Economía, XXV, 6 (2000), pp. 73-90 Modelo de programacón lneal de la produccón, ntegrado en un sstema computarzado de produccón, nventaro y ventas ndustral A lnear programmng producton model ntegrated n a computerzed sustem of ndustral producton, nventores and sales Ernesto Ponsot Balaguer * y Víctor Márquez * Resumen En este artículo se presenta un modelo de programacón lneal cuyos resultados en el óptmo sugeren a la gerenca sobre cuánto producr, cuánto demorar y cuánto almacenar en cada período de un horzonte de planeacón dado. Se descrben detalles técncos para ntegrar el modelo a la base de datos del sstema de nventaros de la organzacón, utlzando Access 97 y Excel 97, bajo la plataforma PC/ Wndows 95 y/o Wndows NT. Palabras clave: Inventaro, base de datos, modelo, programacón lneal, Access, SQL, Vsual Basc, Excel, demanda, Solver. Introduccón Integrando el Sstema de Inventaros (SI) desarrollado para la Planta de Medcamentos de PROULA (Ponsot y Márquez, 998) 2 se encuentra, entre otros, el Modelo de Programacón Lneal de la Produccón, el cual puede aprecarse gráfcamente en la fgura. Este modelo unvarante, medante un tratamento determnístco, captura datos hstórcos drectamente desde la base de datos del sstema y estma la demanda futura. Dcha demanda estmada se construye para un horzonte de planeacón dvddo en períodos. Para cada combnacón del horzonte y número de períodos se modela con programacón lneal en las varables: número de undades a producr en un período, número de undades a mantener en nventaro de un período al sguente y número de * Unversdad de Los Andes, Facultad de Cencas Económcas y Socales, Departamento de Estadístca, Insttuto de Estadístca Aplcada y Computacón 73 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez Insumos Proveedores Almacén de nsumos Admnstracón Insumos Productos Control de caldad Produccón Almacén de productos termnados Clente Productos Fgura. El Sstema de Inventaros undades a demorar de un período al sguente. En este contexto se toman en consderacón para la funcón objetvo los costos untaros asocados con la produccón, el almacenaje y la escasez en ambente nflaconaro y se opera con restrccones de produccón. El modelo transfere los datos desde la base de datos Access al Excel, resuelve automátcamente el problema de programacón lneal utlzando SOLVER y retorna los resultados de Excel a la base de datos Access. Con los resultados ahora presentes en la base de datos, se puede construr automátcamente un Plan de Produccón para la empresa. 2 El modelo de programacón lneal aplcado al manejo de nventaros En este modelo se resuelve un problema de programacón lneal nsprado en Wnston (994) para obtener los valores que mnmzan la funcón de costos. Así, el objetvo es determnar centífcamente una polítca óptma para el manejo de los nventaros. 74 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 La dea ntegradora que representa su nclusón en el sstema computarzado, tomando la nformacón necesara para su ejecucón drectamente de la base de datos, se basa en que, a medda que la organzacón utlce ntensvamente y durante un largo período el sstema, éste recaudará más datos con los cuales las estmacones del modelo serán cada vez mas cercanas a la realdad (aspecto garantzado por la teoría estadístca). Asmsmo, el modelo requere partr de las sguentes suposcones:. Tanto la funcón objetvo como las restrccones, son funcones lneales de las varables. 2. Se trata de un modelo de múltples períodos o dnámco. 3. La demanda en cada período es conocda al nco del msmo y en general no es constante. 4. Los costos del producto relaconados con mantenmento del nventaro y de escasez, son conocdos para el prmer período, y en caso que varíen de un período a otro, lo hacen según un porcentaje de nflacón constante, conocda para el horzonte de planeacón. A contnuacón se defnen los elementos que componen los modelos de programacón lneal, a saber: varables, funcón objetvo y restrccones. 2. Las varables Las varables utlzadas en el modelo se descrben en detalle en el cuadro, así como tambén la nomenclatura que las dentfcará en adelante. 75 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez Cuadro. Relacón de Varables Varable Descrpcón k Número de períodos: cantdad de períodos en que se dvde el horzonte de planeacón para el cual se ejecuta el modelo. Entero determnado según sea la combnacón de horzonte y lapso de la demanda, en esta versón k = 2, 3, 4, 6, 8, 2,24. x Número de undades a producr en el -ésmo Período, =,...,k. y Número de undades en nventaro al fnal del -ésmo período, =,...,k. z Número de undades no satsfechas en el -ésmo período, =,...,k. d Número de undades demandadas del producto en el -ésmo período, =,...,k. y 0 Nvel del nventaro ncal del producto (al nco del período ). L Límte de la capacdad productva. Número máxmo de undades del producto que pueden ser producdas en un período cualquera. Costo untaro del producto. c c 2 c 3 F E Costo untaro de mantener: costo que representa el mantener en nventaro una undad del producto de un período al sguente. Costo untaro de escasez: costo que representa tener que demorar la entrega de una undad del producto, de un período al sguente. Porcentaje anual de nflacón. Factor de exceso (>0) o defecto (<0) estmado para la demanda. s no se estma exceso n defecto. 2.2 La funcón objetvo Sea C el costo total del sstema, entonces C c k x c 2 Los costos c, c 2 y c 3, se ncrementan según el porcentaje de nflacón anual F. Ahora ben, en el entenddo de que exsten tres posbldades para selecconar el período de la demanda: meses, bmestres o trmestres, el porcentaje de nflacón calculado para cada caso será respectvamente: F/2, F/6 y F/4, de donde F es el porcentaje de nflacón anual aplcable según sea el caso. Según esto, los costos asocados con el sstema, adqueren la forma: k y c k 3 z 76 Economía, XXV, 6 (2000)
77 Economía, XXV, 6 (2000) Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 donde, m =, 2, 3. Entonces, c, es el costo untaro del producto en el -ésmo período, C 2, es el costo untaro de mantener en el -ésmo período y C 3, es el costo untaro de escasez en el -ésmo período. De lo descrto anterormente, la nueva funcón de costos totales del sstema, sería: 2.3 Las restrccones del modelo Sea N el nvel del nventaro al fnal de -ésmo período, el nvel de nventaro para los períodos sucesvos sería: En palabras, el nvel del nventaro al fnal del prmer período es el nventaro ncal más la produccón en ese período, menos lo venddo en el msmo. En general, para el fnal de cualquer período, el nvel del nventaro es lo que quedó en el período nmedatamente anteror, más la produccón en el período actual, menos lo venddo. Es fácl notar que la expresón anteror es recursva y puede escrbrse como: k 2,...,, F' c c, c c m, m, m m, k 3, k 2, k, z c y c x c C,,, 2 2 2 0 d x N N d x N N d x y N M j j j j 0 d x y N
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez Un poco de reflexón basta entonces para encontrar la prncpal restrccón del modelo: N y z,,...,k En consecuenca, el nvel del nventaro en cualquer período debe ser la cantdad a mantener de este período al sguente, s ha habdo exstencas sufcentes luego de satsfacer la demanda demorada y la demanda actual; o tambén, la cantdad que se deje en espera para el período sguente en el caso de que no haya alcanzado lo producdo n lo acarreado del período anteror para satsfacer la demanda. N es postvo s se ha satsfecho toda la demanda hasta el -ésmo período y negatvo, en caso contraro. Volvendo a las varables orgnales del problema, la expresón anteror resulta en: y x j z y d j,,..., k j 0 Es necesaro agregar restrccones de no negatvdad a las varables, es decr: x, y,z 0,,...,k Además, para garantzar que en el horzonte de planeacón no queden faltantes por surtr y dado que hay un límte máxmo en la capacdad productva de cada período, es necesaro agregar las restrccones: j z k 0 x L,,..., k No se ncluyen restrccones a la capacdad de almacenamento y a los faltantes, pues éstas se suponen controladas por el óptmo, en el entenddo de que su costo para la ndustra es elevado. Es de hacer notar que el porcentaje de exceso o defecto (E) no está ncludo en el modelo. Responde esta stuacón a que este es un valor que se aplca a la demanda estmada de forma constante antes de comenzar los cómputos para cada período, con lo que se obtene un nuevo valor de la demanda (d = d + d * E, para toda =,..., k). En consecuenca, 78 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 cuando se propone el modelo, se supone aplcado prevamente y por ende no es necesaro contemplarlo. En conclusón, el problema de Programacón de Produccón que se resuelve, es el sguente: k k k mn C c, x c2,y c3,z x,y,z,...,k Sujeto a : y x j z y0 d j j j x L zk 0 x, y,z 0,,...,k,,...,k,,...,k 2.4 Observacones La estadístca ntervene en este modelo cuando se estma automátcamente la demanda, a partr de los datos presentes en el sstema general de nventaros (promedos, máxmos, mínmos o combnacón de promedos con la desvacón estándar). Sn embargo, una vez realzada la estmacón, la demanda se consdera determnada y en consecuenca el modelo en esenca es determnístco. En la deduccón de las ecuacones se ha supuesto que los períodos parten del número y culmnen en el k-ésmo. No obstante, en el sstema el período ncal depende de la fecha en que el usuaro desee comenzar la planeacón. S no se trata de un período que esté al comenzo del horzonte de planeacón (como sería el mes de enero o el prmer bmestre o el prmer trmestre), el período ncal puede ser dstnto de, lo cual no afecta al modelo (es sólo una opcón de presentacón de resultados). 79 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez 3 Implementacón del modelo En esta seccón se muestran algunos detalles de la puesta en funconamento del programa-producto resultante de la aplcacón del modelo. Se han obvado los elementos que corresponden al sstema general de nventaros. La base de datos es del tpo relaconal (Date, 993) modfcada en su versón orgnal (Codd, 970) para nclur nuevos tpos de datos, en especal, objetos que operan con automatzacón OLE (McKnney, 996). El Sstema Manejador de Bases de Datos selecconado para la mplementacón es Mcrosoft Access 3 y la plataforma escogda es Mcrosoft Wndows 95/NT. 3. La base de datos: Modelo Proula Medcamentos La fgura 2 muestra las relacones (o tablas) que permten almacenar los datos del modelo. Las claves prmaras de las relacones se vsualzan en negrtas. La tabla Modelos de Programacón está dspuesta para almacenar lmtadamente medante un número, los datos de cada modelo. Esta facldad de dseño hace posble jugar con los modelos, varando los parámetros y comparando sus resultados en escenaros dstntos. La tabla Productos en Modelos P almacena para cada modelo en cada período, los datos sobre demanda y costos. Por otro lado, tambén recbe los resultados sobre las cantdades a producr, almacenar o demorar en cada período. El enlace con el resto del sstema se realza a partr de la tabla Productos Termnados, encargada de la defncón de los productos que vende la organzacón. Con el códgo del producto y dado que la base de datos está normalzada, hay garantía de que de forma únca se pueda determnar la demanda y extrapolar los resultados del modelo haca un Plan de Produccón que nvolucre el producto estudado. 80 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 Fgura 2. Composcón y relacones de la base de datos 3. Utlzacón del programa Access para el desarrollo del modelo a través de su herramenta: Formularos En Access, la manera como se mplementa el nvel de vstas de la base de datos es utlzando formularos. Un formularo representa la nterfaz natural entre el usuaro fnal y la base de datos que permte, adconalmente, la programacón de controles y valdacones medante subrutnas Vsual Basc. Los detalles de programacón pueden ser consultados en Ponsot y Márquez (998), aquí sólo se mostrará el comportamento resultante del programa-producto. Para facltar el segumento de la operatvdad del modelo, el formularo utlzado se muestra en las fgura 3a, 3b y 3c donde se pueden observar sus dversos campos. Remtdo el procedmento al formularo de la fgura 3a, se encuentra el campo N de modelo que es asgnado automátcamente por el sstema. El prmer paso es entonces la seleccón del producto, lo cual se hace tomando uno en partcular de la lsta de productos en el cuadro 8 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez de lsta Producto. El sstema automátcamente encuentra el producto en la base de datos, extrae el costo untaro estmado (que es un campo de la tabla Productos Termnados) y lo coloca como valor por defecto en el cuadro de texto Costo Untaro del Producto. En la Descrpcón es posble ntroducr una cadena de texto como se observa en formularo que srve de ejemplo. El control Límte de Produccón acepta un número que representa la cantdad máxma de undades del producto que pueden ser producdas en cualquer período (L). El cuadro de texto Desde acepta una fecha que representa el momento en que se espera ncar la programacón que propondrá el modelo (seguramente una fecha futura). El cuadro Horzonte permte selecconar de entre la lsta de undades del tempo, el lapso para el que se desean los pronóstcos (un año, un beno o un semestre). El control Lapso de la Demanda acepta los valores en meses, bmestres o trmestres. Fgura 3a. Formularo para el Modelo Programacón lneal de produccón. Parámetros para el cálculo 82 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 La combnacón de los valores para los campos Desde, Horzonte y Lapso de la Demanda son de mportanca prmordal, ya que de cada combnacón posble, surge una estmacón dferente de la demanda para el horzonte de planeacón. En efecto, la fecha Desde fja el período ncal de nterés (en el formularo, el 7 mes del año) y como se desea pronostcar para un semestre, de mes en mes, los períodos a consderar serán los meses 7, 8, 9, 0, y 2 del año. En este orden de deas, la estmacón de la demanda se agrupará entonces, solamente dentro de las fechas hstórcas dadas para estos meses del año y no para otros (ya que es muy posble que la demanda sea estaconal). El campo lógco Utlzando Hstora?, s está actvado, se emplea para decdr s la demanda, representada en el formularo por la columna Demanda, será tomada drectamente de la base de datos o en su defecto, será un valor ntroducdo por el usuaro. S está actvado, se habltan en el formularo el grupo de opcones Demanda Promedo, Demanda Máxma, Demanda Mínma, Demanda Promedo + n veces la DS. Los controles Hstora Desde, Hstora Hasta (fechas donde la prmera, necesaramente, es nferor a la segunda), los controles % de Exceso o Defecto, % Anual de Inflacón y el botón Estmar la Demanda para que el usuaro ntroduzca los valores deseados. S se quere que el sstema estme la demanda tomando datos de la base de datos, se deberán ntroducr estas fechas los demás parámetros relaconados y al estar lsto, presonar el botón Estmar la Demanda. Del grupo de opcones Demanda Promedo, Demanda Máxma, Demanda Mínma, Demanda Promedo + n veces la DS, deberá selecconarse sólo una de ellas. Sobre la base de la seleccón, se estmará la demanda, o utlzando el promedo hstórco de cada período (entre las fechas dadas), o el valor máxmo o el mínmo o el promedo más un certo número de veces la desvacón estándar calculada. Al presonar el botón Estmar la Demanda se asgna un valor calculado a cada campo de las columnas Período (con respecto al nco, horzonte y lapso de la demanda), Demanda (estmándola como se ha menconado, ncluyendo, s ha sdo dado, el porcentaje de exceso o defecto) y los costos en cada perodo (aplcando, s ha sdo dado, el porcentaje de nflacón). 83 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez El control Inventaro Incal recbe la cantdad en nventaro que se supone exste, justo antes de comenzar la proyeccón (y 0 ). En la fgura 3b, se pueden aprecar los últmos parámetros necesaros, que son los costos untaros ncales que deben ntroducrse en los controles Del Producto (asgnado en condcón de edcón por defecto, cuando se selecconó el códgo del producto), De Mantener y De Escasez. Estos costos deberán ser conocdos o estmados por la organzacón, antes de poder ejecutar el modelo. Aún cuando las columnas Período, Demanda y Costos Untaros del subformularo Demanda Estmada (véase fgura 3b) pueden ser calculadas automátcamente, tambén son edtables, lo que permte al usuaro obvar la hstora contenda en los archvos (o modfcarla) y estmar por su cuenta, los nuevos valores. La lmtante que exste sobre esta modaldad es que, para ser consecuente, debe nhabltarse la opcón Utlzando Hstora?, antes de ejecutar el modelo (véase fgura 3a). Una vez dados los parámetros al modelo, el usuaro está lsto para recbr la polítca óptma. Esto se hace oprmendo el botón Resolver el Modelo. El sstema procede a calcular todos los valores resultantes valéndose automátcamente de la herramenta Solver del programa Excel, transfréndole los datos y parámetros y devolvendo el control al sstema. En el ejemplo, la polítca óptma sugerda es: Para los meses 7, 8, 9 y 0, producr 200 undades del producto 00; en los meses y 2 producr 573 y 58 undades respectvamente. Mantener en nventaro 450 undades del mes 8 al 9 y 405 undades del mes 9 al 0. Asmsmo sugere demorar la entrega del mes 0 al mes, de 353 undades. En la fgura 3c puede observarse el botón Actualzar Costos Globales, que al ser oprmdo totalza los montos asocados con la solucón óptma y determna el porcentaje de contrbucón de cada rubro al costo total. Cuando se han calculado los valores óptmos, el usuaro tene varas opcones: a) mprmr los resultados con los botones de lupa e mpresora y ordenar la elaboracón automátca de un plan de produccón que será ncorporado a la base de datos presonando el botón Elaborar un Plan de Produccón. b) edtar presonando el botón Edtar Planes de 84 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 Fgura 3b. Formularo para el Modelo Programacón lneal de produccón. Estmacón de la demanda Fgura 3c. Formularo para el Modelo Programacón lneal de produccón. Solucón óptma 85 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez Produccón. El sstema está programado para calcular, partendo de la fecha dada Desde y por el número de períodos calculado en conjunto con el Lapso de la Demanda y el Horzonte, las fechas puntuales colocando la produccón óptma sugerda en aquella fecha que corresponda. Esto confgura un plan que permte (gracas a un nforme del sstema ttulado Explosón de Materales ) obtener las demandas asocadas de nsumos requerdas para ejecutar el modelo sugerdo. De esta forma, el óptmo calculado en el almacén de productos termnados, se propaga automátcamente haca atrás, al almacén de nsumos. 3.2 Utlzacón de la Hoja de Cálculo Excel para el cómputo de los resultados Se muestra a contnuacón (fgura 4) un extracto de la hoja de cálculo de Excel en la cual se vsualza el funconamento de la msma para el cómputo de los resultados. En las dferentes columnas se pueden observar las fórmulas y funcones utlzadas para el cálculo. J K L M N 7 Prod*Costo Inven*Cost Esca*Cost 3 Plan 6 o o 8 =D8*G8 =E8*H8 =F8*I8 4 =SUMA($J$8:$L$3) 9 =D9*G9 =E9*H9 =F9*I9 5 Modelo General 0 =D0*G0 =E0*H0 =F0*I0 6 =MIN($N$4) =D*G =E*H =F*I 7 Restrccones =CONTAR($G$8:$I$3) 2 =D2*G2 =E2*H2 =F2*I2 8 =B2+G8-C8 =$M$8=Datos!$H$8- Datos!$I$8 3 =D3*G3 =E3*H3 =F3*I3 9 =M8+G9-C9 =$M$9=Datos!$H$9- Datos!$I$9 0 =M9+G0-C0 =$M$0=Datos!$H$0- Datos!$I$0 =M0+G- C =$M$=Datos!$H$- Datos!$I$ 2 =M+G2- C2 =$M$2=Datos!$H$2- Datos!$I$2 3 =M2+G3- C3 =$M$3=Datos!$H$3- Datos!$I$3 =$I$3=0 4 5 =$G$8:$G$3<=Datos!$A$2 Fgura 4. Cálculo de los resultados en hoja de cálculo Excel 6 ={00\00\0,00000\0,05\VER DADERO\FALSO\FALSO\\\ \0,00\VERDADERO} 86 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90 Como puede observarse en la sguente tabla, exsten sete combnacones dstntas consderando el número de períodos resultante de defnr un lapso de la demanda y un horzonte de planeacón. Cuadro 2. Demanda y horzonte de planeacón N de Períodos Horzonte Demanda 2 Semestral Trmestral 3 Semestral Bmestral 4 Anual Trmestral 6 Semestral Anual Mensual Bmestral 8 Beno Trmestral 2 Anual Beno Mensual Bmestral 24 Beno Mensual Para cada combnacón hay una hoja de cálculo dferente, ya que el número de varables del modelo depende del número de períodos (y tambén de las restrccones). La hoja mostrada opera con 6 períodos y es completamente análoga al resto, las cuales smplemente aumentan o dsmnuyen el número de flas y las restrccones correspondentes. Los datos pasan a la hoja de la base de datos con una consulta de actualzacón en MS Query, se resuelve el modelo hacendo uso de la aplcacón Solver de Excel especalmente dseñada para problemas de optmzacón, se copan y pegan los resultados en una hoja aparte denomnada Resultados y ésta se vncula a la base de datos Access para, con una consulta SQL, extraer de ella los valores fnales. Otro aspecto que merece ser explcado puede verse en las fórmulas de la hoja en la columna N. En especal, la celda N7 contene el rango de defncón de las varables de decsón; de las celdas N8 a la N5 están defndas las restrccones; y la celda N6, contene las opcones del Solver (las que permten cargar el modelo cuando se abre la hoja, gracas a una macro programada). 87 Economía, XXV, 6 (2000)
Ernesto Ponsot Balaguer y Víctor Márquez 4 Conclusones Ha quedado sentado, al menos en la experenca de los autores, que no tene sentdo proponerse la estructuracón de modelos complejos sn antes haber resuelto la dsponbldad de la nformacón que los nutrrá. El modelo creado resulta nteresante, entre otras cosas, por su nteraccón con la base de datos de forma natural. Queda pendente la ncorporacón automátca de nformacón relatva a los procesos productvos (costos, detalles de los procesos, entre otros) que evtarían la necesdad de estmar aparte, varos de los parámetros empleados. Cuando se logre contar con datos sufcentes, habrá que analzarlos estadístcamente con mras a crear nuevos modelos (más complejos) que ncorporen por ejemplo, probabldades, seres de tempo y un enfoque multvarante del problema de nventaros. De gual forma, podrían construrse ndcadores de gestón que ayuden a mejorar la gerenca de la organzacón. Seguramente ésta se verá afectada postvamente desde el punto de vsta económco y de la efcenca laboral. Este producto puede ser utlzado en cualquer organzacón cuyo sstema productvo sea del tpo Proveedores-Almacén de Insumos-Proceso Productvo-Almacén de Productos Termnados-Clentes. La versón presentada en este documento es completamente funconal, sólo requere de tempo para ser probado ntensvamente y lograr la coleccón de datos que srvan para perfecconarlo. Una recomendacón especal en relacón con el uso del modelo programado, es la ejecucón solapada en el tempo (esto es, tratando de predecr la hstora) para montorear que sus resultados estén ajustándose efectvamente a la realdad. La herramenta empleada (Access 97) respondó satsfactoramente a las exgencas. Es de fácl comprensón y para la elaboracón de proyectos de bases de datos es un recurso poderoso y ágl (aún cuando se trata de un producto consderado, por los entenddos, dentro de los de baja potenca). Posee tres característcas que a juco de los autores, son prmordales: 88 Economía, XXV, 6 (2000)
Modelo de programacón lneal de la produccón..., pp. 73-90. Permte ncorporar a la base de datos, explíctamente, el modelo relaconal con todas sus mplcacones (control de concurrenca, revsón de la ntegrdad referencal, actualzacón y elmnacón en cascada, entre otros). 2. Provee al programador una sere de asstentes que le ayudan a construr la mayoría de los objetos mportantes, generando en buena medda, el códgo Vsual Basc. 3. Permte fáclmente el ntercambo de datos entre aplcacones Mcrosoft Wndows 95, con lo que no sólo se cuenta con las herramentas que se puedan programar, sno que se pueden utlzar otras herramentas de terceros (tal como se hzo con Excel). 5 Notas Access, Excel, Wndows, Vsual Basc, Solver son marcas regstradas Mcrosoft Corp. utlzadas bajo lcenca de la Unversdad de Los Andes, Mérda-Venezuela. 2 Empresa rental de la Unversdad de Los Andes en Mérda, Venezuela, dedcada a la produccón de fármacos genércos de bajo costo para hosptales, ambulatoros, droguerías y farmacas. 3 De la famla Offce 97. 6 Bblografía Batn, Cer y Navathe (994). Dseño conceptual de bases de datos. Un enfoque de Entdades-Interrelacones. Addson-Wesley/Díaz de Santos. E.U.A. Codd, E. F. (970): A Relatonal Model of Data for Large Shared Data Banks. CACM 3. No. 6, Juno. Darwen, H. and C. J. Date (995). Introducng The Thrd Manfesto. Database Programmng & Desgn. January. Date, C. J. (993). Introduccón a los sstemas de bases de datos. Vol..V Edcón. Addson-Wesley Iberoamercana. Méxco. 89 Economía, XXV, 6 (2000)
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