DESARROLLO NUMÉRICO DEL PROBLEMA DE FACTIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL ORDINARIA Y SEMI-INFINITA

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1 DESARROLLO NUMÉRICO DEL PROBLEMA DE FACIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL ORDINARIA Y SEMI-INFINIA Jve Be Ágeles, Eque Gozález Gutéez, Alb Luz Moeo Muñoz, Hetw Mo Popoctl jbe@hotml.com, eque.gozlez@upt.edu.mx, luzmoeo@gml.com, hetw.mo@upt.edu.mx Uvesdd Autóom del Estdo de Hdlgo, Uvesdd Poltécc de ulcgo, Hdlgo, Uvesdd Cetl de Bogotá, Colomb. Uvesdd Poltécc de ulcgo, Hdlgo. Méxco RESUMEN E este tbjo pesetmos spectos umécos del poblem de fctbldd p sstems leles que se epeset como el cojuto fctble de poblems de pogmcó lel co u úmeo fto e fto de estccoes. Ilustmos l plcbldd del lgotmo de eljcó e l esolucó de sstems co fts estccoes y el lgotmo de eljcó exteddo [6]. Plbs clves: Pogmcó lel, Fctbldd, Optmzcó, Pogmcó Lel Semft, Algotmos umécos. INRODUCCIÓN E 95 se toduce el uso de l Ivestgcó de opecoes (IO) l dust, los egocos y el gobeo. De est me el método smplex es empledo p esolve poblems de pogmcó lel, este método tt l plecó de ls ctvddes p obtee u esultdo que mejoe los lcces de ls mets especfcds ete ls ltetvs de solucó. Po ot pte, l pogmcó sem-ft lel (PSIL) se plc poblems de optmzcó e los que be el úmeo de vbles o be el úmeo de estccoes es fto. L pogmcó sem-ft lel suge de me tul l model stucoes, o efomul modelos e dfeetes cmpos de plccó, de tl me que e ños ecetes se h modeldo y esuelto dfeetes poblems plcdos. E ptcul, l clse de poblems sem-ftos se h covetdo e u áe muy ctv y extos de l optmzcó. Los métodos que exste p esolve los dos gdes gupos de poblems mecodos teomete puede dptse p esolve el poblem de fctbldd, supoedo como fucó objetvo l fucó costte ceo, s embgo, exste otos métodos p esolve el poblem de fctbldd, e estos csos, sstems de ecucoes leles. Po ejemplo, p el poblem de fctbldd cosdedo u úmeo fto de estccoes leles, podemos ct el método uméco de Foue popuesto e 97. L de de este método es extede sstems de ecucoes leles el método de l elmcó de Guss p sstems de ecucoes leles, que pocede como es be sbdo l elmcó, u u, de ls vbles. E geel, el método de Foue pemte ecot elemetos del cojuto F, de u sstem de ecucoes leles cosstetes, demás, pemte hll vloes máxmos y mímos de culque cooded sobe F. Po ot pte, el método de H. HU [8], llmdo método de poyeccó p esolve u sstem geel fto de ecucoes leles. L de básc de este método es pt de u puto bto, s l tecó coete x o es u solucó del sstem p se esuelto, etoces x seá l poyeccó otogol de x sobe el límte de l ecucó lel cec de ls ecucoes más volds po x. Oto elemeto mpotte e l teoí es el teoem de Motz geelzdo, este teoem se sustet e vs poposcoes

2 que descbe ls popeddes de los cojutos M epesetbles; los cojutos epesetbles e R so quellos cojutos covexos cedos (defdos más delte) s sítots. Los cojutos covexos so de g utldd e l costuccó y álss de los modelos de pogmcó mtemátc (PM) y, más e ptcul de pogmcó lel (PL). Los subespcos vectoles de R y ls veddes fes so cojutos covexos. Ls veddes fes de dmesó so los hpeplos (H), cd hpeplo cotee dos semespcos cedos y dos sem-espcos betos, cd fote comú es H. Este tbjo peset u ltetv dfeete p ecot solucoes fctbles poblems de optmzcó. E el desollo de este tbjo se utlz el lgotmo de eljcó y el lgotmo de eljcó exteddo. L de geométc del lgotmo de eljcó es muy smple; supogmos que el puto ctul, x, o es solucó del sstem (es dec, x F ); de ete los hpeplos socdos co ls ecucoes volds po x se tom uo de los más lejdos de x pepedculmete hc H u dstc gul d( x, H), dode es u pámeto pefjdo. El objetvo de este lgotmo es poxmse l egó fctble desed. Po ultmo teemos el método de eljcó exteddo, este método es plcble culque Sstem Lel Semfto (SLSI). Ecot el hpeplo más lejdo o es u te fácl. E este setdo, ddo u sstem fto y u vecto fjo x, g( t, x ) :, tx b es u fucó o lel llmd fucó mgl o de holgu. Atecedetes Es uest tecó peset u ltetv dfeete p ecot solucoes fctbles e poblems de optmzcó e geeí. A cos de l segud gue mudl, exstí u ecesdd ugete de sg ecusos ls dstts opecoes mltes y ls ctvddes deto de cd opecó e l fom más efectv. S embgo, es hst pcpos de 95 cudo se toduce el uso de l vestgcó de opecoes l dust, los egocos y el gobeo. Quees hbí ptcpdo e l vestgcó de opecoes y teí coocmeto de los esultdos, se motvo p busc esultdos sustcles; u ejemplo sobeslete es el método smplex p esolve poblems de pogmcó lel, desolld e 97 po Geoge Dtzg. L pogmcó lel utlz u modelo mtemátco p descb el poblem. Así, l pogmcó lel tt l plecó de ls ctvddes p obtee u esultdo que mejo lcce l met especfcd ete tods ls ltetvs de solucó. E este setdo, u poblem e el leguje de pogmcó lel, cosste e selecco vloes de vbles descoocds p mmz cet fucó objetvo codcodo u cojuto de estccoes. Culque stucó cuy fomulcó mtemátc se juste este modelo es u poblem de pogmcó lel od. Po ot pte, el témo Pogmcó lel sem-ft pecó, pmemete e [] dode Ches, Coope y Kote toduce el poblem dul de pogm H []. El pogm H voluc l mxmzcó de u fucó lel de fts vbles sujeto u úmeo fto de desgulddes leles. El témo Pogmcó sem-ft (PSI) se plc poblems de optmzcó e los que be el úmeo de vbles o be el de estccoes es fto. Se sste sí e que este cocepto bc como cso ptcul los poblems co vbles y m estccoes (Cáovs y P, []). S embgo, se pest myo tecó poblems de pogmcó sem-ft lel (PSIL). Los PSIL suge de me tul l model stucoes, o efomul modelos, e dfeetes cmpos de plccó, como l poxmcó fucol, estmcó de pámetos, ecoocmeto de ptoes, polítcs medombetles. De tl me, que e los ños ecetes se h modeldo y esuelto dfeetes

3 poblems plcdos (de l ecoomí, geeí, fzs y de ots áes) usdo el cálculo y otos métodos de l optmzcó mtemátc. E ptcul, l clse de los poblems semftos se h covetdo e u áe muy ctv y extos de l optmzcó; tto e l solucó de poblems teócos como e el desollo y l plccó de métodos umécos. DESARROLLO Mco teóco Exste dfeetes tbjos que h escto sobe el tem y de los cules se tee egsto. E este setdo, se dce que el pme método uméco p esolve sstems de u úmeo fto de ecucoes leles lo popuso el físco Foue e 87, peo o fue so hst 98 y 96 e que Des y Motz [] espectvmete quees edescubeo este método. L de de este método es extede sstems de ecucoes leles, el método de l elmcó de Guss p sstems de ecucoes leles, que pocede como es be sbdo l elmcó, u u, de ls vbles. Desde el puto de vst geométco l elmcó de u vble x popoco u epesetcó lel de l poyeccó otogol del cojuto de solucoes del sstem ctul sobe el subespco x. Dch epesetcó lel es el sstem educdo. E geel, el método de Foue pemte ecot elemetos del cojuto F, de u sstem de ecucoes leles cosstete, demás, pemte hll vloes máxmos y mímos de culque cooded sobe F. E muchos poblems teócos y páctcos ecestmos ecot solucoes de sstems ftos de ecucoes leles: x b p tod I. Dode x R, e I u cojuto bto fto, : R, y b : R. Los métodos de pogmcó lel sem-ft usulmete ecest u solucó fctble como u puto cl [gobe]. Al especto e [hu] se peset u método de poyeccó p esolve u sstem geel fto de ecucoes leles. L de básc del método, es pt de u puto bto. S l tecó ctul x o es u solucó del sstem p se esuelto, etoces x seá l poyeccó otogol de x sobe el límte de l ecucó lel cec de ls ecucoes más volds po x. S el sstem es cosstete, etoces l sucesó { x :,,...} geed po el método covege u solucó del sstem. El método puede se cosdedo como l dptcó p u sstem fto de ecucoes del método po Agmo []. U specto mpotte e l teoí de sstems sem-ftos leles es el teoem de Motz geelzdo, pues desde el puto de vst lgoítmco puede se utlzdo p ecot u solucó de dchos sstems, p ello se euc lgus poposcoes de ls epesetcoes de Motz. E pme lug ctemos lgus popeddes de los cojutos M epesetbles. Los cojutos M- epesetbles e R so quellos cojutos covexos cedos s sítots (u sem-ect L es sítot de F s F L y d( F, L) ), peo hy cojutos e R que o so M-epesetbles, s sítots, po ejemplo, el cojuto F { x, y / x y}. E dmesoes myoes podemos ú ecot cojutos hpebólcos co ess popeddes. Po oto pte, los cojutos M-epesetbles e R puede tee sítots s. Po ejemplo, s F { R : x x, x }, el coo de heldo e R. Es u coo covexo cedo, po lo que M es epesetble. S embgo, cd seccó vetcl de F, que o cluye el oge, es u cojuto hpebólco co sítots, y tles sítots tmbé so sítots de F.

4 Poposcó. U cojuto F R es M-epesetble s, y sólo s, exste u cojuto * compcto C F tl que F c C, p cd c R cov c. Poposcó. U cojuto covexo cedo F R es M-epesetble s, y sólo s, dom es cedo y l estccó de dom tee u extesó sublel todo el espco * F R. Poposcó. Se F u cojuto cedo covexo o vcío e epesetble s, y sólo s, exste dos coos covexos cedos K K F K LXR,, K y, t K. * F * F R. Etoces F es M- R y L R tles que Podímos cotu eucdo más poposcoes cec de los cojutos M-epesetbles, s embgo, o es el objetvo de este tbjo, más be os pemte descb cotucó el teoem de Motz como sgue: eoem (eoem de Motz geelzdo). Se F R u cojuto covexo cedo o vcío. Etoces F es M-epesetble s, y sólo s, exste u epesetcó lel K F, cs { cs, ds, xx }, s S, tl que {- : s S-} está cotdo. E tl cso, ds cs F clcov{- : s S -} clcoe{c s : s S} es u epesetcó de Motz de F. ds Alguos coceptos báscos como los llmdos cojutos covexos, so de g utldd e l costuccó y álss de los modelos de Pogmcó Mtemátc (PM) y, más e ptcul, de Pogmcó Lel (PL). Estos cojutos covexos pece documetdos po pme vez e los esctos de Aquímedes sobe mecác (e elcó co los cetos de ms). Pese los tecedetes, l teoí de los cojutos covexos sólo suge como mte depedete e too 9.E este setdo, los subespcos vectoles de R y ls veddes fes (que so el esultdo de sum u vecto fjo u subespco vectol) so cojutos covexos. Dd u vedd M x V, dode V es el subespco plelo M, se defe l dmesó de M cómo dm M dmv. Ddo u cojuto o vcío x R, se llm evoltu lel de x l meo subespco vectol que cotee x, que deotemos sp x, y se llm evoltu fí de x l meo vedd fí que cotee x, que epesetmos po ffx. Así, ls veddes fes de dmesó so los hpeplos (tmbé llmdos ects cudo y plos cudo ), que se puede escb de l fom H { x R / x b} p ceto R /{ }(vecto otogol H ) y b R. Cd hpeplo cotee dos semespcos cedos (susttuyedo po y ) y dos semespcos betos (susttuyedo po y ), cd fote comú es H. Ve fgu. Fgu.Repesetcó gáfc de hpeplo H.

5 De est me se dce que C R es covexo s ( ) x x C culesque que se x, x C y,. Po coveo, tmbé es covexo. L dmesó de C es l de su evoltu fí, es dec, dm C : dm ffc. E ots plbs, se dce que C es covexo cudo cotee los segmetos (betos o cedos) detemdos po culque p de putos de C. Ve Fgu. Fgu. Cojutos covexo y cojuto o covexo. Los subespcos vectoles so, obvmete covexos, sí como ls veddes fes: S M x V, dode V es el subespco vectol de x, x M y,, se puede R, l tom x V y x x V de modo que x x x V V M escb x,. Po lo tto, culque hpeplo H { x R / x b}, es u cojuto covexo de dmesó, como tmbé so los cuto sem-espcos que detem (estos de dmesó ). Po ejemplo, x b y x b, se tee x x culque que se,. b MEODOLOGÍA El desollo de este tbjo utlz báscmete el método de eljcó y el método de eljcó exteddo. E este setdo, el método de eljcó p sstems de ecucoes leles, que fue cocebdo po Agmo [], e depedetemete po Motz y Shoebeg [], comezos de los ños 5 (uque publcdo e 95), como u ltetv l método smplex. Desgcdmete, los tempos expemetos umécos de Hoffm y otos (95) mosto que l covegec del método de eljcó es t let que pemte desctlo, e l páctc, como competdo del smplex. S embgo, el método de eljcó sgue teedo teés ddáctco (po su tepetcó geométc y po l fcldd co l que se pueb su covegec). Se { x b, I} el sstem ddo e el que podemos supoe p tod I, de modo que cd ecucó epeset u sem-espco. Se F su cojuto solucó. L de geométc del método es muy smple: supogmos que el puto ctul, x, o es solucó del sstem (es dec, x F ); de ete los hpeplos socdos co ls ecucoes volds po x se tom uo de los más lejdos de x pepedculmete hc H u dstc gul d x, H, dode es u pámeto pefjdo (ve fg. ). Fgu. Itepetcó geométc del método de eljcó 5

6 Como l dstc Euclíde desde x l hpeplo H { x R / x b} tl que x b vee b x dd po el escl : d( x, H), el puto sguete seá El lgotmo de eljcó se descbe como sgue: Algotmo de eljcó Fje el pámeto de eljcó. ome el ídce de tecó x. y x R bto. Etp. Se I : { I / x b} (ídces de ls estccoes volds). S I, f ( x es l solucó buscd). S I, cotúe. bj jx b x j Etp. Se : mx{, I}. ome x x. después se j susttuye po y se vuelve l etp. Ejemplo: P lust de me smple l plccó de este lgotmo, cosdemos el sguete cojuto F {( x, y) / x y, x, y, x y }, descto medte u sstem de ecucoes leles. Como puto cl cosdeemos x [, 6] es u puto que vol lgus de ls estccoes, es dec x F. Etoces x, 6];, ; b ;, ; b ;, ; b ;, ; b ; [ j Como podemos obsev I [,, ], so ls estccoes volds. Cotudo co el pocedmeto se clcul ls dstcs como sgue: 9 d ( x, H) ; d( x, H) ; d( x, H) 6; d( x, H). de quí obteemos 9 mx{ d( x, H), d( x, H), d( x, H),} mx{,6,}. Aho obteemos x x [ ]. Etoces I }; {, mx{ d( x, H), d( x, H)}; d( x, H) ; d( x, H). Po lo tto mx{,}. Po últmo, clculmos x x [ ] Flmete obteemos l solucó desed, l cul cosste e cecse lo más póxmo que se pued l áe fctble, segú se muest e l fgu. 6

7 Fgu. Itepetcó geométc del lgotmo de eljcó. Como podemos obsev tvés de este ejemplo de dmesó, uest peocupcó se cet e poxmse l egó fctble. S embgo, el poblem o es tvl como pece, es dec, este suele complcse demsdo cudo el cojuto de estccoes es muy gde e clusve fto, de tl me que los cálculos mules so sufcetes p esolve dcho poblem. Al umet el úmeo de estccoes es eceso pogm el lgotmo p p obtee l solucó desed. L efectvdd de ls espuests depedeá báscmete del tempo de pocesmeto y de l cpcdd de memo de l computdo. Dcho se de pso, este método demás de esolve u poblem de fctbldd pemte med l cpcdd de pocesmeto y de memo de l computdo. Po últmo, teemos el método de eljcó exteddo. Este método es plcble culque Sstem Lel Sem-fto (SLSI). Los esultdos de este método está publcdos e [], quí se demuest l covegec y se lz l pdez de covegec. U descpcó beve del método os dce que l dstc Euclíde,,, b x x l hpeplo H { x R / t x b} tles que x b po lo tto, d( x, H), x R que o es solucó del sstem. Ete los hpeplos co ecucoes volds po x tommos uo de los más lejdos de x, lo llmmos H. El sguete puto se costuá pt de x lo lgo del vecto de poyeccó de x sobe el hpeplo H, u dstc d( x, H), es u pámeto fjo po, s : d( x, H) que seá l dstc de desde x H. El sguete puto seá x, es el vecto gdete de defcó H. Ecot el hpeplo más lejdo o es u te fácl. E este setdo, ddo u sstem fto y u vecto fjo x, g( t, x ) :, x b es u fucó o lel llmd fucó mgl t o de holgu. Flmete, gee u sucesó { x }, tl que pt del puto ctul x, el sguete puto es de l fom x x, e dode sólo ecest que e cd pso (juto co su vecto coespodete ) se lo sufcetemete ceco, e lgú setdo, p. Auque ls uts de MALAB solo popoco poxmcoes [6]. CONCLUSIONES bjos teoes h documetdo l efectvdd del lgotmo de eljcó p esolve sstems co fts estccoes, po ejemplo muest que este lgotmo tee zó de covegec lel cudo se elz el álss de covegec. S embgo e esos estudos peset u estudo beve del desollo uméco de l plcbldd del msmo. E este estudo hemos desolldo de me extes, co u ejemplo e dmesó dos, el segumeto 7

8 uméco del lgotmo de eljcó. Este estudo po lo tto, dc los beefcos obtedos de l plcbldd de dcho lgotmo e l páctc, esto muest l complemetedd de los tbjos y epotdos y sugee u poceso que puede elzse e l páctc de l búsqued de solucoes fctbles de sstems leles que suge co fecuec e modelos de pogmcó lel od y sem-ft de dvess áes de l cec y l geeí. BIBLIOGRAFÍA. Agmo S., he elxto method fo le equltes, Cd Joul of Mthemtcs, 6 (95), H, Ube lee Uglechuge, Act Mth. Szeged (9) -.. A.W Ches, W. Coope, d K. O. Kote. Dulty, H pogms d fte sequece spces. U.S. Poceedgs of the Ntol Acdemy of Sceces, 8:78{786, Mch 96.. Cáovs M.J. y P J., BEIO, Boletí de Estdístc e Ivestgcó Opetv, ISSN , Vol., Nº., 6, pgs M.A. Gobe, M.A. Lopez, Le sem-fte pogmmg theoy: updted suvey, Euope Joul of Opetos Resech () Gozález-Gutéez E., Heádez Reboll L. y odoov M. I., Relxto methods fo solvg le equlty systems: Covegg esults, Spge-Velg () DOI: 7. Hettch R, Kote KO (99) Sem-fte pogmmg: theoy,methods d pplctos. SIAM Revew 5: Hu H., A pojecto methods fo solvg fte systems of le equltes, Advces Optmzto d Appoxmto, Kluwe Acdemc Publshes (86-9). 9. K. O. Kote d W. L. Go. Numecl spects of polluto btemet poblems: Optml cotol stteges fo qulty stdds. I R. Wtm M. Hee, A. Jege d J. H. Zmmem, edtos, Poceedgs Opetos Resech, pges {58. Physcvelg,97.. K.O. Kote. O the Decde of Sem-Ifte Pogmg: Subjectve Vew, : Sem-Ifte Pogmg, Recet Advces, M. A. Gobe d M.A Lopez. Kluwe Acdemc Publshes,.. h. Motz, Betge zu heoe de lee Uglechuge, Bsel: Iugul. Dssetto 7 S., Motz d I.Y. Schoebeg, he elxto method fo le equltes,cd Joul of Mthemtcs 6 (95) 9 8