MAESTRIA EN OPTOELECTRONICA

Transcripción

1 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas.- Sismas linals rprsnación d Fourir Sismas linals Muchos nómnos ísicos pudn dscribirs mamáicamn mdian maniuds uncions dl spacio dl impo. En muchas siuacions podmos sparar sas maniuds como símulos causas rspusas cos. En muchas siuacions la rlación causal nr símulos rspusas s linal s dcir la rspusa a un conjuno d símulos aplicados simulánamn s la suma d las rspusas obnidas si cada símulo oprara n soliario. Esas rlacions s pudn implmnar mamáicamn mdian mapos linals nr l conjuno d uncions símulo l conjuno d uncions rspusa. Esos mapos a su vz son la rprsnación mamáica dl nómno s conocn como sismas linals. La posibilidad d dscribir nómnos d la nauralza mdian sismas linals s vnajosa porqu is una amplia rlaivamn sncilla docrina mamáica para raar a sos sismas undamnalmn mdian la rprsnación d las maniuds como la suma d uncions lmnals cuas rspusas son bin conocidas o pudn sr simadas con acilidad. Las maniuds qu rprsnan l nómno pudn sr maniuds dscripas mdian uncions rals d sus arumnos o maniuds dscripas mdian uncions compljas. En l primr caso podmos sñalar la ópica d procsos incohrns n l sundo la ópica d procsos cohrns dond s ncsario usar campos con módulo as. Como s raamino s más nral lo usarmos n nusra dscripción d la noación usada para sismas linals. Considrmos noncs un sisma dinido por un mapo S nr un conjuno d uncions símulo : r [ r r N r] T un conjuno d uncions rspusa: r [ r r M r] T Todas sas uncions dbn considrars n nral uncions compljas d sus arumnos rals. Enoncs la rlación causal s scrib: r S { r} dond l oprador mamáico S { } rprsna la rlación. Esa rlación nr ambos conjunos d uncions s dl ipo "muchas a una" s dcir divrsos conjunos símulo pudn llvar al mismo conjuno rpusa. En l caso d un sisma linal: r { r} l oprador linal { } saisac la propidad básica: { + } { } + { } dond son consans rspco d los arumnos d las uncions nralmn compljas. La linalidad prmi rprsnar una unción símulo mdian una suma o suprposición linal d oras uncions lmnals calcular la rspusa para cada símulo lmnal luo sumar los rsulados para obnr la rspusa oriinal. Ejmpliicamos para una rlación símulo-rspusa scalar: Si r { r} rprsna un sisma linal Usamos la noación vcorial para los conjunos d uncions símulo rspusa porqu s la más naural. -

2 podmos scribir: MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas r h r noncs la linalidad nos llva a: r { r } h r { h r } Eso s sumamn convnin dsd l puno d visa dl cálculo a qu s pud lir l conjuno d uncions lmnals qu rprsna a la unción símulo oriinal d manra qu san sncillas las rspusas obnidas al aplicar l oprador. Rprsnación d uncions por conjunos complos d uncions oroonals Las rprsnacions más úils son las qu uilizan conjunos complos d uncions oroonals. En nral isn rprsnacions n l dominio dl impo rprsnacions n l dominio dl spacio. Habiualmn las uncions mamáicas qu s usan n la dscripción d sismas d inniría son sparabls s dcir podmos scribir para cualquira d llas: r s r T dond l subíndic "s" indica qu la unción dscrib l comporamino spacial noncs la rprsnación d la unción oriinal como suprposición d uncions lmnals rsula n un produco d dos sris qu pudn considrars por sparado. Dado qu s común n los cursos d inniría la rprsnación n l dominio dl impo rprsnación d Fourir jmpliicarmos sa scción con rprsnacions n l dominio dl spacio mnos conocidas. Así nmos noncs la rprsnación: h r dnro d un rcino s r dl spacio dond odas las canidads son nralmn compljas. Dcimos qu dos uncions φ r φ r son oroonals n si: * si φ r φ r φ r φ r d si φ r φ r n n n dnro d dnro d dond l asrisco simboliza l compljo conjuado. Si admás la inral val cuando las dos uncions coincidn s dic qu las uncions son oronormals. Suponmos n lo qu siu qu l conjuno d uncions {h n r} d la rprsnación son oroonals: si n m hn r hm * r d si n m Enoncs los coicins n dl dsarrollo s pudn calcular sncillamn: calculamos h r r d s h r nhn r d n n n n h r h r d d dond: h r s r d Dinimos l rror cuadráico mdio d la rprsnación como: ε s r n nhn r d n -

3 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas Si l conjuno d uncions {h n r} s complo noncs l rror cuadráico mdio ind a cro para odo puno dnro d para cualquir unción s r a rprsnar. Tnmos noncs una prscripción d cómo rprsnar la unción símulo dnro d un dado rcino con rror mínimo cualquira sa la unción. Eisn múlipls conjunos complos d uncions oroonals. Cuál s lija para una aplicación spcíica dpnd dl oprador linal qu prmi hallar la rspusa. Rprsnación Dla Una rprsnación mu usada n l dominio dl impo s la llamada rprsnación dla qu usa la conocida propidad d musro d la uncional dla d Dirac: [ ] [ ] si δ d si En l dominio dl spacio la propidad quivaln s: Enoncs podmos scribir: d r r δ r r d si si r r δ n l dominio dl impo dnro dl inrvalo [ ]. r r r d r δ n l dominio dl spacio dnro dl rcino. Suponamos qu sas uncions son símulo d un ciro sisma linal simbolizado por l oprador { }: { }. La rspusa s noncs por jmplo n l dominio d dl impo: { } δ d { δ } Obsérvs qu l oprador acúa sobr l impo no primado. Dinimos la rspusa impulsiva dl sisma como: h { δ } Y noncs la rspusa dl sisma an l símulo srá: { } h d En l dominio dl spacio nos quda: r { r } r h r r d con h r r { δ r r } Las inrals d las rprsnacions dla llamadas inrals d suprposición dinn complamn la rspusa dl sisma n bas a su rspusa impulsiva n odos los punos dl inrvalo rcino d rprsnación. En la ópica la rspusa al impulso s conoc como poin sprad uncion. En l caso d un sisma ópico sa rprsnación in la inrpración d qu la rspusa sá complamn dinida spciicando la posición d punos uns quivalns a los lmnos ópicos n l campo objo. -3

4 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas Sismas linals invarians Dcimos qu un sisma linal s invarian n l impo n l spacio si la rspusa al impulso n un insan n una posición r para un impulso ciador aplicado n l insan τ n la posición r sólo dpnd dl inrvalo [ - τ] d la disancia vcorial r - r. Eso siniica qu disinos inrvalos d impo disinas rions dl spacio llvan al mismo comporamino simpr qu los inrvalos disancias vcorials nr símulo rspusa san iuals. El sisma no cambia a mdida qu pasa l impo o n disinas rions dl spacio. En l caso spacial n las aplicacions ópicas los sismas invarians s dnominan isoplanáicos. Para sismas linals invarians podmos noncs scribir: h h h r r h r r δ r r { δ } { } las inrals d suprposición rsulan así: { } h d h r { r } r h r r d h qu son producos convolución nr la unción símulo la rspusa impulsiva. Como vrmos n las siuins sccions uilizando la ransormación d Fourir l produco convolución d dos uncions dl impo dl spacio s ransorma al produco dirco d las rspcivas ransormadas. Eso prmi rabajar sncillamn n l campo ransormado con los sismas linals invarians. Rsumn d la rprsnación d Fourir n una dimnsión En opolcrónica la rprsnación más usada s la d Fourir por lo qu cnrarmos nusro análisis n su uso. A psa d sr ma d marias d rado n sa scción hacmos un brv rsumn d las propidads básicas d la rprsnación d Fourir n una dimnsión omando como jmplo uncions dl impo. La ransormada d Fourir d una unción s: [ ] j π d s una unción nralmn complja d la rcuncia. También dinimos la ransormada invrsa d Fourir d una unción d la rcuncia como: [ ] j π d orman un par d ransormación sún Fourir:. s conoc como rprsnación n l dominio dl impo s conoc como rprsnación n l dominio d la rcuncia. Eisn rlas mamáicas d isncia d sa ransormación qu pudn consulars n cualquir o mamáico ddicado a sos mas. En nusro cono basa dcir qu la unción db cumplir las siuins propidads para qu isa su ransormada: sr absoluamn inrabl sobr su dominio: d < M -4

5 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas sólo s admi un númro inio d disconinuidads inias rmos n cualquir inrvalo inio dl dominio no db nr disconinuidads ininias. Propidads básicas La ransormada d Fourir s una rprsnación linal d manra qu cumpl propidads d los sismas linals. Las siuins son las propidads básicas más imporans: Linalidad. [ + ] [ ] + [ ] dond son consans cualsquira. Similaridad. [ ] dond s una consan cualquira. Un siramino n la scala dl impo implica una comprsión n la scala d rcuncias vicvrsa admás d un cambio lobal n la ampliud dl spcro. j πτ Corrimino. Si [ ] noncs: [ τ ] dond τ s un ral. Un corrimino n l dominio dl impo implica un cambio d as n l dominio d la rcuncia. Torma d Ralih-Parsval. Si [ ] d d noncs: sas inrals s inrpran como l connido nréico d la sñal. Convolución. Si [ ] [ ] noncs: τ dτ [ ] s dcir qu la ransormada d la convolución n l dominio dl impo s iual al produco d las ransormadas individuals. Auocorrlación. Si omamos n la convolución: n orma similar: [ ] [ ] τ dτ ξ dξ Las propidads d sinularidad corrimino son undamnals n l raamino d uncions por ramos dond s uilizan "ransormadas parcials" qu rprsnan a las uncions por pars a sa n l dominio mporal o l dominio spacial. -5

6 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas -6 Rprsnación d Fourir n dos dimnsions En ópica s común uilizar uncions spacials n dos dimnsions para spciicar los campos uncions qu dscribn l comporamino d los sismas. Dado qu muchos sismas d la opolcrónica son linals la rprsnación d Fourir s una hrramina d primordial imporancia por lo qu ndrmos al caso bidimnsional las propidads d la ransormada d Fourir n una dimnsión dl aparado prcdn. Par d ransormación. [ ] + dd j π [ ] + j d d π dond s una unción d la posición D una unción d las "rcuncias spacials". Las inrals son inrals dobls. Para qu isa la ransormación la condición d inrabilidad absolua unidimnsional s ransorma n: M dd < Linalidad. [ ] [ ] [ ] + + dond son consans cualsquira. Similaridad. [ ] dond son consans cualsquira. Un siramino n l dominio dl spacioo implica una comprsión n la scala d rcuncias vicvrsa admás d un cambio lobal n la ampliud dl spcro. Corrimino. Si [ ] noncs: [ ] π π j + dond son consans cualsquira. Un corrimino n l dominio dl spacio implica un cambio d as n l dominio d la rcuncia. Torma d Ralih-Parsval. Si [ ] noncs: d d d sas inrals s inrpran como l connido nréico d la sñal. Convolución. Si [ ] [ ] noncs: [ ] d d η ζ η ζ s dcir qu la ransormada d la convolución n l dominio dl spacio s iual al produco d las ransormadas individuals. Auocorrlación. Si omamos n la convolución: [ ] d d η ζ η ζ

7 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas n orma similar: [ ] ξ ν dξdν Funcions sparabls Como vimos n l primr capíulo al raar las cuacions dirncials la posibilidad d prsar una unción d varias variabls como produco d uncions d una sola variabl simpliica la rsolución d los problmas. En l caso d las uncions ópicas su rprsnación d Fourir ambién s s l caso como vmos a coninuación. Sa una unción sparabl: Enoncs su ransormada d Fourir pud scribirs: jπ + [ ] dd jπ + jπ jπ d d [ ] [ ] vmos qu si la unción n l dominio dl spacio s sparabl su ransormada pud prsars como l produco d las ransormadas unidimnsionals d cada acor: [ ] [ ] [ ] Ejmplos n D A coninuación s musran alunos jmplos pars d Fourir n D qu s usan luo para rporsnar uncions sparabls n D: Función rcánulo: si < ½ rc ½ si ½ si > ½ Función sino: si < sin si si > Función sinc: snπ sinc π Función pin: n pin δ n dd -7

8 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas Ejmplos n D A coninuación s musran alunos jmplos pars d Fourir n D. S raa d uncions sparabls δ a b δ a δ b ab jπ a+ b δ a / b / ab sin a sin b ab jπ jπ pin b pin b pin pin ab a b π a + b π / a + / b ab rc a rc b ab sin c sinc / a / b -8

9 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas Simría cilíndrica. Rprsnación d Fourir-Bssl Muchos sismas ópicos inn orma cilíndrica d modo qu s naural uilizar uncions n s sisma d coordnadas. El caso más simpl s l d simría cilíndrica cuando la unción n l dominio dl spacio dpnd únicamn d la disancia al j dl sisma cilíndrico: rφz r Rscribimos n coordnadas cilíndricas la ransormada d φ ρ Fourir D: con las prsions d convrsión: ρ cos φ ρ sn φ Dinimos admás: F + d dond: F cos ψ F sn ψ con sas convrsions nmos: F ψ π ρ j πfρ cosψ cosφ + snψsnφ dφ ρ dρ jπ + dd ψ arcan ρ ρ dρ π jπfρ cos ψ φ Podmos rscribir sa cuación usando la siuin prsión para la unción d Bssl d ordn cro vr Capíulo 3: obnmos: z π ju cos φ ψ J u dφ π F ψ F ρ J πfρ ρ dρ qu s la llamada ransormada d Fourir-Bssl. Obsérvs qu sa ransormada no dpnd d ψ por lo qu in ambién simría cilíndrica n l spacio {F ψ}. S v así qu una unción con simría cilíndrica n l dominio dl spacio in una ransormada ambién con simría cilíndrica n l dominio d rcuncias. Ejmplos [ ρ F ] aρ F / a δ ρ ρ πρ J πρ F a dφ πρ π F si ρ < JπF circ ρ ½ si ρ F si ρ > -9

10 MAESTRA EN OPTOELECTRONCA Complmnos d Mamáicas Transormada d Hanl La ransormada d Fourir-Bssl s un caso paricular d la llamada ransormada d Hanl: n F ψ F ρ J πfρ ρ dρ Esa ransormada sur d la rprsnación d uncions sparabls qu no inn simría cilíndrica. Esas uncions pudn scribirs: ρ φ ρ φ ρ La unción anular φ s pud rprsnar n sri d Fourir porqu s priódica a qu l puno ρ φ z los punos ρ φ+nπ z con n nro corrspondn al mismo puno n l spacio por lo qu φ φ+nπ. Si s rpi l procdimino qu nos llvó a la rprsnación d Fourir-Bssl s usa la prsión para la unción d Bssl d ordn n: π n ju cos φ nψ J n u dφ π s lla a qu cada érmino dl dsarrollo n sri in una rprsnación: a n jnφ jn φ n jnψ ρ n F ψ π ρ JnπρF ρ dρ n unción d la ransormada d Hanl d ordn n. -