Proceso estocástico (PE) Tema 5: PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Concepto de VA. Concepto de Proceso Estocástico. a = a2

Transcripción

1 Tma 5: POCESOS ESTOCÁSTICOS Carlos Albrola Lóz Lab. Procsado d Imagn, ETSI Tlcomunicación Dsacho D4 caralb@l.uva.s, casasc@l.uva.s, h:// Procso socásico (PE Término sinónimo d sñal alaoria En s ma concarmos los concos d Toría d la Probabilidad con concos d Traamino d Sñal (mdian Sismas Linals. Las sñals úils n Tlcomunicación rcisan d hrraminas d modlado robabilísico: A Toda sñal u ransora información in algún grado d alaoridad. B Sobr oda sñal dsada s suron d forma naural algún io d sñal rurbadora S rnd disonr d alguna hrramina u caracric las sñals dl mismo io con indndncia d su connido concro. Y nr hrraminas u rmian minimizar l fco dl ruido. Conco d VA Conco d Procso Esocásico (,a Y (, Y a a a a Ensión a comosición d N rimnos ε i (,,, L N

2 INTEPETACIÓN Colcción d funcions drminísicas dl imo (cada una d llas s dnomina ralización dl rocso INTEPETACIÓN (,a Colcción d VAs indadas or índic Conco d Procso Esocásico ~ U( -π,π Sa l rocso socásico:, a Acos ω + con Como hicimos n mas anriors, darmos or suusa la dndncia con l rsulado dl rimno alaorio. Escribirmos Acos ω + Si π / 4 nmos ( Acos ω + drminísica dl imo 4 : función Si nmos ( Acos( ω + u s una variabl alaoria, la cual odmos dnoar or Y, Z, Si π / 4 y π nmos: Acos ω + u s un númro ral. 4 π Una osibl clasificación En función dl índic moral Procso socásico (PE: Scuncia alaoria (SA: [ n] En función d u cada VA sa coninua o discra PE coninuo ~ N(, PE discro ~ B( N, SA coninua [] n ~ N(, [ n] SA discra [] n ~ B( N[ n], [ n] Prdcibl/no rdcibl Prdcibl: ( Acos( ω + No rdcibl: sin rsión analíica asociada Caracrización d PEs Funcions d rimr ordn: caracrización d las VAs dl rocso or sarado. S ruir un único índic moral. Función d disribución: Función d dnsidad: Funcions d sgundo ordn: caracrización d ars d VAs dl rocso. Hacn fala dos índics ara indicar sobr ué dos VAs s dfinn las funcions: I

3 Caracrización d PEs Eliminación d dndncias: s llva a cabo siguindo las rglas visas n los mas anriors. Por mlo: (,a Funcions d ordn N: caracrización d VAs N-dimnsionals raídas dl rocso. Hacn fala N índics ara indicar sobr ué N VAs s dfinn las funcions: (,a (,a 3 Aroimación musral al cálculo d: F ( ; P( ( 3 (,a 3 ( Caracrización d PEs Si uviésmos dos rocsos socásicos, su caracrización vndría dada or la función d dnsidad conuna d órdns N y M, s dcir: (,a (,a Aroimación musral al cálculo d: F (, ; P( ( I (, 3 En la rácica, salvo ara rocsos gaussianos, s imnsabl odr disonr d sa información. Por llo, lo normal s rabaar con arámros d caracrización arcial d los PEs. 3

4 Mdia Caracrización arcial d PEs Caracrización arcial d PEs Corrlación (Auocorrlación VCM Covarianza (Auocovarianza Varianza Coficin d corrlación Caracrización arcial d PEs Procsos comlos: Caracrización arcial d PEs Procso d ruido blanco (dfinición: uido blanco n snido amlio: rocso consiuido or VAs incorrladas: Si fus una scuncia alaoria: Scuncias alaorias: rmlazar or n Procsos d variabls discras: oradors discros uido blanco n snido srico: rocso consiuido or VAs indndins N 4

5 Caracrización arcial d dos PEs Corrlación cruzada Caracrización arcial d dos PEs Procsos incorrlados Procsos orogonals Covarianza cruzada Procsos indndins Conco d sacionaridad Esacionaridad n sn. srico La sacionaridad hac rfrncia al mannimino d las roidads dl rocso a lo largo dl imo. SSS: uidisribución d los dos gruos d VAs. S disingun dos snidos: Snido srico (SSS, d sric sns saionary: las roidads d las u hablarmos s dfinn sobr la función d dnsidad dl rocso. Snido amlio (WSS, d wid sns saionary: n s caso las roidads s dfinn sobr momnos d la función d dnsidad. Emzarmos or SSS. 3 4 L N + c 3 + c L N + c + c + c 4 5

6 6 Por ano un rocso s SSS si s vrifica u y ara odo valor d la consan c. Si sa roidad s vrifica sólo hasa un ciro valor d N (y no s vrifica ara valors d N mayors l rocso s dnominaría sacionario d ordn N. Dos casos ariculars d la rsión anrior son N Esacionaridad n sn. srico Un rocso socásico s WSS si s vrifica u Evidnmn si un rocso s SSS (o sacionario al mnos d ordn ambién s WSS. Eso s db a u El rcíroco, n gnral, no s ciro. Esacionaridad n sn. amlio Un rocso socásico s gaussiano si la función d dnsidad conuna d ordn N s conunamn gaussiana. En aricular, un rocso gaussiano in una función d dnsidad d ordn dl io: Caso d rocsos gaussianos +,,,, ;, f π Si un rocso gaussiano s WSS s vrifica u: Sucd igual ara la función d ordn N: or llo s SSS +, ;, f π +,,,, ;, f π Caso d rocsos gaussianos ;, f

7 7 Dos rocsos son conunamn sacionarios si lo son cada uno d llos or sarado y, admás, s vrifica u: Si s raa d snido amlio, cada rocso db sr WSS y db cumlirs, adicionalmn, u Acmos como convnio u: Esacionaridad conuna Proidads d rocsos WSS Proidads d rocsos WSS Solución: rcordando la linalidad dl orador sranza: (mdia consan indndncia incorrlación Proidads d rocsos WSS sco d la auocorrlación: { } * E, + + E A A ω ω + + E A A ω ω { } E A A ω ω { } { } E E A A ω ω incorrlación

8 Si Si Proidads d rocsos WSS { } * (, E ( ω ω E AA E E Por llo, nmos { } { } { } E{ } E{ } { } E{ } E ω ( ω τ (, E{ A } E{ A } ( τ Proidads d rocsos WSS La auocorrlación rsna un máimo n l cro: ( τ ( La auocorrlación s una función con simría conugada: ω τ ω τ ( τ E{ A } E{ A } E{ A } ( ( τ ( τ ( τ { } ω τ E ( τ A Si l rocso s riódico, su auocorrlación ambién lo s (y dl mismo riodo ( ( ω+ A ( τ E{ A } ωτ Proidads d rocsos WSS El ruido blanco WSS in una función d covarianza dl io: ( τ δ ( τ C (,a 3 Ergodicidad d un PE Nós u la covarianza d un rocso WSS s C ( Lugo la covarianza n l cro s C τ (,a (,a C ( τ C ( Por llo, un ruido blanco in varianza infinia Aroimación musral al cálculo d: f ( ; d lim N N N i (,a i 8

9 (,a 3 Ergodicidad d un PE ( Ergodicidad d un PE M T T T [ ( ] ( T d (,a (,a Si l rocso fus (al mnos WSS ( En la rácica s obsrva una única ralización. La rguna s: s ud hallar l valor mdio d un rocso WSS únicamn obsrvando una ralización y alicando un orador moral? Ergodicidad d un PE S dic u un rocso WSS s rgódico con rsco a la mdia si s vrifica u: lim M T [ ( ] lim ( T T T T T d Algunas conscuncias d la rgodicidad Si un rocso s rgódico d mdia cro, una ralización íica flucuará con rsco a s valor d forma más o mnos simérica alrddor dl mismo. Si dic u un rocso WSS s rgódico rsco d la auocorrlación si s vrifica u: T [ ] lim ( + τ ( τ lim M ( + τ T lim A T T T [ ( ] T T T d 9

10 Algunas conscuncias d la rgodicidad Jusificación dl máimo d la corrlación n cro: ( T ( τ lim ( + τ T T T d Algunas conscuncias d la rgodicidad Jusificación dl riodicidad n auocorrlación ara PE riódico T ( τ lim ( + τ T T T d τ τ Algunas conscuncias d la rgodicidad Dnsidad scral d oncia d un PE La osición rlaiva d las curvas s manin consan τ + T ( Vamos a dfinir una función u caracric a un rocso socásico n l dominio d la frcuncia. Bin s ciro u, dado u un rocso socásico s una colcción d funcions dl imo, nos odríamos limiar a calcular una colcción d Transformadas d Fourir. Eso sría oco rácico. S raa d dfinir una única función u caracric a odas las ralizacions dl rocso d forma conuna. A al función s l dnomina dnsidad scral d oncia.

11 Dnsidad scral d oncia d un PE Dnsidad scral d oncia d un PE Con l obivo d garanizar convrgncia d la ingral d Fourir arimos dl rocso nvnanado: Por sr una sñal d duración finia, s d cuadrado ingrabl: T y rsula n nrgía disiada finia sobr una rsisncia d Ω. El Torma d Parsval rmi scribir d forma alrnaiva T ( Dnsidad scral d oncia d un PE Dnsidad scral d oncia d un PE D nrgía asamos a oncia dividindo or l imo d ingración: Por llo, s dfin la dnsidad scral d oncia d la forma : Calculamos la oncia mdia mdian l orador sranza y ramos l lími ara considrar odo l rocso: s dcir, la función u ingrada n odo l d frcuncias da lugar a la oncia mdia dsarrollada or l rocso.

12 Dnsidad scral ara rocsos WSS Dnsidad scral ara rocsos WSS sco d la dnsidad scral: Para l caso n l u los rocsos san (al mnos WSS las rsions anriors aricularizan a rsulados mucho más sncillos (y rcordabls. En fco: El cambio naural d variabls s: Dnsidad scral ara rocsos WSS El rsulado anrior: Dnsidad scral ara rocsos WSS Calculando ahora l lími nmos: rsado n las nuvas variabls: Por ano Ersions conocidas como rlacions d Winr-hinchin.

13 Proidads d la dns. scral Es una función ral y no ngaiva: Dnsidad scral cruzada S dfin, or convnincia, como la ransformada d Fourir d la corrlación cruzada nr dos rocsos WSS: Para un rocso ral y WSS, la dnsidad scral s una función ar: Surg d forma naural n l caso d suma d rocsos. Por mlo, si Z + Y, noncs El ára bao lla coincid con l VCM ara un rocso WSS Sismas linals con nradas socásicas SLs con nradas socásicas Emcmos con l valor mdio: ( Y h( Y ( ( τ h( τ dτ S raa d obnr los arámros d caracrización (arcial dl rocso d salida como función d sos arámros dl rocso d nrada y d la rsusa al imulso dl sisma linal invarian. Si l rocso d nrada s (al mnos WSS DC 3

14 VCM: SLs con nradas socásicas SLs con nradas socásicas Caso aricular d inrés: ruido blanco d mdia nula y función d auocorrlación N ( τ δ ( τ Si l rocso d nrada s WSS SLs con nradas socásicas Corrlación cruzada: SLs con nradas socásicas Auocorrlación d salida: WSS τ ( τ + α h ( α h ( α ( α Qu con l rsulado anrior da lugar a τ α τ α 4

15 SLs con nradas socásicas Dnsidad cruzada Dnsidad scral d oncia d salida: A arir d obnmos S 97, núm. 3 5

16 S 97, núm. 6

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