Sistemas Suavemente Variantes

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1 Sismas Suavmn Varians Adriana Lópz, Alfrdo Rsrpo Laboraorio d Sñals, Dparamno d Elécrica y Elcrónica, Univrsidad d Los Ands, adriana_lopz5@homail.com, arsrp@uniands.du.co, Bogoa. Rsumn Normalmn, los sismas lnamn varians s modlan como sismas invarians a rozos, por jmplo n sínsis voz [Madido-Quijano], [Duqu-Vizcaya-Niño] l cambio n la forma dl raco vocal al pasar d dcir a a dcir, n l dipongo a, s modla con dos sismas invarians. La xciación s asum aproximadamn consan y provin d los pligus vocals. Con los sismas lnamn varians, modlamos con un sis ma varian una ransición xplícia y suav dl sisma a al sisma ; así, l paso d fonma a fonma s lo más suav posibl y l cambio s raa xplíciamn. En s arículo s prsna la caracrización d los sismas dnominados suavmn varians. S dan algunas cuacions gnrals y s prsnan los rsulados obnidos para dos ipos d nradas spcíficos, xponncials y sinusoidals. Palabras Clavs: Sismas Suavmn Varians, Función Caracrísica. Dfinición S considra un sisma basan gnral linal, aunqu no ncsariamn invarian, con una función caracrísica qu voluciona lnamn n l impo. En gnral, asumimos qu para una nrada ( la salida d un sisma linal s d la forma [Zadh] s ( ) h(, τ ) ( τ )dτ En nusro caso asumirmos qu h (, τ ) s una combinación baricénrica d la forma h(, τ ) ( h (τ ) + h (τ ) qu pasa linalmn d la función caracrísica h (τ) n a la función caracrísica h (τ) n (u n oro impo qu scojamos, p.j. ) y dirmos qu l sisma s suavmn varian. Por jmplo, dsconocido.: f( y g( 2 Rspusas d los Sismas Suavmn Varians Inicialmn, nconramos xprsions para las salidas corrspondins a nradas d ipo scalón, xponncial complja y sinusoidal. 2. Rlación nr la función caracrísica y la rspusa scalón: La rspusa scalón sá dada por

2 s ( ) h(, τ ) u( τ )dτ [( )h (τ ) + h(τ )]u( τ )dτ ( ) h(τ )dτ + h (τ ) dτ Por lo ano, n los punos d coninuidad d h y h, la drivada d la rspusa scalón sá dada por ( h (τ ) + h (τ ) + h(τ ) h (τ )dτ dada por la función caracrísica más un érmino qu dpnd d la difrncia nr h y h. s( H( Ωa ) cos( Ωa + H( Ωa )) + ( H ( Ωa ) cos( Ω a + ( H( 2. Enrada Exponncial Complja: Si s in una nrada xponncial complja, d la forma ( a y s aplica al sisma, la salida srá: s( ) h(, τ ) ( τ )dτ ( )h (τ ) + h (τ ) [ ] a ( τ ) dτ a ( )h (τ ) + h (τ ) [ ] a τ dτ dsconocido.: Magniud d H y H H ( Ω, sindo y. H ( Ω, Ω j 5 Si s xprsa l cos(5 como una suma d xponncials compljas s in la siguin rspusa n l impo (s implmnó n MATHEMATICA 4.): qu incluy las ransformadas d fourir H y H, d h ( ) y d h ( ) rspcivamn. Así quda s ( ) a [( ) H ( Ω a ) + H (Ω a )] Por lo ano, dfinimos la función d ransfrncia dl sisma como H(Ω, ) [( ) H ( Ω a ) + H (Ω a )] Esa fórmula, para una función d nrada xponncial complja y un sis ma con función d ransfrncia H(?, como sigu H ( Ω, ) + + Ω + j 5 dsconocido.:rsulado s( a una nrada xponncial complja 2.2 Enrada sinusoidal Si s asum una nrada sinusoidal d la forma ( cos( Ω y nindo n cuna qu la rspusa a un sisma d convolución (linal invarian) con función a 2

3 caracrísica ral, dbida a una nrada sinusoidal, s d la forma : dsconocido.: Rspusa a un sisma d convolución con nrada sinusoidal Rsula qu la salida dl sisma varian s Para una nrada sinusoidal a un sisma suavmn varian con h ( - u( y h ( -. u( como s musra n la figura siguin, dsconocido.: Rspusa dl sisma s( a una nrada sinusoidal 3 Filro pasa bajas RC con rsisncia variabl y Sismas Varians Para un filro pasa bajas RC d ordn, dsconocido.: Filro RC dsconocido.: Rspusa scalón d h ( y h ( S in qu las ransformada d fourir d h ( y h ( son H ( Ω) H ( Ω) +.. Por lo ano la rspusa dl sisma a la nrada cos(5 s la siguin: s in qu la rspusa scalón dl sisma s g( ( RC) u(, si s driva sa xprsión s pud nconrar la rspusa impulso dl sisma, h( Si s asum RC u(. RC h ( hacindo RC y h ( hacindo RC, nmos las gráficas d la figura siguin, Fundamnos d la Toría d Sñals y Sismas, Alfrdo Rsrpo, Enro dl 2, Capiulo 4, Pág. 48 dsconocido.: Rspusa scalón para h ( y h ( 3

4 Calculando la ransformada d fourir d h ( ) y d h (, nmos H ( Ω) y H ( Ω) qu conforman la función d ransfrncia dl sisma d la siguin manra H ( Ω, ) + + jω Si s oma como nrada un sinusoid con frcuncia /5 d al manra qu s ncunr nr H y H como s musra como s H, a pasar a un sisma con mayor ancho d banda como s H n l impo. Solución a la cuación difrncial dl filro RC La cuación d malla d un filro RC como l qu s musra s( ) i( ) R + V + C i (τ )dτ s pud rsolvr como una cuación difrncial d primr ordn si s plana d la siguin manra ' ( ' i ( + i( R RC La solución gnral d sa cuación d primr ordn s 2 : CR d ' ( CR d i ( ) d R dsconocido.: Magniud d las funcions d ransfrncia H (O) H (O) El rsulado d aplicar la función d ransfrncia a una nrada sinusoidal con frcuncia /5 s musra n la siguin ilusración: Si s plana una hipósis dond asumimos qu los sismas suavmn varians modlan l filro RC dado qu la rsisncia R s variabl n forma linal, podmos solucionar la cuación difrncial d primr ordn d la siguin manra: CR( d ' ( ) CR( d i ( ) d R( Sindo n s caso R( dsconocido.: Rsulado s( a una nrada sinusoidal y con función caracrísica H(O, Ilusración : Variación linal d R( Como s pud vr, la anrior rspusa corrspond al cambio n l impo d pasar d un sisma con mnor ancho d banda n l impo, 2 Ecuacions Difrncials, con aplicacions y noas hisóricas. Gorg F. Simmons. Sgunda Edición. Pág.:

5 D sa manra nmos qu n l impo R( y n l impo R(2. Si s scrib la cuación rmplazando R( y ( 5j nmos C( ) d j 5 C( ) d i ( ) 5j d + Y s oma u d al manra d hacr un cambio d variabl, s in: i ( ) ( + ) C 5 j j 5 j 5u u C du Si s compara lo anrior con un sisma lnamn varian con una nrada xponncial, dond H ( Ω, corrspond a H ( w, + 3 j6ω Lo qu significa qu para un condnsador d valor 3 y una rsisncia varian d manra linal R(, s in qu n l impo Ω qu 3 corrspond a R( y n l impo Ω 6 qu corrspond a R(2. Si s asum qu l condnsador C3, s pud aplicar la siguin fórmula [2]: x 2 ax ax dx a 3 ( a 2 2 x 2ax + 2) + C Tomando a 5j podmos nconrar la solución a la ingral: 3 i( ( + j5 5 j( ( 5 ) 2 ( 5( + j( + 2)) La anrior corrspond a la solución paricular d C3 y a5j, si s grafica s rsulado n MATHEMATICA 4. nmos: Ilusración 3: Rspusa dl sisma con función caracrísica H(O, Si s grafican las dos rspusas como s musra a coninuación, podmos vr qu l comporamino d la rspusa dl filro RC s fcivamn varian n l caso d R(. Ilusración 2: Volaj dl condnsador n l filro RC dbido a un nrada xponncial La gráfica anrior corrspond a l valor dl volaj s( n l filro pasa bajas. Sin mbargo s ncsario disminuir l rsulado n un facor d para podr vr l comporamino nr y. Ilusración 4: Comparación d los rsulados Como s pud vr l comporamino dl sisma s similar, s dcir si s compora como un sisma suavmn varian pro la solución d su cuación difrncial no corrspond a la solución gnral d un sisma varian con nrada xponncial. 5

6 4 Trabajo Fuuro Para un rabajo fuuro s propon coninuar con la caracrización dl sisma analizando su comporamino con difrns nradas. Qurmos nconrar l ipo d variación funcional d R con qu hac qu l sisma sa suavmn varian. Nusra ma inicial s sínsis d voz. También s propon buscar un sisma qu caracric l filro RC d manra más spcífica. 5 Bibliografía []Alfrdo Rsrpo. Fundamnos d la Toría d Sñals y Sismas. Cáp.4 Pág. 48. Enro 2. [2] Gorg F. Simmons Ecuacions Difrncials, on aplicacions y noas hisóricas. Pág. 62,63. Sgunda Edición. Mc Graw Hill. 998 [3] Mamáica 4. Edición profsional. [4] L. A. Zadh Tim Varying Nworks Procdings of h IRE. Pags Ocubr 96. [5] M. Madido y A. F. Quijano. Sínsis d voz n impo ral difrnciada por ipo d sonido. VII Simposio d raamino d sñals, imágns y visión arificial. págs Bucaramanga, Nov [6] R.E. Duqu, P.R. Vizcaya I.C. Niño. Gnrador auomáico d prosodia y bas d daos d difonmas para la sínsis d voz. VII Simposio d raamino d sñals, imágns y visión arificial. págs Bucaramanga, Nov