La figura musra n forma squmáica un sisma d calnamino d líquidos conocido como pava lécrica. Un rsisor d masa dsprciabl calfacciona una placa málica cuya capacidad érmica la suponmos concnrada n C1 y su valor s d 400 Joul/ o C. La caída d mpraura nr l rsisor y la placa s prácicamn dsprciabl por lo qu s podría suponr sin comr dmasiado rror qu la oda la poncia s disipa n la placa. La placa s ncunra n conaco con l lmno liquido, n sa inrfas s produc una caída d mpraura qu s pud concnrar n una rsisncia érmica d valor 0.83333 o C/Wa. El volumn dl liquido s d aproximadamn d 1 liro lo qu origina qu s lmno posa una capacidad érmica d 4000 Joul/ o C. La rsisncia d pérdidas al mdio xrior s supon concnrada n R2 d valor 0.3125 o C/Wa y ambién s supon qu la mpraura xrior s manin consan duran l impo qu dura l xprimno n un valor d 25 ºC. a) Dibuj un quivaln lécrico dl sisma. b) Hall un modlo d sado para l sisma considrando como salidas a la mpraura d la placa y a la mpraura dl líquido. c) Suponga qu a s sisma s l aplica un pulso d poncia consan d anco 15 minuos (900 sg.) y d ampliud 500 Wa. Hall para sa nrada cual s la máxima mpraura a la qu llga l líquido una vz qu s quiada la poncia. S plana para l sisma érmico un circuio lécrico quivaln n dond c s la mpraura dl calfacor y s la mpraura dl líquido. A parir d la obsrvación dl circuio s pud drminar qu las variabls d sado pudn sr c y. En s caso las nradas dl sisma srán a y P. Aplicando nodos sobr l circuio lécrico s llga a : c P cc1 1 c a C 2 1 2
Dspjando las drivadas s llga a : P c c C1 1C1 1C1 c 1 1 a C C C 2 2 2 2 1 2 2 Escribindo las cuacions n forma maricial: 1 1 1 0 1C1 1C c 1 c C 1 P 1 1 1 1 1 a 0 2C2 C 2 2 1 2C 2 Las salidas dl modlo son las mismas variabls d sado por lo ano la cuación d salida quda: c 1 0 c y 0 1 Rmplazando las consans l sisma quda: -0.003 0.003 0.0025 0 c c P 0.0003-0.0011 0 0.0008 a c 1 0 c y 0 1 S db analizar la rspusa dl sisma para las nradas qu s musra a coninuación: La sñal d poncia aplicada s un pulso d 500 wa d 900 sgundos d duración. Esa sñal s pud conformar suponindo un scalón n =0 y rsando un scalón n =900. La mpraura ambin prmanc consan duran odo l impo qu dura l nsayo. Para drminar la rspusa dl sisma a parir d =0 y asa =900 sg, s dbn drminar las condicions inicials d las variabls. Esas condicions s pudn drminar dl circuio quivaln suponindo para <0, qu P=0 y a=consan=25ºc. En s caso ano la mpraura dl líquido, como la dl calfacor s ncunran a a. (los capaciors cargan a a) Ora forma s considrar l sisma n régimn prmann a parir d las cuacions d sado. En s snido la condición qu s manifisa s qu las mprauras no prsnan variación y por lo ano sus drivadas son cro.
Rmplazando los valors d a y P quda: 0-0.003 0.003 c 0.0025 0 0 0 0.0003-0.0011 0 0.0008 25ºC D la primra fila quda qu c, d la sgunda fila c 25ºC. Coincidindo con lo viso n l circuio, noncs: c (0) 25ºC x(0)= (0) 25ºC En =0 s aplica un scalón d poncia d 500 wa y la mpraura ambin s manin a 25ºC. por lo ano : P () 500w u ( )= a () 25ºC Para drminar la rspusa n l campo ransformado s aplica : 500w Ps () s En s caso Us ( )= a () s 25ºC s s 0.003 0.003 La mariz si A 0.0003 s 0.0011 Por lo ano: 1 1 X ( s) si A x(0) si A B U( s) 7 2 3 6 4 3 si A s s s s s D ( 0.003)( 0.0011) 9 10 +4,1 10 +2,4 10 ( 7,074 10 )( 3,393 10 ) La mariz adjuna rsula: Adj si A s 0.0011 0.003 0.0003 s 0.003 s 0.0011 0.003 4 3 4 3 1 ( s 7, 07410 )( s 3,393 10 ) ( s 7, 074 10 )( s 3,393 10 ) La mariz invrsa quda: si A 0.0003 s 0.003 4 3 4 3 ( s 7, 07410 )( s 3,393 10 ) ( s 7, 074 10 )( s 3,393 10 ) 25( s 0, 0041) 1 s 0,0041s 2,4 10 X ( s) si A x(0) 25( s 0,003) 3 s 0,0041s2,4 10 El érmino Aniransformando s llga a: 2 6 2 6, s la solución omogéna dl sisma. 0,0007074 0,003393 1 1 31,59 6,586 ( ) L (0) 0,0007074 0,003393 x si A x 24,14 0,8619
La solución forzada s: 1, 25( s 0, 0011) s 1 s 0,0041s 2,410 X p ( s) si A BU ( s) 0, 02( s 0, 02175) ss 0,0041s 2,410 Ani-ransformando s llga a: 2 6 2 6 0,0007074 0,003393 1 1 597,9 289,9 308 p( ) L ( ) 0,0007074 0,003393 x si A BU s 181,2 221,6 40,3 La solución oal s: 597,9 258,3 314,6 x () 181,2 197,4 41,17 0,0007074 0,003393 0,0007074 0,003393 El sisma voluciona con sa rspusa asa =900 sg. Pasado s valor la volución dl sisma cambia ya qu no s l aplica más poncia, sin mbargo la nrada d mpraura s manin. 0 Ps () U( s)= () 25ºC a s s La ora siuación qu ay qu nr n cuna qu l sisma volucionará con sa nrada a parir d los valors d mpraura alcanzados n =900 sg. Por lo ano las condicions inicials d sa apa rsulan d calcular los valors d mpraura d la solución oal con =900.
c (900) 446, 4ºC x(900)= (900) 78,8ºC Aora s db calcular la rspusa a parir d =900 sg Ralizando las mismas opracions qu n l sgmno d impo anrior con la nuva nrada y condicions inicials. 05 446, 4s8, 71410 ( s 0, 001542) 1 s( s 0, 0007074)( s 0, 003393) X ( s) si A x(900) BU ( s) 900 78,8( s 0, 0001588)( s 0, 004794) s( s 0, 0007074)( s 0, 003393) Ani-ransformando s llga a: 25 + 121,7 + 299,7 x () 25 + 93,02 39,22 0,0007074 0,003393 0,0007074 0,003393
S v qu la mpraura dl líquido sigu aumnando lugo d qu s quia la poncia d nrada. Para sabr l valor máximo s db drivar la rspusa igualar sa xprsión a cro para drminar n qué momno ocurr l máximo. d d 0,0007074 0,003393 0,0658 + 0,133 0 0,0658 = 0,133 0,0658 0,133 0,0007074 0,003393 0,0033930,0007074 ln 0,4947 0,0026856 0,7038037607 0,0026856 262,07 (262,07) 86.16º C Aora s musra l rsulado por simulación dl procso complo a parir dl modlo d sado.
Paricularidads d la rspusa: 1) Qué pasaría con la mpraura dl sisma n l primr ramo d la rspusa si no s aplica poncia?. Si s analiza la solución forzada, n s caso con P=0 la rspusa s: 5 610 2 6 s 1 s 0,0041s 2,4 10 X p ( s) si A BU ( s) 0, 02( s 0, 003) 2 6 s s 0,0041s 2,410 Ani-ransformando sa xprsión quda: 25 31,59 6,586 x () 25 24,14 0,8619 0,0007074 0,003393 p 0,0007074 0,003393 Y si la comparamos sa xprsión con la solución omogéna calculada: 31,59 6,586 x () 24,14 0,8619 0,0007074 0,003393 0,0007074 0,003393 Vmos qu los érminos xponncials s canclan y la solución oal dl sisma quda consan a mpraura ambin, como dbría sr. 2) Como la mpraura ambin dl sisma prmanc consan, s pud modificar l modlo para qu rsul más sncillo d rsolvr?. Por raars d sismas linals, s pud aplicar l principio d suprposición. La rspusa dl sisma, si s considra solamn como nrada a la mpraura ambin, rsula consan igual al valor d a. Es dcir qu si s calcula la rspusa dl sisma considrando solamn la poncia y a sos valors s l suma l valor d a, s obin l rsulado oal.