PAQUETE DE ONDAS. Un paquete construido por N ondas de la forma (1) se puede poner como

Transcripción

1 PAQUT D ONDAS - onsrucción un paqu Pomos finir un paqu onas como una suprposición onas armónicas qu viajan n la misma ircción, con ifrns valors k, ω, ampliu y fas. La n-ésima ona armónica viajano n ircción >0 s pu scribir como f, = A cos( k ω + ε. ( n( n n n n Un paqu consruio por N onas la forma ( s pu ponr como N = A cos( k ω + ε. ( n= n Pomos gnralizar ( para una cania infinia onas con una variación coninua valors k n l inrvalo 0 k <, caa una con un valor infinisimal ampliu A(, un valor frcuncia ω( y fas ε(. Inificamos caa ona con su valor númro ona k, por lo cual su ampliu, frcuncia y fas pnrán aquél. Para una ona infinisimal s ipo nrmos n n ( k ω ( + ε ( f k (, = A( cos k. (3 Dfinimos una función α( para caa ona, forma qu su ampliu sa n A ( = α(. (4 omo k varía s 0 a srá >0. Por ora par, la ampliu s lo qu la función finia n (4 srá simpr α ( 0. Pomos scribir (3 como A( 0, por ( k ω( ε ( f k (, = α ( cos + k, y la suma ( para infinias onas s ipo s convir n una ingral 0 [ = α ( cos k ω( + ε ( ]. (5 ligino arbirariamn la nsia ampliu α( y la fas ε( n (5, pomos consruir un paqu onas forma arbiraria, qu viaj n ircción >0.

2 La rlación nr la frcuncia ω y l númro ona k no la pomos lgir arbirariamn porqu, ao k, ω pn la vlocia c( con qu s propagan n l mio ao las onas con sa paricular longiu ona, mian la rlación ω ( k = c( k. (6 Si la vlocia propagación s la misma para oas las longius ona, noncs c( = c k, noncs la rlación (6 s linal n k, ω ( k = ck. (7 Las onas para las cuals s vrifica (7 s llaman no isprsivas (onas lcromagnéicas n l vacío y onas mcánicas no muy ala frcuncia n mios marials. Las onas lcromagnéicas n la maria (como la luz n l virio y las onas mcánicas ala frcuncia n sólios, líquios y gass, prsnan una vlocia propagación qu pn la longiu ona. noncs la rlación (6 rmina qu la pnncia la frcuncia con l númro ona k no sa linal. sas onas s llaman isprsivas. - Transformaa Fourir. i Rvisión sobr la noación complja. Dao un númro compljo z = a + ib, (a, b rals, i =, nmos qu su par ral s R ( z = a y su par imaginaria s I ( z = b. l conjugao l númro compljo z scrio ans s fin como z on obnmos las rlacions = a ib, z + z z z R ( z =, I( z =. (8 i Un númro compljo noncs z = a + ib s ral si su par imaginaria s nula ( b = 0. z s ral z = z. (9 La siguin fórmula ulr s gran uilia para los suios fnómnos onulaorios. Si θ s cualquir númro ral, nmos qu θ i = snθ + icosθ. (0

3 3 La (0 prmi scribir cualquir númro compljo z = a + ib n forma ponncial. Hacino r = a + b, gθ = b con π θ < π, pomos ponr a z = a + ib = r = iθ cos θ + isnθ = r(cosθ + isnθ r. l númro ral θ s llama argumno l númro compljo z. l númro ral posiivo r s llama móulo l númro compljo z, y s sul inicar como z = r. Obsérvs qu z = zz. ii Rprsnación complja una ona. Una ona armónica progrsiva = Acos( k ω + ε, ( s pu consirar como la par ral una ona armónica complja so s R{ } =. Pomos ponr la ( como f i( k ω +ε = A. ( (, iε i( k ω = A. iε Dfinimos la ampliu complja A = A ral A y su fas ε. noncs la ona complja rsula on sán connias la ampliu f (, i( k ω = A. Por analogía con (5, finimos un paqu onas compljas como + i [ k ω ( k ] =, (3 π on A ( π = s la ampliu complja infinisimal caa ona, como n (4. n gnral, srá una función complja, como ambién la ona rsulan f(, n (3. l facor π s simplmn un facor normalización para scribir forma simérica las ransformaas Fourir irca o invrsa, como s vrá lugo.

4 4 Obsérvs n (3 qu hmos finio l paqu compljo ingrano n < k <, n lugar 0 k < como n (5. Lo hmos hcho así porqu noncs la (3 nrá ciras propias mamáicas uilia para su manjo. Probarmos a coninuación qu si nos inrsa sólo la par ral l paqu finio n (3, pomos vincular las funcions con α( (5 para qu ambas ingrals n l mismo rsulao. omo l paqu onas s forma con onas armónicas qu viajan oas n un mismo snio (por j. l las crcins, sólo nrán snio físico los valors k>0. Por ano, a las funcions y ω( qu aparcn n (3 pomos arls l valor qu quramos para k<0. Las finimos así y vinculamos con α( para k>0 n la forma = a (, ω( = ω(, (4 α ( =. (5 π D acuro con la primra (4 y la (5 nmos qu π Tomano par ral (3 nmos R (, ( π iε ( k iε ( k = α k a k = α(. (6 π { } = cos( k ω( + ε ( qu s pu scomponr n los os inrvalos ingración, R + { } = cos( k ω( + ε ( π 0 π cos 0 ( k ω( + ε ( + (7 Al susiuir (4 y (6 n (7, nino n cuna qu l cosno s una función par, nconramos R 0 (, π { f, } = cos( k ω( + ε ( y al susiuir acá la (5, obnmos la prsión (5 qu buscábamos probar.

5 5 3 - δ Dirac. s uilia n los cálculos la física mamáica una función invnaa por P. M. Dirac, qu s conoc como la δ Dirac. S fin para oo ral la siguin forma: 0 si 0 = ε δ ( = > δ ( ε 0 (8 ε D sa finición s uc qu ( 0 δ no sá finia. Formalmn, s pu finir la δ Dirac como l lími alguna función, por jmplo la función rcángulo ára unia, cuano la bas in a longiu cro n orno al 0 l j (y, por consiguin, la alura in a infinio para consrvar l ára unia. La propia funamnal la δ s qu, aa cualquir función f( qu isa n =0 y n un norno, nmos qu para cualquir ε posiivo. n paricular, rsula qu ε ε f ( δ ( = f (0, (9 f ( δ ( = f (0. (0 sa prsión prmi finir la δ Dirac como una funcional qu aplica la función f( l spacio funcions ingrabls n l númro f(0. La pruba (9 y (0 s obin fácilmn la finición (8. omo la δ val cro, salvo n =0, las ingrals (9 y (0 s rucn a una ingral n un inrvalo infinisimal norno al orign. on llo s pu sacar f(0 fura la ingral ingrar la δ nr -ε y ε, lo cual a la unia, sgún (8. on iénico procimino s musra qu Darmos sin mosración una iguala muy úil: f ( δ ( a = f ( a. ( ± ik = π δ (. (

6 6 4 - Torma la nrgía. Sabmos qu la nrgía una ona armónica s proporcional al cuarao la ampliu, por la qu la nrgía un paqu onas armónicas la forma (3 srá proporcional a la suma los cuaraos oas las amplius, so s. =. (3 l llamao orma la nrgía sablc qu. = =, (4 con lo qu s sablc qu la ingral l sguno mimbro s inpnin l impo. Obsérvs qu, sgún (4, la cania rprsna la nsia nrgía por unia longiu l paqu n l puno y n l insan. Para probar (4, s muliplica (3 por su complja conjugaa, i[ k ω ( k ] i[ k ' ω ( k ' ] = ' π. (5 Ingrano lugo n nmos = π i ( k k ' i[ ω ( k ω ( k '] ', (6 on s pu hacr la ingral i( k k ' sgún (. Susiuyno (7 n (6 rsula = π δ ( k k' (7 = δ ( k k' ', on s pu ingrar n k uilizano l rsulao (, obniénos l rsulao (4 qu s buscaba probar.

7 7 5 - nro l paqu y vlocia grupo. l paqu onas finio n (3 in cira nsión n l spacio (qu lugo s vrá cómo finirla, y viaja n l impo n l snio las posiivas. s úil por lo ano finirl un cnro a icho paqu, qu ubica al paqu y viaja con él a una cira vlocia qu caracriza al paqu como un oo, llamaa vlocia grupo. s cnro s fin manra análoga al cnro masa una isribución coninua maria, so s ( =, (8 on s la nrgía n inrvalo l paqu, cnrao n l puno y n l insan, sino la nrgía oal l paqu sgún (4. l cnro l paqu ocupa la posición y avanza con l impo acompañano l paqu. Inpninmn qu l paqu s isprs, simpr nrá un cnro finio por (8. Susiuyno (5 n (8 obnmos ( = π i ( k k ' i[ ω ( k ω ( k '] ', (9 on nmos la ingral i( k k ' i( k k ' = i sgún (. Uilizano (30 n (9 obnmos ( = i a ( k' i π = δ ( k k', (30 i [ ω ( k ω ( k '] La ingral n k qu aparc n (3 s pu fcuar por pars: ( δ( k k' = δ ( k k' '. (3 ( ( [ δ( k k' ] [ ] δ( k k' on l primr érmino l sguno mimbro s nulo n los límis bio a la función δ. Al susiuir s úlimo rsulao n (3 nmos,

8 ( = i ( k [ ] iω ( k ' 8 δ ( k k' '. (3 La (3 s pu ingrar n k uilizano la propia ( la función δ, obniénos iω ( k ' ( k ' ( = [ k' ' i ]. (33 ' n lo sucsivo, susiuirmos n (33 la variabl ingración k por k por comoia scriura. fcuano la rivaa rspco k l prouco n (33, rsula ω( k = a ( + i (. (34 Obsérvs qu para =0, la primra ingral l sguno mimbro (34 inica la posición inicial (0 l cnro l paqu. D forma qu ω( ( = (0 +. (35 La (35 ubica la posición l cnro l paqu onas n función l impo. Véas qu icho cnro avanza con vlocia consan, llamaa vlocia grupo l paqu onas: v G = = ( ω. (36 Al igual qu n la prsión (8 qu fin l cnro o puno mio l paqu onas, la (36 fin ambién l valor cnral la función ω, promiaa nr oos los valors k prsns n l paqu, caa uno con su pso a (. Pomos prsar (36 como v G ω =, (37 on los bracks < > inican l promio. Usualmn la función s simérica norno a ciro valor cnral k, n cuyo caso l valor mio (37 rsula igual al valor la función n icho cnro. Si

9 9 llamamos k al valor cnral los k l paqu, la vlocia grupo l mismo s pu prsar noncs como v G ω = k= k. (38 n l # s comnó sobr los mios isprsivos qu vrifican la rlación (6, y los nos isprsivos qu vrifican (7, con la vlocia fas c consan. n s úlimo caso, la rivaa ω rspco a k s consan, y la aplicación (36 o (38 conucn inmiaamn a qu v G = c, forma qu l cnro l paqu avanza con la misma vlocia qu oas sus onas armónicas componns, y l paqu consrva su forma. n caso conrario, l paqu s irá nsanchano con l impo (s isprsa como s vrá más alan. 6 - Rlación nr l ancho bana y l ancho l paqu. Probarmos qu is una proporcionalia invrsa nr la nsión spacial un paqu onas (ancho l paqu y l inrvalo valors k las onas armónicas qu lo componn (ancho bana l paqu. n rigor, ano l ancho spacial l paqu como su ancho bana pun sr infinios, con al qu las funcions f(, y inan a cro para ±, k ±. Sin mbargo, s úil finir un ancho spacial fcivo para un paqu onas, como algún inrvalo Δ( n l cual la función ona f(, nga valors significaivos n caa insan ao. Si l mio s no isprsivo, l ancho Δ paqu srá consan n l impo. D igual forma, l paqu porá connr valors k nr y +, pro los valors ampliu corrsponins a valors absoluos muy grans k srán sprciablmn pquños. Por llo s úil finir un ancho bana fcivo Δ k nro l cual los valors ampliu san significaivos. Para formalizar sas prcisamn sas ias, s fin l ancho spacial Δ ( un paqu onas como (, (39 [ Δ ] = [ ( ] on ( s l cnro l paqu finio n (8 y la consan s, como simpr, la finia n (4. La (39 prsa, igual qu n saísica, la isprsión cuaráica mia l paqu onas. D manra similar, su ancho bana Δ k s fin como

10 0 [ Δk] = [ k k ], (40 on k s l valor cnral los k qu componn l paqu, finio (al igual qu n (8 como k = k. (4 Buscarmos una rlación nr l ancho spacial l paqu finio n (39, con su ancho bana finio n (40. Trabajarmos n l insan inicial =0 para simplificar los cálculos, y lugo vrmos la volución n l impo la rlación obnia, probano qu l paqu s va nsanchano si l mio s isprsivo. n l insan inicial ponrmos Δ = Δ( 0, = (0, f ( = 0, con lo qu (39 qua [ Δ] = [ ] f (, (4 n =0. A su vz, n l insan inicial la ransformaa Fourir (3 s prsa + ik f ( = α(. (43 π Sin péria gnralia, supongamos qu n =0 l paqu sá cnrao n l orign, por lo qu =0, y su componn cnral k s k =0. so implica naa más qu un corrimino las gráficas f( y n sus rspcivos js sin afcar los valors las isprsions Δ y Δk. noncs nmos, n lugar (4, ( Δ = f (. (44 Y n lugar (40, ( Δ = k. (45 Susiuimos (43 n (44,

11 ( Δ = ik ik ' π ', (46 qu s pu ponr como ( Δ = ik ik ' π ' '. (47 aa una las ingrals n k y n k s pun fcuar por sparao y por pars n (47, obniénos ik ik [ ] = ik ik =, (48 puso qu la función b anulars n los límis ingración. Igualmn para la ingración rspco a k n (47: ' ik ' ' Susiuyno (48 y (49 n (47, nmos ( Δ = i( k k ' π ' qu s posibl ingrar n uilizano l rsulao (7: ( Δ = ( k ik ' = ' ' ', δ k' '. '. (49 sa úlima s ingra n k uilizano la propia ( la función δ, lo cual a ( Δ =. (50 ompararmos (50 con (45 para obnr la rlación buscaa nr Δ y Δk. Dfinamos una función k complja B( qu pn un númro ral arbirario b n la forma B( = bk +, (5

12 on: ( b k + bk k B = +. (5 porqu Ingrano (5 n k nmos B( ( ( = a k ( + + B k b k a k b k 0, (53 0 k. Susiuyno (45 y (50 n (53 nmos b ( Δ + ( Δ + b k 0. (54 La ingral (54 s fcúa por pars, ano k [ k ] = =, porqu a ( in a cro n los límis (n un infiniésimo orn mayor qu /, y la ora ingral a sgún (4. Susiuyno s úlimo rsulao n (54 obnmos ( Δ + b + ( Δ 0 b, (55 cualquira sa l númro ral b aún no finio. noncs, la incuación sguno grao n b finia n (55 sólo pu nr una o ninguna raíz ral. so s, su iscriminan s ngaivo o nulo: 4( Δ ( Δ 0 k, lo cual implica qu Δk Δ. (56 La (56 prsa una proporcionalia invrsa nr l ancho spacial Δ l paqu onas, y su ancho bana Δ k. uano más srcho sa l paqu, mayor srá l inrvalo longius ona armónicas ncsario para finirlo, y rcíprocamn. omo caso lími, nmos qu una ona armónica pura in una

13 3 nsión infinia n l spacio. Por ano in un ancho bana nulo (un único valor. 7 - Disprsión l paqu onas. Probarmos qu n ancho l paqu onas finio n (39 n función l impo, voluciona forma al qu aumna con l impo. A mnos qu l mio sa no isprsivo, n cuyo caso s manin consan. D acuro con (35 y (36, nmos qu ( = (0 v. (57 + Tomano (0=0 y susiuyno (57 n (39, rsula ( G, [ Δ ] = ( v qu sarrollano l cuarao l binomio n l ingrano, obnmos [ Δ ] = + vg vg (. (58 La sguna ingral (58 s la consan sgún (4, n ano qu la rcra s la ubicación l cnro ( sgún (8. noncs [ Δ( ] = + v v ( G G G. (59 Susiuyno n (59 l valor ( (57, consirano qu (0=0, obnmos [ Δ( ] = v G. (60 La ingral (60 pn l impo a ravés con algo all. Uilizano (5 nmos qu, y hay qu hacrla = π i ( k k ' i[ ω ( k ω ( k '] ', qu s pu ponr como

14 4 = π ( k i ω ( k ' ik ' ik ' '. (6 La (6 s pu ingrar sparaamn n k y k. Ingrano por pars: = ( k ik = ( k [ ] ik ( k ik ( k [ ] [ ] ik = (6 por sr nula n los límis ingración. Igual rsulao al (6 s obin al ingrar n k n (6. Por ano la (6 rsula π ( k i ( k ' [ ] [ ] ω i( k k ' = ' ' qu pu sr ingraa n uilizano l rsulao (7, por lo cual, = ( k iω ( k ' [ ] [ ] ' δ ( k k' '. (63 La (63 s pu ingrar n k uilizano la propia ( la función δ, obniénos iω ( k [ a ( ] =, qu al fcuar la rivaa l prouco n l ingrano, rsula a ( ω( = + a ( i. (64 Dsarrollano l cuarao l móulo n (64, nmos a ω a a ω = + i a a + a, o sa:

15 5 a ω a ω = a + I a, (65 on I inica la par imaginaria. n forma gnral, la ampliu complja srá la forma iε ( k =, por lo cual a a = + i ε, on a I a = ε. (66 Ponino s rsulao n (65 nmos a ω ε ω = a + a. (67 La primra ingral l sguno mimbro (67 la nmos n (50, sino l ancho inicial l paqu. Las sguna inica l valor mio sobr k l prouco las rivaas la frcuncia y la fas rspco a k. Y la rcra s l valor mio l cuarao la rivaa la frcuncia rspco a k. so s f ω ε ω (, = [ Δ(0 ] +. (68 Susiuyno (68 n (60, nmos ω ε ω [ Δ( ] = [ Δ(0 ] + v La vlocia grupo v G la susiuimos (37 n (69, rsulano G. (69 [ Δ( ] = [ Δ(0 ] ω ε + ω ω. (70

16 6 Por úlimo, supongamos qu oas las onas qu forman l paqu inn inicialmn la misma fas ε (lo cual no s más qu una lcción acuaa l insan inicial. n s caso, ε srá inpnin k y su rivaa n (70 srá nula, lo cual nos ja [ Δ( ] = [ Δ(0 ] + ω ω. (7 n (7 aparcn os promios la función ω, qu gnralmn no son iguals. Uno s l promio l cuarao la función, l oro s l cuarao l promio. l primro s mayor qu l sguno, y sólo son iguals cuano la función s consan. so s, cuano ω = c= cs., lo qu significa qu las onas son no isprsivas. n s caso s anula l úlimo érmino (7 y l ancho l paqu prmanc invariabl con l impo. n cualquir oro caso, la ifrncia n l parénsis rco (7 s posiiva, y l ancho l paqu simpr aumna con l impo. I.Núñz urso Onas. I.F.F..