluión se llama ondas seundarias u ondas de tipo s. Estas también se llaman ondas
222 Meánia de sólidos, I. Romero de ortante, pero omo anteriormente, esta aepión puede dar lugar a malentendidos. Para demostrar este resultado se deriva, en primer lugar, dos vees respeto al tiempo la expresión (11.7), resultando: ü(x,t)= 2 sin(k x t)a. (11.8) Para hallar la tensión obtenemos en primer lugar el gradiente de la deformaión y su simetrizaión gradu(x,t)= os(k x t)a k, (11.9) "(x,t)= os(k x t)/2(a k + k a). (11.10) A partir de este valor y las euaiones de Lamé se sigue que la tensión es (x,t)= os(k x t)( (a k)i + µ(a k + k a)), (11.11) uya divergenia es div (x,t)= sin(k x t)[(µ + )(a k)k + µa]. (11.12) Sustituyendo (11.8) y en la euaión del equilibrio (11.2) se ha de verifiar: 2 a =(a k)(µ + )k + µ a. (11.13) Esto sólo puede ourrir en dos asos. En primer lugar, si los vetores a y k son paralelos, entones esta relaión se satisfae y además = P = s +2µ. (11.14) En segundo lugar, es posible que las direiones de polarizaión y propagaión sean ortogonales y entones también se verifia la relaión (11.13) on = S = r µ. (11.15) En general, en otros medios, la relaión entre k y no es tan senilla. A menudo se puede enontrar una relaión de dispersión = (k) que además es araterístia del medio.
Capítulo 11. Dinámia de sólidos 223 11.4. Modelos disretos Las euaiones de la dinámia de sólidos no satisfaen ningún prinipio de mínimos por lo que no se pueden aproximar usando el método de Ritz desrito en la seión 6.7. Sin embargo existe un método alternativo, muy relaionado on el de Ritz, que sí puede apliarse para problemas generales omo el de la dinámia de sólidos. El método de Galerkin se basa en una aproximaión de la soluión y las funiones de peso de ualquier forma débil omo la del prinipio de los trabajos virtuales (6.6) o la euaión (11.4) de la dinámia de los sólidos deformables. Igual que en el método de Ritz la lave reside en que la aproximaión menionada es sobre un espaio de funiones on dimensión finita. En el aso del prinipio de los trabajos virtuales, donde la euaión variaional no depende del tiempo, la aproximaión del método de Galerkin es exatamente la misma que la del método de Ritz (f.6.37). Más aún, los dos métodos dan lugar exatamente a las mismas aproximaiones, salvo en algún aso omo la plastiidad no asoiativa en la que las tensiones o las euaiones inétias no dependen de un potenial. En el aso de la euaión (11.4) los ampos de desplazamiento y las funiones de peso se aproximan omo: u(x,t) u h (x,t)= X i i(x)u i (t), w h (x) = X i i(x)w i. (11.16) Estas interpolaiones se diferenian en que los desplazamientos dependen de parámetros u i que son funiones del tiempo, mientras que las funiones de peso se aproximan por funiones que no dependen del tiempo. Cuando en la euaión (11.4) se reemplazan tanto los desplazamientos y sus derivadas omo las funiones de peso por sus respetivas aproximaiones, se obtiene una euaión diferenial ordinaria de la forma X M ji ü i + X K ji u i = F j, (11.17) i i siendo K la matriz de rigidez, definida en la seión 6.7, ym la matriz de masa, uyas omponentes son M ji = j (x) i (x)dv I. (11.18) La euaión (11.17) es la base del álulo dinámio de sólidos y estruturas. 11.5. Ondas en sólidos unidimensionales El problema de propagaión de ondas más senillo que se puede resolver analítiamente es el de la un medio elástio unidimensional. A pesar de las
224 Meánia de sólidos, I. Romero simplifiaiones neesarias para su desripión, la soluión de este problema aporta informaión muy interesante para omprender ómo se omportan los sólidos uando están sometidos a argas dinámias. En este análisis se onsidera una barra reta de longitud L, seión transversal A de un material elástio on módulo de Young E y densidad. Si definimos la oordenada x de tal manera que un extremo se orresponda on x = 0 y el otro on x = L, el desplazamiento de ada una de las seiones de la barra durante un intervalo de tiempo de tamaño T se puede desribir on una funión u :[0,L] [0,T] que satisfae Aü+EAu 00 +q =0, u(x, 0) = u 0 (x), u(x, 0) = v 0 (x), u(0,t)=u(t). (11.19) En estas euaiones, q es una fuerza por unidad de longitud en direión del eje x, u 0 y v 0 son, respetivamente, el desplazamiento iniial y su veloidad, y es el desplazamiento en la seión orrespondiente a x = 0. La seión x = L no tiene ningún desplazamiento impedido así que es una superfiie libre. Si se estudia una barra libre de fuerzas, es deir q = 0, es inmediato omprobar que las funiones de la forma u(x, t) =F (x t)+g(x + t), (11.20) son soluiones del problema (11.19) (esta es la llamada soluión de D Alembert de la euaión de ondas). Cuando x 2 [0,L], las ondiiones iniiales de desplazamiento y veloidad implian que u 0 (x) =F (x)+g(x), v 0 (x) = F 0 (x)+g 0 (x), (11.21) y la ondiión de ontorno, para t 0, U(t) =F 0 ( t)+g 0 (t). (11.22) Las dos omponentes de la soluión (11.20) se llaman las araterístias. La primera, F, desplaza haia valores de x positivos la soluión en ada instante; la segunda araterístia, G, desplaza la soluión en sentido ontrario. Consideremos, finalmente, el aso más senillo: la barra, iniialmente en reposo, tiene el extremo x = L libre y el extremo x = 0 on un desplazamiento impuesto U(t), omo se desribía anteriormente. De las ondiiones (11.21) onluimos que F (x) = G(x) =, para todo x 2 [0,L], siendo una onstante. De la ondiión de ontorno en x = 0 se obtiene que F ( t) =U(t) G(t), (11.23) para todo t 0. De forma equivalente, F (x) =U( x ) G( x) (11.24)
Capítulo 11. Dinámia de sólidos 225 para x apple 0. Como el extremo x = L está libre de fuerzas, u 0 (L, t) = 0 y por tanto F 0 (L t)+g 0 (L + t) = 0 (11.25) para todo t que implia G(x) =G(L) 0 o, de otra manera, x L G 0 (x) = F 0 (2L x) (11.26) F 0 (2L )d,= x L F 0 (2L )d, (11.27) para x L. Combinando el valor de F, G, onoido ya en [0,L], y las relaiones (11.24) y(11.27) podemos alular el valor de la soluión u en todo instante de tiempo. Como la definiión de F depende del valor de G y vieversa, el proeso de álulo ha de haerse reursivamente. Por ejemplo, para x 2 [ L, 0], la euaión (11.24) nos permite evaluar F (x) =U( x ). (11.28) A ontinuaión, para x 2 [L, 2L] extendemos G utilizando (11.27) y(11.28), resultando G(x) = para x 2 [L, 2L]. (11.29) Continuando suesivamente, para x 2 [ 2L, L], Para x 2 [2L, 3L], F (x) =U( G(x) =G(2L) x x ). (11.30) x 2L F 0 (2L )d 1 = 2L U 0 ( 2L )d x 2L = U. (11.31) El proeso se puede repetir hasta enontrar la soluión de F y G para todo x. La soluión (11.20) admite la siguiente interpretaión. Fijando un seión, x = x, su desplazamiento u es nulo durante un periodo de tiempo, mientras que t< x/. Hasta ese instante, u( x, t) =F ( x t)+g( x + t) = =0. (11.32) Un poo después, uando x/ apple t apple (2L x)/, la soluión pasa a ser x u( x, t) =F ( x t)+g( x + t) =U t. (11.33)
226 Meánia de sólidos, I. Romero M apple M apple M Figura 11.2: Continuando de esta manera se observa que el desplazamiento en el extremo x = 0 se desplaza haia valores positivos de x a una veloidad de. Cuando llega al extremo x = L, la onda se refleja, y sale en direión de valores dereientes de x, también a veloidad.al 11.6. Modos propios y freuenias propias En los uerpos elástios sin soliitaiones externas, existen soluiones dinámias de la forma u(x,t)=u(x) os(!t), (11.34) siendo!>0. Una funión U de este tipo se llama un modo propio de vibraión y!, unafreuenia propia de vibraión. Se puede demostrar que existen infinitas freuenias propias 0 <! 1 apple! 2 apple... que son los autovalores del operador diferenial de la euaión de ondas. En general, las freuenias propias y sus modos asoiados no se pueden alular de forma analítia. Tan sólo en problemas unidimensionales y geometrías muy senillas (retángulos, írulos, esferas, et). También se puede demostrar, aunque esto es más ompliado, que los infinitos modos de vibraión forman una base ortogonal de todo el espaio de soluiones del problema elasto-dinámio. Es deir, una soluión de este problema siempre se puede expresar omo una serie de la forma 1X u(x,t)= C a U a (x). (11.35) a=0 Además, las omponentes modales en una soluión evoluionan de forma independente. Problemas 11.1. Calula los modos propios de vibraión y sus freuenias asoiadas en una barra elástia de longitud L y seión A, sujeta en sus dos extremos y de un material on módulo de Young E y densidad. 11.2. El sistema de la figura 11.2 onsta de tres masas idéntias onetadas por dos resortes elástios, también iguales. Calular las matries de masa y rigidez del sistema y sus modos y freuenias propias.